2024-2025學年廣西大學附中九年級（上）開學數學試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列方程是一元二次方程的是（）

-1

A.x2+y=3B.3%+y—5=0C.x+-=3D.x2—8=0

2.下列垃圾分類的標志圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

3.如圖，四邊形A8C0內接于。。，若乙。=125。，貝此4的度數為（）

A.25°

B.30°

C.50°

D.55°

4.若二次函數）/=。=2的圖象經過點「（一2,4）,則該圖象必經過點（）

A.（2,4）B.（-2-4）C.（-4,2）D.（4-2）

5.若%1，%2是方程-7=0的兩個根，貝女）

/,7

A.汽1+久2=6B.%1+%2=-6C.%i%2=qD.%i%2=7

6,將拋物線y=（%-+2向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度，得到的拋物線為（）

A.y=（x—I）2+4B.y=（x—4）2+4C,y=（%+2）2+6D.y=（x—4）2+6

7.據國家統計局發布的《2022年國民經濟和社會發展統計公報》顯示，2020年和2022年全國居民人均可

支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元.設2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為久，依題

意可列方程為（）

A.3.2(1-」3=3.7B,3.2(1+%)2=3.7C.3.7(1-%)2=3.2D,3.7(1+%)2=3.2

8.如圖，在△ABC中,△8=80。，Z.C=65°,將△ABC繞點/逆時針旋轉得到△AB'C''當落在4C上

時，NB4C，的度數為（）

A.65°B.70°

C.80°D,85°

9.關于％的一元二次方程%2+4%-fc=0有兩個相等的實數根，貝收的值為（）

A.-4B.4C.0D.16

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10.已知4（一1,%）,8（2）2），。（4,乃）是二次函數y=-/+2比+C的圖象上的三個點，則yi，y2,油的大

小關系為（）

A.yi<y2<為B.y2<yi<乃C.%<乃<乃D.y3<yi<吸

11.數學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上

任取兩點4B,連接力B,作力B的垂直平分線CD交2B于點0,交旋于點C,測出4B=40cm,

CD=10cm,則圓形工件的半徑為（）

A.50cm

B.35cm

C.25cm

D.20cm

12.如圖，拋物線根：y=a/+b（。vo力>o）與%軸于點/、8（點4在點B的左側），與y軸交于點C.將拋物

線加繞點B旋轉180。，得到新的拋物線九，它的頂點為Ci，與%軸的另一個交點為4.若四邊形ACi&C為矩

形，則a,b應滿足的關系式為（

A.ab=-2B.ab=—3C.ab=—4D.ab=—5

二、填空題：本題共6小題，每小題2分，共12分。

13.拋物線y=Q-2尸+5的頂點坐標是

14.一元二次方程2/=9久+5化為一般形式之后，則一次項的系數為

15.拋物線y=ax2+bx+c（aH0）的部分圖象如圖所示，其與x軸的一個交點坐

標為（-3,0）,對稱軸為直線刀=-1,拋物線與x軸的另一個交點坐標為

16.一元二次方程4式*-2）=刀一2的解為.

17.點尸是正五邊形48CDE邊DE的中點，連接BF并延長

與CD延長線交于點G,貝亞BGC的度數為.

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18.《九章算術》中記載：“今有勾六步，股八步.問勾中容圓徑幾何？”譯文：今有一個直角三角形，勾(

短

直角邊)長為6步，股(長直角邊)長為8步，則該直角三角形內切圓的直徑是等于步.

三、計算題：本大題共1小題，共6分。

19.解一元二次方程：x2-4x+3=0

四、解答題：本題共7小題，共66分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

20.(本小題6分)

計算：一F+(8一兀)°一(3-1+V=8.

21.(本小題10分)

如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為2(1,4),8(4,2),C(3,5).

(1)畫出△ABC關于原點。成中心對稱的△AiBiCi，并寫出點Ci的坐標;

(2)將△2BC繞原點。逆時針旋轉90。得到△色&牝，畫出2c2，并寫出點人2的坐標.

22.(本小題10分)

如圖，在△4BC中，AB=AC,以力B為直徑的。。分別交力C、BC于點。、E.

(1)求證：BE=CE-,

(2)若=6,Z.BAC=54。，求筋的長.

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23.(本小題10分)

一次足球訓練中，小明從球門正前方8爪的a處射門，球射向球門的路線呈拋物線.當球飛行的水平距離為

6m時，球達到最高點，此時球離地面3nl.已知球門高。B為2.44m,現以。為原點建立如圖所示直角坐標

系.

(1)求拋物線的函數表達式，并通過計算判斷球能否射進球門(忽略其他因素);

(2)對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應該帶球向正后方移動多

少米射門，才能讓足球經過點。正上方2.25爪處?

24.(本小題10分)

如圖，△ABC內接于。。，4B是。。的直徑，點E在。。上，點C是BE的中點，AE1CD,垂足為點

DC的延長線交的延長線于點F.

(1)求證：CD是。。的切線;

(2)若CD=?^ABC=60°,求線段力F的長.

25.(本小題10分)

課堂上，數學老師組織同學們圍繞關于x的二次函數y=%2+2ax+a-3的最值問題展開探究.

【經典回顧】二次函數求最值的方法.

(1)老師給出a=-4,求二次函數y=x2+2ax+a-3的最小值.

①請你寫出對應的函數解析式；

②求當支取何值時，函數y有最小值，并寫出此時的y值；

【舉一反三】老師給出更多a的值，同學們即求出對應的函數在x取何值時，y的最小值.記錄結果，并整理

成如表：

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a一4-2024

X*20-2-4

y的最小值*-9-3-5-15

注：*為②的計算結果.

【探究發現】老師：“請同學們結合學過的函數知識，觀察表格，談談你的發現

甲同學：“我發現，老師給了a值后，我們只要取久=一口，就能得到y的最小值

乙同學：“我發現，y的最小值隨a值的變化而變化，當a由小變大時，y的最小值先增大后減小，所以我猜

想y的最小值中存在最大值”

(2)請結合函數解析式y=x2+2ax+a-3,解釋甲同學的說法是否合理？

(3)你認為乙同學的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值；若不正確，說明理由.

26.(本小題10分)

如圖1,在△ABC中，ZC=90°,ZXBC=30°,AC=1,。為△ABC內部的一動點(不在邊上)，連接

BD,將線段BD繞點。逆時針旋轉60。，使點B到達點尸的位置；將線段力B繞點B順時針旋轉60。，使點4到達

點E的位置，連接4D,CD,AE,AF,BF,EF.

(1)求證：4BDA咨ABFE；

(2)當CD+DF+FE取得最小值時，求證：AD//BF；

(3)如圖2,M,N,P分別是。尸，AF,4E的中點，連接MP,NP,在點。運動的過程中，請判斷NMPN的大

小是否為定值.若是，求出其度數；若不是，請說明理由.

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參考答案

1.D

2.B

3.0

4.A

5.4

6.B

7.5

8.B

9.4

10.D

11.C

12.B

13.(2,5)

14.-9

15.(1,0)

16.%i-2,%2=,

17.18°

18.4

19.解：(%—3)(%—1)=0,

x—3=。或x—1=0,

所以X1=3,%2=1.

20.解：―12+(避一兀)°一弓)-1+尸，

=-1+1-2-2,

=—4.

21.解：(1)如圖：△Ai/Ci即為所求；點G的坐標(一3,-5).

(2)如圖：2c2即為所求；點42的坐標

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(1)證明：如圖，連接4E.

???4B是圓。的直徑,

/-AEB=90°,

即4E1BC.

又???AB=AC,

???AE是邊BC上的中線,

BE=CE；

(2)解：AB=6,

OA-3.

又?：OA=OD,ABAC=54°,

^AOD=180°-2X54°=72°,

GJAA1/斗72x7Tx367r

???4D的長為：180

23.解:(1)8-6=2,

???拋物線的頂點坐標為(2,3),

設拋物線為y=a(x-2)2+3,

把點力(8,0)代入得：36a+3=0,

解得a=一擊,

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拋物線的函數表達式為y=—右0—2￥+3；

當x=0時，y=一點X4+3=￡>2.44,

二球不能射進球門.

(2)設小明帶球向正后方移動m米，則移動后的拋物線為y=-^(x-2-m)2+3,

把點(0,2.25)代入得:2.25=-圭(0-2-6)2+3,

解得m=一5(舍去)或m=1,

當時他應該帶球向正后方移動1米射門，才能讓足球經過點。正上方2.25爪處.

24.(1)證明：連接。C,

??,點C是翁的中點，一一、

??,BC=CE,qB(?

?

?.ABAC=Z.CAE9

VOC=0A,

D

???Z-OCA=Z.OAC,

Z-OCA=Z.CADf

??.OC//AD,

AE1CD,

???OC1DF,

???oc是。。的半徑，

??.CD是。。的切線；

(2)解：???48是。。的直徑，

???^ACB=90°,

???乙ABC=60°,

??.ABAC=30°,

???乙CAD=ABAC=30°,

???ZD=90°,CD=后

???AD—避CD=3,

???乙F=180°-^D-^BAD=30°,

AF=2AD=6.

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25.解：(1)①a=—4,y=x2+2ax+a—3=x2—8x—7；

②當％=—*=4時，y取得最小值為：16—32—7=-23；

(2)合理，理由：

?-1>0,故函數有最小值,

當X=一卷=一a時，y取得最小值，

故甲同學的說法合理；

(3)正確，理由：

當x=-a時，y=x2+2ax+a—3=—a2+a—3,

???-l<0,故y有最大值，

當。=綱，y的最大值為：一；+：3=一4.

Z4,Z4,

26.解：(1)證明：由旋轉的性質可得。8=DF,^BDF=60°,AB=EB,^ABE=60°,

???△引加是等邊三角形，BD=BF,

???乙DBF=AABE=60°,

???Z-DBF—Z-ABF=乙ABE—4ABF,

??.匕ABD=Z.EBF,

在△8D4與中，

BD=BF

[Z-ABD=乙EBF,

AB=EB

.-.ABDA^ABFE(SAS)；

(2)證明：由(1)可知△BDF是等邊三角形，

???Z-BFD=乙BDF=60°,

???當CD,F,E共線時，CD+DF+FE最小，

???Z.BFE=180°-zBFD=120°,

???△BDA^ABFE,

???Z.BDA=^BFE