云南省曲靖市沾益區第一中學2023-2024學年高二上學期期末

考試數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合人={尤，-3x<0},3={1,2,3,4},則僅A)B=()

A.{4}B.{3,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3}

2.已知復數z滿足2z-W=l+3i，則三=()

1

A.-1+iB.1-iC.1+iD.-1-i

22

3.若方程」r-工=1表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數機的取值范圍為()

4-m\+m

A.(-oo,-2)B.(-2,-1)

C.(-2,2)D.(—1,1)

4.兩平行直線4：x+y—1=0和，2：x+y-3=o之間的距離為()

A.y[iB.2C.2V2D.3

13

4=()

5.等比數列{”“}的前〃項和為s“，若％yn%,53=y,則公比

A.3B.-C.3或工D.2

33

6'函數"尤)=寄才的部分圖象大致是

7.已知向量m=,且m_L平面_1_平面B,若平面a與平面0的夾角

的余弦值為逆，則實數/的值為()

3

11、1

A.—或—1B.—或1C.—1或2D.—

252

8.在平面直角坐標系中，已知圓+(y-a『=/(q>0),&(_3,0),若圓C上

存在點P,使得|網=2儼。|,則正數。的取值范圍為()

A.(0,1]B.[1,2]

C.[石,2]D.[1,3+26]

二、多選題

9.若直線平面。，且直線。不平行于平面a.給出下列結論正確的是()

A.a內的所有直線與。異面B.a內存在直線與。相交

C.a內存在唯一的直線與。平行D.a內不存在與。平行的直線

10.在等差數列｛%｝中，其前”的和是S“，若q=-9,1=3,貝U()

A.｛4｝是遞增數列B.其通項公式是g=3〃-12

C.當S“取最小值時，〃的值只能是3D.S"的最小值是-18

22

11.設點招，工分別為橢圓C：/+[=1的左、右焦點，點尸是橢圓C上任意一點，若使

得罰『尸工=機成立的點恰好是4個，則實數加的取值可以是()

A.1B.3C.5D.4

12.已知拋物線C：/=12x,點產是拋物線C的焦點，點P是拋物線C上的一點，點M(4,3),

則下列說法正確的是()

A.拋物線C的準線方程為x=-3

B.若|尸尸|=7,則APM尸的面積為

試卷第2頁，共4頁

C.|P同一|RW|的最大值為加

D.APMF的周長的最小值為7+M

三、填空題

13.設a,6為單位向量，且|a+b|=l,貝！)|a-b|=.

14.過點A(3,-l)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是-

15.已知四位數4521,任意交換兩個位置的數字之后，兩個奇數相鄰的概率為.

16.已知各項均為正數的遞增等差數列｛q｝,其前“項和為S"，公差為d,若數列｛后｝也

Q

是等差數列，則％+S的最小值為.

四、解答題

17.已知等差數列｛4｝的前〃項和為S”*=15,兀=222.

⑴求｛4｝的通項公式；

⑵若b?=——，求數列也｝的前〃項和T?.

anan+\

18.已知圓C:尤2+_/+7噂+④+1=0,直線4：彳一y一1=0,l2：x-2y=0,且直線乙和乙均

平分圓C.

(1)求圓C的標準方程

(2)直線瓜+y+a-2百=0與圓C相交于Af,N兩點，且NMCN=120。，求實數。的值.

19.在VABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設VA3C的面積為S,且滿足

22

S=^-^+b-c).

⑴求角C的大小；

(2)求sinAsinB的最大值.

22

20.已知雙曲線C：—-4=1(b>0),直線/與雙曲線C交于尸，。兩點.

2b2

(1)若點(4,0)是雙曲線C的一個焦點，求雙曲線C的漸近線方程；

⑵若點P的坐標為卜6,0),直線/的斜率等于1,且忸。|=|,求雙曲線C的離心率.

21.如圖，在長方體ABCD-ABGA中，AB=AAl=4,A0=2,AE=^AB.

⑴證明：AC平面。口石；

(2)求直線D,E與平面DEC,所成角的正弦值.

22

22.已知橢圓C:7+方=：1,〉人〉。)的短軸長和焦距相等，長軸長是2拒.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)直線/與橢圓C相交于P,。兩點，原點0到直線/的距離為華.點M在橢圓C上,

UUL1ULUIuum

且滿足OM=OP+OQ,求直線/的方程.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案BBAACABDBDABD

題號1112

答案BDACD

1.B

【分析】解出集合A、B,利用補集和交集的定義可求得集合（9A）CB.

【詳解】因為A={無產_3無<0}=30<元<3},貝|%4={尤|婦0或轉3},

因此，（aA>3={3,4}.

故選：B.

2.B

【分析】設復數z,由題設條件求得z=l+i,最后代入所求式即得.

【詳解】設2=。+歷（aeR,6eR）,則』="歷，

由2z-W=o+3歷=l+3i，可得a=6=L

miz1+i1.

貝!）二=二-=1-i.

11

故選：B

3.A

F尤2I—1—Z72>0

【分析】原方程可變形為‘-----J=l，根據已知有“，八，解出即可.

-m-1m--4[-4+m->0

22

【詳解】因為方程」r-工=1表示焦點在y軸上的雙曲線，

4-m1+m

上y-上=1可變形為上-----J=L

4-m1+m-m-1m-4

-l-m>0m+1<0

所以有即解得m<-2.

-4+m2>0m2-4>0

故選：A.

4.A

【分析】利用平行線間距離公式計算即得.

【詳解】平行直線4：x+y-1=。和4：x+y-3=。之間的距離d=

答案第1頁，共12頁

故選：A

5.C

【分析】利用等差數列的通項公式，化簡求出電，判斷qwi,利用前〃項和公式表示S3,

聯立方程即可解出4.

【詳解】數列｛%｝為等比數列，設首項為q,公比為4,根據題意有q

13

即=l①，所以電=1，若0=1,則有$3=3,與$3=可不符，所以4*1,

/3]收4=1

所以邑="?")=與②,聯立①②兩式有：，40-/)_13，即

j311F=5

q(j)(l+q+q)：”,-10^+3=0,解得4=3或4=1

1-q~33

故選：C

6.A

【分析】根據函數的奇偶性及。<尤時，/。)>。進行排除即可得解.

【詳解】因為/(無)=等二，所以"-尤)=-/(尤)，所以f(x)是奇函數，圖象關于原點對

稱，所以B,D錯誤，

當0<x<?時，/(%)>0,所以C錯誤.

故選A.

【點睛】本題主要考查了識別函數圖像，一般從以下幾個方面進行選擇即可：奇偶性，定義

域，特殊值，極限值，屬于基礎題.

7.B

【分析】利用向量的夾角公式列方程求解即可

【詳解】因為“2=(12-1),〃=1,-7)

所以“2?77=2+2t,|//z|==A/1+2/2,

因為辦平面“平面夕，若平面a與平面夕的夾角的余弦值為咨

\2+2t\2A/2解得^^或1.

所以化簡得5產一6/+1=0

后，1+2/

答案第2頁，共12頁

故選：B

8.D

【分析】設P(x,y)，根據條件得到(X-1)2+y2=4,從而將問題轉化成(X-1)2+V=4與圓c

有交點，再利用兩圓的位置關系即可求出結果.

【詳解】設P(x?),則由|以|=2|叫，得到J(x+3)2+y2=2jf+y2,

整理得到(x-l)2+y2=4,又點在圓C上，所以0-1)2+產=4與圓C有交點，

又(尤-以+:/=4的圓心為(1,0),半徑為廠=2,圓C的圓心為(〃,〃)，半徑為R="，

所以|2-a|wJg-lA+a?w2+a,解得lVaV3+2百，

故選：D.

9.BD

【分析】由題意可判斷直線。與平面。相交，即可判斷。內的直線與。的位置關系，即得答

案.

【詳解】由直線。0平面a,且直線。不平行于平面a,

可知直線。與平面a相交，設交點為。，

則平面a內必存在過點。的直線，這些直線與a相交，故A錯誤，B正確；

假設a內存在直線與a平行，由于直線平面則直線。平行于平面a,

與題意矛盾，則a內不存在與“平行的直線，C錯誤，D正確，

故選：BD

10.ABD

【分析】由公差的正負性判斷等差數列的單調性，由首項、公差寫出等差數列通項公式，進

而可得前”項和公式，即可判斷各選項的正誤.

【詳解】由d=3>0,可知等差數列伍」為遞增數列，A正確；

由題設，an=—V)d=—9+3(n—1)=3n—12,B正確;

2)4，故當〃=3或4時，S“取最小值且為一18,故C

Jw———

“222

錯誤，D正確.

故選：ABD

答案第3頁，共12頁

11.BD

【分析】首先設點P（%%）,得到助=（—2-%,—%）,尸耳=（2-%,—%）,結合點尸在橢圓

上得到其=罔」，若成立的點有四個，則/在（-3,3）有兩實數解，

則有0〈怨9m—一9＜9,解出其范圍結合選項即得.

4

【詳解】設P（9%）,：耳（一2,0）,6（2,0）,.?.助=（一2-%,一%）,尸鳥=（2-%,一%）,

22

由防.尸另=利可得君+尤=?7+4,又：點P在橢圓C上，即無+與=1,

...片=3，2,要使得尸勺嗨=加成立的點恰好是4個，則0＜二寧＜9,解得1＜相＜5.

故選：BD

12.ACD

【分析】根據拋物線的標準方程可得準線方程為了=-3,即可判斷A,根據拋物線定義得到

%＞=4,故尸點可能在第一象限也可能在第三象限，分情況計算三角形面積即可判斷B,利

用三角形任意兩邊之差小于第三邊結合三點一線的特殊情況即可得到

二.（|尸刊-］「河|）2=性團，計算即可判斷C,三角形PMF的周長

=\PM\+\MF\+\PF\=\PM\+\PF\+4IO,再結合拋物線定義即可求出1PMi+1尸產I的最小值,

即得到周長最小值.

【詳解】.y=i2x,"=6,.一（3,0）,準線方程為x=-3,故A正確；

根據拋物線定義得附|=無「%＞+3=7,巧.=4,"（4,3）,

PM//y軸，當x=4時，y=±4石，

若尸點在第一象限時，此時尸（4,4力），

-1Q

故尸—3,△PMF的IWJ為1,故S「MF=—3卜1=2^/5—萬，

若點P在第四象限，此時尸（4,-4石），故尸加=46+3,

△PMF的高為1,故5M=；x（4』+3）xl=2石+：,故B錯誤；

\PF\-\PM\＜\MF\,（|PF|-1PM|）max=\MF\=J（4-3）?+（3-Op=質，故C正確；

（連接月0,并延長交于拋物線于點P,此時即為12巴-1尸加1最大值的情況，

答案第4頁，共12頁

圖對應如下)

過點尸作準線，垂足為點。,

APMF的周長=歸河|+\MF\+\PF\=\PM\+\PF\+^10\PM\+\PD\+y/lO,

若周長最小，則1PM+忸。長度和最小，顯然當點尸,位于同一條直線上時，忸時+|畫|

的和最小,

此時1PM+0陽=|尸4=7,

故周長最小值為7+故D正確.

故選：ACD.

13.G

【分析】整理已知可得：+而+,再利用。力為單位向量即可求得2Q2=-1，對

1-0變形可得：|"_"|=，,|_2。2+忖，問題得解.

【詳解】因為〃1為單位向量，所以同=網=1

所以卜+0="〃+〃)='忖+2々2+忖=12+2a.b=1

解得：2a-b=-l

所以卜-0=《(a—b)=^|a|-2a-Z?+|z7|=石

故答案為：出

【點睛】本題主要考查了向量模的計算公式及轉化能力，屬于中檔題.

14.x+3y=0或x+y-2=0.

【解析】分截距為0以及截距不為0兩種情況分別求解即可.

答案第5頁，共12頁

【詳解】當截距為。時，滿足在兩坐標軸上的截距相等.此時設直線方程為丁="，則

-1=3%n左=一：,故y=，化簡得x+3y=0.

當截距不為0時,設直線方程為土+1=1,則°+匚=1n。=2.故;+W=1,化簡可得

aaaa22

x+y-2=0.

故答案為：x+3y=0或x+y-2=°.

【點睛】本題主要考查了根據直線的截距關系式求解直線方程的問題，需要注意分截距為0

與不為0兩種情況進行求解.屬于基礎題.

15.-/0.5

2

【分析】利用列舉法列出所有可能結果，再由古典概型的概率公式計算可得.

【詳解】4521任意交換兩個數的位置之后有：5421,2541,1524,4251,4125,4512,

共6種,

兩個奇數相鄰有1524,4251,4512共3種，

所以兩個奇數相鄰的概率為5.

故答案為：—

2

16.3

【分析】根據｛。“｝為等差數列，求出s“=￡/+-?卜，又"+[4一g]為等差數列，

結合等差數列通項公式的特征，得到生=：,從而利用基本不等式求出答案.

【詳解】因為｛七｝為等差數列，且”>0,

d2(d、

故c=—n-5r,

則橫+]q-弓｝為等差數列，即要能化成一個關于n的一次函數,

則有％一■|=。，,

|71.|8d8等+3心產3》2口1,

貝！Ja,+------=—+-------

d+22d+2

當且僅當T="=2時’等號成立,

答案第6頁，共12頁

Q

故4+3的最小值為3?

d+2

故答案為：3

17.(l)a?=3?-1

⑵4=31

O9〃+6

【分析】（1）根據公式法求解即可；

（2）由于優丁1-J｝］，根據裂項相消求和即可解決.

313〃一13〃+2）

【詳解】⑴由題知，等差數列｛%｝的前凡項和為sa,S3=154=222,

降，+出+%=15（a.+d=5

所以&=12（“；％）=222,叫2%+nd=37'

所以為=2+(“-1)-3=3九-1,

所以｛%｝的通項公式為%=3〃-1；

(2)由(1)得，an=3n-l,

11=1(1______

所以么=〃〃(〃〃)

44+1(3-1).(3+2)33-13+2

所以方=上1]]__!_L1__!_

3n+2)_3_23n+2_69n+6

所以數列也｝的前〃項和北.

69〃+6

18.(1)(A:-2)2+(J；-1)2-4

(2)a=]或a=—3

【分析】（1）根據直線4和4均平分圓c,可知兩條直線都過圓心，通過聯立求出兩條直線

的交點坐標，由此得到圓心坐標即可得到圓的標準方程.

（2）根據NMCW=120。，及△MOV為等腰三角形可得到NCMV=30,可得圓心到直線的距

離，=小也/。^,再根據點到直線的距離公式即可求出實數a的值.

答案第7頁，共12頁

【詳解】（1）因為直線4和4均平分圓c,所以直線4和4均過圓心c,

x—y—1=0%=2

因為，解得y],所以直線4和4的交點坐標為（2,1）,

所以圓心C的坐標為（2,1）,

-y,--

--=2

m=-4

所以，解得

n=-2

--=1

I2

所以圓C的方程為尤2+V-4x-2y+l=0,即（x-2）?+（y-11=4,

所以圓C的標準方程為（x-2）2+（y-以=4.

（2）由（1）得圓C的標準方程為（x-2y+（y-l）2=4,圓心C（2,l）,半徑廠=2,

因為NMOV=120。，且△MOV為等腰三角形，所以NCMN=30，

因為|CM|=|CN|=r,

所以圓心C到直線底+y+a-2有=0的距離d=rsin/C跖V=2sin30=1,

+l+a-2制卜+“

根據點到直線的距離公式d==1

J（國+F2

HP|a+l|=2,解得a=l或a=-3,

所以實數。的值為。=1或。=一3

71

19.⑴C=§

⑵:

【分析】（1）由5=與（片+〃-02）,利用余弦定理和面積公式化簡得tanC=6,可求角C

的大小；

（2）由5出村!12=$也公出目一4）,利用三角恒等變換化簡得;sin（2Aq]+；,結合角

_7TTT

A的范圍可知，當2A-：=二，sinAsinB取最大值.

62

答案第8頁，共12頁

【詳解】(1)由S+〃一。2)可知，—absinC=^-x2abcosC.

4v724

所以tanC=JL

TT

因為OVCVTT,所以C=1.

(2)由已知sinAsinB=sinAsin(TT-C-A)

[3

=sinAsiny-Aj=sinA5+公

22

7

小.CA\…11/4兀11

=—sin2A—cos2AH—=—sin2A—H—.

4442I4

因為0<A<",所以一

3o66

TTTTTT3

所以當2A—￡=￡,即A=￡時，sinAsin5取最大值:,

6234

3

所以sinAsin5的最大值是—.

4

20.(1)y=±V7x

⑵半

【分析】（1）利用雙曲線的焦點坐標及標準方程，結合雙曲線中a,"c三者的關系及雙曲線

的漸近線方程即可求解.

（2）根據已知條件及直線的點斜式方程，將聯立雙曲線方程與直線方程，利用韋達定理及

點在直線上，結合兩點間的距離公式及雙曲線的離心率公式即可求解.

【詳解】（1）;點（4,0）是雙曲線C的一個焦點，；.c=4,

22

又,/C=片+/且〃2-2,解得Z?=14,

22

???雙曲線C的方程為土-二=1,

214

；?雙曲線C的漸近線方程為y=土用x；

（2）設直線/的方程為y=x+0且

y=尤+夜,

聯立尤2，可得伊_2產_4缶_4_2/=0,

A，

12

答案第9頁，共12頁

則一庭+%=言'..?王=與等’即％=%+點=2-Jlb1

b2-2

+玉）一+才=4陷=1

c414

解得廿=,,即由°2="+廿可得02=二，

y/14

故雙曲線C的離心率為_c_忑_層.

否=亍

21.⑴證明見解析；

⑵西

63

【分析】（1）建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，再利用空間位置關系的向量證明推

理即得.

（2）利用（1）中坐標系，求出平面。EG的法向量，再利用線面角的向量求法求解即可.

【詳解】（1）在長方體ABCD-中，以。為坐標原點，向量DA,DC,DR分別為x,y,z

軸建立空間直角坐標系，

有。(0,0,0),A(2,0,0),8(2,4,0),C(0,4,0),E(2,l,0),2(0,0,4),。(0,4,4),

則AC=(-2,4,0),DE=(2,1,0),DD}=(0,0,4),AC-DE=(-2)x2+4x1=0,ACDDX=0,

因此AC_LDE,AC±DDt,又DEIDD、=D,DE,平面￡>AE,

所以AC_L平面DDXE.

(2)設平面的法向量為相=(x,y,z),由。E=(2,l,0),DC,=(0,4,4),

答案第10頁，共12頁

DEm=2x+y=0

有〈，取x=l,得加=(1,—2,2),

DCX-m=4y+4z=0

設直線RE與平面DEC,所成的角為d,而=（-2,-1,4）

則sin6=|cos(ED,,m)|=回「川8_8721

721x3-63

\EDx\\m\

所以直線RE與平面OEC1所成角的正弦值為等

22.(1)^+/=1

3333

(2)y=2x+—^y=2x-—^y=-2x+—^y=-2x-—

【分析】（1）根據題意求出。力，即可得解；

（2）分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，當斜率存在時，設直線/的方程為>=區+機，

/、/、/、UUULUL1UULUU

尸（石,％）,。（%,%）,?（%,%），聯立方程,利用韋達定理求出馬+々，再根據QW=QP+OQ，

求出Af點的坐標，由M在橢圓上，可得左J