浙江省紹興市紹興一中2025屆高二數學第一學期期末統考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是雙曲線的左焦點，為右頂點，是雙曲線上的點，軸，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．已知平面上兩點，則下列向量是直線的方向向量是（）A. B.C. D.3．如圖，在棱長為2的正方體中，點P在截面上（含邊界），則線段的最小值等于（）A. B.C. D.4．過，兩點的直線的一個方向向量為，則（）A.2 B.2C.1 D.15．中，，，分別為三個內角，，的對邊，若，，，則（）A. B.C. D.6．某大學數學系共有本科生1500人，其中一、二、三、四年級的人數比為，要用分層隨機抽樣的方法從中抽取一個容量為300的樣本，則應抽取的三年級學生的人數為（）A.20 B.40C.60 D.807．執行下圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A.5 B.6C.7 D.88．拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，記{兩次的點數均為奇數}，{兩次的點數之和為8}，則（）A. B.C. D.9．設集合，，則（）A. B.C. D.10．已知圓與直線至少有一個公共點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.11．在下列函數中，最小值為2的是（）A. B.C. D.12．如圖，面積為的正方形中有一個不規則的圖形，可按下面方法估計的面積：在正方形中隨機投擲個點，若個點中有個點落入中，則的面積的估計值為，假設正方形的邊長為，的面積為，并向正方形中隨機投擲個點，用以上方法估計的面積時，的面積的估計值與實際值之差在區間內的概率為附表：A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點F是拋物線的焦點，點，點P為拋物線上的任意一點，則的最小值為_________.14．若橢圓的一個焦點為，則p的值為______15．若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是__________16．已知，為橢圓C的焦點，點P在橢圓C上，，則的面積為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現1次故障，出現故障時需1名工人進行維修，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的，每臺機器出現故障的概率為（1）若出現故障的機器臺數為X，求X的分布列；（2）已知一名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現故障或出現故障時能及時維修，都產生5萬元的利潤，否則將不產生利潤．若該廠在雇傭維修工人時，要保證在任何時刻多臺機器同時出現故障能及時進行維修的概率不小于90%，雇傭幾名工人使該廠每月獲利最大？18．（12分）如圖，已知橢圓：（）的左、右焦點分別為、，離心率為.過的直線與橢圓的一個交點為，過垂直于的直線與橢圓的一個交點為，.（1）求橢圓的方程和點的軌跡的方程；（2）若曲線上的動點到直線：的最大距離為，求的值.19．（12分）已知圓的圓心為，且圓經過點（1）求圓的標準方程；（2）若圓：與圓恰有兩條公切線，求實數的取值范圍20．（12分）已知函數.（Ⅰ）求的單調遞減區間；（Ⅱ）若當時，恒成立，求實數a的取值范圍.21．（12分）（1）敘述正弦定理；（2）在△中，應用正弦定理判斷“”是“”成立的什么條件，并加以證明.22．（10分）已知集合，（1）若，求m的取值范圍；（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，求m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據條件可得與，進而可得，，的關系，可得解.【詳解】由已知得，設點，由軸，則，代入雙曲線方程可得，即，又，所以，即，整理可得，故，解得或（舍），故選：C.2、D【解析】由空間向量的坐標運算和空間向量平行的坐標表示，以及直線的方向向量的定義可得選項.【詳解】解：因為兩點，則，又因為與向量平行，所以直線的方向向量是，故選：D.3、B【解析】根據體積法求得到平面的距離即可得【詳解】由題意的最小值就是到平面的距離正方體棱長為2，則，，設到平面的距離為，由得，解得故選：B4、C【解析】應用向量的坐標表示求的坐標，由且列方程求y值.【詳解】由題設，，則且，所以，即，可得.故選：C5、C【解析】利用正弦定理求解即可.【詳解】，，，由正弦定理可得，解得，故選：C.6、C【解析】根據給定條件利用分層抽樣的抽樣比直接計算作答.【詳解】依題意，三年級學生的總人數為，從1500人中用分層隨機抽樣抽取容量為300的樣本的抽樣比為，所以應抽取的三年級學生的人數為.故選：C7、C【解析】直接按照程序框圖運行即可得正確答案.【詳解】當時，不成立，時，不成立，時，不成立，時，不成立，時，不成立，時，不成立，時，不成立，時，成立，輸出的值為，故選：C.8、B【解析】利用條件概率公式進行求解.【詳解】，其中表示：兩次點數均為奇數，且兩次點數之和為8，共有兩種情況，即，故，而，所以，故選：B9、C【解析】根據集合交集和補集的概念及運算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，根據補集的運算，可得，所以.故選：C.10、C【解析】利用點到直線距離公式求出圓心到直線的距離范圍，從而求出的取值范圍.【詳解】圓心到直線的距離，當且僅當時等號成立，故只需即可.故選：C11、C【解析】結合基本不等式的知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，時，為負數，A錯誤.對于B選項，，，，但不存在使成立，所以B錯誤.對于C選項，，當且僅當時等號成立，C正確.對于D選項，，，，但不存在使成立，所以D錯誤.故選：C12、D【解析】每個點落入中的概率為，設落入中的點的數目為，題意所求概率為故選D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】根據拋物線的定義可求最小值.【詳解】如圖，過作拋物線準線的垂線，垂足為，連接，則，當且僅當共線時等號成立，故的最小值為3，故答案為：3.14、3【解析】利用橢圓標準方程概念求解【詳解】因為焦點為，所以焦點在y軸上，所以故答案：315、1【解析】根據三視圖可得如圖所示的幾何體，從而可求其體積.【詳解】據三視圖分析知，該幾何體為直三棱柱，且底面為直角邊為1的等腰直角三角形，高為2，所以其體積故答案為：116、##【解析】設，然后根據橢圓的定義和余弦定理列方程組可求出，再由三角形的面積公式可求得結果【詳解】由，得，則，設，則，在中，，由余弦定理得，，所以，所以，所以，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）雇傭3名【解析】（1）設出現故障的機器臺數為X，由題意知，即可由二項分布求解；（2）設該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，先求出保證在任何時刻多臺機器同時出現故障能及時進行維修的概率不小于90%需要至少3人，再分別計算3人，4人時的獲利即可得解.【小問1詳解】每臺機器運行是否出現故障看作一次實驗，在一次試驗中，機器出現故障的概率為，4臺機器相當于4次獨立試驗設出現故障的機器臺數為X，則，，，，，，則X的分布列為：X01234P【小問2詳解】設該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，設“在任何時刻多臺機器同時出現故障能及時進行維修”的概率為，則：n01234P1∵，∴至少要3名工人，才能保證在任何時刻多臺機器同時出現故障時能及時進行維修的概率不小于90%當該廠雇傭3名工人時，設該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為17，12，，，∴Y的分布列為：Y1712P∴，∴該廠獲利的均值為16.9萬元當該廠雇傭4名工人時，4臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修的概率為100%，該廠獲利的均值為萬元∴若該廠要保證在任何時刻多臺機器同時出現故障能及時進行維修的概率不小于90%時，雇傭3名工人使該廠每月獲利最大18、（1）橢圓的方程為，點的軌跡的方程為（2）【解析】（1）由題意可得，求出，再結合，求出，從而可得橢圓的方程，設，則由題意可得，坐標代入化簡可得點的軌跡的方程，（2）由題意結合點到直線的距離公式可得，設，將直線方程代入橢圓方程中消去，整理利用根與系數的關系，由，可得，因為，代入化簡計算可求得答案【小問1詳解】由題意得，解得，則，所以橢圓的方程，設，則由題意可得，所以，所以，所以點軌跡的方程為【小問2詳解】由（1）知曲線是以原點為圓心，1為半徑的圓，因為曲線上的動點到直線：的最大距離為，所以，得，設，由，得，所以，，因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以，，所以，得，得（舍去），或19、（1）；（2）.【解析】(1)根據給定條件求出圓C的半徑，再直接寫出方程作答.(2)由給定條件可得圓C與圓O相交，由此列出不等式求解作答.【小問1詳解】依題意，圓C的半徑，所以圓的標準方程是：.【小問2詳解】圓：的圓心，半徑為，因圓與圓恰有兩條公切線，則有圓O與圓C相交，即，而，因此有，解得，所以實數的取值范圍是.20、（Ⅰ）單調遞減區間為；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求函數的導函數，求的區間即為所求減區間；（Ⅱ）化簡不等式，變形為，即求，令，求的導函數判斷的單調性求出最小值，可求出的范圍.【詳解】（Ⅰ）由題可知.令，得，從而，∴的單調遞減區間為.（Ⅱ）由可得，即當時，恒成立.設，則.令，則當時，.∴當時，單調遞增，，則當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.∴，∴.【點睛】思路點睛：在函數中，恒成立問題，可選擇參變分離的方法，分離出參數轉化為或，轉化為求函數的最值求出的范圍.21、（1）正弦定理見解析；（2）充要條件，證明見解析【解析】（1）用語言描述正弦定理，并用公式表達正弦定理（2）利用“大角對大邊”的性質，并根據正弦定理進行邊角互化即可【詳解】（1）正弦定理：在任意一個三角形中，各邊和它所對角的正弦值之比相等且等于這個三角形外接