山西省翼城中學2025屆高二上數學期末統考模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數的圖象在點處的切線與直線平行，若數列的前項和為，則的值為（）A. B.C. D.2．已知圓柱的底面半徑是1，高是2，那么該圓柱的側面積是（）A.2 B.C. D.3．已知，，點為圓上任意一點，設，則的最大值為（）A. B.C. D.4．已知向量是兩兩垂直的單位向量，且，則（）A.5 B.1C.-1 D.75．我國古代數學名著《算法統宗》記有行程減等問題：三百七十八里關，初行健步不為難次日腳痛減一半，六朝才得到其關．要見每朝行里數，請公仔細算相還．意為：某人步行到378里的要塞去，第一天走路強壯有力，但把腳走痛了，次日因腳痛減少了一半，他所走的路程比第一天減少了一半，以后幾天走的路程都比前一天減少一半，走了六天才到達目的地．請仔細計算他每天各走多少路程?在這個問題中，第四天所走的路程為（）A.96 B.48C.24 D.126．已知等比數列的前項和為，若，，則（）A.20 B.30C.40 D.507．數列中，，，．當時，則n等于（）A.2016 B.2017C.2018 D.20198．已知橢圓，則橢圓的長軸長為（）A.2 B.4C. D.89．已如雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，過的直線交雙曲線的右支于A，B兩點，若，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．已知命題，，若是一個充分不必要條件，則的取值范圍是（）A. B.C. D.11．函數的極大值點為（）A. B.C. D.不存在12．我國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一段記載：“一百八十九里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關.”其大意為：“有一個人共行走了189里的路程，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達目的地.”則該人第一天行走的路程為（）A.108里 B.96里C.64里 D.48里二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，則對角線的長度為___.14．已知為等比數列的前n項和，若，，則_____________.15．若關于的不等式的解集為R，則的取值范圍是______.16．在棱長為2的正方體中，點P是直線上的一個動點，點Q在平面上，則的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）求的單調區間；（2）討論的零點個數.18．（12分）已知等比數列中，，數列滿足，（1）求數列的通項公式；（2）求證：數列為等差數列，并求前項和的最大值19．（12分）已知點F為拋物線：（）的焦點，點在拋物線上且在x軸上方，.（1）求拋物線的方程；（2）已知直線與曲線交于A，B兩點（點A，B與點P不重合），直線PA與x軸、y軸分別交于C、D兩點，直線PB與x軸、y軸分別交于M、N兩點，當四邊形CDMN的面積最小時，求直線l的方程.20．（12分）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答.設數列的前項和為，且__________.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.21．（12分）已知正項數列的前項和滿足（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.22．（10分）已知二次函數，令，解得.（1）求二次函數的解析式；（2）當關于的不等式恒成立時，求實數的范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】函數的圖象在點處的切線與直線平行，利用導函數的幾何含義可以求出，轉化求解數列的通項公式，進而由數列的通項公式，利用裂項相消法求和即可【詳解】解：∵函數的圖象在點處的切線與直線平行，由求導得：，由導函數得幾何含義得：，可得，∴，所以，∴數列的通項為，所以數列的前項的和即為，則利用裂項相消法可以得到：所以數列的前2021項的和為：.故選：A.2、D【解析】由圓柱的側面積公式直接可得.【詳解】故選：D3、C【解析】根據題意可設，再根據，求出，再利用三角函數的性質即可得出答案.【詳解】解：由點為圓上任意一點，可設，則，由，得，所以，則，則，其中，所以當時，取得最大值為22.故選：C.4、B【解析】根據單位向量的定義和向量的乘法運算計算即可.【詳解】因為向量是兩兩垂直的單位向量，且所以.故選：B5、C【解析】每天所走的里程構成公比為的等比數列，設第一天走了里，利用等比數列基本量代換，直接求解.【詳解】由題意可知：每天所走的里程構成公比為的等比數列.第一天走了里，第4天走了.故選：C6、B【解析】根據等比數列前項和的性質進行求解即可.【詳解】因為是等比數列，所以成等比數列，即成等比數列，顯然，故選：B7、B【解析】根據已知條件用逐差法求得的通項公式，再根據裂項求和法求得，代值計算即可.【詳解】因為，，則,即，則，故，又，即，解得.故選：B.8、B【解析】根據橢圓的方程求出即得解.【詳解】解：由題得橢圓的所以橢圓的長軸長為.故選：B9、A【解析】先作輔助線，設出邊長，結合題干條件得到，，利用勾股定理得到關于的等量關系，求出離心率.【詳解】連接，設，則根據可知，，因為，由勾股定理得：，由雙曲線定義可知：，，解得：，，從而，解得：，所以，，由勾股定理得：，從而，即該雙曲線的離心率為.故選：A10、A【解析】先化簡命題p，q，再根據是的一個充分不必要條件，由q求解.【詳解】因為命題，或，又是的一個充分不必要條件，所以，解得，所以的取值范圍是，故選：A11、B【解析】求導，令導數等于0，然后判斷導數符號可得，或者根據對勾函數圖象可解.【詳解】令，得，因為時，，時，，所以時有極大值；當時，，時，，所以時有極小值.故選：B12、B【解析】根據題意，記該人每天走的路程里數為，分析可得每天走的路程里數構成以的為公比的等比數列，由求得首項即可【詳解】解：根據題意，記該人每天走的路程里數為，則數列是以的為公比的等比數列，又由這個人走了6天后到達目的地，即，則有，解可得：，故選：B.【點睛】本題考查數列的應用，涉及等比數列的通項公式以及前項和公式的運用，注意等比數列的性質的合理運用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】利用，兩邊平方后，利用向量數量積計算公式，計算得.【詳解】對兩邊平方并化簡得,故.【點睛】本小題主要考查空間向量的加法和減法運算，考查空間向量數量積的表示，屬于中檔題.14、30【解析】根據等比數列性質得，，也成等比，即可求得結果.【詳解】由等比數列的性質可知，，，構成首項為10，公比為1的等比數列，所以【點睛】本題考查等比數列性質，考查基本求解能力，屬基礎題.15、【解析】分為和考慮，當時，根據題意列出不等式組，求出的取值范圍.【詳解】當得：，滿足題意；當時，要想保證關于的不等式的解集為R，則要滿足：，解得：，綜上：的取值范圍為故答案為：16、【解析】數形結合分析出的最小值為點到平面的距離，然后利用等體積法求出距離即可.【詳解】因為，且平面，平面，所以平面，所以的最小值為點到平面的距離，設到平面的距離為，則，所以，即，解得，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調遞增區間是和，單調遞減區間是（2）時，有1個零點；或時，有2個零點；時，有3個零點.【解析】（1）求解函數的導數，再運用導數求解函數的單調區間即可；（2）根據導數分析原函數的極值，進而討論其零點個數.【詳解】（1）因為，所以由，得或；由，得.故單調遞增區間是和，單調遞減區間是.（2）由（1）可知的極小值是，極大值是.①當時，方程有且僅有1個實根，即有1個零點；②當時，方程有2個不同實根，即有2個零點；③當時，方程有3個不同實根，即有3個零點；④當時，方程有2個不同實根，即有2個零點；⑤當時，方程有1個實根，即有1個零點.綜上，當或時，有1個零點；當或時，有2個零點；當時，有3個零點.18、(1)；(2)證明見解析，10.【解析】(1)設出等比數列的公比q，利用給定條件列出方程求出q值即得；(2)將給定等式變形成，再推理計算即可作答.【詳解】(1)設等比數列的公比為q，依題意，，而，解得，所以數列的通項公式為；(2)顯然，，由得：，所以數列是以為首項，公差為-1的等差數列，其通項為，于是得，由得，而，則數列前4項都為非負數，從第5項起都是負數，又，因此數列前4項和與前3項和相等并且最大，其值為，所以數列前項和的最大值是10.19、（1）；（2）或.【解析】(1)根據給定條件結合拋物線定義求出p即可作答.(2)聯立直線l與拋物線的方程，用點A，B坐標表示出點C，D，M，N的坐標，列出四邊形CDMN面積的函數關系，借助均值不等式計算得解.【小問1詳解】拋物線的準線：，由拋物線定義得，解得，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】因為點在上，且，則，即，依題意，，設，，由消去并整理得，則有，，直線PA的斜率是，方程為，令，則，令，則，即點C，點D，同理點M，點N，則，，四邊形的面積有：，當且僅當，即時取“=”，所以當時四邊形CDMN的面積最小值為4，直線l的方程為或.20、（1）答案不唯一，具體見解析（2）答案不唯一，具體見解析【解析】（1）若選①：根據，利用數列通項與前n項和的關系求解；若選②：構造利用等比數列的定義求解；（2）根據（1）得到，再利用錯位相減法求解.【小問1詳解】解:若選①：，當時，，當時，滿足上式，故若選②：易得于是數列是以為首項，2為公比的等比數列，【小問2詳解】若選①：由（1）得，從而，，作差得，于是若選②由（1）得，從而，，作差得，于是21、（1）（2）【解析】小問1：利用通項公式與的關系即可求出；小問2：根據(1)可得，結合錯位相減法即可求出前n項和【小問1詳解】當時，，.當時，，…①，，…②①②得：，即：.，是以為首項，以為公差的等差數列，；【小問2詳解】由（1）可知，則，…①兩邊同乘得：，…②①②得：，.22、（1）；（2）.【解析】（1）利用一元二次不等式的解集是，得到