考向1函數圖像的判斷

福題是現

【母題來源】2021年中考山東威海卷

【母題題文】(2021?威海)如圖，在菱形ABC。中，AB=2cm,/。=60。，點尸，。同時從

點A出發，點P以\cmls的速度沿A-C-D的方向運動，點。以2c7Ms的速度沿A-B-C

-O的方向運動，當其中一點到達。點時，兩點停止運動.設運動時間為x(s),AAP。的

面積為y(o〃2),則下列圖象中能大致反映y與x之間函數關系的是()

DC

AQB

/3

BLzKZL

0123x

<3_____?

0122.5x。123x

【答案】A

【試題解析】??,四邊形ABCD為菱形，

???AB=BC=CD=DA=2cm,NB=ND=60。.

:?△ABC、^ACD都是等邊三角形，

ZCAB=ZACB=ZACD=60°.

如圖1所示，當0<x<l時，AQ=2xcm,AP=xcm,

作PE_LAB于E,

73、

PE=sinZPAExAP=—x(cm),

2

11FF

；?y二一AQ?PE=—x2xX——X=——x2?

2222

故D選項不正確;

如圖2,當1VXS2時，AP=xcm,CQ=(4-2x)cm,

作QF±AC于點F,

AQF=sinZACB-CQ

.11J3J3

2

?*y二一?AP?QF=—xX—(4-2x)=-------x+

2222

故B選項不正確;

如圖3,當2Vxg3時，CQ=(2x-4)cm,CP=(x-2)cm,

PQ=CQ-CP=2x-4-x+2=(x-2)cm,

作AG±DC于點G,

??.AG=sinNACD?AC

,11J3

,,y=一?AG-PQ=-X\/3(x-2)=----x-A/3?

故C選項不正確，故選：A.

【命題意圖】側重函數圖像的判斷，注重數形結合思想的培養。

【命題方向】考查動點函數的圖像，分段討論函數的解析式，進而得出函數圖像，設問形式

以選填為主。

【得分要點】解函數圖象判斷題目的兩種方法：

（1）列函數解析式判斷函數圖象:求出函數解析式，再找對應的函數圖象,要注意是否需要分類

討論自變量的取值范圍；

（2）直接根據幾何量的變化趨勢判斷函數圖象:找出起點和終點，分清整個過程分為幾段，根據

每段的增減變化趨勢來判斷函數圖象.

考向2函數圖像的分析

福題呈現

【母題來源】2021年中考廣西玉林卷卷

【母題題文】（2021?玉林）圖（1）,在RtaABC中，NA=90。，點尸從點A出發，沿三角

形的邊以Ion/秒的速度逆時針運動一周，圖（2）是點P運動時，線段AP的長度y（c相）

隨運動時間x（秒）變化的關系圖象，則圖（2）中尸點的坐標是（）

y(cm)

A°------力81318―x(f1)

(1)(2)

A.(13,4.5)B.(13,4.8)C.(13,5)D.(13,5.5)

【答案】C

【試題解析】由圖象可知：AB=8,BC=18-8=10,

當x=13時，即點運動了13>8,

.??此時點P在線段2C上，2尸=13-8=5,

則P點為2C的中點，

1

又因為NA=90。，所以AP=_BC=5.

2

所以圖（2）中產的坐標為（13,5）.故選：C.

【命題意圖】動點問題的函數圖象問題，主要考查學生的分析能力以及數形結合思想.

【命題方向】考查了動點問題的函數圖象分析，為中考熱點題型，主要通過函數圖像中的拐

點建立函數關系模型進行解答，設問形式以選填為主.

【得分要點】解函數圖象分析題目的方法：

（1）分清函數圖象的橫、縱坐標軸代表的量；

（2）找出函數圖象特殊點對應的幾何圖形；

（3）結合特殊點的坐標和幾何圖形的性質解決問題.

1.（2021?宛城區二模）如圖①，點C是以點。為圓心、為直徑的半圓上的一個動點（可

以與點A、8重合），過點C作于。，連結C4設。1的長為x,8的長為》圖

②是點C運動過程中y與x之間的函數關系的圖象，其中最高點M的坐標是（）

3)D.(2乜，3)

【解析】由圖象得A8=4,.?.圓。的半徑為2,

當點D和點。重合時，CD最大,

此時CD為圓0的半徑，；.y=2,

當y=2時，尤=y/AD2+CD2=^22+22=2",

.?.點M的坐標為（2乜，2）,故選：B.

2.（2021?汝陽縣二模）如圖①，在等邊三角形48c中，點。是邊BC上一動點（不與點B,

C重合），以為邊向右作等邊AAOE,邊。E與AC相交于點F,設8O=x,CF=y,若y

與x的函數關系的大致圖象如圖②所示，則等邊三角形ABC的面積為（）

2

3

圖①圖②

B.5\/3C.^/3D.痹

【答案】D

【解析】VAABC,△ADE為等邊三角形,

：.ZB=ZADE=60°,

"：ZADE+ZCDE=NB+NBAD,

：.ZCDE=ZBAD,

又：NB=NC=60°,/.AABD^ADCF,

ABBD

??---=----,

CDCF

AB—BC—a,BD—x,CF—y,

aX1

--------=-，即y=-x(a-x).

a-xya

aa3

?,.當x=一時，y取得最大值為一=一，

42

."=6；.等邊三角形ABC的面積為J!。2=94.故選：D

4

3.（2021?海城市模擬）如圖，菱形A8CC的邊長為2cm,動點E,尸同時從點A都以Icro/s

的速度出發，點E沿A-8—C路線，點廠沿A-O-C路線運動，連接￡咒設運動時間為

ts,AAEF的面積為Sew?,則下列圖象中能大致表示S與f的函數關系的是（）

AB

?(cm)f(cm)

A工，9b4H

i\>f(s)

f(cm)f(cm)

7b4,，

D

C>r24k(s)o'24X(s)

【答案】c

【解析】當0</<2時，如圖1,連接BD,過點D作DHLAB,垂足為點H,過點F作

FG±AB,垂足為點G,

A-^EHB

圖1

2

由選項知，當t=2時，S^AEF-S^ABD=A/3cm,

1

:..AB?DH=J3,

2

1

：.-X2DH=J3,

2

：.DH=B

在RsAHD中，

DH

VsinA=——=—,

AD2

/A=60。，

在RtAAFG中,

FG

*.*sinA-------,

AF

.*.FG=Z*sin60°二——t,

2

11J3J3

.".S=S/^AEF--AE*FG-—/?--t=——flcrrf-,

2224

.??拋物線開口向上，排初3、。選項;

當2c云4時，如圖2,過點8作8NLOC,過點E作EMLOC,垂足分別為點N、M,

易知CE=CF=4-t,DF=t-2,

:四邊形ABC。是菱形,

/C=ZDAB^60°,在RtACAfE中,

ME=CE^sinC=(4-力?sin60°二0…

2

?SAAEF=S菱形ABCD-SACEF~S^ADF-S^ABE,

1113

.'.S=2xJ3-——旦…——x(L2)Xy13——x----(4

22222

-o]

—貯＜0,.?.拋物線開口向下，排除A選項，故選：C.

4

4.（2021?澗西區三模）如圖①，在菱形A5CZ）中，ZZ）=120°,點E是A5的中點，點尸

是對角線AC上一動點，設尸C=x,PE+PB=y,圖②是y關于x的函數圖象，且圖象上最

低點。的坐標為（」-,2J3）,則菱形A8C￡＞的邊長為（）

3

A.2C.2#D.4

【答案】D

【解析】-：B,。關于直線AC對稱，

二連接。尸，PB=PD,

DC

三

AE遂

圖①

當。、P、E三點共線時，尸石+尸3的值最小，最小值為。區

JPB+PE=PD+PE=DE,

8出L8群廣

'：Q（―-,用）,：.PC=」_,DE=3

33

:四邊形ABC。為菱形，。8為對角線，ZD=120°,

1

AZADB=ZCDB=-ZADC=60°,AD=AB,

2

.?.△ABO為等邊三角形,

?.?點E為AB中點,

：.ED±AB,：.ZEDB=30°,

EBJ3

tanZEPB-------=-----

ED3

J3

：.EB=—X275=2,：.AB=2BE=4,故選：D.

3

5.（2021?河北一模）如圖，在AABC中，NBAC=90。，AB^AC,AM是AABC中線，D是

8C邊上一點（點。不與點8、C重合），連接A。，作于點A,且剛=D4,連接

BF交AM于點E,設8D=x,ME=y,則y與x的大致圖象是（）

【答案】A

【解析】連接CF

JBA=CA

在"BD和"C/中，4BAD=Z.CAF,

,AD=AF

：.^ABD^/\ACF（SAS）,

ZACF=ZABD=45°,CF=BD,

：.CF±BC,

J.CF//ME,又：加是BC的中點，

是ABCP的中位線，

111

ME——CF——BD,y――xf

222

???關系式對應的圖象為經過原點的直線，故選：A.

6.（2021?安徽模擬）如圖，在菱形A8C。中，/A=60。，點P從A點出發，沿A—8—C

方向勻速運動，過點尸作PQ〃8D交菱形的另一邊于點。，設點尸的運動路程為x,&PCQ

的面積為y,則y與x之間的函數圖象可能為（）

【答案】C

【解析】如圖，連接AC,AC與P。交與點E,AC與BD交與點、F,

當P在AB上時，

二?四邊形ABC。是菱形，...ACLBD,

又,：PQ//BD,：.AC±PQ,

CE是三角形PCQ在尸。邊上的高，

由菱形的性質得AP=A。，

???/B4Q=60。，...三角形AP。是等邊三角形，

：.PQ^AP^x,NAPE=60。，

AEpp、

sin60°=-----=——,.".AE=—x，設AC=%，

AP22

該部分是開口向下的二次函數,

當尸在BC上時，設菱形的邊長為m

J3J3

則PC=2a-x,則PQ=CE=—(-x)=y^a——x.

22a2

1J3J3

--y=-x(V^a--%)x(2a-x)=—x2-Wax+平a2’

224

該部分是開口向上的二次函數，只有C選項符合題意，故選：C.

7.（2021?安徽模擬）如圖，在菱形ABCO中，ZB=60°,AB=6,動點P從點8出發，以

每秒1個單位長度的速度沿折線BA^AC^CD運動到點D,設尸CP2,運動時間為尤秒，

則下列圖象能大致反映y與x之間函數關系的是（）

【答案】D

【解析】當0<x<6時，過點尸作于點E,

由題意得：BP—x,

在菱形ABC。中，N2=60。，AB=6,

：.AB=BC=CD=AD=6,ZB=ZD=60°,

：.AABC和AADC都是等邊三角形，：.AC=AB=6,

J31

在Rt^SPE中，PE=BP'sinZB=t*sm60°=——x,BE=BP'cosZB=/,cos60°=—x,

22

1

:.CE=BC-BE=6x,

2

J31

.,.y—CP2—PE2+CE2—(-~x)2+(6----x)2—x2-6x+36—(x-3)2+27；

22

它的圖象是拋物線，對稱軸為直線x=3,頂點坐標為(3,27)；

當6c爛12時，CP^n-x,

'.y=CP2=(12-尤)2=a-24x+144；

它的函數圖象為拋物線對稱軸左側的一部分，并且開口向上；

當12〈爛18時，CP=x-12,

.,.y=CP2=(x-12)2=/-24x+144；

它的函數圖象為拋物線對稱軸右側的一部分，并且開口向上；

所以選項O正確.故選：D.

B

8.（2021?嘉魚縣模擬）如圖，在邊長為4的等邊AABC中，點尸從A點出發，沿A—BTC—A

的方向運動，到達A點時停止.在此過程中，線段AP的長度y隨點P經過的路程x的函數

圖象大致是（）

【解析】由題意可知，當點P從點4運動到點8時，AP的長度y隨x的增大而增大；當

點尸從B運動到2C的中點時，y隨x的增大而減??；且當x=6時，y的值最小，故可

排除選項B與選項D-,

當點P從的中點運動到點C時，y隨x的增大而增大；當點尸從C運動到A時，y

隨尤的增大而減小，最后減小至0,且x=4和尸8時，y的值相等，故選項A符合題意，

選項C不合題意.故選：A.

9.（2021?潁州區模擬）如圖，四邊形ABC。中，ZA=ZD=90°,AB=6cm,AD=4c”z.點

E沿A-3移動，同時點尸沿A-。移動，且速度都為1cm/秒，設點E,尸移動的時間為心

（其中0SE4）,"EF的面積為yc機2,則y關于％的函數圖象大致是（）

【答案】D

【解析】由題意得AP=x,AE=x,.,.BE=6-x,

11

由三角形的面積公式得：y-—?x-(6-x)=--x2+3x，

22

該函數是二次函數，且開口向下，

當x=3時，y=4.5,只有D選項符合題意，故選：D.

10.(2021?花都區三模)如圖1,在菱形ABC。中，AB=6,NBAO=120。，點E是BC邊

上的一動點，點尸是對角線8。上一動點，設尸。的長度為羽PE與PC的長度和為y,圖

2是y關于龍的函數圖象，其中H(a,b)是圖象上的最低點，則a+b的值為()

【答案】A

【解析】如下圖，在邊上取點巧，使得BE和3?關于對稱,

連接PE1，得PC+PE=PC+PE>

連接CEi，作垂足為場，

由三角形三邊關系和垂線段最短知,

PE+PC=PEi+PQCEECE2,

即PE+PC有最小值CE2,

菱形ABC。中，AB=6,ZBAD=120°,

在RtABE2c中，ZE2BC=60°,解得。石2=34,

'：H（a,b）是圖象上的最低點

'.b=y=PE+PC=CE2='iy[3>

此時令CE2與BD交于點P2,

由于BE2=3,在RtABP2E2中，

BP2=24,BD=6）=

又小,.".P2￡4A/3,

又尸￡）的長度為x,圖2中b）是圖象上的最低點，

:.a=P[D=4小,又6=34，a+b—Ty[3,故選：A.

11.（2021?瑤海區二模）如圖，直線°、6都與直線/垂直，垂足分別為E、F,EF=1,正

方形ABC。的邊長為乜，對角線AC在直線/上，且點C位于點E處，將正方形ABC。沿/

向右平移，直到點A與點尸重合為止，記點C平移的距離為無，正方形ABC。位于直線。、

。之間部分（陰影部分）的面積為y,則y關于x的函數圖象大致為（）

【解析】①當0WE1時，如圖1,

圖1

設平移后的正方形交直線a于點G、H,

則EC=尤，AGHC為等腰直角三角形，故GH=2x,

11

則>=SAHGC=—xEC-GH-為開口向上的拋物線;

22

②當1〈爛2時，如圖2,

設平移后的正方形交6于點M、N交a于點、GH,

則zWGH、△MNC均為等腰直角三角形，

1

則y=S正方形4BCD-(SANGH+S&MNC)=(也)2——[(2-X)(2-無)x2-2x(x-1)

2

(x-1)]=-2X2+6X-3；該函數為開口向下的拋物線；

1

③當2〈止3時，同理可得：y=(3-x)x2(3-x)x-=x2-6x+9,

2

該函數為開口向上的拋物線；故選：B.

12.(2021?通州區模擬)如圖,在RtAABC申,ZC=90°,BC=4,AC=8.動點E與動點

D同時從點C出發，點。沿線段CB以1單位長度/秒的速度運動，點E沿線段CA以2單

位長度/秒的速度運動，當其中一個點到達端點時，另一個點也停止運動.以CE,C。為邊

作矩形CAPE,若設運動時間為x秒(0<x<4),矩形C0FE與AABC重合部分的面積為y,

則下列能大致反映y與x的函數關系的圖象是()

【解析】當0M2時，如題干圖，

y=CE>CD=2x>x=2x2,該函數為開口向上的拋物線;

8

則8￡>=2C-CD=4-x,則HD=B￡)tan2=(4-x)x-=8-2x,

4

貝ijHF=DF-DH=CE-DH=2x-(8-2無)=4尤-8,貝UGF=2x-4,

1

貝Uy=S五邊形CDHGE=S矩形CDFE-SAGHF=2X?X-----x(2x-4)(4尤-8)=-2x?+16x-16,

2

該函數為開口向下的拋物線，故選：A.

13.(2021?常州一模)如圖1,點/從菱形A8CD的頂點A出發，沿A-B-D以lcm/s的

速度勻速運動到點。，圖2是點尸運動時，△F￡)C的面積y(cm2)隨時間尤(s)變化的關

圖1圖2

A.aB.3C.2〃D.5

【答案】D

【解析】過點。作。EL8c于點E,

DC

FEB

由圖象可知，點尸從點A到8用磁，AFDC的面積為2訛7層.

11

.\AB=a,；?一AB，DE-—a-DE=2a,/.DE=4,

22

當/從B到D時，用為品，..田。=為后，

R3O8E中，BE=加2_0尸=J6病2_42=2,

"."ABCD是菱形，.'.AE=a-2,AD=a,

Rt^ADE中,a2=42+（a-2）2,解得a=5.故選：D.

14.（2021?長豐縣二模）如圖，在矩形ABC。中，AB=3、AD=4,直線MN從點。出發，

沿。-A方向以每秒1個單位長度的速度運動，且該直線平行于對角線AC,與邊（或

AByCD（或BC）所在直線分別交于點M、N,設直線MN的運動時間為f（秒），XDMN

的面積為y,則y關于f的函數圖象是（）

133

【解析】當0＜爛4時，y=—x—x=—%2;

248

當4V爛8時，y=

11333

12---x3(x-4)--x4x—x(x-4)-(8-x)(6---x)=---x2+3x，由以上分析可

22448

知，這個分段函數的圖象左邊為拋物線的一部分且開口方向向上，右邊為拋物線的一部分，

開口方向向下.故選：D.

15.（2021?龍灣區模擬）如圖1,R3ABC中，BC=2,AC=4,正方形CD斯的頂點。、F

分別在AC、8C邊上，C、。兩點不重合，設C。的長度為x,ZiABC與正方形CDEP重疊

部分的面積為》已知y與尤之間的函數關系如圖2所示，則a的值是（）

A.-B.1C.-D.-

333

【答案】c

【解析】如圖，尤=。時，點E落在AB上，

'：ED//BC.EF//AC,

：.LBFEs△EZMsAfiCA,

BFED2-aa4

---=----,即------=------,解得a--.故選：C.

EFDAa4-a3

16.（2021?博山區二模）如圖，等腰AABC中，ZACB=90°,AC與正方形。EFG的邊。E

在同一直線上，AC=DE=2,開始時點C與點D重合，讓AABC沿直線。E向右平移，到

點A與點￡重合時停止.設C。的長為x,AABC與正方形。EEG重合部分的面積為》則

能表示了與尤之間關系的圖象大致是（）

【答案】A

【解析】設C。的長為X,AABC與正方形。EFG重合部分（圖中陰影部分）的面積為必

111

當C從。點運動到E點時，即0SE2時,y=—X2X2--(2-X)X(2-X)=--/+2x,

222

11

當A從。點運動到E點時，即2V爛4時，>=_工[2-(x-2)]x[2-(x-2)]=一

22

1

--x2+2x(0<x<2)

4x+8,與x之間的函數關系y1,

—x2-4x+8(2<x<4)

由函數關系式可看出A中的函數圖象與所求的分段函數對應.故選：A.

17.（2021?河南模擬）如圖1,正方形ABC。中，點￡為A3的中點，連接CE,動點尸從A

點出發，沿A3-BC-C。運動，同時，動點。從A點出發，沿AD向點。運動，P,。兩

點同時到達點。，設點尸的運動時間為x（s）,ZkAP。的面積為y（。/），則y關于尤的函

3拜

數圖象如圖2,當AAP。與ACBE全等時，ZJP的長為_/__。加

一2—

【解析】由圖2可知點尸的速度是點。的三倍，

1

當點尸到C點時，S^APQ=-AQCD^

22

,/點P的速度是點。的三倍，：.AQ=-AD=—CD，

33

12

—X—?CD2=3>解得CZ>=3（-3舍去），

23

.,.正方形的邊長為3cro,BE=1.5cm,CE-^32+i52=------cm,

2

點P的速度是3cmls,點Q的速度是Icm/s,

設t秒時AAP。與4CBE全等，

若點尸在AB上，則AP=3A。，但BC=2BE,不滿足題意，

若點P在BC上，則/AQP=90。，

：.BC=QP,AQ=BE,

3

：.t,此時點尸為BC的中點，

2

3-34

:?PD=32+（—）2=---------cm,

J2，2

3拜

當尸在CQ上時，AAP。不可能是直角三角形，故答案為，

2

18.（2021?梁園區一模）如圖1,E為矩形ABC。邊上的一點，點尸從點B沿折線BE

-ED-DC運動到點C時停止.點Q從點B沿BC運動到點C