單元檢測（八）立體幾何

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的）

1.設a,/是兩個不同的平面，則a，/的充要條件是（）

A.平面a內任意一條直線與平面￡垂直

B.平面a,夕都垂直于同一條直線

C.平面a,乃都垂直于同一平面

D.平面a內存在一條直線與平面￡垂直

2.經過一個圓柱體上底面圓的一條直徑作兩個平面分別與下底面圓相切，則圓柱體在

這兩個平面以下的部分就構成一個正劈錐體（如圖），現將此幾何體水平放置，從如圖所示的

方向觀察該幾何體（正視方向所在的直線平行于所作兩個平面的交線），則其正視圖、側視圖、

俯視圖的形狀分別為（）

A.梯形、長方形、圓

B.三角形、長方形、圓

C.梯形、梯形、圓

D.三角形、梯形、圓

3.設/、“2、w表示不同的直線，a、或、y表示不同的平面，給出下列四個命題:

①若m〃/,且則/J_a；

②若aJ_￡,m//a,〃_!_￡,則，w_L〃；

③若/〃a,且相〃a,則/〃wz；

④若機_L〃，n//P，則a_L￡.

則正確的命題個數為（）

A.4B.3C.2D.1

4.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱的長度為（）

俯視圖

A.2y/2B.3C.忻D.2小

5.在正方體ABCO-AiBCQi中，下列說法中正確的是（）

D,

G

A.AC與BiC是相交直線且垂直

B.AC與小。是異面直線且垂直

C.BDi與BC是相交直線且垂直

6.如圖，正方體428—42〈1。中，點￡,歹分別是AB,AQi的中點，。為正方形

AI1CD1的中心,則（）

A.直線ERAO是異面直線

B.直線EF,8B1是相交直線

C.直線EP與8G所成的角為30。_

D.直線EF,881所成角的余弦值為當

7.如圖①，已知是直角梯形，AB//PC,AB1BC,。在線段PC上，AD±PC.

如圖②，將沿AQ折起，使平面也。，平面ABC。，連接尸8,PC,設尸8的中點為

N.對于圖②，下列選項錯誤的是（）

A.平面BW_L平面PBC

B.8C_L平面PZJC

C.PD±AC

D.PB=2AN

8.在矩形A8CZ）中，BC=4,M為BC的中點，將和△ZJCM分別沿AM,DM

翻折，使點B與點C重合于點P,若乙4尸。=150。，則三棱錐M-PAD的外接球的表面積

為（）

A.12兀B.34兀C.68兀D.126兀

9.劉徽《九章算術注》記載：“邪解立方有兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉

腌，陽馬居二，鱉席居一，不易之率也”.意思是：把一長方體沿對角面一分為二，這相同

的兩塊叫做塹堵，沿塹堵的一頂點與其相對的棱剖開成兩塊，大的叫陽馬，小的叫鱉腌，兩

者體積之比為定值2：1,這一結論今稱劉徽原理.如圖是一個陽馬的三視圖，則其外接球

的體積為（）

1

主視圖左視圖

俯視圖

A.4nB.3it

C.y[3nD.卓n

10.已知直三棱柱ABC—4SG中，ZABC=120°,AB=2,BC=CG=1,則異面直

線ABi與BCi所成的角的正弦值為（）

A.坐B.華

C.華D.9

11.如圖，在四邊形ABCZ）中，AB=BC=2,NABC=90。，DA=DC=,,現沿對角

線AC折起，使得平面D4CL平面ABC,此時點A,B,C,。在同一個球面上，則該球的

體積是（）

A，2兀B.3兀

27

C,~2TiD.1271

12.在三棱錐產一ABC中，平面尸BC_L平面A3C,ZACB=90°,BC=PC=2.^AC=

PB,則三棱錐尸一ABC體積的最大值為（）

A隹B量

i\.?3u?9

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上）

13.如圖，正八面體的棱長為2,則該正八面體的體積為.

14.如圖，四棱臺AiSGDi—ABCD的底面是正方形，Z）Oi_L底面ABC。，DDi=AB=

2AiBi,則直線ADi與BQ所成角的余弦值為.

15.三棱錐P—ABC中，B4_L底面A8C,9=3,在底面ABC中，AB=2,ZC=60°,

則三棱錐P-ABC的外接球的體積等于.

16.將正方形A8C。沿對角線8。折成直二面角，給出下列四個結論：①AB,C。所成

的角為60。；②△AZ5C為等邊三角形；③ACL3。；④與平面BCD所成角60。.其中真命

題是.（請將你認為是真命題的序號都填上）

三、解答題（共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分10分）

如圖，在四棱錐尸一ABCD中，底面ABC。為正方形，且B4,底面ABCD

（1）求證：平面融C_L平面P8。；

（2）若E為棱BC的中點，在棱出上求一點「使8歹〃平面PZJE

18.（本小題滿分12分）

如圖，四邊形A8EE為正方形，AD//BC,AD±DC,AD=2DC=2BC,

⑴求證：點。不在平面CEP內：

（2）若平面ABC。1.平面ABEF,且AD=2,求點D到平面CEF的距離.

19.(本小題滿分12分)

______JT

如圖，圓臺。1。的上底面半徑為1,下底面半徑為2,/OBBi=^,441,231為圓臺

的母線，平面A410。，平面M為281的中點，尸為AM上的任意一點.

(1)證明：BBi±OP；

(2)當點P為線段AM的中點時，求三棱錐Bi-OPB的體積.

20.(本小題滿分12分)

7T

如圖，已知三棱柱ABC—AbBCi的所有棱長均為2,ZB,BA=3.

⑴證明:平面ABCi；

⑵若平面平面ABC,M為4G的中點，求四棱錐BLACGM的體積.

21.(本小題滿分12分)

圖①是矩形ABC。，AB=2,BC=1,M為CD的中點，將△AM。沿AM翻折，得到四

棱錐。一ABCM,如圖②.

(1)若點N為的中點，求證：CN〃平面D4M；

(2)若AD±BM,求點A到平面BCD的距離.

22.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐尸一A3C。中，底面ABCD為正方形，必，底面ABC。，PA=AB,E為

線段尸8的中點，F為線段BC上的動點.

(1)平面AE尸與平面PBC是否互相垂直？如果垂直，請證明；如果不垂直，請說明理由.

(2)若A8=3,尸為線段BC的三等分點，求多面體的體積.

參考答案與解析

1.答案：D

解析：若a_L夕，則平面a內存在直線與平面P不垂直，選項A不正確；若平面a,B

都垂直于同一條直線，則平面a與￡平行，選項B不正確；若平面a,￡都垂直于同一平面，

則平面a,￡可以平行，也可以相交，選項C不正確；若平面a內存在一條直線與平面￡垂

直，則根據面面垂直的判定定理，可知若則由面面垂直的性質定理知，平面

a內垂直于兩個平面的交線的直線一定垂直于平面￡,故選項D正確.

2.

正視方向

答案：B

解析：由題意知，正劈錐體的模型如圖所示，按照題圖的視角觀察，其正視圖的形狀為

三角形，側視圖的形狀為長方形，俯視圖的形狀為圓.

3.答案：D

解析：①根據“垂直于同一平面的兩條直線互相平行”知，若m〃l,且加，a,則/La

正確；故①正確，

②若a_L￡,m//a,則機J_w錯誤，當機〃w時，也滿足前面條件；故②錯誤，

③若/〃a,且機〃a,貝1/〃機不一定正確，有可能相交，也有可能異面；故③錯誤，

④若"z_L”,n//P，則a_LQ不一定成立，有可能平行.故④錯誤，

故正確的個數為1.

4.答案：B

解析：在棱長為2的正方體中，根據三視圖，截取四棱錐尸一ABC。如圖所示.

根據三視圖可得，AB=\,PD=2,AD=2.

根據立體圖形可知，最長邊為尸區

連接在RtaADB中，根據勾股定理得

DB2=AD2+AB2=22+12=5,

在RtAPDB中，根據勾股定理得PB2=PD2+DB2=4+5=9,

所以尸8=3.

故該幾何體的最長棱的長度為3.

5.答案：D

解析：

連接ABi,則△ABiC為等邊三角形，則AC與SC是相交直線且所成角為60。，故A錯

誤；

因為4￡>〃BiC,所以AC與4。是異面直線且所成角為60。，故B錯誤；

連接CA,因為BCJ_平面。AG,所以BCUCA,所以應與8C所成角為銳角，

故C錯誤；

連接BQ1,因為AC_LB。，AC±DDi,且8。門。。1=。，所以ACJ_平面8￡)。囪，

則AC_LB￡)i,則AC與BDi是異面直線且垂直，故D正確.

6.答案：C

解析：易知四邊形AEOF為平行四邊形，所以直線EF,AO相交，直線EF,BBi是異

面直線，直線EF,281所成角的余弦值為坐，選項C正確.

7.答案：A

解析：由A8〃PC,AB±BC,ADI.PC,

得AO〃BC.

'：AD±PD,AD±DC,PDCDC=D,；.4￡>_1平面尸。C.

AAD//BC,；.BC_L平面尸DC,；.B正確.

:平面平面ABC。，平面力。。平面48Cr>=A。，PD±AD,ABLAD,：.PD±

平面ABC。，平面出。.：ACu平面ABCD,：.PD±AC,；.C正確.

由AB_L平面E4D,得A2_L%,...△B43是直角三角形.又PB的中點為N,：.PB=2AN,

AD正確.

8.答案：C

解析：由題意可知，MPLPA,MPLPD.

且B4npD=P,B4u平面P4D,POu平面E4。，所以MP_L平面RID

設△AZ)尸的外接圓的半徑為「，則由正弦定理可得.藝pc=2丫,

sinNAPD

4

即而1而="、所以〃=4.

設三棱錐M—的外接球的半徑為R,貝!!(2R)2=尸河2+⑵)2,

即(2R)2=4+64=68,所以爐=17,

所以外接球的表面積為4兀7?2=68兀

9.答案：D

p

解析：根據幾何體的三視圖知，該“陽馬”是底面對角線長為也的正方形，一條長為

1的側棱與底面垂直的四棱錐，將該四棱錐補成長方體，長方體的外接球與四棱錐的外接球

相同，球直徑等于長方體的對角線長，即2R=7(陋)2+1=小，R丹,

球體積為V=17tT?3=7i.

答案:C

解析：如圖，將題中的直三棱柱補形成一個直四棱柱ABC。一AiSCiOi,連接AA,易

知所以是直線與8Q所成的角或者其補角.連接囪。，在△AQd

中，&修=、22+12=小,AOI=^12+12=陋,BiD1=^/22+12-2X2X1XCOS60°二小,

ADi+BiDj=5=ABi,ADllBiDl,sinZB}AD[=^^=華.因此，異面直線ABi

與8cl所成的角的正弦值為華，故選C.

11.答案：A

解析：如圖，取AC的中點E,連接QE,BE,

因為AO=CD,所以。E_LAC,

因為平面ZMC_L平面ABC,平面D4CC1平面ABC^AC,OEu平面DAC,

所以OE_L平面ABC,

因為NABC=90。，所以棱錐外接球的球心O在直線OE上，

因為A8=8C=2,ZABC=90°,DA=DC=y/6,

所以BE=AE=CE=JAC=W,DE=yjAD2-AE2=2,

設OE=x,則00=2—x,OB=yjBEP+OE2=迎+2,

所以2—x=、f+2,解得x=T,

13

所以外接球的半徑為r=2-x=2-1=|,

外接球的體積為V=^y-=yx(|)3=y.

12.答案：D

解析：如圖，取尸3中點M,連接CM.

?.?平面尸8CJ_平面ABC,平面P8CC平面ABC=BC,ACu平面ABC,ACLBC,：.AC±

平面PBC.

設點A到平面PBC的距離h—AC—lx.

,:PC=BC=2,PB^Ix(0<x<2),M為PB的中點,

：.CM±PB,4T,

SAPBC~2X2xXy/4—W=r\/4—x2.

i____2x2>\/4—x2

VA-PBC=^X(x^—x2)X2x=-------

設片也一X2(0<Z<2),則/=4一戶.

2t(4一產)Sf-2/3

=(0</<2).

VA-PBC3

,8,一2戶8—6Z2

對y=?0</<2求導，何g，

???函數在1o,明上單調遞增，在然，2)

上單調遞減.

當，=平時，(M—PBC)max=若小.

13.答案：平

解析：正八面體可看成由上、下兩個相同的正四棱錐組成的，由棱長為2,可得每個正

四棱錐的斜高為、22—1=小，高為產工=^2,則該正八面體的體積為2義2；—X2

8啦

―3'

14?分安.■3

解析：設的中點為E,連接即1,則易知BE//CiDi,BE=GP,四邊形EBCD

是平行四邊形，???8G〃EDi,，NADiE為直線AA與BCi所成的角.：四邊形ABC。是正

方形，.?.8A_LAD,底面A8CZ),又A￡)nQd=D,平面AAi。。，

：.BA±ADi,△AEDi是直角三角形.設O￡>i=A8=248i=2a,貝!I他川心+宙=

N(2a)2+(2a)1=2吸a,EDi—yjAD^+AE2—yj(2-\/2a)2+cz2—3a,.'.cosNADiE

ADi2^2

=EA=3,

達建安43后

15.口木：54兀

解析：設G為△ABC外接圓圓心，。為三棱錐尸一ABC外接球球心，

則OG_L平面ABC,作OMLPA,垂足為M

由正弦定理可知△ABC外接圓直徑:

AB24^j

2r=2AG=

sinZBCA.兀—3

sin3

:以！.平面ABC,OG_L平面ABC,J.AP//OG

又0M_LB4,AGLPA,：.OM//AG

四邊形0MAG為矩形，；.OG^AM

設OG=x,OP=OA=R

卜+'=/?2卜=1

在Rt^OMP和RtZ\0G4中，由勾股定理可得:，，，解得：《,一

I-會[“曙

三棱錐P—A8C外接球體積：V=|n7?3=43^29兀

16.答案：①②③

解析：在①中：：將正方形ABCO沿對角線8。折成直二面角，得到四面體A—BCD,

設AB=BC=C￡)=A￡)=2,

取3。中點。，AC中點E,BC中點尸，連結A。，CO,OF,OE,EF,

貝1OA=OC=g,且。A_LOC,：.OE=^AC=1,

由三角形中位線定理得。尸=；CD=1,AB^l,且。尸〃CD,EF//AB,

：.ZEFO^AB,CD所成的角，

：.0F=EF=0E=l,.?.△EPO是等邊三角形，ZEFO^60°,

.".AB,CO所成的角為60。，故①正確；

在②中：VOA=OC=V2,且。A_LOC,：.AC=yj2+2=2,

：.AC=CD=AD=2,

.?.△ADC為等邊三角形，故②正確；

在③中：'：AB=BC=CD=AD,。是中點，

：.A0±BD,CO±BD,又AOnCO=O,.?.3。_1面40。，

VACcWAOC,：.AC±BD,故③正確；

在④中：：4一8。一C是直二面角，AO1BD,

平面BDC,：.ZABO是AB與平面BCD所成角，

'."AO^BO,：,ZAB(9=45°,

.二AB與平面BCD所成角為45。，故④錯誤.

17.解析：(1)證明：因為出_L底面ABC。，BDc.^ABCD,所以B4_L8D；又底面

ABC。為正方形，所以8Z)_LAC,ACDPA=A,所以8O_L平面出C,又8￡)u平面尸80,所

以平面B4C_L平面得證.

(2)如圖所示，取出的中點。，PD的中點H,連接8。、QH.HE,

所以會有Q8〃A。，AD,又2E〃A￡),BE=3AD,

所以QH〃BE且QH=BE,

所以四邊形BQHE為平行四邊形，

所以BQ〃EH,BQQ面PDE,EHu面PDE,

所以2。〃平面POE,

所以。點，即為我們要找的尸點.

18.解析：

(1)證明：(反證法)假設點。在平面CEB內.

設C,D,E,尸四點確定的平面為a.因為四邊形為正方形，所以EF〃AB.因為平

面ABC。與平面A8EF不重合，所以E/過平面ABCD,又ABu平面ABCZ),所以EF〃平面

A8CD因為EFu平面a,平面aCl平面48CD=C￡),所以E尸〃CD；所以4B〃CDAB,CD

為直角梯形ABC。的兩腰，不可能平行，故假設不成立.點D不在平面CEP內.

(2)取A。中點H,連接HEHC,由AO=2BC,所以AH=8C,且A//〃BC,所以

AHCB為平行四邊形，：.HC//AB且HC=AB,

'：AB//EF,且AB=EF,/.C,H,E,尸共面，

SACHD=3X1X1=2'型=/，FH=y[3,CH=^2,CF=y)FA2+CA2=市，

222

FH+CH-CF1

所以cosZCHF=

2FHCHy[6'

:.SACHF=WFH-CHsinZ.CHF=~^.由VD-CHF=VF-CH。得;IISACHF—^E\-SACHDF

故D到平面CEF的距離是邛

解析：（1）證明：取OB中點N,連接NS,OBi,OM,

因為圓臺。1。的下底面半徑為2,上底面半徑為1,ON=NB=1,

IT

所以B1NL03,又因為NOBS=§,所以△OBI為正三角形，

于是213=20=021=2.

因為M為囪8中點，所以SB_LOM,

因為平面AAQiO_L平面8B1。。，OrO±OA,

所以AO_L平面22101。，平面B6010,

所以OALBBi,

又因為OACOM=O,所以88」平面OAM,又因為OPu平面040,

所以BB」OP.

（2）連接PB,當點P為線段AM的中點時，△0881的面積為:X2X2又當=小.VBi

-OPB=VP~OBBi=^VA~OBBi=^x|XS/\OBBiXAO=^,

A/3

三棱錐8I—OPB的體積為為-.

20.解析：（1）證明：如圖，取AB中點。，連接8。，CD.

KM

:三棱柱的所有棱長均為2,ZBiBA^j,

.?.△ABC和△ABBi都是邊長為2的等邊三角形，且BiC_LBCi,

：.BiD±AB,CD±AB.

,：BiD,CDu平面BCD,BlDHCD=D,

.?.AB_L平面BiCDYBCu平面B{CD,：.AB±BiC.

,：AB,BGu平面ABCi,ABCiBCi^B,/.BIC±￥?ABCi.

（2）,平面A82iAi_L平面ABC,且兩平面的交線為A3,

由（1）BiD±AB,，以。！,平面ABC

方法一VBi-ACCiM=3VBi-AAiM=3W1—AXB{M=3XgS/\AXBYMBXD=1

i3

XIX小Xy[3=1.

方法二VBi-ACCxM=VABC-AxBiCi—VBi-ABC-VA-AxBxM=VABC-AyBxCx一

33111

2VBr-ABC=VABC-AiBiCi-X-VA8C—481G=5儂3C—431cl=5SAABCBD=

；X坐X22XA/3.

21.解析：（1）證明：如圖，取AO中點尸，連接MP,NP.

D

由N,尸分別為BD,AD的中點，得NP//AB且NP=^AB.

又且A/C=3A3,所以MC〃NP且MC=NP,所以四邊形MCNP為平行四邊

形.

所以CN//MP且CNC平面DAM,MPu平面DAM,所以CN〃平面DAM.

(2)如圖，由，BM=p,AB=2,可得

所以

又ADP\AM^A,所以BM_L平面A￡)胚

又平面ABCM,

所以平面ADM1.平面ABCM.

取AA/的中點E,連接DE.

因為AO=Z)M=1,AD±DM,所以。E_LAM,。石=號.又平面AOMCl平面ABCM=

AM,所以。E_L平面ABCM.

1y[2

所以VA-DBC=VD~ABC=2SAABC，DE=.

3

取BC的中點凡連接EB,DF,則所=],EFLBC.

因為。E_L平面A