2024年普通高等學校招生全國統一考試·上海卷（數學）一、填空題(本大題共有12題,滿分54分,第1~6題每題4分,第7~12題每題5分)1.設全集U={1,2,3,4,5},集合A={2,4},則A=.

2.已知函數f(x)=x,x>01,x≤03.不等式x2-2x-3<0的解集為.

4.已知f(x)=x3+a,且f(x)是奇函數,則a=.

5.已知a=(2,5),b=(6,k),a∥b,則k的值為.

6.在(x+1)n的展開式中,若各項系數和為32,則展開式中x2的系數為.

7.已知拋物線y2=4x上有一點P到準線的距離為9,那么點P到x軸的距離為.

8.某校舉辦科學競技比賽,有A,B,C3種題庫,A題庫有5000道題,B題庫有4000道題,C題庫有3000道題.小申已完成所有題,他A題庫的正確率是0.92,B題庫的正確率是0.86,C題庫的正確率是0.72,現他從所有的題中隨機選一題,正確率是.

9.已知虛數z,其實部為1,且z+2z=m(m∈R),則實數m為.10.設集合A中的元素皆為無重復數字的三位正整數,且元素中任意兩者之積皆為偶數,則集合中元素個數的最大值為.

11.海上有燈塔O,A,B,貨船T,如圖,已知A在O的正東方向,B在O的正北方向,O到A,B的距離相等,∠BTO=16.5°,∠ATO=37°,則∠BOT=.(結果精確到0.1°)

12.等比數列{an}的首項a1>0,公比q>1,記In={x-y|x,y∈[a1,a2]∪[an,an+1]},若對任意正整數n,In是閉區間,則q的取值范圍是.

二、選擇題(本大題共有4題,滿分18分,第13~14題每題4分,第15~16題每題5分)每題有且只有一個正確選項.13.已知沿海地區氣溫和海水表層溫度相關,且樣本相關系數為正數,對此描述正確的是A.沿海地區氣溫高,海水表層溫度就高B.沿海地區氣溫高,海水表層溫度就低C.隨著沿海地區氣溫由低到高,海水表層溫度呈上升趨勢D.隨著沿海地區氣溫由低到高,海水表層溫度呈下降趨勢14.下列函數中,最小正周期是2π的是A.y=sinx+cosxB.y=sinxcosxC.y=sin2x+cos2xD.y=sin2x-cos2x15.定義一個集合Ω,其元素是空間內的點,任取P1,P2,P3∈Ω,存在不全為0的實數λ1,λ2,λ3,使得λ1OP1+λ2OP2+λ3OP3=0(其中A.(0,0,0)∈Ω B.(-1,0,0)∈ΩC.(0,1,0)∈Ω D.(0,0,-1)∈Ω16.已知定義在R上的函數f(x),集合M={x0|對于任意x∈(-∞,x0),f(x)<f(x0)},在使得M=[-1,1]的所有f(x)中,下列說法成立的是A.存在f(x)是偶函數 B.存在f(x)在x=2處取到最大值C.存在f(x)在R上單調遞增 D.存在f(x)在x=-1處取到極小值三、解答題(本大題共有5題,滿分78分)解答下列各題必須寫出必要的步驟.17.(本題滿分14分)本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分.如圖,在正四棱錐P-ABCD中,O為底面ABCD的中心.(1)若AP=5,AD=32,求△POA繞PO旋轉一周形成的幾何體的體積;(2)若AP=AD,E為PB的中點,求直線BD與平面AEC所成角的大小.18.(本題滿分14分)本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分.已知函數f(x)=logax(a>0,a≠1).(1)若函數f(x)的圖象過點(4,2),求不等式f(2x-2)<f(x)的解集;(2)若存在x使得f(x+1),f(ax),f(x+2)依次成等差數列,求實數a的取值范圍.19.(本題滿分14分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分4分,第3小題滿分6分.為了解某地初中學生體育鍛煉時長與學業成績的關系,從該地區29000名學生中隨機抽取580人,得到日均體育鍛煉時長(單位:小時)與學業成績的數據如表所示:學業成績日均體育鍛煉時長/小時[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5]優秀5444231不優秀1341471374027(1)該地區29000名學生中日均體育鍛煉時長不小于1小時的人數約為多少?(2)估計該地區初中學生日均體育鍛煉時長(精確到0.1小時).(3)是否有95%的把握認為學業成績優秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關?附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(20.(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分.已知雙曲線Γ:x2-y2b2=1(b>0),左、右頂點分別為A1,A2,過點M(-2,0)的直線交雙曲線Γ于P(1)若Γ的離心率為2,求b.(2)若b=263,△MA2P為等腰三角形,且點P在第一象限,求點(3)連接QO(O為坐標原點)并延長交Γ于點R,若A1R·A221.(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分.已知D是R的一個非空子集,y=f(x)是定義在D上的函數,對于點M(a,b),函數s(x)=(x-a)2+(f(x)-b)2.若對于P(x0,f(x0)),滿足s(x)在x=x0處取得最小值,則稱P是M的“f最近點”.(1)若D=(0,+∞),f(x)=1x,M(0,0),求證:對于點M(0,0),存在點P,使得P是M的“f(2)若D=R,f(x)=ex,M(1,0),請判斷是否存在一個點P,它是M的“f最近點”,且直線MP與曲線y=f(x)在點P處的切線垂直.(3)若D=R,已知y=f(x)是可導的,y=g(x)的定義域為R且函數值恒為正,t∈R,M1(t-1,f(t)-g(t)),M2(t+1,f(t)+g(t)).若對于任意t∈R,都存在曲線y=f(x)上的一點P,使得P既是M1的“f最近點”,又是M2的“f最近點”,試判斷y=f(x)的單調性.參考答案1.{1,3,5}2.33.(-1,3)4.05.156.107.428.0.85(或1720)9.210.32911.7.8°12.[2,+∞)13.C14.A15.C16.17.(1)第1步:利用勾股定理求AO,PO在正四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,且PO⊥底面ABCD,∴△AOD為等腰直角三角形,又AD=32,∴AO∵AP=5,∴PO=AP2第2步:求旋轉體體積∴Rt△AOP繞直角邊PO旋轉一周形成的幾何體是底面半徑為3,高為4的圓錐,∴旋轉體的體積為V=13×π×32×4=12π.(2)第1步:找線面垂直,定線面角如圖,連接OE,∵AP=AD=AB,E為PB的中點,∴PB⊥AE,同理,PB⊥CE,又AE∩CE=E,AE,CE?平面AEC,∴PB⊥平面AEC,∴∠BOE是BD與平面AEC所成的角.第2步:計算線面角的大小設AP=AD=2,則BO=2,BE在△BPD中,E,O分別為BP,BD的中點,∴EO=12PD=12∴△BEO是等腰直角三角形,∴∠BOE=π4,即BD與平面AEC所成角的大小為π418.(1)第1步:代入求a∵f(x)的圖象過點(4,2),∴loga4=2,解得a=2.第2步:研究函數單調性解不等式∴f(x)=log2x,顯然其在定義域(0,+∞)上單調遞增,由f(2x-2)<f(x)有2x-2>0x∴原不等式的解集為{x|1<x<2}.(2)第1步:由等差數列得方程∵f(x+1),f(ax),f(x+2)依次成等差數列,∴2f(ax)=f(x+1)+f(x+2),即2loga(ax)=loga(x+1)+loga(x+2),x>0,a>0,且a≠1,第2步:通過對數運算分離出a2即loga(ax)2=loga[(x+1)(x+2)],由f(x)=logax是單調函數得(ax)2=(x+1)(x+2),得a2=x2+3x+2x2=2×(1x)第3步:運用函數的單調性求范圍設t=1x,則t>0,a2=2t2+3t+1在t>0時有解,設g(t)=2t2+3t+1,則g(t)在(0,+∞)上單調遞增,故g(t)>1,即a2>1,得a∴a的取值范圍是(1,+∞).19.(1)第1步:計算樣本中日均體育鍛煉時長不小于1小時的人數抽取的樣本中日均體育鍛煉時長不小于1小時的人數為42+3+1+137+40+27=250.第2步:按比例估計人數設該地區29000名學生中有x人的日均體育鍛煉時長不小于1小時,則250580=x故該地區29000名學生中日均體育鍛煉時長不小于1小時的人數約為12500.(2)第1步:根據題中表格數據計算該地區初中學生日均體育鍛煉時長依題意得,該地區初中學生日均體育鍛煉時長為(0.25×139+0.75×191+1.25×179+1.75×43+2.25×28)÷580=540÷580≈0.9.第2步:作答所以該地區初中學生日均體育鍛煉時長約為0.9小時.(3)第1步:寫出2×2列聯表對數據重新組合,得到2×2列聯表學業成績日均體育鍛煉時長/小時[1,2)其他合計優秀455095不優秀177308485合計222358580第2步:代入公式計算提出原假設H0:學業成績優秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時無關.確定顯著性水平α=0.05,P(χ2≥3.841)≈0.05,χ2=580×(45×308-177×50)2第3步:得結論原假設不成立,所以有95%的把握認為學業成績優秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關.20.(1)第1步:由雙曲線的方程求a由雙曲線的方程知a=1,第2步:由離心率公式與a,b,c間的基本關系求bc=1+b因為離心率為2,所以ca=1+b21(2)第1步:求出等腰三角形MA2P的腰長當b=263時,雙曲線Γ:x2-3y2因為點P在第一象限,所以∠PA2M為鈍角.又△MA2P為等腰三角形,所以|A2P|=|A2M|=3.第2步:由點在雙曲線上與兩點間距離公式求點P的坐標設點P(x0,y0),且x0>0,y0>0,則(x得x0=2y0=22(3)第1步:設出相關點的坐標由雙曲線的方程知A1(-1,0),A2(1,0),且由題意知Q,R關于原點對稱.設P(x1,y1),Q(x2,y2),則R(-x2,-y2).第2步:設出直線PQ的方程,與雙曲線方程聯立,寫出根與系數的關系設直線PQ的方程為x=my-2.聯立直線與雙曲線的方程得x=my-2x2-y2b2=1,消去x,得(b2m2-1)y2-4b2my+3b2=0,(題眼)且b由根與系數的關系,得y1+y2=4b2mb2m2-1,第3步:由向量的數量積運算求m,b的關系式因為A1R=(-x2+1,-y2),A2P=(x1由A1R·A2P=1,得(-x2+1)(x1-1)-y所以(x2-1)(x1-1)+y1y2=-1,即(my2-3)(my1-3)+y1y2=-1,整理,得(m2+1)y1y2-3m(y1+y2)+10=0,所以(m2+1)·3b2b2m整理,得b2m2+3b2-10=0,所以b2=10m2+3∈(0,第4步:根據m的取值范圍求出b的取值范圍又m2≠1b2,所以b2≠101b2+3=10b23b2+1,得故b的取值范圍是(0,3)∪(3,303].21.(1)第1步:利用基本不等式求s(x)的最小值因為函數f(x)=1x,x∈(0,+∞),M所以s(x)=(x-0)2+(1x-0)2=x2+1x第2步:根據等號成立的條件求點P的坐標當且僅當x2=1x2,x>0,即x=1時,s(x)取得最小值2,f(1)=1,所以故對于點M(0,0),存在點P(1,1),使得P是M的“f最近點”.(2)第1步:求s(x)與s'(x)因為函數f(x)=ex,M(1,0),所以s(x)=(x-1)2+e2x,則s'(x)=2(x-1)+2e2x.第2步:討論s(x)的單調性,求出其最小值,得到“f最近點”記m(x)=s'(x)=2(x-1)+2e2x,則m'(x)=2+4e2x>0,所以m(x)在R上嚴格單調遞增.因為m(0)=s'(0)=0,所以當x<0時,m(x)=s'(x)<0;當x>0時,m(x)=s'(x)>0.所以s(x)在(-∞,0)上嚴格單調遞減,在(0,+∞)上嚴格單調遞增,因此當x=0時,s(x)取到最小值,又f(0)=e0=1,所以點M的“f最近點”為P(0,1).第3步:利用導數的幾何意義求切線斜率,根據兩直線垂直建立方程為判斷直線MP與曲線y=f(x)在點P處的切線是否垂直,可另設P(k,ek),則由f'(x)=ex,知在P(k,ek)處的切線l的斜率為ek,由題意知MP⊥l,因此ek-0k-1=-1ek,整理得第4步:構造函數,根據函數的單調性求出點P的坐標令h(k)=k+e2k-1,易知h(k)在R上嚴格單調遞增,又h(0)=0,所以方程k+e2k-1=0有唯一解k=0,所以點P(0,1).綜上,存在滿足條件的一個點P(0,1).(3)解法一設s1(x)=(x-t+1)2+(f(x)-f(t)+g(t))2s2(于是,對任意x∈R,s1即(x特別地,當x=t時,(x兩式相加,得(x0-t)2+(f(x0)-f(t))2≤0.所以x0=t.另一方面,求導得s'因為si(x)(i=1,2)的最小值點也是極小值點,所以s'1(x0)=0,s'2(x0)=0,即(x兩式相減,得g(t)f'(x0)=-1.代入x0=t,并由g(t)>0,得f'(t)=-1g(t)所以f(x)在R上嚴格單調遞減.解法二第1步:先證MP⊥l先證明一個結論:對于M(a,b),設P(x0,f(x0))為M的“f最近點”,曲線y=f(x)在點P處的切線為l,則MP⊥l.證明:因為s(x)=(x-a)2+(f(x)-b)2,所以s'(x)=2x-2a+2f'(x)(f(x)-b),所以當s(x)在x=x0處取得最小值時,s'(x0)=0,即x0-a+f'(x0)(f(x0)-b)=0,所以f(x0又直線MP的斜率kMP=f(x0)-bx0-a,且切線l所以kMP·kl=f(x0)-bx0-a·f'(x所以MP⊥l.第2步:證明線段M1M2的中點N與點P重合因為?t∈R,M1(t-1,f(t)-g(t)),M2(t+1,f(t)+g(t)),存在對應的點P使得|M1P|2為M1到曲線y=f(x)的距離平方的最小值,|M2P|2為M2到曲線y連接M1M2,因為M1(t-1,f(t)-g(t)),M2(t+1,f(t)+g(t)),所以設線段M1M2的中點為N,則N(t,f(t)),則點N在曲線y=f(x)上.若M1,M2到曲線y=f(x)的距離最小時對應的點P與點N不重合,則|M1P|<|M1N|,|M2P|<|M2N|,所以|M1P|+|M2P|<|M1N|+|M2N|=|M1M2|,這與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾,所以點P與點N必重合.第3步:用結論判斷f(x)的單調性又直線M1M2的斜率為kM1M2=2g(t)2=g(t)>0,kl=f'(t),所以由kM1M2·kl=g(t)·f'(t)=kMP·kl=-1<0,知f'(2024年普通高等學校招生全國統一考試·上海卷（數學）試卷分析一、總體評價本次上海高考數學試卷依據課程標準確定考試內容，立足基礎、梯度合理，以學科核心素養為考查目標，注重考查考生的綜合能力。試卷結構保持穩定，內容分布合理，涵蓋了預備知識、函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動等主題內容。二、題型與考查點分析1.填空題填空題部分主要考查了集合、函數、向量、三角、復數和成對數據樣本相關系數等基本概念，以及二項式定理、全概率公式等基本定理和公式的應用。題目設計注重基礎，要求考生掌握數學基本概念、基礎知識和通性通法。例如，填空題中的復數問題，既體現了復數的本質（一個復數實際上是平面上的一點），又入口寬泛、方法多元，要求考生能夠靈活運用數學知識進行解答。2.選擇題選擇題部分以考查數學基礎知識為主，同時融入了實際情境，如沿海地區氣溫與海水表層溫度的統計關系等，旨在將科學素養和生態環境意識納入考生視野。題目