2024年普通高等學校招生全國統一考試·全國甲卷·理（數學）一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.若z=5+i,則i(z+z)=A.10i B.2i C.10 D.22.已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x∈A},則?A(A∩B)=A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5}3.若x,y滿足約束條件4x-3y-3≥0x-2yA.12 B.0 C.-52 4.記Sn為等差數列{an}的前n項和,已知S5=S10,a5=1,則a1=A.72 B.73 C.-135.已知雙曲線的兩個焦點分別為(0,4),(0,-4),點(-6,4)在該雙曲線上,則該雙曲線的離心率為A.4 B.3 C.2 D.26.設函數f(x)=ex+2sinx1+x2,則曲線A.16 B.13 C.127.函數f(x)=-x2+(ex-e-x)sinx在區間[-2.8,2.8]的圖象大致為A. B.C. D.8.已知cosαcosα-sinαA.23+1 B.23-1C.32 D.1-9.設向量a=(x+1,x),b=(x,2),則A.x=-3是a⊥b的必要條件B.x=-3是a∥b的必要條件C.x=0是a⊥b的充分條件D.x=-1+3是a∥b的充分條件10.設α,β為兩個平面,m,n為兩條直線,且α∩β=m,下述四個命題:①若m∥n,則n∥α或n∥β②若m⊥n,則n⊥α或n⊥β③若n∥α且n∥β,則m∥n④若n與α,β所成的角相等,則m⊥n其中所有真命題的編號是A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④11.在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若B=π3,b2=94ac,則sinA+sinA.23913 B.3913 C.712.已知b是a,c的等差中項,直線ax+by+c=0與圓x2+y2+4y-1=0交于A,B兩點,則|AB|的最小值為A.1 B.2 C.4 D.25二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(13+x)10的展開式中,各項系數中的最大值為.14.已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為r1,下底面半徑均為r2,圓臺的母線長分別為2(r2-r1),3(r2-r1),則圓臺甲與乙的體積之比為.

15.已知a>1且1log8a?1log16.有6個相同的球,分別標有數字1,2,3,4,5,6,從中無放回地隨機取3次,每次取1個球,設m為前兩次取出的球上數字的平均值,n為取出的三個球上數字的平均值,則m與n之差的絕對值不大于12的概率為.三、解答題:共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據要求作答.(一)必考題:共60分.17.(12分)某工廠進行生產線智能化升級改造.升級改造后,從該工廠甲、乙兩個車間的產品中隨機抽取150件進行檢驗,數據如下:優級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150(1)填寫如下列聯表:優級品非優級品甲車間乙車間能否有95%的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異?能否有99%的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異?(2)已知升級改造前該工廠產品的優級品率p=0.5.設p為升級改造后抽取的n件產品的優級品率.如果p>p+1.65p(1-p)n附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.(12分)記Sn為數列{an}的前n項和,已知4Sn=3an+4.(1)求{an}的通項公式;(2)設bn=(-1)n-1nan,求數列{bn}的前n項和Tn.19.(12分)如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中,四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形,EF∥AD,BC∥AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=10,FB=23,M為AD的中點.(1)證明:BM∥平面CDE;(2)求二面角F-BM-E的正弦值.20.(12分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F,點M(1,(1)求C的方程;(2)過點P(4,0)的直線交C于A,B兩點,N為線段FP的中點,直線NB交直線MF于點Q,證明:AQ⊥y軸.21.(12分)已知函數f(x)=(1-ax)ln(1+x)-x.(1)當a=-2時,求f(x)的極值;(2)當x≥0時,f(x)≥0,求a的取值范圍.(二)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計分.22.[選修4-4:坐標系與參數方程](10分)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ=ρcosθ+1.(1)寫出C的直角坐標方程;(2)設直線l:x=ty=t+a(t為參數),若C與l相交于A23.[選修4-5:不等式選講](10分)已知實數a,b滿足a+b≥3.(1)證明:2a2+2b2>a+b;(2)證明:|a-2b2|+|b-2a2|≥6.參考答案1.A2.D3.D4.B5.C6.A7.B8.B9.C10.A11.C12.C13.514.6415.6416.17.(1)第1步:填寫列聯表填寫如下列聯表:優級品非優級品甲車間2624乙車間7030第2步:作出完整的2×2列聯表則完整的2×2列聯表如下:優級品非優級品總計甲車間262450乙車間7030100總計9654150第3步:根據公式求K2K2=150×(26×30?70×24)2第4步:根據K2的值判斷因為K2=4.6875>3.841,所以有95%的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異;因為K2=4.6875<6.635,所以沒有99%的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異.由題意可知p=96第2步:求出p+1.65p(1-又p+1.65p(1-p)n=0.5+1.65×0.5×(1?0.5)150≈第3步:由p與p+1.65p(1-所以p>p+1.65p(1-p18.(1)第1步:根據數列中an和Sn的關系求數列{an}的遞推關系因為4Sn=3an+4①,所以當n≥2時,4Sn-1=3an-1+4②,則當n≥2時,①-②得4an=3an-3an-1,即an=-3an-1.(數列中an和Sn的關系:當n≥2時,an=Sn-Sn-1;當n=1時,a1=S1)第2步:求出a1當n=1時,由4Sn=3an+4得4a1=3a1+4,所以a1=4≠0,第3步:求數列{an}的通項公式所以數列{an}是以4為首項,-3為公比的等比數列,所以an=4×(-3)n-1.(2)解法一(錯位相減法)第1步:求出數列{bn}的通項公式因為bn=(-1)n-1nan=(-1)n-1n×4×(-3)n-1=4n·3n-1,第2步:利用錯位相減法求Tn所以Tn=4×30+8×31+12×32+…+4n·3n-1,所以3Tn=4×31+8×32+12×33+…+4n·3n,兩式相減得-2Tn=4+4(31+32+…+3n-1)-4n·3n=4+4×3(1?3n-1)1?3-4n·3n=-2+(2-4n)所以Tn=1+(2n-1)·3n.解法二(裂項求和)第1步:求出數列{bn}的通項公式bn=(-1)n-1nan=(-1)n-1n×4×(-3)n-1=4n·3n-1,第2步:利用待定系數法對bn進行裂項令bn=(kn+b)·3n-[k(n-1)+b]·3n-1,則bn=(kn+b)·3n-[k(n-1)+b]·3n-1=3n-1[3kn+3b-k(n-1)-b]=(2kn+2b+k)·3n-1,所以2k=42即bn=(2n-1)·3n-[2(n-1)-1]·3n-1=(2n-1)·3n-(2n-3)·3n-1,第3步:求和所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=1×31-(-1)×30+3×32-1×31+5×33-3×32+…+(2n-1)·3n-(2n-3)·3n-1=(2n-1)·3n-(-1)×30=(2n-1)·3n+1.19.(1)解法一(利用線面平行判定定理)第1步:證四邊形BCDM為平行四邊形因為M為AD的中點,BC∥AD,且AD=4,BC=2,所以BC∥MD,且BC=MD,所以四邊形BCDM為平行四邊形.第2步:利用線面平行的判定定理證明BM∥平面CDE所以BM∥CD,又CD?平面CDE,BM?平面CDE,所以BM∥平面CDE.解法二(利用面面平行的性質)第1步:證四邊形BCEF為平行四邊形因為EF∥AD,BC∥AD,所以EF∥BC,又EF=BC=2,所以四邊形BCEF為平行四邊形.第2步:證BF∥平面CDE所以BF∥CE,又CE?平面CDE,BF?平面CDE,所以BF∥平面CDE.第3步:證四邊形MDEF為平行四邊形因為M為AD的中點,且AD=4,所以EF∥MD,且EF=MD,所以四邊形MDEF為平行四邊形.第4步:證FM∥平面CDE所以FM∥ED,又ED?平面CDE,FM?平面CDE,所以FM∥平面CDE.第5步:利用面面平行的性質證BM∥平面CDE因為BF,FM?平面BMF,BF∩FM=F,所以平面BMF∥平面CDE.又BM?平面BMF,所以BM∥平面CDE.(2)第1步:證明OB,OD,OF兩兩垂直取AM的中點O,連接BO,FO.由(1)解法一可知,BM=CD=AB=2,因為AM=2,所以BO⊥AD,且BO=3.由(1)解法二知四邊形MDEF為平行四邊形,所以FM=ED=10,又AF=10,所以FO⊥AM,又OA=OM=1,所以FO=FA又FB=23,所以BO2+FO2=FB2,所以FO⊥OB,即OB,OD,OF兩兩垂直.第2步:建立空間直角坐標系,并寫出相關點和向量的坐標分別以OB,OD,OF所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則F(0,0,3),B(3,0,0),M(0,1,0),E(0,2,3),則MB=(3,-1,0),MF=(0,-1,3),ME=(0,1,3).第3步:求平面FBM的法向量設平面FBM的法向量為n1=(x1,y1,z1),則n1·MB令y1=3,所以x1=3,z1=1,所以n1=(3,3,1).第4步:求平面EBM的法向量設平面EBM的法向量為n2=(x2,y2,z2),則n2·MB令y2=3,所以x2=3,z2=-1,所以n2=(3,3,-1).第5步:求二面角F-BM-E的正弦值設二面角F-BM-E的平面角為θ,所以|cosθ|=|cos<n1,n2>|=|n1因為θ∈[0,π],所以sinθ>0,即sinθ=1?cos所以二面角F-BM-E的正弦值為431320.(1)解法一(直接法)第1步:構造關于a,b,c的方程組由題意知1a2第2步:求解方程組,并寫出橢圓方程得a所以橢圓C的方程為x24解法二第1步:構造關于a,b,c的方程組由題意知|MF|=第2步:求解方程組,并寫出橢圓方程得a=2所以橢圓C的方程為x24解法三(巧用橢圓的定義)設F'為C的左焦點,連接MF',則|MF|=32,|FF'在Rt△MFF'中,|MF'|=|MF由橢圓的定義知2a=|MF'|+|MF|=4,2c=|FF'|=2,所以a=2,c=1,又a2=b2+c2,所以b=3,所以橢圓C的方程為x24+(2)第1步:聯立方程,消元得出關于y的一元二次方程,寫出根與系數的關系分析知直線AB的斜率存在.易知當直線AB的斜率為0時,AQ⊥y軸.當直線AB的斜率不為0時,設直線AB:x=ty+4(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),Q(1,n),聯立方程得x=消去x得(3t2+4)y2+24ty+36=0,Δ>0,則y1+y2=-24t3t2+4,y1y第2步:將三點共線代數化,建立關于n的代數式因為N為線段FP的中點,F(1,0),所以N(52由N,Q,B三點共線,得kBN=kNQ,即y2x2-52=n1?52,得-32y2=第3步:證明n=y1所以n-y1=-3y22x2-5-y1=-3y所以n=y1,所以AQ⊥y軸.21.(1)第1步:給出定義域,并求導當a=-2時,f(x)=(1+2x)ln(1+x)-x,x∈(-1,+∞),f'(x)=2ln(1+x)+1+2x1+x-1=2ln(1+x)-第2步:判斷函數的單調性易知f'(x)在(-1,+∞)上單調遞增,且f'(0)=0,所以當x∈(-1,0)時,f'(x)<0,當x∈(0,+∞)時,f'(x)>0,所以f(x)在(-1,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增,第3步:根據極值的定義給出結論所以當x=0時,f(x)取得極小值,為f(0)=0,f(x)無極大值.(2)第1步:求導f(x)=(1-ax)ln(1+x)-x,x∈(-1,+∞),則f'(x)=-aln(1+x)-(a+1)x1+x,設g(x)=-aln(1+x)-(a+1)第2步:找出原不等式成立的一個必要條件因為當x≥0時,f(x)≥0,且f(0)=0,f'(0)=0,所以g'(0)=-2a-1≥0,得a≤-12故a≤-12是原不等式成立的一個必要條件.第3步:證明該必要條件也是充分條件下面證明其充分性:當a≤-12,x≥0時,g'(x)≥12(1+所以f'(x)在[0,+∞)上單調遞增,且f'(x)≥f'(0)=0,所以f(x)在[0,+∞)上單調遞增,且f(x)≥f(0)=0.綜上,a的取值范圍是(-∞,-12].22.(1)因為ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以由ρ=ρcosθ+1,可得x2+y2化簡整理得y2=2x+1,所以C的直角坐標方程為y2=2x+1.(2)第1步:聯立方程,消元得出關于y的一元二次方程,并寫出根與系數的關系由直線l的參數方程可得直線l的普通方程為y=x+a,設A(x1,y1),B(x2,y2),聯立方程得y=消去y得x2+2(a-1)x+a2-1=0,則Δ>0,由根與系數的關系得x1+x2=-2(a-1),x1x2=a2-1.第2步:利用弦長公式構建關于a的方程,并求解由弦長公式得|AB|=2×4(a-1解得a=34,經檢驗,a=34符合題意,所以a=323.(1)解法一(作差法+基本不等式)第1步:證明(a+b)2≥4ab∵(a+b)2=a2+b2+2ab≥2ab+2ab=4ab,當且僅當a=b時等號成立,第2步:作差比較大小,得出結論∴(2a2+2b2)-(a+b)=2(a+b)2-4ab-(a+b)≥(a+b)2-(a+b)=(a+b)(a+b-1),由a+b≥3得(a+b)(a+b-1)>0,∴2a2+2b2>a+b.解法二(不等式的傳遞性)第1步:證明2a2+2b2≥(a+b)2∵(2a2+2b2)-(a+b)2=(a-b)2≥0,∴2a2+2b2≥(a+b)2,當且僅當a=b時等號成立,第2步:證明(a+b)2>a+b∵a+b≥3,∴(a+b)2>a+b,第3步:利用不等式的傳遞性得出結論∴2a2+2b2>a+b.(2)第1步:利用絕對值三角不等式去絕對值|a-2b2|+|b-2a2|≥|a-2b2+b-2a2|=|a+b-(2a2+2b2)|=2a2+2b2-(a+b).第2步:利用a+b≥3得出結論由(1)中解法一知(2a2+2b2)-(a+b)≥(a+b)(a+b-1),∵a+b≥3,∴(a+b)(a+b-1)≥3×2=6,∴|a-2b2|+|b-2a2|≥6.2024年普通高等學校招生全國統一考試·全國甲卷·理（數學）試卷分析一、總體評價2024年的全國甲卷數學試題在保持高考命題一貫的嚴謹性和科學性的基礎上，進行了適度的創新與調整。作為陜西省老高考的最后一年，本次試題與四川、西藏、新疆、青海、寧夏、內蒙古等省份統一使用全國甲卷，體現了高考命題的進一步統一和綜合化趨勢。試題難度在穩定中略有微調，更加側重于考查學生的數學基礎、思維能力和運算能力，有利于選拔具有扎實數學素養和嚴謹邏輯思維的學生。二、試卷特點1.題型與結構：o試卷題型包括選擇題、填空題和解答題，分值與比例保持不變，即選擇題12道，填空題4道，解答題5+1道，