2022北京陳經綸中學高一（上）期中數學（時間：滿分：150分）一、選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．1．設全集U=2,3,4,5，若集合M，則（）A．2MB．3MC．4MD．5M2．若實數a，，cR且ab，則下列不等式恒成立的是（）aA．a2b2B．acbcC．1D．a?cb?cb13．全稱量詞命題“xR，x2?x+0”的否定是（）411A．xR，C．xR，x2?x+0B．xR，x2?x+04141x2?x+0D．xR，x?x+0244(+)4．下列函數中，是奇函數且在區間上單調遞減的是（）1y=?x2B．y=xC．yx?=1D．y=x3A．5．已知函數fx2?x,x0()=，若fa4，則a=（()=）x,x02A．4或?2B．4或2C．2或4D．2或2()()()6fx是定義在fx在fx在上的()f1最大值為”的（）A．充分而不必要條件C．充分必要條件B．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件=()(()=7．已知函數yfx的圖象為折線OABff2（）A3B．4C．5D61?x2()=8．函數fx的圖象可能是（）x3A．B．C．D．9．德國著名數學家、解析數論的創始人狄利克雷，對函數論、三角級數論等都有重要貢獻．狄利克雷函數為有理數()=()的判斷錯DxDx．為無理數誤的是（）．(+)=()A．對任意有理數，DxtDx(())B．對任意實數x，DDx=1()C．Dx既不是奇函數也不是偶函數(+)=()+()D．存在實數x，，DxyDxDy()()?=()10知fx是定義域為Rffxx4f3）A3B．5C．7D9二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分．2?．3的值是______．x()=12．函數fx上的定義域為______．x?1=?，B=2,3，若A13．己知集合Axxa0a的取值范圍為______．x2ax1在區間1的取值范圍是______．()=14．若函數fx+++)上單調遞增，則f(?)1x?115．若x1，則f(x)=4x+的最小值是______．16X是實數集Rx0a0xX0x?0a，稱x0為集合X的聚點，則在下列集合中：1nn+1*==,nN0為聚點的集①xxR,x0xZx0xx,nNxx*n合有______和______．三、解答題：本大題共5個小題，共70分．1712分）設全集U=R，集合A=x1x，B=x2x?4x?．（1；（2）若集合C=+，滿足Bx2xa0，求實數a的取值范圍．1814分）()=(?)(+)fxax2x1己知函數（Ⅰ）當（Ⅱ）當a=1時，求fx()0,2在上的最值；a0fx()0的解集．時，求關于的不等式x1914分）經觀測，某公路段在某時段內的車流量（千輛小時）與汽車的平均速度v和（千米小時）之間有如下關920vv+v+1600()．v0系：y=2（1）在該時段內，當汽車的平均速度v為多少時車流量y最大？最大車流量為多少？（精確到0.01千輛）（2）為保證在該時段內車流量至少為10千輛小時，則汽車的平均速度應控制在什么范圍內？2015分）ax+bx+121?()=fx()=，且f11已知定義在上的奇函數．2（1，b的值；()()（2）判斷fx在0,1上的單調性，并用定義證明之；(?)+()ft1ft0．（3）解關于實數t的不等式2115分）已知集合S=2,3,A是SA中的任意兩個不同的元素，()?+yxy，若xy都不能整除xy，則稱集合A是S（1）分別判斷數集P=6,8與Q=7是否是集合S()?（2）證明：若A是SA中的任意兩個不同的元素，yxy，都有xy3；（3）求集合S的“好子集”A所含元素個數的最大值．參考答案卷Ⅰ（選擇題）一、選擇題（本題共計10小題，每題5分，共計50分）1B2D3B4C5B6A7C8A9C10B題號答案卷Ⅱ（非選擇題）二、填空題（本題共計6小題，每題5分，共計30分）題號11112131415816①和③)(?,4xx且x10答案16三、解答題（本題共計5小題，共計70分）17）由題意知A=?，Bx2x?4x?=，x1x3xx2=ABx1x3x或x36axx2x2x3=?=．則（2）C=x2x+a0=xx?，2由B知，BC，a?2，解得，a?4．2(+)所以，a的取值范圍是【分】2129418a=1時，fx()=(?)(+)=??=x2x1x2x2x??，x0,2．1212()()在區間上，fx單調遞減；在,2上，fx單調遞增．1194所以，當x=時，fx()=f2=?；2()=?()=?=()fx=0【f02f202x26又，，所以當時，()fx(?)(+)ax2x10，0（Ⅱ），即a=02x1?(+)0x?1，解集為(?,?)；當當時，得，2a0(ax2x1?)(+)=0x=，x=1，2時，由，得1a22a?2?1?①②③時，，解集為aa222a0a=?2?1，解集為,?1時，；aa2時，=?1，解集為a19）因為c0，920v9201600v92092083所以y===11.08v2+v+16001600v++32v+3v1600當且僅當v=，即v=40時等號成立．v所以v=40千米小時，車流量最大，最大值為千輛8分】920v（2）據題意有：10，2v+v+16002v?89v+16000，化簡得(?)(?)即v25v640所以25v64．所以汽車的平均速度應控制在25v64()20）因為fx為奇函數?ax+bax+bx+12所以f(?x)=fx=?()=?(?x)2+1整理得?+b=??b解得b=0a1()==又因為f11+12解得a=1綜上所述，a=1，b=0【5()=f00求需檢驗，否則扣1（注：用()()（2）fx在0,1上單調遞增，證明如下：x，x()，且xx121212()?()=?f1f2x2+1x22+11()(21+)xx22+1?xx2===1(x2+)(?)+(x+)(?)(?)1xx12+1x221(?)x21x1x2xxx1221+1x22x1x2(x2+)+1221，x?x012x，2()又021即1?xx012()?()0fxfx12()()fx（3不等式在分】是奇函數，()fx(?)+()(?)?()=(?)ft1ftft，ft1ft0，即1上是增函數，()?fx又則在1t?1?t1，1解得0t．21所以，t的取值范圍是【分】221．解4?2=24+2=6，所以集合P不是集合S（1）由于整除由于4?1=3不能整除4+1=5，7?1=6不能整除7+1=8，7?4=3不能整除7+4=，所以集合Q是集合S4（2A是Sx?y1，()?=假設存在A中的任意兩個不同的元素x，yxy，使得xy2，則x與y同為奇數或同為偶數，從而x+y是偶數，此時，x?y=2能整除x+y，與A是“好子集”矛盾．()?故若A是SA中的任意兩個不同的元素，yxy，都有xy39分】（3）設集合Aa,a,a