第04講指數與指數函數

目錄

考點要求考題統計考情分析

(1)理解有理數指數幕的含義，了從近五年的高考情況來看，指數

解實數指數基的意義，掌握指數幕的運算與指數函數是高考的一個

運算性質.重點也是一個基本點，常與二次

2022年甲卷第12題，5分

(2)通過實例，了解指數函數的實函數、募函數、對數函數、三

2020年新高考n卷第H題，5分

際意義，會畫指數函數的圖象.角函數綜合，考查數值大小的

(3)理解指數函數的單調性、特殊比較和函數方程問題.

點等性質，并能簡單應用.

根式的定義

指數與指數函數

―夯基?必備基礎知識梳理

1、指數及指數運算

(1)根式的定義：

一般地，如果無"=口，那么x叫做。的"次方根，其中(〃>1,neN"),記為布，〃稱為根指數，。稱

為根底數.

(2)根式的性質：

當”為奇數時，正數的"次方根是一個正數，負數的〃次方根是一個負數.

當”為偶數時，正數的“次方根有兩個，它們互為相反數.

(3)指數的概念：指數是基運算中的一個參數，。為底數，〃為指數，指數位于底數的右上角，

塞運算表示指數個底數相乘.

(4)有理數指數累的分類

〃個

①正整數指數累"=。。心(〃eN*)；②零指數幕。°=1(。#°)；

③負整數指數幕或"=4(。*0,〃eN*)；④0的正分數指數累等于0,0的負分數指數嘉沒有意義.

a

(5)有理數指數哥的性質

①曖a"=a'"+"(a＞0,加,〃w。)；②(4')"=曖"(。＞0,m,ncQ)；

___m

③(ab)"'=a"'b"'(a＞0,b＞0,m&Q)■④"m，〃e。).

2、指數函數

y=優

0<?<1a>l

圖

象

o|1

性①定義域R,值域(。，+8)

質②“。=1,即時x=O,y=l,圖象都經過(0，1)點

@ax=a,即x=l時，V等于底數。

④在定義域上是單調減函數在定義域上是單調增函數

⑤尤<0時，ax>1;x>0時，0<ax<1X<0時，0<優<1;%>0時，ax>1

⑥既不是奇函數，也不是偶函數

【解題方法總結】

1、指數函數常用技巧

(1)當底數大小不定時，必須分和兩種情形討論.

(2)當0＜。＜1時，xf+oo,y—o；。的值越小，圖象越靠近'軸，遞減的速度越快.

當。＞1時xf+8,y-o；。的值越大，圖象越靠近丫軸，遞增速度越快.

(3)指數函數y=優與y=(-)x的圖象關于y軸對稱.

a

一提升?必考題型歸納

【典例例題】

題型一：指數運算及指數方程、指數不等式

、"+3

【例1】（2023?海南省直轄縣級單位?統考模擬預測）

【對點訓練1】（2023?全國?高三專題練習）下列結論中，正確的是（

A.設。>。，則於廿二“B.若〃/=2,則加=土蚯

C右。+。,=3,則.5+°2=±逐D.=2—71

【對點訓練2】（2023?全國?高三專題練習）A22

B.2+71C.4一兀D.6—71

【對點訓練3】（2023?全國?高三專題練習）甲、乙兩人解關于x的方程2，+。?2-'+0=0,甲寫錯了常數。,

17

得到的根為x=-2或X=log21,乙寫錯了常數C,得至IJ的根為1=0或%=1,則原方程的根是（）

A.x=-2^x=log23B.x=—1或尤=1

C.x=0或x=2D.X=—1或九=2

【對點訓練4】（2023?全國?高三專題練習）若關于x的方程9"+3同-根+1=0有解，則實數加的取值范圍是

（）

5

A.(l,+°o)—,+coC.(-00,3]D.(1,3]

4

【對點訓練5】（2023?上海青浦?統考一模）不等式：的解集為.

【對點訓練6】（2023?全國?高三專題練習）不等式10,-6工-3工21的解集為.

【解題總結】

利用指數的運算性質解題.對于形如a"''=6,aM>b,。/⑺<6的形式常用“化同底”轉化，再利用指

數函數單調性解決；或用“取對數”的方法求解.形如片"+及r'+c=0或1x+&f+C摩）（0）的形式，可借助

換元法轉化二次方程或二次不等式求解.

題型二：指數函數的圖像及性質

【例2】（多選題）（2023?全國?高三專題練習）函數/（"=2'+=（awR）的圖象可能為（）

【對點訓練7】（2023?全國?高三專題練習）已知了⑶=，3?+2如-"—1的定義域為R,則實數a的取值范圍

是______

【對點訓練8】（2023?寧夏銀川?校聯考二模）已知函數/（力=4'-2A2—1,xe［0,3］,則其值域為.

【對點訓練9】（2023?全國?高三專題練習）已知函數/（力="（a＞0,awl）在［L2］內的最大值是最小值的兩

I"；丁1’則g

倍，且g（x）=+g佇）=

log3x-l,0<x<lI

【對點訓練10］（2023?全國?高三專題練習）函數y=（a-2＞就是指數函數,則（）

A.a=l或a=3B.a=lC.a=3D.。〉0且awl

【對點訓練11】（2023?全國?高三專題練習）函數〃耳=（產-6）2的大致圖像如圖，則實數a,b的取值只可

B.a>0,0<b<}

C.a<0,b>lD.a<0,0<b<l

【對點訓練12］（2023?全國?高三專題練習）己知函數/（元）="一4+1（。＞0且awl）的圖象恒過定點A,

io

若點A的坐標滿足關于x,y的方程痛+利=4（根>0,〃>0）,則_*_+二的最小值為（）

mn

A.8B.24C.4D.6

【對點訓練13】（多選題）（2023?浙江紹興?統考模擬預測）預測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”

使用的公式是匕=片（1+燈”伏>-1）,其中匕為預測期人口數，益為初期人口數，%為預測期內人口年增長

率，〃為預測期間隔年數，則（）

A.當左則這期間人口數呈下降趨勢

B.當左則這期間人口數呈擺動變化

C.當上=$勺226時，”的最小值為3

D.當左=-g，e,wg此時，”的最小值為3

【對點訓練14】（多選題）（2023?山東聊城?統考二模）已知函數=則（）

A.函數〃x）是增函數

B.曲線y=/（x）關于對稱

C.函數的值域為

D.曲線y=〃x）有且僅有兩條斜率為g的切線

【解題總結】

解決指數函數有關問題，思路是從它們的圖像與性質考慮，按照數形結合的思路分析，從圖像與性質

找到解題的突破口，但要注意底數對問題的影響.

題型三：指數函數中的恒成立問題

【例3】（2023?全國?高三專題練習）已知函數/（%）=2",%￡R,若不等式尸（%）+/（%）一根>。在R上恒成立，

則實數m的取值范圍是.

,X—r）~x/\

【對點訓練15】（2023?全國?高三專題練習）設/（x）=三二，當xeR時，/+如）+/⑴>0恒成立,

則實數m的取值范圍是.

【對點訓練16］（2023?全國?高三專題練習）已知不等式4，-少2工+2>0,對于ae（ro,3］恒成立，則實數x

的取值范圍是.

【對點訓練17](2023?全國?高三專題練習)若xe[-L,+s),不等式平-巾2工+1>0恒成立，則實數加的取

值范圍是.

【對點訓練18](2023?上海徐匯?高三位育中學校考開學考試)已知函數〃x)=油是定義域為R的奇函

數.

(1)求實數6的值，并證明/(x)在R上單調遞增；

(2)已知a>0且。片1,若對于任意的4、都有〃%)+；2°廿恒成立，求實數。的取值范圍.

【解題總結】

已知不等式能恒成立求參數值(取值范圍)問題常用的方法：

(1)函數法：討論參數范圍，借助函數單調性求解；

(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域或最值問題加以解決；

(3)數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖

象，利用數形結合的方法求解.

題型四：指數函數的綜合問題

171

【例4】(2023?全國?合肥一中校聯考模擬預測)已知函數/(X)==^+k^+l+―7,則不等式

'/2、+24x-4x-1

〃2x+3)>/(f)的解集為()

A.(―2,l)u(l,y)B.(-1,1)L(3,-B?)

C.1川(3,+⑹D.(-3,1)(3,")

【對點訓練191(2023.上海浦東新.華師大二附中校考模擬預測)設.若函數y=/⑺的

I2—U2)

定義域為(f/)一(l,4w),則關于x的不等式">f(a)的解集為.

【對點訓練20](2023?河南安陽?統考三模)已知函數〃無)=6+苗[(“>0)的圖象關于坐標原點對稱，則

a+b=.

【對點訓練211（2023?江西景德鎮?統考模擬預測）已知/（%）是定義在R上的偶函數，且當x20時，/（x）=e",

則滿足“x+1），f（x）的龍的取值范圍是

____o

【對點訓練22】（2023?河南信陽?校聯考模擬預測）已知實數。，8滿足半+2a=3,log?炳工+〃=§，則

3]

a+—b=.

2----------------

【對點訓練23】（多選題）（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考二模）點加（石,%）在函數y=e，的圖象上,

當百40,1）,則￡可能等于（）

A.-1B.-2C.-3D.0

1.(2022.全國.統考高考真題)9m=10,a=10m-11,b=8m-9,則()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>Q>a

2.(2022?北京?統考高考真題)已知函數〃無)=「二，則對任意實數x,有()

1+2

A./(-x)+/(%)=0B./(T)-/(X)=0

c./(-x)+/(x)=lD./(-%)-/(%)=1

3.(2020?山東.統考高考真題)已知函數y=〃x)是偶函數，當xe(0,+◎時，y="(0<a<l),則該函數

在(一*0)上的圖像大致是()

第04講指數與指數函數

目錄

考點要求考題統計考情分析

(1)理解有理數指數幕的含從近五年的高考情況來看，

義，了解實數指數塞的意義，指數運算與指數函數是高

掌握指數幕的運算性質.考的一個重點也是一個基

2022年甲卷第12題，5分

(2)通過實例，了解指數函數本點，常與二次函數、塞函

2020年新高考II卷第11題,

的實際意義，會畫指數函數的數、對數函數、三角函數綜

5分

圖象.合，考查數值大小的比較

(3)理解指數函數的單調性、和函數方程問題.

特殊點等性質，并能簡單應用.

根式的定義

指數與指數函數

定點

―夯基?必備基礎知識梳理

1、指數及指數運算

(1)根式的定義：

一般地，如果無'="，那么x叫做。的〃次方根，其中(〃>1,neN*),記為折，”稱

為根指數，。稱為根底數.

(2)根式的性質：

當“為奇數時，正數的"次方根是一個正數，負數的“次方根是一個負數.

當“為偶數時，正數的〃次方根有兩個，它們互為相反數.

(3)指數的概念：指數是基運算a"(aNO)中的一個參數，a為底數，〃為指數，指數位于

底數的右上角，幕運算表示指數個底數相乘.

(4)有理數指數累的分類

〃個

①正整數指數暴d.a(〃eN*)；②零指數累。°=1("°)；

③負整數指數塞，'=5(。*0,neN*)；④0的正分數指數事等于0,0的負分數指

數募沒有意義.

(5)有理數指數塞的性質

①曖優=""+0(。>0,m,n&Q).②(a‘")"="""(〃>0,m,〃e。)；

@(ab/1=ambm(a>0,b>0,m^Q)-④武=/(a>0,"l,n&Q).

2、指數函數

y=ax

0<a<la>l

圖

V

象

o\1Xo\1X

性①定義域R,值域(0,+8)

質②a0=l,即時x=0,y=l,圖象都經過(0，D點

@ax=a,即x=l時，V等于底數。

④在定義域上是單調減函數在定義域上是單調增函數

⑤xvO時，ax>1;x>0時，0<ax<1xvO時，%>0時，ax>1

⑥既不是奇函數，也不是偶函數

【解題方法總結】

1、指數函數常用技巧

(1)當底數大小不定時，必須分“a>1”和“0<a<1"兩種情形討論.

(2)當0<a<l時，xf+00，y_>o；。的值越小，圖象越靠近'軸，遞減的速度越快.

當。>1時xf+oo,>一0;。的值越大，圖象越靠近'軸，遞增速度越快.

⑶指數函數y=/與y=(-)%的圖象關于y軸對稱.

a

.提升?必考題型歸納

【典例例題】

題型一：指數運算及指數方程、指數不等式

【例1】（2023.海南省直轄縣級單位.統考模擬預測）==（）

\277

A.9B.-C.3D.走

99

【答案】B

故選：B.

【對點訓練1】（2023?全國?高三專題練習）下列結論中，正確的是（）

A.設"°，則層.=4B.若〃[8=2,貝1|加=±3

C.若。+。一’=3,則a5+q-^:土^^D.,（2-萬）4=2—萬

【答案】B

434325

【解析】對于A,根據分式指數幕的運算法則，可得拒.萬一萬+W一選項A錯誤;

對于B,優8=2,故機=±啦，選項B正確；

對于C,4+：=3,儲+/）2=〃+〃-|+2=3+2=5，因為。＞。，所以后+尸=6'，選項

C錯誤；

對于D,42_%）4=|2—同=萬一2，選項D錯誤.

故選：B.

【對點訓練2】（2023?全國?高三專題練習）)

A.兀B.2+兀C.4—兀D.6—7T

【答案】B

-05-2

【解析】閡+7^+（23ml滬g+兀-2+4*.2+兀.

故選：B

【對點訓練3】（2023?全國?高三專題練習）甲、乙兩人解關于x的方程2工+6?2一*+°=0,甲

寫錯了常數6,得到的根為x=-2或尸log217，乙寫錯了常數c,得至U的根為x=0或x=l,

則原方程的根是（）

A.%=-2或x=log23B.x=-l或x=l

C.x=0或x=2D.x=-l或無=2

【答案】D

【解析】令"23則方程2'+力2-、+0=0可化為』+b+6=0，甲寫錯了常數6,

所以;和U是方程產+”+根=o的兩根，所以+-苫，

44144J2

乙寫錯了常數C,所以1和2是方程〃+加+6=0的兩根，所以b=lx2=2,

則可得方程/一亍+2=0,解得(=標=4,

所以原方程的根是x=-l或x=2

故選：D

【對點訓練4】(2023?全國?高三專題練習)若關于x的方程9'+3用-〃?+1=0有解，則實數加

的取值范圍是()

A.。,+8)B.C.(-oo,3]D.(1,3]

【答案】A

【解析】方程9工+3加-"z+l=0有解，

(3)+3x3,-m+l=O有解，

令3*=f>0,

則可化為『+3”機+1=0有正根，

則產+3f=m-l在(。,+。)有解,又當t?0,+oo)時,/2+3z>0

所以m—l>0=>m>l,

故選：A.

【對點訓練5】(2023?上海青浦?統考一模)不等式2427VM的解集為.

【答案】(-3,2)

【解析】函數y=2"在R上單調遞增，則

3<§)3(—o2/口-3<2-3(Z)od_2x_3<-3(x-l),

BPx2+x-6<0,解得-3<x<2,

所以原不等式的解集為(-3,2).

故答案為:(-3,2)

【對點訓練6】(2023?全國?高三專題練習)不等式10工-6*-3工21的解集為.

【答案】[1,+8)

【解析】由10'-6-3,21,可得+(色]+f—<1.

因為、=(小;=直;=焦］均為區上單調遞減函數

則/(x)在R上單調逆減，且/(1)=1,

:.x>\

故不等式ioA-6x-y>i的解集為□，+℃).

故答案為：［1,+8).

【解題總結】

利用指數的運算性質解題.對于形如i=b,afM>b,afw<6的形式常用“化同底”

轉化，再利用指數函數單調性解決；或用“取對數”的方法求解.形如a2'+&'+C=0或

/+Bax+C厘)(0)的形式，可借助換元法轉化二次方程或二次不等式求解.

題型二：指數函數的圖像及性質

【例2】(多選題)(2023.全國.高三專題練習)函數=2'+三(。eR)的圖象可能為()

【答案】ABD

【解析】根據函數解析式的形式，以及圖象的特征，合理給。賦值，判斷選項.當。=0時，

/(x)=2\圖象A滿足；

當。=1時，/(司=2工+(,"0)=2,且〃r)=/(x),此時函數是偶函數，關于>軸對

稱，圖象B滿足;

當。=-1時，〃x）=2，q,"0）=0,旦〃-同=-〃江此時函數是奇函數，關于原點

對稱，圖象D滿足；

圖象C過點（0,1）,此時。=0,故C不成立.

故選：ABD

【對點訓練7】（2023?全國?高三專題練習）已知了（%）=—1的定義域為R,則實

數a的取值范圍是.

【答案】[-L0]

【解析】?//（x）=13，+2歐-“_1的定義域為R,

3--1_IN0對任意xdR恒成立，

即yM?-a21=3。恒成立，

即x2+lax-a>0對任意xeR恒成立，

.?.A=4?2+4tz<0，則TWaWO.

故答案為[-L0].

【對點訓練8】（2023?寧夏銀川?校聯考二模）已知函數〃力=4工-2工+2-1,xe[0,3],則其

值域為.

【答案】[-5,31]

【解析】令t=2"，：xe[0,3],1V/V8,

r.g（r）=廣—4r—1=（r—2）——5,te[1,8]

又y=g⑺關于f=2對稱，開口向上，所以g（。在[1,2）上單調遞減,在（2,8]上單調遞增，

>|8-2|>|2-1|,

「1=2時，函數取得最小值，即g（t）1111n=-5,r=8時，函數取得最大值，即g（t）a=31,

.-./（X）G[-5,31].

故答案為：[-5,31].

【對點訓練9】（2023?全國?高三專題練習）已知函數在口，2]內的最大

值是最小值的兩倍，且g（無）=]（（尤）+：'：21則g（；]+g（2）=______

^log3x-l,0<x<l

【答案】3或-=3

4

【解析】當。>1時，函數“X）在[L2]內單調遞增，

此時函數的最大值為〃2)=6Z2,最小值為/(1)=a,

[2X+1x>l

由題意得片=2〃，解得〃=2,則g(%)=(9",

[log3x-l,0<x<l

lHJ^g]；J+g(2)=log3g-l+22+l=3；

當0<a<1時，函數/(x)在[1,2]內單調遞減,

此時函數的最大值為了⑴=a,最小值為〃2)=a2,

由題意得。=2/，解得a=；,則g(x)=，lj]+1，尤21,

log3x-l,0<x<l

此時g[;)+g⑵=1嗎;_1+出+1="|-

3

故答案為：3或-;

4

【對點訓練10](2023?全國?高三專題練習)函數y=(a-2)2優是指數函數，則()

A.a=l或。=3B.a=1C.a=3D.a>0且a旦1

【答案】C

【解析】由指數函數定義知(。-2f=l,同時a>0,且awl,所以解得“=3.

故選：C

【對點訓練11/2023?全國?高三專題練習)函數“X)=(泮-b)2的大致圖像如圖,則實數a,

6的取值只可能是()

A.a>0,b>lB.a>0,0<b<l

C.a<0,b>lD.a<0,0<b<l

【答案】C

【解析】若a>0，y=eQ-b為增函數,

且+oo,yf+oo,/(%)f+oo,與圖象不符,

若。<0,y=e一為減函數,

且X—+8,y———>)2,與圖象相符，所以〃<0,

當/（x）=0時，eax=b,

結合圖象可知，止匕時x<0,所at>0,貝!le">e°=l,所以6>1,

故選:C.

【對點訓練12］（2023?全國?高三專題練習）已知函數/。）=優'4+i（。>。且。彳1）的圖

象恒過定點4若點A的坐標滿足關于x,y的方程府+利=4（根>0,”>0）,則■*■+*的最

mn

小值為（）

A.8B.24C.4D.6

【答案】C

【解析】因為函數〃￡）=優7+1（。>0,。*1）圖象恒過定點（4,2）

又點A的坐標滿足關于x,y的方程痛+〃y=4（m>0,〃>0）,

所以4m+2n=4,

即2m+n=2

匕一，121,"12、1（4m心1（14mn

mn2vmnJ21nmJ21\nm

勿

當且僅當4絲7=°H即〃=2根=1時取等號；

nm

1?

所以上+女的最小值為4.

mn

故選：c.

【對點訓練13】（多選題）（2023?浙江紹興?統考模擬預測）預測人口的變化趨勢有多種方法，

“直接推算法”使用的公式是匕=［（1+行"（%>-1）,其中匕為預測期人口數，4為初期人口

數，左為預測期內人口年增長率，”為預測期間隔年數，則（）

A.當左則這期間人口數呈下降趨勢

B.當左e（-l,0）,則這期間人口數呈擺動變化

C.當％=6時，〃的最小值為3

D.當左=一（勺4；《時，〃的最小值為3

【答案】AC

【解析】4>0,0<1+左<1,由指數函數的性質可知：月=片（1+幻"伏>-1）是關于〃的單調

遞減函數，

即人口數呈下降趨勢，故A正確，B不正確；

k=^,Pn=PQ[^>2PQ,所以gj\2,所以心kg產〃eN),

log,2￡(2,3),所以〃的最小值為3,故C正確；

3

左=T，e=d|)《%，所以[I]wg，所以〃加og：；(〃eN),

log2;=bg22e(l,2),所以”的最小值為2,故D不正確；

故選：AC.

【對點訓練14】(多選題)(2023?山東聊城?統考二模)已知函數/(x)=M，則()

A.函數/(x)是增函數

B.曲線y"(x)關于(0,1對稱

C.函數/⑺的值域為(0,￡|

D.曲線y=/(x)有且僅有兩條斜率為g的切線

【答案】AB

【解析】根據題意可得/(x)=^^=l-七，易知、=六是減函數，

所以〃x)=l-*■是增函數，即A正確；

-xX

由題意可得f(-x)=^7—=^1—,所以f(-x\+/⑴=37-+=1_=1,

'7Tx+\2X+1'7v72X+12X+1

即對于任意xdR,滿足/(-力+/(￡)=1,所以y=〃x)關于(0,￡|對稱，即B正確;

由指數函數值域可得2*+le(l,+w),所以即〃x)=l-不、€(0,1),

所以函數/⑺的值域為(0,1),所以C錯誤；

2"In2

易知/口)=令尸(x)=M，整理可得(2?-(51n2-2)2+l=0,

（2,+1）2

令2*=re（0,y）,即『-（51n2-2）+l=0,

易知A=（51n2-2y-4,又因為2,=32<36<6.25?=2.5“<e“，即25<e3

所以51n2<4,§P0<51n2-2<2,因止匕△=（51n2—2）2—4<0；

即關于f的一元二次方程/-（51n2-2）r+l=0無實數根；

所以(2")2一(51n2-2>2，+1=0無解，即曲線y=/⑺不存在斜率為g的切線，即D錯誤;

故選：AB

【解題總結】

解決指數函數有關問題，思路是從它們的圖像與性質考慮，按照數形結合的思路分析,

從圖像與性質找到解題的突破口，但要注意底數對問題的影響.

題型三：指數函數中的恒成立問題

【例3】(2023?全國?高三專題練習)已知函數/(x)=2，,xeR,若不等式尸(了)+/0)-加>0

在R上恒成立，則實數m的取值范圍是.

【答案】(…⑼.

【解析】4/(x)=t{t>0),H(t)=t2+t,t>0,

因為“⑺=(r+!)2一:在區間(0,+勸上是增函數，

24

所以〃(。>〃(0)=0.

因此要使〃+/>加在區間(0,+8)上恒成立，應有機W0,即所求實數機的取值范圍為(一叫0].

故答案為：(-8,。].

【對點訓練15](2023?全國?高三專題練習)設〃X)=2'；2',當時，

/(/+,研)+/。)>0恒成立，則實數m的取值范圍是.

【答案】(-2,2)

_r)~xiii

【解析】由函數/(%)=2=|，⑵-2-工)=42工，

%=2，,%=-(3]均為在口上的增函數，故函數/(x)是在R上的單調遞增函數，

且滿足了(-?=2…一2一=一(2'一一2")=-/⑴，所以函數”X)為奇函數，

因為/(%2+mx)+/(l)>。，即f(x2+mx)>-/(I)=/(-I),

可得+小〉-1恒成立，即元2+如+1〉0在兀wR上恒成立，

則滿足療—4<0,即/<4,解得—2<m<2,

所以實數加的取值范圍是(-2,2).

故答案為：(-2,2).

【對點訓練16】(2023?全國?高三專題練習)已知不等式4、-〃2+2>0,對于“4-哈引恒

成立，則實數x的取值范圍是.

【答案】(-8,0)kJ(l,+8)

【解析】設1=23/>0,

則產-W+2>0,對于ae(-8,3]恒成立，

2

即〃</+—,對于aw(-oo,3]恒成立，

t

2

tH—>3,

t

即產一3/+2>0，

解得f>2或，<1,

即2工>2或2*<1，

解得尤>1或x<0,

綜上，x的取值范圍為(-8,O)D(1,+8).

故答案為：(-8,0)0(1,+8).

【對點訓練17](2023?全國?高三專題練習)若xe[-L+8),不等式4工-%2工+1>0恒成立，

則實數加的取值范圍是.

【答案】(F2)

【解析】令t=2,,；尤1，+°°)，

：4工-次2*+1>0恒成立，Am<y+r,re恒成立，

?：t+->2,當且僅當r=l時，即x=0時，表達式取得最小值，

t

m<2,

故答案為(-8,2).

【對點訓練18](2023?上海徐匯?高三位育中學校考開學考試)已知函數/(x)=U是定

義域為R的奇函數.

⑴求實數6的值，并證明〃x)在R上單調遞增；

(2)已知。>0且。工1,若對于任意的毛、”[1,3],都有〃xj+)十一2恒成立，求實數a

的取值范圍.

【解析】(1)因為函數/("=1r子是定義域為R的奇函數，

則/(。)=彳=。，解得b=-l,止匕時/(x)=U=l一高，

2v73+13+1

對任意的xeR,3，+1>0,即函數〃x)的定義域為R,

3-13"3一「1)1_芋

/(r)=377Tl=3、(3-+1)=17F=_/(x),即函數為奇函數，合乎題意，

任取《、,?R且則0<3'Y3"，

所以，“GT"]】一回門)則/⑷<小)，

所以，函數/'(尤)在R上單調遞增.

(2)由⑴可知,函數/(x)在[1,3]上為增函數,

3Q1

對于任意的a、％e[L3],都有則齊一了了⑴三，

*2<2,

因為馬€[1,3],則蒼-2右[-1,1].

當0<°<1時，則有/交，解得gva<l；

當0>1時，貝！|有aW2,止匕時l<aW2.

綜上所述，實數0的取值范圍是pl]0,2].

【解題總結】

已知不等式能恒成立求參數值(取值范圍)問題常用的方法：

(1)函數法：討論參數范圍，借助函數單調性求解；

(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域或最值問題加以解決；

(3)數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系

中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.

題型四：指數函數的綜合問題

101

【例4】(2023?全國?合肥一中校聯考模擬預測)已知函數/(力=丁+二1+1+―

2、+724x-4x-1

則不等式〃2x+3)>/■(￡)的解集為()

A.(-2,1)51,—)B.(-l,l)U(3,+a))

C.1-川(3,+co)D.(-3,1)1(3,^)

【答案】B

【解析】依題意，xwl,f(x)=^—+^,

'/4x-4x-1

QX+l1QI-XIQX+1QX+1

故++—=—■—+1+-+-------+1——=—：—+-----+2=2,

v)'7L-4x41-4x4%+1-44-4川r

故函數“X)的圖象關于(1,1)中心對稱，

121

當x>l時，y=——j=——y=l+—；單調遞減，

2+24-4x-1

故/（X）在（l,w）上單調遞減，且〃尤）=歹—i+疝o三+1+白1>1，

乙"l乙T"T"人J.

函數/⑺的圖象關于（1,1）中心對稱，〃x）在（F,l）上單調遞減，

而〃2了+3）>〃巧，故2%+3</<1或尤2<1<2%+3或1<2工+3</，

解得或無>3,故所求不等式的解集為（—1,1）（3,??）,

故選：B.

【對點訓練19］（2023?上海浦東新?華師大二附中校考模擬預測）設/（同=?5三+若

函數y=/（x）的定義域為（f』）（L-）,則關于x的不等式"2的解集為

【答案】［1,+8）

【解析】若。40,對任意的xeR,2*_°>0,則函數“X）的定義域為R,不合乎題意，

所以，a>0,由2”—可得xwlog?。，

因為函數y=/（x）的定義域為{x|xwl},所以，/暇0=1,解得a=2,

所以，A”"占+「，則〃力〃2）=23+22,

由a，2/（a）可得2工22，解得x21.

因此，不等式的解集為［1,+8）.

故答案為：［1,+8）.

2/7-1

【對點訓練20］（2023?河南安陽?統考三模）已知函數/（%）=〃+正工（〃〉°）的圖象關于坐

標原點對稱，貝+.

【答案】13/1.5

【解析】依題意函數/（X）是一個奇函數，

又2,—。W0,所以xwlog2。，

所以/（尤）定義域為{xI尤Hlog2a},

因為/（x）的圖象關于坐標原點對稱，所以摩2。=。，解得a=L

又〃T）=X），所以6+=,

一〃—

Z—1'Z17

所以萬一為=一.+4］，即26=2尤__12X-1

=1,

z_1kz_1)2X-1~2X-12X-1

13

所以b=所以。+6=

22

3

故答案為：—.

2

【對點訓練21］（2023?江西景德鎮?統考模擬預測）已知是定義在R上的偶函數，且當

xN。時，〃x）=e',則滿足〃x+l）Nr（力的x的取值范圍是.

【答案】」

【解析】由函數性質知尸（力=/（2力,

/（X+1）＞/2（X）=/（2X）,

.-./（|x+l|）＞/（|2x|）,|^+l|＞|2x|,

即（元+1）220x）2,解得--,1