九年級(jí)數(shù)學(xué)一元二次方程的應(yīng)用培優(yōu)教程考點(diǎn)方法破譯1．能靈活應(yīng)用一元二次方程的四種解法解方程；2．會(huì)建立一元二次方程模型解實(shí)際應(yīng)用題．經(jīng)典考題賞析【例l】(南平)有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有100人患了流感，那么每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為()A．8人B．9人C．10人D．11人【解法指導(dǎo)】構(gòu)建一元二次方程模型求解．設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為x,第一輪被傳染人數(shù)為x，患流感人數(shù)為x+l；第二輪被傳染人數(shù)為x(x+1)，所以l+x+x(x+1)=100，解得x=9．應(yīng)選B．【變式題組】1．(甘肅)近年來，全國(guó)房?jī)r(jià)不斷上漲，某縣2010年4月份的房?jī)r(jià)平均每平方米為3600元，比2008年同期的房?jī)r(jià)平均每平方米上漲了2000元，假設(shè)這兩年該縣房?jī)r(jià)的平均增長(zhǎng)率為x，則關(guān)于x的方程為．2．(襄樊)為了改善居民住房條件，我市計(jì)劃用未來兩年的時(shí)間，將城鎮(zhèn)居民的住房面積由現(xiàn)在的人均約為10m2。提高到12．1m2。，若每年的年增長(zhǎng)率相同，則年增長(zhǎng)率為()A．9％B．10％C．1l％D．12％3．(太原)某種品牌的手機(jī)經(jīng)過四、五月份連續(xù)兩次降價(jià)，每部售價(jià)由3200元降到了2500元．設(shè)平均每月降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意列出的方程是．【例2】(黃石)三角形兩邊的長(zhǎng)是3和4，第三邊的長(zhǎng)是方程x2一12x+35=0的根，則該三角形的周長(zhǎng)為()A．14B．12C．12或14D。以上都不對(duì)【解法指導(dǎo)】方程x2一12x+35=0可化為(x一7)(x一5)=0，解得x=7或x=5，當(dāng)x=7時(shí)，三邊不能構(gòu)成三角形，所以第三邊的長(zhǎng)只能取5，該三角形的周長(zhǎng)為12．應(yīng)選B．【變式題組】4．(青海)方程x2一9x+18=0的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為()A．12B．12或15C．15D．不能確定5．(襄樊)如圖，在平行四邊形ABCD中，AE上BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x一3=0的根，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是()A、B、C、D、或【例3】(莆田)已知⊙O1和⊙O2的半徑分別是一元二次方程（x—1)(x一2)=0的兩根，且O1O2=2，則⊙O1和⊙O2的位置關(guān)系是．【解法指導(dǎo)】依題意，⊙O1和⊙O2的半徑分別為1和2，∵l<O1O2<3，∴⊙O1和⊙O2相交．【變式題組】6．(蘭州)兩圓的圓心距為l，兩圓的半徑分別是方程x2一5x+6=0的兩個(gè)根，則兩圓的位置關(guān)系是()A．外離B．內(nèi)切C．相交D．外切7．(江蘇)某縣2008年農(nóng)民人均年收入為7800元，計(jì)劃到2010年，農(nóng)民人均年收入達(dá)到9100元．設(shè)人均年收入的平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程8．(慶陽)如圖，在寬為20米、長(zhǎng)為30米的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路，余下部分作為耕地．若耕地面積需要55l米。，則修建的路寬應(yīng)為()A、1米B、1．5米C、2米D、2．5米【例4】(白銀)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“⊕”，其法則為：a⊕b=a2-b2，求方程(4⊕3)⊕x=24的解．【解法指導(dǎo)】解此類題要嚴(yán)格按照定義進(jìn)行變換．解：∵a⊕b=a2-b2∴(4⊕3)⊕x=7⊕x=72-x2∴72-x2=25．∴x=±5．【變式題組】9．(全國(guó)競(jìng)賽)對(duì)于實(shí)數(shù)u、v，定義一種運(yùn)算“※”為：u※v=uv+v,若關(guān)于x的方程x※(a※x)=一有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【例5】(十堰)如圖，利用一面墻(墻的長(zhǎng)度不超過45m)，用80m長(zhǎng)的籬笆圍一個(gè)矩形場(chǎng)地．怎樣圍才能使矩形場(chǎng)地的面積為750m2，(2)能否使所圍矩形場(chǎng)地的面積為8l0m2，為什么?【解法指導(dǎo)】解：(1)設(shè)所圍矩形ABCD的長(zhǎng)AB為x米，則寬AD為(80一x)米．依題意，得x·(80一x)=750，即x2一80x+1500=0．解此方程，得x1=30，x2=50．∵墻的長(zhǎng)度不超過45m,∴x2=50不合題意，應(yīng)舍去．當(dāng)x=30時(shí)，(80一x)=×(80—30)=25．所以，當(dāng)所圍矩形長(zhǎng)為30m、寬為25m時(shí)，能使矩形的面積為750m2．(2)不能．因?yàn)橛蓌·(80一x)=810，得x2一80x+1620=0．又∵b2-4ac=(一80)2一4×1×1620=-80<0∴上述方程沒有實(shí)數(shù)根．因此，不能使所圍矩形場(chǎng)地的面積為8l0m2．【變式題組】10．(廣東)某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會(huì)有8l臺(tái)電腦被感染．請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)分析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦?若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過700臺(tái)?鞏固練習(xí)反饋提高，1．(南通)某省為解決農(nóng)村飲用水問題，省財(cái)政部門共投資20億元對(duì)各市的農(nóng)村飲用水的“改水工程”予以一定比例的補(bǔ)助．2008年，A市在省財(cái)政補(bǔ)助的基礎(chǔ)上再投入600萬元用于“改水工程”，計(jì)劃以后每年以相同的增長(zhǎng)率投資，20l0年該市計(jì)劃投資“改水工程”1176萬元．(1)求A市投資“改水工程”的年平均增長(zhǎng)率；(2)從2008年到2010年，A市三年共投資“改水工程”多少萬?2．(長(zhǎng)沙)當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于z的一元二次方程x2—4x+m一=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根?此時(shí)這兩個(gè)實(shí)數(shù)根是多少?3．(貴陽)汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，有效促進(jìn)我國(guó)現(xiàn)代化建設(shè)．某汽車銷售公司2005年盈利1500萬元，到2007年盈利2160萬元，且從2005年到2007年，每年盈利的年增長(zhǎng)率相同。(1)該公司2006年盈利多少萬元?(2)若該公司盈利的年增長(zhǎng)率繼續(xù)保持不變，預(yù)計(jì)2008年盈利多少萬元?4．(慶陽)某企業(yè)2006年盈利1500萬元，2008年克服全球金融危機(jī)的不利影響，仍實(shí)現(xiàn)盈利2160萬元．從2006年到2008年，如果該企業(yè)每年盈利的年增長(zhǎng)率相同，求：(1)該企業(yè)2007年盈利多少萬元?(2)若該企業(yè)盈利的年增長(zhǎng)率繼續(xù)保持不變，預(yù)計(jì)2009年盈利多少萬元?培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè)1．(河南)已知x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2—6x+k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x12x22—x1—x2=115．(1)求k的值；(2)求x12+x22+8的值．2．(臨沂)為落實(shí)素質(zhì)教育要求，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，我市某中學(xué)2009年投資11萬元新增一批電腦，計(jì)劃以后每年以相同的增長(zhǎng)率進(jìn)行投資，2011年投資18．59萬元．(1)求該學(xué)校為新增電腦投資的每年平均增長(zhǎng)率；(2)從2009年到2011年，該中學(xué)三年為新增電腦共投資多少萬元?3．(南寧)如圖，要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰梯形的花壇，花壇上底長(zhǎng)120米，下底長(zhǎng)180米，上下底相距80米，在兩腰中點(diǎn)連線(虛線)處有一條橫向甬道，上下底之間有兩條縱向甬道，各甬道的寬度相等．設(shè)甬道的寬為x米．(1)用含x的式子表示橫向甬道的面積為平方米；(2)當(dāng)三條甬道的面積是梯形面積的八分之一時(shí)，求甬道的寬．4．(廈門)某商店購(gòu)進(jìn)一種商品，單價(jià)30元．試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量P(件)與每件的銷售價(jià)x(元)滿足關(guān)系：P=100—2x．若商店每天銷售這種商品要獲得200元的利潤(rùn)，那么每件商品的售價(jià)應(yīng)定為多少元?每天要售出這種商品多少件?5．(慶陽)如圖．張大叔從市場(chǎng)上買回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方形后，剩下的部分剛好能圍成一個(gè)容積為15米2的無蓋長(zhǎng)方體箱子，且此長(zhǎng)方體箱子的底面長(zhǎng)比寬多2米，現(xiàn)已知購(gòu)買這種鐵皮每平方米需20元錢，問張大叔購(gòu)回這張矩形鐵皮共花了多少元錢?6．(益陽)如圖，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的長(zhǎng)．小萍同學(xué)靈活運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)，將圖形進(jìn)行翻折變換，巧妙地解答了此題．請(qǐng)按照小萍的思路。探究并解答下列問題：(1)分別以AB、AC為對(duì)稱軸，畫出△ABD、△AC