專題第01講與旋轉有關的計算

1.(2023春?秦都區期末)如圖，△48C是等邊三角形，點E在/C邊上，連接將繞點8逆時針

旋轉60°得到AD,連接。￡、AD.

(1)求證：4D=CE；

(2)若3c=8cm,BE=7cm,求的周長.

【分析】(1)利用等邊三角形的性質和判定和旋轉的性質，證明△C2E且即可得解；

(2)由3C=8c%，BE=lcm,結合(1)的結論，等線段轉化，得到的周長.

【解答】(1)證明：???△/3C是等邊三角形，

：.BC=BA,ZABC=60°.

,:BD是由BE繞點B逆時針旋轉60°得到，

：.BD=BE,NEBD=60°,

...△8DE是等邊三角形，

：.ZCBE=ZABD,

.'.△CBE烏AABD(&4S),

：.AD=CE；

(2)解：,.,△45C和△RED都是等邊三角形，

.".AE+AD=AE+CE=AC=BC=^cm,DE=BE=1cm,

AADE的周長為AD+AE+DE=8+7=l5cm.

2.(2023春?北林區期末)如圖，在正方形/BCD中，E,尸是對角線8。上兩點，且/=45°,將4

尸繞點/順時針旋轉90°后，得至！連接￡。.

(1)求證：EF=EQ；

(2)求證：EF2=BE2+DF2.

【分析】(1)直接利用旋轉的性質得出之△/FE(&4S),進而得出即可得出答

案；

（2）利用（1）中所求，再結合勾股定理得出答案.

【解答】證明：（1）:將/繞點/順時針旋轉90°后，得到△42。，

：.QB=DF,4Q=AF,NB4Q=/DAF,

:NEAF=45°,

：.ZDAF+ZBAE=45a,

，/Q4E=45°,

：.ZQAE=ZE4E,

在△NQE和△4FE中

，AQ=AF

<ZQAE=ZFAE-

,AE=AE

:.AAQE咨AAFE（SAS）.

：.EF=EQ；

（2）由（1）得AAQE咨AAFE,

：.QE=EF,

由旋轉的性質，得NABQ=ZADF,

ZADF+ZABD^90°,

則ZQBE=ZABQ+ZABD=90°,

在RtZXQBE中，

QB2+BE1=QE1,

又,：QB=DF,

：.EF2=BE2+DF2.

3.（2022秋?同心縣期末）如圖，△A8C是等邊三角形，點。在4C邊上，將△BCD繞點C旋轉得到44CE.

（1）求證：△CDE是等邊三角形；

（2）若45=8,BD=7,求的周長.

【分析】（1）由旋轉的性質可得CO=CE,/ACB=/ACE=60°,可得NCDE=60°=ZACB,可證

DE//BC-,

（2）由旋轉的性質可得4&=5。=7,即可求△/￡）￡1的周長.

【解答】（1）證明：：△NBC是等邊三角形，

：.AB=BC=AC,ZACB=60°,

:將△BCD繞點C旋轉得到△，《￡1.

：.CD=CE,NACB=NDCE=6Q°,

.?.△COE是等邊三角形；

(2)解：：將△BCD繞點C旋轉得到△NCE.

：.AE=BD=1,

"：/\ADE的周長=/E+DE+4D=/E+DC+AD=NE+NC,

AADE的周長=7+8=15.

4.(2023春?清遠期末)如圖，在△/8C中，點￡在3c邊上，AE=AB,將線段/C繞N點旋轉到/歹的位

置，使得NC4F=NB4E,連接跖，EF與AC交于點、G.

(1)求證：BC=EF；

(2)若//8C=64°,ZACB=25°,求/4GE的度數.

【分析】(1)由旋轉的性質可得/C=4F,利用&4s證明△NBC也△/",根據全等三角形的對應邊相等

即可得出EF=BC；

(2)根據等腰三角形的性質以及三角形內角和定理求出NA4E=180°-64°X2=52°,那么NK4G=

52°.由得出/尸=NC=25°,再根據三角形外角的性質即可求出N4GE=N/GC=

ZE4G+ZF=77°.

【解答】(1)證明："：ZCAF=ZBAE,

：.NBAC=ZEAF.

:將線段/C繞/點旋轉到/尸的位置，

：.AC=AF.

在△NBC與尸中，

'AB=AE

<ZBAC=ZEAF-

.AC=AF

:.AABC沿AAEF(SAS),

:.BC=EF；

(2)解：:AB=AE,ZABC=64°,

/.ZBAE=lS00-64°X2=52°,

/.ZFAG=ZBAE=52°.

,：4ABC咨AAEF,

：.ZF=ZC=25°,

:./FGC=NFAG+NF=52°+25°=77°,

:./AGE=17°.

5.（2023春?白銀期中）如圖，在四邊形48CD中，N3CD=120°,BC=CD,AC±BD,點￡在對角線

B。上,將線段CE繞點。順時針旋轉120°,得到線段CF,連接。足

（1）求證：BE=DF；

（2）若EB=EC,求證：ACLCF.

【分析】(1)首先根據旋轉的性質得到N8CD=N￡CF=/120°,CE=CF,然后證明出△BECg△。尸C

(.SAS),即可得到

(2)根據等邊對等角得到NCAD=NCD3,然后利用全等三角形的性質得到NCDP=NCa),進而證明

CF//BD,最后利用平行線的性質求解即可.

【解答】證明：(1)由旋轉性質得：ZBCD=ZECF=nO°,CE=CF,

/BCE=ZDCF,

又,：BC=CD,

:.△BEC妾4DFC(&4S),

：.BE=DF；

(2)'：BC=CD,

：.ZCBD=ZCDB,

若EB=EC,則ZCBD=ZBCE=ZCDB,

■:△BEC迫ADFC(SAS),

：.ZCDF=ZCBD,

：.ZDCF^ZCDB,

C.CF//BD,

'JACLBD,

J.ACYCF.

6.(2023春?南城縣期中)如圖，點。是等邊三角形/8C內一點，將CO繞點。順時針旋轉60°得到CD,

連接O￡>,AO,BO,AD.

(1)求證：BO=AD；

(2)若。/=10,08=8,OC=6,求。的度數.

【分析】(1)由旋轉的性質就可以證明△8CO四

(2)先證出△0CD是等邊三角形，又根據△BC。絲得出40=08=8,NBOC=NADC,再根

據勾股定理的逆定理得出//。。=90°,等量代換得出N8OC=150°.

【解答】(1)證明：：CO繞點C順時針旋轉60。得到CZ),

：.CO=CD,NOCD=60°,

:LABC是等邊三角形，

；.CA=CB,NBCA=NOCD=60°,

：.ZBCA=ZOCD,ZBCO=ZACD,

在△BC。和△/CD中，CA=CB,NBCO=NACD,CO=CD,

：./\BCO^/\ACD(SAS),

：.BO=AD.

(2)解：'：CO=CD,ZOCD=60°,

...△OCD是等邊三角形，

：.OD=OC=6,ZODC=60°,

；ABCO沿LACD,

.\AD=OB=8,ZBOC=ZADC,

■：OA=10,

：.OA2=AD2+OD2,

：.ZADO^90°,

/.ZADC=ZADO+ZODC^90°+60°=150°,

AZBOC^ZADC^150°.

7.(2023春?羅源縣校級期中)如圖，先將△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△￡＞口?,再將線段。E繞點

。順時針旋轉90°得到。G,連接BE、BG、AD,且/C=4.

(1)若//BC=135°.B、E、。三點在同一條直線上，求3G的長；

(2)若//8C=90°,NC=2CE,點尸在邊48上，求線段尸〃的最小值.

A

G

CD

【分析】（1）由旋轉的性質可得N/CD=90°=ZBCE,AB=DE,BC=CE,AC=CD,ZABC=ZDEC

=135°,由等腰三角形的性質可得/AE'C=45°=NCBE,可證NBEC+/CED=180°,通過證明四邊

形/BAG是矩形，可得/D=8G,由等腰直角三角形的性質可求解；

（2）由垂線段最短可得當尸時，尸。的長度有最小值，先證點尸，點￡,點。三點共線，由勾股

定理可求。￡的長，由正方形的性質可得8C=P￡=2,即可求解.

【解答】解：（1）如圖，連接/G,

:將△ASC繞點C順時針旋轉90°得到△DEC,

:.AABC咨ADEC,N/CD=90°=NBCE,

：.AB=DE,BC=CE,AC=CD,

NABC=NDEC=135°,

：.ZBEC=450=NCBE,

:.NBEC+NCED=180°,

:.B、E、。三點共線；

:將線段DE繞點D順時針旋轉90°得到DG,

：.DE=DG,NEDG=90°

：.AB=DE=DG,

VZABE=AABC-ZCBE=90Q,

：.ZABE+ZEDG=1SO°,

：.AB//DG,

，四邊形/ADG是平行四邊形，

又,:NBDG=90°

，四邊形/2DG是矩形，

：.AD=BG,

：/C=CD=4,ZACD=90°,

:.AD=aAC=4e,

BG=442,

(2):點尸在邊上，

/.當PD工AB時，PD的長度有最小值,

由旋轉的性質可得：

/ABC=/CED=NBCE=90°,

C.BC//DE,

；N4BC+/BPD=180°,

：.DP//BC,

...點P,點E,點。三點共線，

'：AC=2CE,

：.BC=CE=2,

又：NABC=/BPE=/BCE=9Q°,

四邊形3P￡C是正方形，

：.BC=PE=2,

\S=/C=4,CE=2,NCED=90°,

￡>￡=VCD2-CE2=V16-4=273'

；.￡>尸=2娟+2,

，線段PD的最小值為273+2.

8.(2023春?成武縣期中)已知AB=AC,AB>BC.

F

(1)如圖(1),CB平分/4CD,求證：四邊形/ADC是菱形；

(2)如圖(2),將(1)中的△(7￡)￡繞點C逆時針旋轉(旋轉角小于/3/C),BC,的延長線相交

于點R用等式表示N4CE與NEFC之間的數量關系，并證明.

【分析】(1)根據全等三角形的性質得到ZC=QC,根據角平分線的定義得到NOC8=N4C3,證明四

邊形45C。為平行四邊形，根據菱形的判定定理證明結論；

(2)根據全等三角形的性質得到N45C=NZ)EC,根據三角形內角和定理證明即可.

【解答】(1)證明：?：AABC"4DEC,

：,AC=DC,

*：AB=AC,

:?/ABC=/ACB,AB=DC,

???C5平分NZC。，

???/DCB=/ACB,

：./ABC=/DCB,

：.AB//CD,

???四邊形ABDC為平行四邊形，

U：AB=AC,

???平行四邊形45。。為菱形；

(2)解：ZACE+ZEFC=\SO°,

理由如下：VAABC^ADEC,

：.NABC=/DEC,

：./ACB=/DEC,

?：/ACB+NACF=NDEC+/CEF=180°,

；?NCEF=/ACF,

■:/CEF+/ECF+NEFC=180°,

AZACF+ZECF+ZEFC=\SO°,

AZACE+ZEFC=\SO°.

9.(2023春?九江期末)如圖，在RtZ\/5C中，ZBCA=90°,將△NBC繞點4逆時針旋轉至處，

分別延長與瓦＞交于點R連接ZRCE.

(1)求證：E4平分NCFE；

(2)若S四邊形/BFD=12,AC—4,求CE的長.

【分析】⑴根據旋轉的性質知NC=/￡,/ACB=NAED=9Q。，再利用角平分線的判定可得結論；

(2)根據旋轉前后三角形全等可得S四邊形/c尸E=12,再說明S△〃尸=S.EF=6,則CF=3,最后利用面

積法求出CE的長即可.

【解答】(1)證明：：將A/BC繞點/逆時針旋轉至△4DE處，分別延長3C與皮)交于點R

；.AC=AE,NACB=/AED=90°,

:.AF平分NCFE；

(2)解：,:S四邊形45FZ)=12,

??S四邊形44方7)=S四邊形4CFD+S445CM12,

?*S四邊形4CFE=12，

???￡4平分NCFE,ZACF=ZAEF=90°,

AZCAF=/EAF,

U：AC=AE,

???//垂直平分CE,

：.CF=EF,

S^ACF=S叢AEF=6，

：.CF=3,

在RtZX/CF中，由勾股定理得，AF=5,

?G—2X1224

AF5

10.(2023春?吁胎縣期末)如圖，將矩形/BCD繞點C旋轉得到矩形FECG,點￡在4D上，延長助交

FG于點、H.連接BE、CH.

(1)四邊形3E//C是怎樣的特殊四邊形？證明你的結論；

(2)若3C長為2,則的長為時，四邊形3EHC為菱形.

【分析】(1)依據題意可得到FE=N2=OC,NF=NEDC=90°,FH//EC,利用平行線的性質可證明

ZFHE=ZCED,然后依據44s證明△EDC且△處E,由全等三角形的性質可知EC,由旋轉的性

質可得到8C=EC,從而可證明E8=2C,最后依據平行四邊形的判定定理進行證明即可；

(2)連接2E.可證明△E2C為等邊三角形，則N/8E=30°,利用特殊銳角三角函數值可得到答案.

【解答】解：(1)四邊形8EHC是平行四邊形.

證明：?.?四邊形尾CG是矩形，

J.FG//EC,

：.ZCED=ZEHF,

;四邊形廠ECG是矩形，

:.NEDC=/F=90°,DC=FE,

在AEDC和△毋E中，

，ZCED=ZEHF

<ZEDC=ZF，

.DC=FE

：./\EDC^/\HFECAAS),

:.EH=EC,

,：矩形FECG由矩形ABCD旋轉得到，

:.EH=EC=BC,EH//BC,

...四邊形BEHC為平行四邊形；

(2)當/8=正時，四邊形是菱形,

連接AE.

?..四邊形3瓦C為菱形，

:.BE=BC.

由旋轉的性質可知BC=EC.

：.BE=EC=BC.

：.A￡SC為等邊三角形.

/.ZE5C=60°.

；.N4BE=30°.

：.AB：BE=M：2.

又,：BE=CB=2,

:.AB=M.

故答案為：Vs-

11.（2023春?平山縣期末）如圖，PQ//MN,A、2分別為直線血W、P。上兩點，且NB/N=45°,若射線

繞點/順時針旋轉至/N后立即回轉，射線3。繞點3逆時針旋轉至3P后立即回轉，兩射線分別繞

點/、點2不停地旋轉，若射線轉動的速度是/秒，射線3。轉動的速度是//秒，且°、6滿足

\a-5|+(6-1)2=0.(友情提醒：鐘表指針走動的方向為順時針方向)

(1)a—,b=；

(2)若射線NM、射線3。同時旋轉，間至少旋轉多少秒時，射線/M、射線8。互相垂直.

(3)若射線AM繞點A順時針先轉動18秒，射線BQ才開始繞點B逆時針旋轉，在射線BQ到達BA之

(2)依據/480+/8/。=90°,N/2Q+NR4M=180°,即可得到射線/“、射線8。第一次互相垂直

的時間；

(3)分兩種情況討論，依據〃時，BQ//AM",列出方程即可得到射線/“、射線2。

互相平行時的時間.

【解答】解：(1)|0-5|+(6-1)2=0,

'.a-5=0,b-1=0,

??6Z=5,6=1,

故答案為：5,1；

(2)設至少旋轉方秒時，射線4M、射線5。互相垂直.

如圖，設旋轉后的射線ZM、射線5。交于點O,貝IJ50L40,

AZABO+ZBAO=90°,

9：PQ//MN,

：.ZABQ+ZBAM=180°,

：.ZOBQ+ZOAM=90°,

又?：/OBQ=t°,ZOAM=5t°,

：.t°+5t°=90°,

.'.t=15(s)；

(3)設射線再轉動f秒時，射線//、射線5。互相平行.

如圖，射線繞點/順時針先轉動18秒后，4W轉動至4W1的位置，/M4Af=18X5=90°,

分兩種情況：

①當9</<18時，NQBQ'=t°,/MAM"=5t°,

VZBAN=45°=ZABQ,

：.ZABQ'=45°-t°,NBAM"=/M4M"-ZMAB=5t-45

當NABQ'=NBAM"時，BQ'//AM",

此時，45°-1°=5f-45°,

解得f=15；

②當18c/<27時，ZQBQ'=t°,ZNAM"=5t°-90°,

■:NBAN=45°=/ABQ,

：.ZABQ'=45°-t°,ZBAM"=45°-(5?°-90°)=135°-5t°,

當NABQ=NBAM"時，BQ'//AM",

此時，45°-f=135°-5t,

解得1=225；

綜上所述，射線4"再轉動15秒或22.5秒時，射線4W、射線3。互相平行.

12.(2023春?振興區校級期中)如圖(1),在△NBC中，AB=AC=2,ZABC=30°,射線于點

C,動點。從點2出發沿射線3M方向運動；以每秒1個單位長度的速度運動，運動時間為/秒；

(1)以點/為旋轉中心，將4D逆時針旋轉120°,得到線段NE,連接BE,BE是否存在最小值，不存

在，則說明理由，存在則求出3E最小時的/值及8E的最小值；

(2)若射線為/4B”的平分線，當點。從2點出發時，點廠從點/向3點與點。同時同速運動(0

W/W2),連接ED交8N于點G,當ABG9為等腰三角形時，直接寫出所有可能的/值.

【分析】（1）根據“垂線段最短”可知：當時，BE為最小.過點N作于點H先證

ZDAH=ZE,進而可依據“44S”判定和4即/全等，從而得4H=BE,DH=AB=2,然后再

求出8〃=1,AH=V3,進而可得出答案；

（2）先求出MBN=NABN=30°,BD=AF=t,根據ABG尸為等腰三角形，有以下三種情況：①當G尸

時，則/用6=//68=/。86=30°,故此種情況不存在；②當8尸=3G時，則/G3P=NGFS

=30°,貝1]/2。尸=90°,據此得8/=22。=23則尸田尸=汁2f=2,由此即可求出f的值；③當

時，則N8GF=NB尸G=L（180°-30°）=75°,過點G作G7_L3。于點7,先證△GD7

2

為等腰直角三角形，誼DT=GT=x,則8G=2x,BT=43x,BD=BT+DT=（73+1）x=t,由此得

x=（愿”t,則①7=BG=2X=（V3-1）再由/8=5P+NF=2得（a-l）t+t=2，由此即可求

出f的值，綜上所述即可得出答案.

【解答】解：（1）存在最小值.

根據“垂線段最短”可知：當時，BE為最小.

"：BELAB,

AZE+ZBAE=90°,

過點/作2M于點X,如圖：

U：MBLBC,

：.AH//BC,

：.ZHAB=ZABC=30°,

由旋轉的性質得：ZDAE=120°,AD=AE,

：.ZDAH+ZHAB+ZBAE=120°,

AZDAH+ZBAE=120°-ZHAB=nO°-30°=90°,

???ZDAH=NE,

■:AHLBM,BELAB,

：.ZAHD=ZEBA=90°,

在和中，

<ZAHD=ZEBA=90°

<ZDAH=ZE，

AD=AE

：?dAHD沿/\EBA(AAS)f

：?AH=BE,DH=AB=2,

":BMLBC,ZABC=30°,

AZABD=60°,

在中，ZABH=60°,AB=2,

AZBAH=30°,

；?BH=LB=LX2=1,

22

由勾股定理得：AH=7AB2-BH2=722-12=V3,

BE=AH=V3^BD=DH+BH=2+\=3,

???運動的時間￡=3+1=3秒，BE的最小值為

(2)由(1)可知：ZABM=60°,

：8N為//AWr的平分線，

：.MBN=ZABN=30°,

:當點。從8點出發時，點/從點/向8點與點。同時同速運動,

速度每秒1個單位長度，時間為/秒，

：.BD=AF=t,

當ABG尸為等腰三角形時，有以下三種情況：

■:/DBG=30°,

:.NFGB=NDBG=30°,這與三角形的任意一個外角都大于和它不相鄰的一個內角相矛盾，此種情況

不存在；

VZDBF^60°,

:./BDF=90°,

在RtZkBD尸中，NBFD=3Q°,

：.BF=2BD=2t,

：.AB=AF+BF=t+2t=2,

解得：

3

③當2G=2尸時，則尸G=/(180°-30°)=75°,過點G作GT_L2。于點T,如圖:

Mi

BC

,/ZBGF=ZDBG+ZGDT,

：.ZGDT^ZBGF-ZDBG=15°-30°=45°,

.?.△GDT為等腰直角三角形，

設DT=GT=x,

在RtZ\8TG中，/TBG=30°,TG=x,則8G=2x,

由勾股定理得：BT=7BG2-TG2=V3X,

???BD=BT+DT=V3x+x=(V3+1)x=t，

?_-i)t

"x=2

：.BF=BG=2x=(5/3-1)/,

:.AB=BF+AF=2,

即：(娟-l)t+t=2，

解得：

3

綜上所述：當△5GF為等腰三角形時，/的值為2或國2.

33

13.(2023春?遷安市期中)老師在黑板上出示題目：

如圖1,在中，//=32°,ZC=

55°,線段CB'與C8邊重合，CB，從現

在的位置繞著點C按逆時針方向旋轉一周

回到原來的位置是否有一位置使CB'//

AB?如果有這樣的位置，請畫出示意圖，并

求出/3C2'的度數，如果沒有說明理由

（1）（如圖2）嘉嘉認為：有這樣一個位置，使得C夕//AB,如圖.請你按照嘉嘉的做法，求出/8CZT

的度數.

（2）（如圖3）琪琪認為：嘉嘉的想法不全面，還存在另外一種情況使得C3'〃/8你是否同意琪琪的

說法？如果同意，請畫出圖形，并求出此時夕的度數；如果不同意，請說明理由.

圖1圖2圖3

【分析】(1)由C5'可得乙4+N4C8'=180°,再由乙4=32°,得到//C8'=148°,最后求

出N8C2'的度數即可；

(2)由C5'//AB可得//CA=ZA=32°,再求出/3CB'度數.

【解答】解：(1)如圖1當CB'//AB,

所以N/+N/C8'=180°,

因為N/=32°,

所以N/C8'=148°,

因為N4C3=55°,

所以/8C5'=148°-55°=93°,

(2)同意，

所以/次CA=ZA=32°,

所以/8CB'=/B'G4+N4=87°,

14.(2022秋?青山湖區期末)閱讀下面材料，并解決問題：

(1)如圖①等邊△/BC內有一點P,若點尸到頂點/、B、C的距離分別為3,4,5,求NAP8的度數.

為了解決本題，我們可以將△48P繞頂點N旋轉到△NCP處，此時出AABP,這樣就可以利

用旋轉變換，將三條線段以、PB、尸C轉化到一個三角形中，從而求出入4尸3=；

(2)基本運用

請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題

已知如圖②，△48C中，ZCAB=90°,AB=AC,E、歹為3C上的點且/ENF=45°,求證：EF2=

BE2+FC2；

（3）能力提升

如圖③，在RtzX/BC中，ZC=90°,/C=l,/48C=30°,點。為RtZ\/2C內一點，連接/。，BO,

CO,且N/OC=/COB=/2CM=120°,求。/+03+0C的值.

【分析】（1）根據旋轉變換前后的兩個三角形全等，全等三角形對應邊相等，全等三角形對應角相等以

及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；

（2）把A/BE1繞點/逆時針旋轉90°得到△4CE',根據旋轉的性質可得4E'=AE,CE'=CE,Z

CAE'=NBAE,NACE'=ZB,ZEAE'=90°,再求出/E'AF=45°,從而得到AF,

然后利用“邊角邊”證明△￡//和△￡'/斤全等，根據全等三角形對應邊相等可得0F=EF,再利用

勾股定理列式即可得證.

（3）將△NO8繞點8順時針旋轉60°至△⑷O'B處,連接O。'，根據直角三角形30°角所對的直

角邊等于斜邊的一半求出N3=2ZC,即/2的長，再根據旋轉的性質求出△80。'是等邊三角形，根

據等邊三角形的三條邊都相等可得20=00,，等邊三角形三個角都是60°求出N2。。'=ZBO'。=

60°,然后求出C、。、/'、O'四點共線，再利用勾股定理列式求出HC,從而得到。N+08+0C=H

C.

【解答】解：（1）v/\ACP'咨AABP,

：.AP'=/尸=3、CP'=BP=4、ZAP'C=NAPB,

由題意知旋轉角/為P=60°,

：./\APP'為等邊三角形，

PP'=/P=3,ZAP'P=60°,

易證△尸尸'。為直角三角形，且/尸PC=90",

/.ZAPB=ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°；

故答案為：150°；

(2)如圖2,把△ZAE1繞點/逆時針旋轉90°得到△/(?￡1',

由旋轉的性質得，AE'=AE,CE'=BE,ACAE'=ZBAE,AACE'=/B,AEAE'=90°,

:NEAF=45°,

：./E'AF=NCAE'+NCAF=/BAE+/CAF=/BAC-NEAF=9Q°-45°=45°

/.ZEAF=ZE'AF,

在△￡/尸和△￡1'4F中，

'AE=AE'

-ZEAF=ZEyAF

.AF=AF

/\EAF^/\E'AF(S4S),

：.E'F=EF,

,：ZCAB^90°,AB=AC,

：./B=/ACB=45°,

：.ZE'CF=45°+45°=90°,

由勾股定理得，E'F?=CE'2+FC2,

即EF2^BE2+FC2.

：?4B=2,

A5C=VAB2-AC2=V3?

:△/OB繞點5順時針方向旋轉60°,

O'5如圖所示；

NHBC=ZABC+60°=30°+60°=90°,

VZC=90°,AC=\,ZABC=30°,

：.AB=2AC=2,

繞點5順時針方向旋轉60°,得到O'B,

：.A'B=AB=2,BO=BO,,A'O'=40,

：./\BOO'是等邊三角形，

：.80=00',ABOO'=ZBO'0=60°,

VAAOC=ZCOB=ZBOA=120°,

：.ZCOB+ZBOO'=/BO'A'+ZBOOf=120°+60°=180°,

???C、0、4，、O'四點共線，

在RtzXH中，A'C=7BC2+A'B2=V(V3)2+22=V7-

：.OA+OB+OC=A'O'+OO'+OC=A'C=板.

15.(2023春?清江浦區期末)如圖1,點N在直線MN上，點8在直線P0上，射線NC繞點/

順時針從射線旋轉至射線NN后便立即回轉；射線BD繞點B順時針從射線BP旋轉至射線BQ后便

立即回轉：射線ZC、射線3。不停地來回旋轉.若射線/C轉動的速度是a度/秒，射線轉動的速度

是b度/秒，且a、6是方程a+3b=6的正整數解.

Q-----------------------------P

M―-------------------------N

A

備用圖

(1)a=,b=；

(2)如圖2,若/BAN=45。,兩條射線同時轉動，在射線NC到達NN之前，若兩條射線交于點E,過

E作交P。于R若NBEF=20°,求NA4c的度數；

(3)若射線AD先轉動30秒，射線/C才開始轉動，在射線AD到達2。之前，射線/C轉動幾秒，射

線/C與射線互相平行？

【分析】(1)根據二元一次方程的解，a,6為正整數，即可求解；

(2)設運動時間為7,依題意，ZMAC=3t,則NE/N=180°-ZM4￡=180°-3/，ZPBE=t0,

過點E作EH//PQ,則EH//MN,根據平行線的性質得出180°-If,根據已知條件得出ZBEM

=70°,建立方程求得/,進而得出/E/N=15°,根據NA4N=45°,進而即可求解；

(3)依題意，線3。先轉動30秒，射線/C才開始轉動，當NC到達NN之前，當/C從NN返回且到

達前，根據平行線的性質，列出方程，解方程即可求解.

【解答】解：(1)：。+36=6,a,b為正整數，

.,.。=3,b—1；

(2)設運動時間為,，

依題意，/MAC=3t,則NE4N=180°-NM4E=180°-3t°,ZPBE=t°,

過點E作〃尸Q,貝〃腸V,

,:EH〃PQ,

：.ZPBE=/BEH,

■:EH〃MN,

：./HEM=/EAN,

:?/BEM=/BEH+/MEH=/PBE+/NAE=\80°-3t°+t°=180°-2t°,

\UEF±AC,

：.ZAEF=90°,

VZBEF=20°,

:?/BEM=70°,

.,.70°=180°-2t°,

解得：f=55,

AZEAN=lS0°-3°X55=15°,

：.ZBAC=ZBAN-ZEAN=45°-15°=30°；

（3）依題意，線8。先轉動30秒，射線NC才開始轉動，

當4C到達/N之前，當時，則NM4C=N尸3。，

.*.3Z=30+6

解得：，=15；

當4C從ZN返回且到達4M前，當時，則NC4N+N尸180°,

：.3t-180+（30+力=180,

解得:￡=82.5.

16.（2023春?蒸湘區期末）如圖，有一副直角三角板如圖1放置（其中NO=45°,ZC=30°）,PA,PB

與直線AW重合，且三角板以C,三角板尸均可以繞點尸逆時針旋轉.

（1）在圖1中，ZDPC=；

（2）①如圖2,若三角板尸AD保持不動，三角板Q4C繞點尸逆時針旋轉，轉速為10°/秒，轉動一周

三角板以。就停止轉動，在旋轉的過程中，當旋轉時間為多少時，有PC〃DB成立;

②如圖3,在圖1基礎上，若三角板B4C的邊刃從尸N處開始繞點尸逆時針旋轉，轉速為3°/秒，同

時三角板尸AD的邊尸3從W處開始繞點P逆時針旋轉，轉速為2°/秒，當PC轉到與PW位置重合時,

兩三角板都停止轉動，在旋轉過程中，當時，求旋轉的時間是多少？

【分析】(1)根據平角的定義即可得到結論；

(2)①如圖1,根據平行線的性質得到/CPN=ND3P=90°,求得N/PN=30°,于是得到結論；如

圖2,根據平行線的性質得到NCP3=/￡>3P=90°,根據三角形的內角和得到/CB4=60°,求得//尸”

=30°,于是得到結論;

②設旋轉的時間為，秒，由題知，/APN=3t°,尸M=2/°,根據周角的定義得到/。尸。=360°-

ZBPD-ZBPN-ZAPN-ZAPC=360°-45(180°-If)-(3f)-60°=75°-t°,列方

程即可得到結論.

【解答】解：(1):NBPD=ND=45°,/4PC=60°,

AZDPC=180°-45°-60°=75°,

故答案為：75。；

(2)①如圖1,此時，BD〃PC成立,

,:PC〃BD,ZDBP=90°,

：.NCPN=NDBP=90°,

：NC=30°,

.\ZCB4=60°,

:./APN=30°,

:轉速為10°/秒，

...旋轉時間為3秒；

如圖2,PC//BD,

'：PC//BD,NPBD=90°,

：.ZCPB=ZDBP=90°,

VZC=30°,

：.ZCPA=60°,

AZAPM^30°,

:三角板以C繞點尸逆時針旋轉。的角度為180°+30°=210°,

:轉速為10°/秒，

旋轉時間為21秒,

綜上所述，當旋轉時間為3或21秒時，PC〃DB成立;

②設旋轉的時間為/秒，由題知，NAPN=3t°,NBPM=2t°,

:.NBPN=18Q°-Z5m=180°-If,

：.ZCPD=3600-ZBPD-ZBPN-ZAPN-ZAPC=360°-45°-(180°-2t°)-(3f°)-60°

=75°-t°,

當/CPD=/BPM,即2/=75°-t°,

解得：f=25,

當ZCPD=ZBPM,求旋轉的時間是25秒.

17.(2023春?雄縣期中)教材中有這樣一道題：如圖1,四邊形/BCD是正方形，G是BC上的任意一點,

OE_L4G于點E,BF//DE,且交ZG于點?求證：AF-BF=EF.

圖1圖2圖3

小明通過證明△/即2△3E4解決了問題，在此基礎上他進一步提出了以下以下回題，請你解答.

(1)若圖1中的點G為C2延長線上一點，其余條件不變，如圖2所示，猜想此時//，BF,斯之間

的數量關系，并證明你的結論.

(2)將圖1中的尸繞點/逆時針旋轉，使得與重合，記此時點尸的對應點為點尸，如圖3

所示，若正方形的邊長為3,求防的長度.

【分析】由四邊形/8CO為正方形，可得出為90°,AB=AD,進而得到NB/G與NE/。互余,

又垂直于/G,得到NE4D與N/OE互余，根據同角的余角相等可得出乙8/凡禾！］用44s

可得出三角形N8/與三角形/￡)￡全等，得出8尸=4￡,由4尸-/￡=￡■等量代換可得證；

a)利用AAS證明△/￡。g八8。/,推出BF=AE,即可得到AF+BF=EF-,

(2)利用旋轉的性質以及矩形的判定定理得到四邊形ZED尸是矩形，根據矩形的性質即可求解.

【解答】證明：如圖，△NAF繞點/逆時針旋轉，使得A5與4D重合，記此時點尸的對應點為點尸，

連接EF、DF',

:正方形NBC。，

:.AB=AD,ABAD=ZBAG+ZEAD=90°,

"：DELAG,

：.ZAED=90°,

ZEAD+ZADE=90,

：.NADE=ZBAF,

又,：BFHDE,

：.NAFB=NAED=90

在和△出％中，

，ZAED=ZAFB

<NADE=/BAF，

1AD=AB

:.AAED咨ABE4(A4S)；

:.BF=AE,

,：AF-AE=EF,

：.AF-BF=EF；

解：⑴AF+BF=EF.證明如下：

?正方形/BCD,

：.AB=AD,NBAD=NBAG+NEAD=90°.

\'DE±AG,

：.ZAED=90°.

：.ZEAD+ZADE=9Q°.

：.ZADE=NBAF.

又,：BF//DE,

：.ZAFB=ZAED=90°.

在A4ED和△瓦弘中，

VZAFB=ZAED,NADE=NBAF,AB=AD.

：.AAED^ABDA(AAS).

：.BF=AE.

"：AF+AE=EF,

：.AF+BF=EF.

(2)如圖,

A

B

由題設得,

：.AF=DE,

由旋轉的性質知：/E4F=90°,DE=AF=AF,

；./FAE=NAED=90°,

：.AF//ED.

...四邊形尸為平行四邊形.

又,：NAED=90°,

，四邊形/皮>尸是矩形.

：.EF=AD=3.

18.（2023春?長垣市期末）綜合與實踐

數學社團的同學以“兩條平行線43,CD和一塊含45°角的直角三角尺EFG（NEFG=90°）”為主題

開展數學活動，已知點￡,廠不可能同時落在直線和CD之間.

探究：（1）如圖1,把三角尺的45°角的頂點￡,G分別放在48,CD上,若N8EG=150°,求/少GC

的度數;

類比：（2）如圖2,把三角尺的銳角頂點G放在CD上，且保持不動，若點￡恰好落在和CD之間,

且與所所夾銳角為25°,求乙FGC的度數;

遷移：（3）把三角尺的銳角頂點G放在CD上，且保持不動，旋轉三角尺，若存在/FGC=5/DG￡（/

DGE<45°）,直接寫出射線GF與A3所夾銳角的度數.

A----------------------------B

C-----------------D

G

圖1圖2備用圖

【分析】(1)根據平行線的性質可得N5EG=NEGC,即可求解.

(2)先求出NEGC的度數即可求解.

(3)根據題意分兩種情況進行討論，點E在。。上方和在CD下方兩種情況求解即可.

【解答】解：(1)-AB//CD,

：.ZBEG=ZEGC=150°,

VZFGE=45°,

AZFGC=150°-45°=105°；

(2)過點E作瓦/〃45,如圖，

AZBME=ZFEH=25°,ZDGE=ZHEG.

：.ZFEG=ZFEH+ZGEH=ZBME+ZDGE=45°,

AZDGE=45°-25°=20°,

AZFGC=180°-45°-20°=115°；

(3)存在，有兩種情況；

①②當點E在CD上方時，如圖；

ZFGC=5ZDGE,

：.ZDGE+5ZDGEU5°=180°,

：./DGE=225°,

???射線Gb與45所夾銳角的度數為45°+22.5°=67.5°；

②當點E在。。上方時，如圖；

ZFGC=5ZDGE,

：.ZFGC+ZFGZ)=180°,

即5/DGE+45。-ZDG￡=180°,

AZZ>GE=43.75°,

二射線GF與48所夾銳角=/FGD=45°-43.75°=11.25°,

綜上所述射線G尸與N3所夾銳角的度數為67.5°或11.25°.

19.(2023春?陽城縣期末)如圖1,將一副