專題18全等與相似模型之十字模型

幾何學是數學的一個重要分支，研究的是形狀、大小和相對位置等幾何對象的性質和變換。在初中幾

何學中，十字模型就是綜合了上述知識的一個重要模型。本專題就十字模型相關的考點作梳理，幫助學生

更好地理解和掌握。

模型1.正方形的十字架模型（全等模型）

“十字形”模型，基本特征是在正方形中構成了一個互相重直的“十字形”，由此產生了兩組相等的銳角

及一組全等的三角形。

1）如圖1,在正方形/BCD中，若E、尸分別是BC、CD上的點，AELBF-,則AE=BF.

2）如圖2,在正方形/BCD中，若￡、F、G分別是BC、CD、4g上的點，AELGF-,貝I]AE=GF。

3）如圖3,在正方形N8CZ）中，若￡、F、G、〃分別是8C、CD、AB、49上的點，EHLGF；則HE=GF。

模型巧記：正方形內十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.

例1.（22.23下?廣東?課時練習）如圖，將一邊長為12的正方形紙片/BCD的頂點/折疊至DC邊上的點

E,使。￡=5,若折痕為尸。，則尸。的長為（）

A.13B.14C.15D.16

例2.（2023年遼寧省丹東市中考數學真題）如圖，在正方形/BCD中，48=12,點￡,月分別在邊3C,

CD上，/E與BF相交于點G,若BE=CF=5,則8G的長為.

例3.（2023安徽省蕪湖市九年級期中）如圖，正方形/BCD中，點E、F、77分別是BC、CD的中點,

CE、DF交手G,連接NG、HG.下列結論：①CE工DF；（2）AG=DG；（3）ZCHG=ZDAG；

（4）2HG=AD.正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

例4.（廣西2022-2023學年九年級月考）（1）感知：如圖①，在正方形/BCD中，E為邊上一點（點

￡不與點45重合），連接。￡,過點4作JFLQE,交BC于點、F,證明：DE=AF.

（2）探究：如圖②，在正方形48CD中，E,尸分別為邊A8,CD上的點（點E,尸不與正方形的頂點重

合）,連接M,作所的垂線分別交邊4D,8c于點G,H,垂足為。若￡為N8中點,DF=\,48=4,

求G8的長.（3）應用：如圖③，在正方形4BCD中，點E,尸分別在2C,CD上，BE=CF,BF,AE

相交于點G.若/B=3,圖中陰影部分的面積與正方形/BCD的面積之比為2：3,貝！U4BG的面積為,

△4BG的周長為.

圖①圖②圖③

模型2.矩形的十字架模型（相似模型）

矩形的十字架模型：矩形相對兩邊上的任意兩點聯結的線段是互相垂直的，此時這兩條線段的的比等于矩

形的兩邊之比。通過平移線段構造基本圖形，再借助相似三角形和平行四邊的性質求得線段間的比例關系。

如圖1,在矩形N5CD中，若￡是上的點，MDEA.AC,則變=生

ACAB

則空=蛆

ACAB

如圖3,在矩形/BCD中，若E、F、M、N分別是45、CD、AD,3C上的點，且E7LLMV,則里=變

MNAB

例1.（2223下?廣西?九年級期中）如圖，把邊長為/8=2近，3c=4且=45。的平行四邊形/BCD對

折，使點3和。重合，求折痕MV的長.

例2.（22?23下?河北?九年級期中）如圖，在矩形/BCD中，E、F、G、〃分別為ND、BC、AB、CD

邊上的點，當EF_LGH時，證明：EF-.GH=AB:BC.

例3.（22-23?貴港?中考真題）已知：在矩形48CD中，AB=6,AD=243,P是8C邊上的一個動點，將

矩形/BCD折疊，使點A與點尸重合，點。落在點G處，折痕為E尸.（1）如圖1,當點尸與點C重合時,

則線段即=,EF=；（2）如圖2,當點P與點3,C均不重合時，取EF

的中點。，連接并延長尸。與G尸的延長線交于點連接打ME,MA.①求證：四邊形"E始是平

行四邊形：②當時，求四邊形〃口戶的面積.

圖1圖2

例4.（2022年四川樂山中考數學適應性試卷）解答（1）如圖1,矩形/BCD中，EF±GH,E尸分別交/瓦

CD于點E,F,GH分別交AD,8。于點G,H.求證：不7=二苒；（2）如圖2,在滿足（1）的條件下，點

GHAB

M,N分別在邊8C,CD上,若——=一，求一7的值；⑶如圖3四邊形48cz（中，ZABC=90a,AB=AD

GH15AM

、DN,,/士

=10,AMLDN,點M,N分別在邊8C,上,'求而的值.

7）,FCDFNCD

AEBANB

AEB

圖1圖2圖3

模型3.三角形的十字架模型（全等+相似模型）

1）等邊三角形中的斜十字模型（全等+相似）：

如圖1,已知等邊△ZBC,BD=EC（或CD=/E）,則4D=3E,且/。和BE夾角為60。，AABC.

A

BD0

2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：

如圖2,在△/BC中，AB=BC,ABLBC,①。為中點,?BF±AD,③AF：FC=2：1,@ZBDA=ZCDF,

⑤/AFB=/CFD,?ZAEC=U5°,@AE=42EC,以上七個結論中，口了“知二得五”。

BB

T\X'

FCG.G

3）直角三角形中的十字模型：

如圖3,在三角形48c中，BC=kAB,ABLBC,。為2c中點，BFLAD,貝！|/尸：FC=2：k2,（相似）

例1.（22-23.成都市.八年級期中）如圖，在等邊△48C中，D、￡分別是8C、NC上的點，且3D=CE,AD

與BE相交于點P.下列結論：①AE=CD；②AP=BE；③/PAE=/4BE；④N4P2=120°,其中正確

的結論是（填序號）

例2.（2223下?淄博?一模）如圖，等邊“BC,點、E,尸分別在NC,8c邊上，AE=CF,連接/凡BE,

相交于點尸.（1）求NAPF的度數；⑵求證：BPBE=BFBC.

例3.（2223下?無錫?階段練習）如圖，在邊長為6的等邊A/3C中，D、E分別為邊8C、/C上的點，AD

與3E相交于點P,若BD=CE=2,則//〃>￡=°；則A48P的周長為.

A

/\E

BC

D

例4.（2223下?六安?一模）如圖1,等邊“3C中，點￡分別在3C、/C上，S.BD=CE,連接/￡＞、BE

交于點?⑴求證：乙〃芍=60。；（2）如圖2,連接CF,若BD=；BC,判斷CF與的位置關系并說明理

由；（3）如圖3,在（2）的條件下，點G在/E上，G尸的延長線交2。于X,當/G=PG=5時，請直接寫出

線段的長.

圖1圖2圖3

例5.（2223上?深圳?期中）如圖，在瓦A4BC中，ZABC=90°,A4=3C=3,點。為3c邊上的中點,

連接過點8作于點E,延長BE交/C于點足則3尸的長為.

例6.（2223下?滄州?二模）如圖，在中，AABC=90°,/8=3C,點。是線段48上的一點,

連接C0,過點3作3G，CO,分別交C。、◎于點E、F,與過點4且垂直于45的直線相交于點G,連

接。尸，下列結論錯誤的是（）

AD5

AGAF什1-1=（r、,，,八|一

A.——-=——B.右點。TEAB1的中點，則力尸=2-45

ABFC3

C.當B、C、F、。四點在同一個圓上時，DF=DBD.若器=；,則以BC="期尸

例7.（2223?廣東?期中）如圖，在RtA4C3中，NACB=90°,/C=4,6C=3,點。為NC上一點，連

接BD,E為4B上一點、,CE1BD于點F,當/。=。時，求CE的長.

例8.（22-23下?深圳?一模）如圖①，在Rt?8C中，AC=BC,4c8=90。，點。為8c邊上的一點,

連接4D,過點C作于點凡交48于點￡,連接。E.

RF

(1)若4E=2BE,求證：/F=2CF；(2)如圖②，若AB=C，DELBC,求名的值.

AE

圖①圖②

例9.(22.23上?長春?階段練習)某數學興趣小組在數學課外活動中，對多邊形內兩條互相垂直的線段做了

如下探究:

【觀察與猜想】(1)如圖①，在正方形ABCD中，點E、尸分別是48、AD上的兩點，連接DE,CF,DELCF,

DF

則拿的值為..【類比探究】⑵如圖②，在矩形48co中，4D=7,CE>=4,點E是邊/。上

CF

一點，連接CE,BD,且求匚”的值.【拓展延伸】⑶如圖③，在放中，ZACB=90°,

BD

點。在8C邊上，連結4D,過點。作于點E,CE的延長線交48邊于點尸.若/C=3,BC=4,

Q

BF=-,則GD=

課后專項訓練

1.（2223下?杭州?一模）如圖，在等邊“3C的NC,2C邊上各取一點M,N使,AM=CN,AN,相交

于點O.若/M=4,MO=2,則2。的長是（）

A.5B.6C.7D.8

2.（2023.湖北.九年級期末）如圖，將邊長為12cm的正方形ABCD折疊，使得點A落在CD邊上的點E處,

折痕為MN.若CE的長為7cm,則MN的長為（）

C.15D.無法求出

3.（2023.南充市中考模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為2,P為CD的中點，連結AP,過點B作BELAP

于點E,延長CE交AD于點F,過點C作CH±BE于點G,交AB于點H,連接HF,下列結論正確的是（）

5R

A.CE=V5B.EF=-C.cosZCEP=—D.HF2=EF?CF

25

4.（黑龍江省牡丹江市2021年中考數學真題試卷）如圖，正方形/BCD的邊長為3,E為邊上一點，

3E=：L.將正方形沿G尸折疊，使點/恰好與點E重合，連接NF,EF,GE,則四邊形/GE尸的面積為（）

A.2而

5.（2223下?東營?中考模擬）如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=BC,點D是線段AB上的一點，連結

CD,過點B作BGLCD,分別交CD、CA于點E、F,與過點A且垂直于AB的直線相交于點G,連結DF,給

出以下四個結論：①空=空；②若點D是AB的中點，則AF=Y2AB；③當B、C、F、D四點在同一個

ABFC3

圓上時，DF=DB；④若黑=1，則5澳比=95M.其中正確的結論序號是（）

DB

A.①②B.③④C.①②③D.①②③④

6.（2223下?江門?模擬預測）如圖，在心ZUBC中，ZACB=90°,AC=BC.點。是線段8c上的一點，連

接4D,過點C作CG，/。，分別交40、于點G、E,與過點3且垂直于2C的直線相交于點尸，點。

RF

是3c的中點，連接DE.則盥=;

BDC

7.（22?23下?山西?一模）如圖，在及△NBC中，/48C=90。，AB=BC=2,NE是8c邊上的中線，過點

2作NE的垂線2。，垂足為X,交/C于點。，則4。的長為.

BE%

8.（山東2022-2023學年九年級下學期期末數學試題）如圖，正方形/BCD中，點E、F、X分別是/5、

BC、C￡>的中點，CE、DF交于G,連接/G、HG.下列結論：①NG=N。；②/G_LG〃；③NZMG=60。；

④/4GE=NBCE.其中正確的有.

AD

9.（江西2023-2024學年九年級月考數學試題）在矩形紙片/BCD中，AB=6,BC=8,將紙片折疊.

（1）如圖1,若沿3尸對折，使點C恰好落在4D上得到點￡,求NE的長.

（2）如圖2,若沿對角線AD折疊，使點C落在點尸處，BF與4D交于點E,求NE的長.

（3）如圖3,若沿EF折疊，使點C與點/重合，求折痕E尸的長.

10.（2023年成都市中考三模數學試題）已知正方形43。的邊長為6,動點瓦尸分別在邊/民上運動,

連接EF.（1）如圖1,過3作8GL跖交邊4D于點G,交E尸于點H.i）若G為4D的中點，〃為3G的

中點，求/E的長；ii）探索線段NE,。。（節之間的數量關系，寫出你的結論并證明.（2）如圖2,將四邊形

EBCF沿EF翻折得到四邊形EB'C'F,B'E與AD相交于點P,調整點E和點廠的位置使得線段8'C’始終經過

頂點D.i）若點。到E尸的距離。0=可，求DP的長；ii）點2,到工。的距離是否存在最大值？若存在,

請直接寫出這個最大距離；若不存在，請說明理由.

圖1圖2

11.（四川省成都市2023-2024學年九年級上學期10月月考數學試題）【模型發現】如圖1,在正方形43。

中，E為邊3c上一點（不與點2、C重合），過點。作垂直于/￡的一條直線。尸，垂足為G,交N8于點

R小明發現可以通過證明：LDAF會LABE得4E=DF（不需證明）

【模型探究】（1）如圖2,在正方形/BCD中，尸為邊8C上一點（不與點8、C重合），M為線段CD上

一點（不與C、。重合），過點河作垂足為G,交48于點N,請直接寫出。m與/N及線段DM、

BN、CP之間的數量關系.

（2）如圖3,在（1）的條件下，若垂足G恰好為4P的中點，連接8。，交于點〃，連接并延長交

邊/。于點/,再連接8G,請探究線段8G、G4的數量關系；

［拓展應用】（3）如圖4,若正方形ABCD的邊長為8,點必N分別為邊CO、上的點，過/作NG，跖V,

已知/G=5,將正方形/BCD沿著MN翻折，8c的對應邊笈C’恰好經過點/,連接廠M交4D于點。.過

點。作。&1MN,垂足為R,求線段少的長.（直接寫出結論即可）

圖1圖2圖3圖4

12.（成都市錦江區2022-2023學年九年級上學期期中數學試題）（1）問題探究：如圖1,在正方形/BCD,

點E,。分別在邊BC,43上，于點。，點G,尸分別在邊C。、45上，GPLAE.

①判斷。。與/E的數量關系：DQAE-,②推斷：爺的值為：；（無需證明）

（2）類比探究：如圖（2）,在矩形/BCD中，—將矩形48co沿G廳折疊，使點A落在8C邊上

AB3

的點￡處，得到四邊形正EPG,EP交CD于點、H,連接/E交G廠于點。.試探究G尸與/￡之間的數量關

系，并說明理由；⑶拓展應用1：如圖3,四邊形/3CZ）中，ZABC=90°,4B=AD=10,BC=CD=5,

DN

AMLDN,點、M,N分別在邊5。、45上，求——的值.

AM

?BE3

（4）拓展應用2：如圖2,在（2）的條件下，連接CP,-GF=2A/10,求C尸的長.

BF4

13.（2223下?江蘇?九年級期中）平行四邊形/BCD中，BC=nAB,E,尸分別是邊DC上的點，AF1BE,

G為垂足.⑴如圖1,當〃=1,N/BC=90。時，求證：AF=BE

（2）如圖2,當〃=也，ZABC=90°,48=2,求E尸的最小值

（3）如圖3,當〃=1,sinZABC=~,￡為4D的中點，直接寫出黑的值.

5BE

圖1圖2圖3

14.（2022年湖北中考模擬）知矩形NBCD中，七=左，點E是3C邊上一點，GFLAE于點、O,分別交

AB

GF

AB、CD于點足G.⑴特例發現：如圖1,若左=1,則卞=______;

AE

GF

（2）類比探究：如圖2,若左=31,請探究三的值，并寫出探究過程；

4AE

⑶拓展應用：如圖3,在（2）的條件下，將矩形/BCD沿。尸折疊，使點/恰好落在2C邊上的點E處，

得到四邊形尸EFG,PE與CD交于點H,連接PC.已知tan/CG尸=g,GF=2也，求PC的長

15.（成都市錦江區2022-2023學年九年級下學期入學練習數學試題）（1）如圖1,在正方形N8CD中，

點E,歹分別是ND上的兩點，連接DE,CF,若DELCF,則孑的值為；

CE

（2）如圖2,在矩形/BCD中，40=7,CD=4,點E是4D上的一點，連接CE,AD,若CE_L8D,則訪

的值為;

（3）如圖3,在四邊形中，/A=NB=90。，點、E為ABk一點、,連接。E,過點C作DE的垂線交

￡￡）的延長線于點G,交40的延長線于點尸，求證：DE-AB=CFAD-,

（4）如圖4,在RtA/BD中，ZBAD=9Q°,3=18,將沿3。翻折，點/落在點C處，得到△C5D,

DF5

點下為線段/。上一動點，連接。尸，作DELCF交于點、E,垂足為點G,連接NG.設方=§，求

AG的最小值.

圖1圖2圖3圖4

16.（2023年廣東省深圳市中考模擬數學試題）【問題解決】

如圖1,己知正方形/BCD中，E,尸分別是BC,CD邊上的點，/E與3廠交于點G.當/￡_L8/時，求

證：AE=BF■,

【類比遷移】如圖2,在菱形4BCD中，E,尸分別是3C,C。邊上的點，AE與BF交于點G.若

AAEB=ZBFC=60°,求證：AE=BF.

【拓展延伸】如圖3,在四邊形中，E,歹分別是8C,C。邊上的點，4E與BF交于點

4E

G.ABAD=ZBCD=90°,AB=3,BC=4,BC=CD,若AELBF,請求出一的值.

A

圖1圖2圖3

17.（2223下?安徽模擬預測）如圖1,在等邊“3C中，點D,E分別在邊8C,/C上，S.BD=CE,連

接BE相交于點?

沿43翻折，使點C落在點G處，連接G廠并延長交42于點〃交BC于點/.當NB=6