第三講圓周運動

勻速圓周運動是指物體運動的軌跡是圓周，且運動快慢不變的運動,這是一種曲線運動。

一、描述勻速圓周運動的幾個物理量

1.周期

做勻速圓周運動的物體，每完成一次完整的圓周運動所需要的時間都相同，這個時間叫

做一個周期，用符號7表示，國際單位為秒（s）。例如，時鐘的秒針周期為60s,分針周期

為60min,地球自轉的周期為24h等。勻速圓周運動的周期越小，轉動越快。

2.頻率

單位時間內物體完成的圓周數，叫做勻速圓周運動的頻率，用符號/表示，國際單位

為赫茲（Hz）,頻率越大，轉動越快，頻率與周期互為倒數，即/=例如，秒針轉動的

頻率為'-Hz,每分鐘轉動300轉的電風扇，其轉動頻率為5Hz。

60

3.角速度

做勻速圓周運動的物體，單位時間內物體與圓心的連線（即半徑〕轉過的角度叫做角速

度，用G表示。若/時間內半徑轉過的角度用。表示，則角速度可以表A

示為G=,。這里應該注意的是，J的單位不再是“度”，而是“弧度”，X\

'o及---

弧度是指某個角所對的圓弧長度與圓弧半徑的比值，如圖3.32所示，

.圖3.32

一，弧度無單位，但物理學中常用“rad”來表示弧度的單位。由

r

弧度的定義，180。角所對應的弧度可以表示為史=萬，即180。=笈，可得1。=工，因

r180

717t7T71

此我們可以得到其他常用角度的弧度值，例如，90°=-,45°=-,30°=-,60°=-,

2463

120。==等。當物體運動一周時，轉過的角度為360。=2萬，所用時間為一個周期T,

3

因此勻速圓周運動的角速度還可以表示為學等，根據角速度的定義式◎=，，可知角

速度的單位為“弧度/秒”，符號為“rad/s”。

4.轉速

轉速表示物體單位時間內完成的圓周數，常用單位有“轉/秒”和“轉/分”，符號分別

為“r/s”和“血向”，i/sWRmin。轉速取“轉/秒”作為單位時，其數值與頻率相同。

若轉速為〃，則表示每秒轉過〃周，每秒轉過的角度為2乃〃，因此角速度與轉速的關系可

表示為。=2。

5.線速度

線速度是描述做圓周運動的物體沿著圓弧運動的快慢程度，線速度大小等于物體通過的

弧長與所用時間的比值，即口=',勻速圓周運動的線速度大小不變，方向時刻變化。當物

t

體運動一周時，通過的路程為圓的周長2萬，所用時間為一個周期7,因此勻速圓周運動

的線速度還可以表示為口=紅，線速度的單位為“米/秒”。

T

上述描述勻速圓周運動的5個物理量中，周期、頻率、角速度和轉速描述的是物體轉動

的快慢，這4個物理量均與物體轉動半徑無關，而線速度是描述物體沿著圓弧運動的快慢，

與半徑密切相關。

二、線速度與角速度的關系

在勻速圓周運動中，線速度的公式為-二出，另外根據角速度的公式。co=—,我

TT

們還可以得到線速度與角速度的關系：v=6?r,即線速度大小等于角速度大小與轉動半徑

的乘積，這也是一個重要的關系式。

例1轉速是指做勻速轉動的物體單位時間內轉過的圓周數，轉速用〃表示。轉速的單

位為“轉/分”或“轉/秒”，符號分別為“r/min”和“r/s”。已知洗衣機的脫水桶轉速

為〃=300r/min,脫水桶半徑為R=20cm,求脫水桶轉動的頻率f、周期T、角速度。以

及脫水桶邊緣上點的線速度v的大小。

分析與解比較轉速與頻率的定義，兩者都可以理解為“單位時間內完成的圓周數”，

因〃=300i7min=5r/s,可知/=5Hz,周期與頻率互為倒數，則可得周期7=-=0.2s,

/

角速度。=于=24/=10萬山（1/5,結合線速度、角速度、半徑三者的關系，可得線速度

v=coR=27rm/s。

三、勻速圓周運動的典型問題

（一）傳動問題

所謂傳動，即一個輪子轉動時，借助皮帶或兩輪之間的靜摩擦力、輪子邊緣的齒輪帶動

另一個輪子轉動。根據傳動方式的不同，又分為皮帶傳動、摩擦傳動和齒輪傳動。關于傳動

裝置，有兩個重要結論：

（1）凡是直接用皮帶傳動（或者鏈條傳動、摩擦傳動和齒輪傳動）的兩個輪子，兩輪

邊緣上各點的線速度大小相等。

（2）凡是在同一個輪軸上（各個輪都繞同一根軸同步轉動）的輪子，輪上各點的角速

度都相等（軸上的點除外）。

例2如圖3.33所示，。2兩輪靠皮帶轉動，A,

8分別為兩輪邊緣上的點，C與A同在。輪上，已知

ra=2rb,0?=展在傳動時，皮帶不打滑，求：（1）

coc：C0B=;（2）vc：VB=o

分析與解A,C兩點在同一皮帶輪上，它們的角速度相等，即q=Gc時，由于皮

帶不打滑，所以A,B兩點的線速度大小相等，即匕,=%。

（1）根據口=上，知性=必=殳='。

廠練穌92

（2）根據u="，知生=上=上=2="!"。

以以心心2

（二）多解問題

圓周運動是一種典型的周期運動，前一個周期中發生的事件在后一個周期中同樣可能發

生，所以有關圓周運動的問題往往會有多解。這就要求我們在表達做勻速圓周運動物體的運

動時間時，必須把其周期性考慮進去，下面就從這一角度對圓周運動的多解問題進行探討。

例3如圖3.34所示，直徑為d的紙筒以角速度3繞軸。勻速

轉動，從槍口發射的子彈沿直徑穿過圓筒。

（1）若子彈在圓筒上留下力兩個彈孔，已知。。和80夾角

為則子彈的速度大小為多少？

（2）子彈通過圓筒后，有沒有可能只留下一個彈孔？若可能，

計算出子彈速度的可能值；若不可能，說明理由。圖3.34

分析與解（］）設子彈速度為口子彈穿過圓筒的時間為，=4。在f時間內，圓筒轉

V

過的角度可能為乃一夕，也可能為（不一0）+2萬，（萬一0）+4萬...因此圓筒轉過的角度可

表達為6=（4一0）+2攵%（4=0,1,2,）,則有，=，=（笈-/）+2*%,可得以=

7~~給丁住=0,12）。

（乃一夕）+244

（2）若子彈將要穿出圓筒時，先前打過的孔剛好轉到子彈將要穿出的位置，則子彈只

在圓筒上留下一個孔。此時，圓筒轉過的角度夕=萬+2&4仕=0,1,2,）,經歷時間r’

頻率/=150Hz的頻閃光去照射，在盤上能看到根穩定的白色窄條。

分析與解只有在閃光的瞬間，我們才能看到圓盤上的白色窄條，由

于視覺暫留，前幾次看到的白色窄條的影像還未在大腦中消失，因此我們

會看到圓盤上好像有好幾根白色窄條。當某一次閃光時出現的白色窄條與

前面某次出現的白色窄條重合時，所看到的白色窄條就不會再增多了，我

們只需要求出相鄰兩次閃光時間間隔內白色窄條轉過的角度，即可求出圓圖3.37

盤上能看到的白色窄條的總數。

由轉動頻率/=30Hz,得圓盤轉動的角速度為=——=2^-/o=6O^rad/s,相鄰兩次

閃光的時間間隔4='=」一s,因此在相鄰兩次閃光時間間隔Af內，白色窄條轉過的角

f150

I27r

度為==60%XY^rad=-^-rad,在圓盤上能看到的穩定的白色窄條的個數為N

衛=5,即第1根出現的白色窄條與第6根出現的白色窄條重合，只能看到5根白色窄條。

本題正確答案為5。

例7如圖3.38所示，帶有一白點的黑色圓盤可繞過其中心、垂直于盤面的軸勻速轉動，

每秒沿順時針方向旋轉30圈。在暗室中用每秒閃光31次的頻閃光源照射圓盤，態

觀察到白點每秒沿（）。（.\

A,順時針旋轉31圈B,逆時針旋轉31圈

C.順時針旋轉1圈D.逆時針旋轉1圈圖3.38

分析與解圓盤轉動的角速度。=2乃〃=60mrad/s,頻閃光源的閃光周期。=」-s,

23

因此在一個閃光周期內,白點轉過的角度為△，=OJM=607rx—rad

3131

人不會覺得白點順時針轉過了124-爭

由于人的祝覺暫留效應,rad,而會錯誤地認為

24

白點逆時針轉過了—rad,因此人觀察到的白點逆時針轉動的角速度

31

CD'==2^-rad/s,對應的轉速n=—=lr/s,因此選項D正確c

ArCD'

練習題

1.時鐘上的時針、分針和秒針的角速度關系是（）。

A.時針的角速度與分針的角速度之比為1：60

B.時針的角速度與分針的角速度之比為1；12

C.分針的角速度與秒針的角速度之比為1：12

D.分針的角速度與秒針的角速度之比為1：60

2.如圖3.39所示為一皮帶傳動裝置，傳動時皮帶與輪之間不打滑，已知大輪半徑、輪

軸的輪半徑和輪軸的軸半徑的關系是％:2：灰=3:2:1,4,B,C分別為大輪、輪軸的

軸和輪軸的輪邊緣上的點，。為大輪圓心，則傳動時A,/一

B,C三點的（）。（o

A.角速度之比為1：3：3\3//\

B.角速度之比為3：1：14

（S270

C.線速度大小之比為1：2：2.

D.線速度大小之比為1：1：2

3.（上海第24屆大同杯初賽）假期時，小明一家人到赤道附近某景點旅游。在一個晴

好的日子里，小明沒有跟隨爸爸爬山，而是和另外幾個朋友一起躺在山下平靜的海灘上觀看

日落。結果，小明爸爸在山上觀察到太陽消失的時間要比地面上小明觀察到的該現象足足晚

了3min。已知地球半徑為6400km,則可以判斷小明爸爸所處位置的海拔高度最接近

（）O

A.450mB.550mC.650mD.750m

4.如圖3.40所示，兩質點a,b在同一平面內繞。沿逆時針方向做勻速圓周運動，a,

b的周期分別為2s和20s,。，力和。三點第一次到第二次同側共線經歷的Q

時間為（）o/5父\

920

一s

209

5.某機器內有兩個圍繞各自固定軸勻速轉動

的鋁盤4和B,A盤上固定個信號發射裝置P,

能持續沿半徑向外發射紅外線，P到圓心的距離

為28cm。8盤上固定一個帶窗口的紅外線信號接

收裝置。，。到圓心的距離為16cm。P,。轉

動的線速度均為4;rm/s。當。P,。正對時，P發出的紅外線恰好進入。的接收窗口，

如圖3.41所示，則。每隔一定時間就能接收到紅外線信號，這個時間的最小值為（）。

A.0.42sB.0.56s

C.0.70sD.0.84s

6.（上海第30屆大同杯初賽）如圖3.42所示，一圓

球固定在水平地面上，球心為。。4B細棒B端擱在地面上^4\

上，棒身靠在球面上并和球心。在同一豎直平面內，切點\0）

為尸，細棒與水平面之間的夾角為0。若移動棒的B端沿

/7/Z///7//Z/777//7/7//Z

水平地面靠近圓球，發現切點P恰好圍繞。點勻速轉動，圖？42

這表明在移動B端的過程中（）°

A.B的速度大小不變B.角度。均勻增大

C.PB長度均勻減小D.以上說法都不對

7.地球的半徑為R=6400kin,在地面上北緯60。處，物體隨同地球自轉的線速度大

小為o

8.一飛輪的直徑為40cm,若飛輪勻速轉動，每分鐘轉120轉，則飛輪邊緣上一點的

線速度大小為m/s,飛輪轉動的周期為s。

9.一質點沿半徑為R=10m的圓周做勻速圓周運動，在時間r=2s內恰走了半圈，則

質點運動的線速度大小為m/s,角速度為rad/s,轉動頻率為

Hzo

10.如圖3.43所示，Q1,。2兩輪通過摩擦傳動，傳動時兩B

輪間不打滑，兩輪的半徑之比為，：與，4,8分別為。2兩（Yo.:

輪邊緣上的點，則A,3兩點的線速度大小之比為以：％=

，角速度之比為,周期之比為圖3.43

TA:T8=,轉速之比為nA:nB=。

II.如圖3.44所示，圓環在水平面上向左勻速滾動，且與水平直間y

無相對滑動，環心對地速度為丫，環半徑為R。某時刻環上在環心。正/\Z?\

前方的B的速度大小為，環心。正下方矩。為〃的A點的速度一；）

大小為。

77777Z77777777"

12.（上海第20屆大同杯復賽）一臺只有時針（短針）和分針（長函Q。

針）的時鐘，從0點整開始計時（算作第一次重合），則一晝夜時針和分針重合

次；從上午9點整開始，分針經S（精確到0.1s）與時針第一次相遇。

13.如圖3.45所示為運動16mm電影放映機放電影,這種電影放映機使用寬度為16mm

的電影膠片，電影中的聲音以聲音信號的方式刻錄在電影膠片上。若此電影膠片的厚度

0.14mm,片夾上密密地繞了一整盤電影膠片，如圖3.45所示，圖中d和。分別表示

片夾內所轉電影膠片的內徑和外徑，則這盤電影膠片的總長度L約是m（保留1

位小數）：若按每秒24幅畫面正常放映，且不計膠片頭與片尾的長度，這盤電影膠片大約

能連續正常放映的時間為min（保留1位小數）。

14.（上海第25屆大同杯復賽）在同一平面上的AC,80兩桿，分別繞相距為L的A,

8兩軸逆時針轉動，轉動快慢相同，初始時刻如圖3.46（a）所示，且NCAB=30。，

ZDBA=90°,經過一段時間，兩桿運動到如圖3.46（b）所示位置，且NC48=90。，

ZDBA=30°,則此過程中交點M的運動軌跡為（選填“直線”“圓弧”或“其

他曲線”）,M移動的路程為_______,M移動的速度大小為。

15.如圖3.47所示，電風扇在閃光燈下運轉，閃光燈每秒閃30次，風

扇轉軸。上裝有3個葉片，它們互成120。。當風扇轉動時，觀察者可以觀

察到6個穩定的葉片，則風扇的角速度可能為多少？

參考答案圖3.47

1.BD。秒針的轉動周期為60s,分針的轉動周期為3600s,時針的轉動周期為43200s,

由角速度公式—等，可知秒針、分針、時針的角速度之比等于它們轉動周期的倒數之

T

比，即G稱:0A\cax{=~\—!—:——!——=720:12:1o

杪分個60360043200

2.ADo設A點的角速度為g,8點與A點的線速度大小相同，則以=以=3.3>

C點與8點的角速度相同，則%=%=,=三2=3勿，C點的線速度大小％=

3叱2/=65。因此A,B,C三點的角速度之比?：恣：47=G：3w3①=1:3:3,線

速度之比以:vB:vc=69-3r：69-3r:60>r=1:1:2o

3.Bo當小明在山腳下的A點看到太陽剛好消失時，太陽光線恰好在4點與地面相切，

而在A點正上方力高度的山頂上的爸爸此時仍能看到太陽，如圖3.48所示。設3min后地

球順時針轉過。角，山頂上的爸爸恰好也觀察到太陽消失，則cos，=」一，由地球自轉

R+h

240

角速度解得。=，_=0.75。,

24x60min3min240

.R6400xl03m0

則nilh=--------R=-----------------640A0AxlO1a3m=

cos。cos0.75°

548.35m,因此最接近的高度為B選項。

4.Bo由題可知。，〃轉動的角速度分別為

co=—=萬rad/s,co.=—=—rad/s。a,b和。三

ab圖3.48

TaTb10

點從第一次同側共線到第二次同側共線過程中，Q比〃多轉了2%角度，即◎/-卬=2乃,

解得/二2兀二二^二衛卜）,B選項正確。

七一例萬，9

10

2乃r2TTX028

5.BoP,。隨圓盤轉動的周期分別為乙=—-------s=0.14：,To=

vP4〃

=2%X0.16S=008s,可見，。兩次接收到紅外線信號的時間間隔既是Tp的整數倍,

%44

又是心的整數倍，因此，最小的時間間隔應為7；和石的最小公倍數0.56s,選項B正確。

6.B。如圖3.49所示‘連接B。,則〃。底三,?恰好圍繞。點勻速轉動'所

以NPOB均勻減小，也即角度。均勻增大，故B正確。

=。均勻增大，P8的長度不是均勻減小的，

tan—U

2

故C錯。同理QB的長度也不是均勻減小的，所以B的速

度大小變化，故A錯。因此本題正確選項為B。圖3.49

7.232.6m/s。地球北緯60。處的物體隨地球繞地軸自轉的轉動半徑為r=Rcos60。,

地球轉動角速度為口=22等，則北緯60°處的物體的線速度大小為

T

2^cos60°2x3.14x6.4x106x；

v=cor=--------------=--------------------------m/s=232.6m/s

24x3600

八1G八G

8.2.51,0.5o飛輪的角速度◎=—=-------rad/s=4^racl/s,線速度u=w=

t60

4乃x0.2m/s=2.51m,周期T=生=旦s=0.5s。

CD4乃

9.15.7,1,57,0.25o略。

10.1:1,弓：斗，斗：弓，弓：彳。提示：兩輪不打滑時，輪子邊緣點的線速度大小相等。

11.提示：利用同一物體上各點角速度相等，選與地接觸點為轉軸。

R

12.23,2945.5。分針的角速度為%=rad/min，時針的角速度為。分rad/min。

從。點整開始計時，當分針與時針經過時間/再次重合時，分針比時針多轉了2〃弧度，則

720

有0分1一4/=2"時，解得，=-pj-min,除去計時開始的0點，24小時內還能重合的次

數為———=22,因此共能重合28次。上午9點整到分針遞上時針，分針要比時針

t

多轉弓弧度，則9/-叫/=,，解得1'=岑min=2945.5s。

13.645,9；59.8。電影膠片的側囪積等于具長度L與厚度”的乘

~//,\2-