2/2專題09幾何最值問題目錄熱點題型歸納題型01將軍飲馬模型 1題型02費馬點模型 6題型03阿氏圓模型 15題型04隱圓模型 20題型05瓜豆圓模型 28中考練場 33題型01將軍飲馬模型【解題策略】兩定一動模型一定兩動模型（同側(cè)）（異側(cè)）兩線段相減的最大值模型（三點共線）【典例分析】例．（2022·黑龍江·中考真題）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，，，AH是的平分線，于點E，點P是直線AB上的一個動點，則的最小值是．【變式演練】1．（2022·山東棗莊·二模）如圖，點P是內(nèi)任意一點，，點M和點N分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是．2．（2023廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖，四邊形中，，，，，點是四邊形內(nèi)的一個動點，滿足，則面積的最小值為．題型02費馬點模型【解題策略】將△APC邊以A為頂點逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到AQE，連接PQ，則△APQ為等邊三角形，PA=PQ。即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，當B、P、Q、E四點共線時取得最小值BE。【典例分析】例．（2023全國·中考模擬預(yù)測）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點P為圓上一動點，連接AP，BP，求：①，②，③，④的最小值．【變式演練】1．（2022·廣東廣州·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點P是AB邊上一動點，作PD⊥BC于點D，線段AD上存在一點Q，當QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時，則PD=．2．（2023廣東·一模）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點，求最小值。3．（2024湖北中考·二模）如圖，正方形的邊長為4，點是正方形內(nèi)部一點，求的最小值．題型03阿氏圓模型【解題策略】問題：在圓上找一點P使得的值最小，解決步驟具體如下：①如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點與圓心相連即OP，OB②計算出這兩條線段的長度比③在OB上取一點C，使得，即構(gòu)造△POM∽△BOP，則，④則，當A、P、C三點共線時可得最小值。【典例分析】例．（2023·廣西·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，且，的平分線交軸于點，過點且垂直于的直線交軸于點，點是軸下方拋物線上的一個動點，過點作軸，垂足為，交直線于點．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點的橫坐標為，當時，求的值；（3）當直線為拋物線的對稱軸時，以點為圓心，為半徑作，點為上的一個動點，求的最小值．【變式演練】1．（2023·甘肅天水·一模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，點P是⊙B上的一個動點，則PD﹣PC的最大值為．2．（2023江蘇·二模）如圖，正方形的邊長為4，的半徑為2，為上的動點，則的最大值是．題型04隱圓模型【解題策略】定點定長定弦定角四點共圓最短距離：“一箭穿心”，然后點到圓心的距離-半徑；最長距離：“一箭穿心”，然后點到圓心的距離+半徑。【典例分析】例．（2023·遼寧·中考真題）如圖，在矩形中，，，點M為的中點，E是上的一點，連接，作點B關(guān)于直線的對稱點，連接并延長交于點F．當最大時，點到的距離是．

【變式演練】1．（2024浙江金華·模擬預(yù)測）如圖，正方形的邊長為4，點E是正方形內(nèi)的動點，點P是邊上的動點，且．連結(jié)，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2022·山東泰安·三模）如圖，在Rt△ABC中，，，BC＝2，線段BC繞點B旋轉(zhuǎn)到BD，連AD，E為AD的中點，連接CE，則CE的最大值是．3．（2022·廣東河源·二模）如圖，已知，平面內(nèi)點P到點O的距離為2，連接AP，若且，連接AB，BC，則線段BC的最小值為．題型05瓜豆圓模型【解題策略】條件：兩個定量主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．結(jié)論：（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．【典例分析】例．（2023·江蘇·中考真題）在四邊形中，為內(nèi)部的任一條射線（不等于），點關(guān)于的對稱點為，直線與交于點，連接，則面積的最大值是．

【變式演練】1．（2023江蘇無錫·二模）如圖，線段為的直徑，點在的延長線上，，，點是上一動點，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長的最大值為．2．（2023·安徽·一模）如圖，在矩形中，，，點E是矩形內(nèi)部一動點，且，點P是邊上一動點，連接、，則的最小值為（

）A．8 B． C．10 D．3．（2023·江蘇揚州·模擬預(yù)測）如圖，A是上任意一點，點C在外，已知是等邊三角形，則的面積的最大值為（）A． B．4 C． D．61．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，是邊長為的等邊三角形，點為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長的最小值是．

2．（2022·四川成都·中考真題）如圖，在菱形中，過點作交對角線于點，連接，點是線段上一動點，作關(guān)于直線的對稱點，點是上一動點，連接，．若，，則的最大值為．3．（2022·廣西柳州·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中點，點E是正方形內(nèi)一個動點，且EG＝2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長的最小值為．4．（2022·江蘇無錫·中考真題）△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點F．如圖，若點D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝°；現(xiàn)將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是．5．（2022·廣西·中考真題）如圖，在邊長為的