2019-2020學年新人教A版必修一塞函數學案

1.二次函數

(1)二次函數解析式的三種形式：

一般式：J(x)=加+云+)(aW0).

頂點式：f(x)—a(x—m)2+"(〃#0),頂點坐標為加，〃).

零點式;/1(x)=a(x-xi)(x—X2)(a^O),x\,必為兀目的零點.

(2)二次函數的圖像和性質

解析式fix)=ax1+hx+c(a>0)/(%)=ar2+hx+c(a<0)

gh

圖像

qV

定義域(-8,+8)(—8,+OO)

值域錯誤！錯誤！

在xe錯誤!上是減少的；在xe錯誤!上是增加的：

單調性

在尤丘錯誤!上是增加的在xc錯誤!上是減少的

對稱性函數的圖像關于》=一錯誤!對稱

2.鬲函數

(1)暴函數的定義

一般地，形如31的函數稱為基函數，其中x是自變量，a是常量.

(2)常見的5種寨函數的圖像

(3)常見的5種累函數的性質

特彳'￡

產不y=Wy=/y=/y=x]

定義域RRR[0,+°°)(x1X6R,且X￥O}

值域R[0,+°°)R[0,+8){ylyGR,且yWO}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

【知識拓展】

1.塞函數的圖像和性質

(1)基函數的圖像一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限，至于是否出現在第

二、三象限內，耍看函數的奇偶性.

(2)鼎函數的圖像過定點(1,1),如果辱函數的圖像與坐標軸相交,則交點一定是原點.

(3)當a>0時，y=/在［0,+°°)上為增函數；當a<0時,y=x0在(0,+8)上為減函數.

2.若/(x)—ax1+bx+c(a^0'),則當錯誤!時恒有./(x)〉0,當錯誤!時，恒有/(x)〈0。

■基礎自測

題組一思考辨析

1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打"或"X”)

(1)二次函數［a,b］的最值一定是錯誤!.(X)

(2)二次函數)=加+法+。，xCR不可能是偶函數.(X)

(3)在y^a^+bx+c(aWO)中，a決定了圖像的開口方向和在同一直角坐標系中的開口大

小.3

(4)函數>=2/是基函數.(X)

(5)如果基函數的圖像與坐標軸相交，則交點一定是原點.(J)

(6)當月〈0時，幕函數〉=亡是定義域上的減函數.(義)

題組二教材改編

2.已知基函數的圖像過點錯誤！，則k+a等于()

A.錯誤！B.1Co錯誤！D.2

答案C

解析由早函數的定義，知錯誤！

.,#=1,。=錯誤！。...%+&=錯誤！。

3.已知函數ZU)=/+4辦在區間(一8,6)內是減少的，則a的取值范圍是()

A.B.aW3

C.a<—3D.aW—3

答案D

解析函數/(x)=f+4ar的圖像是開口向上的拋物線，其對稱軸是x=-2a,由函數在區間

(—8,6)內是減少的可知，區間(一8,6)應在直線x=-2”的左側，

-2aN6,解得aW—3,故選D。

題組三易錯自糾

4.塞函數f(x)=X"J°"+23(AGZ)為偶函數，且兀V)在區間(0,+8)上是減函數，則a

等于()

A.3B.4C.5D.6

答案C

解析因為/一］0a+23=(a—5)2—2,

f(x)=X“T)2-2(aez)為偶函數，

且在區間(0,+8)上是減函數，

所以(4—5)2—2〈0,從而。=4,5,6,

又3—5)2—2為偶數，所以只能是〃=5,故選C。

5.已知函數如果a〉b)c且a+&+c=0,則它的圖像可能是()

答案D

解析由a+b+c=0和a〉b〉c知，a〉0,c<0,

由c(0,排除A,B,又a>0,排除C。

6.已知函數曠=力?-6*+3,x&［-1,1］,則y的最小值是.

答案一1

解析函數夕=才一6x+3的圖像的對稱軸為x=錯誤！>1,...函數)，=北一6x+3在［-1,

1］上是減少的，

?'?ymin—2—6+3=—1.

題型分類深度剖析

---------------------------------------------真題典題深度剖析重點難點多維探究---------------------------------------------

題型一求二次函數的解析式-------師生共研

典例(1)已知二次函數的圖像過點(0,1),對稱軸為x=2,最小值為一1,則它的解析式為

答案/(x)=錯誤!x2—2犬+1

解析依題意可設/U)=a(x—2)2—1,

又其圖像過點(0,1),???4〃-1=1,

；?4=錯誤!，(x)=錯誤!(%—2>—1=錯誤!x2—2x+L

(2)已知二次函數於)與無軸的兩個交點坐標為(0,0)和(-2,0)且有最小值一1,則/(x)

答案f+2x

解析設函數的解析式為f（x）=奴（x+2）,

所以/（工）=加+2依，由錯誤！=—1,

得a=l,所以f（x）=A2+2X.

思維升華求二次函數解析式的方法

跟蹤訓練（1）己知二次函數/（X）=加+以+13,beR且a#0）,xGR,若函數/（x）的最

小值為大-1）=0,則/（X）=.

（2）若函數/'（x）=（x+a）gx+2a）（a,匕GR）是偶函數,且它的值域為（一8,4],則該函數

的解析式凡r）=.

答案（1）f+2x+l（2）—2*+4

解析（1）設函數/U）的解析式為/（》）=4。+1）2=浸+2以+“，

由已知兀0=加+法+1,'.a=\,

故f（X）=X2+2X+IO

（2）由人幻是偶函數知/（x）圖像關于y軸對稱，

；.-a=一錯誤！，即一=一2,...危）=-2*+2層，

又f（x）的值域為（-8,4],

；.2/=4,故/（x）=-2?+41>

多維

題型二二次函數的圖像和性質

探究

命題點1二次函數的圖像

典例兩個二次函數兀V）=江+法+。與gC^nZ^+or+c的圖像可能是（）

答案D

解析函數/（X）圖像的對稱軸為》=一錯誤!，函數g（X）圖像的對稱軸為》=一錯誤!,

顯然一錯誤!與一錯誤！同號，故兩個函數圖像的對稱軸應該在），軸的同側.只有D滿足.

命題點2二次函數的單調性

典例函數式》)=加+3—3)x+l在區間［-1,+8)上是減少的，則實數。的取值范圍是()

A.［-3,0)B.(-8,-3］

C.［~2,0］D.［—3,0］

答案D

解析當a—0時，f(x)=-3x+l在［—1,+°°)上遞減，滿足題意.

當時，f(x)的對稱軸為苫=錯誤！，

由/(x)在［-1,+8)上是減少的知錯誤！

解得一3Wa<0.綜上，。的取值范圍為［-3,0］.

引申探究

若函數/。)=加+(a—3)x+1的遞減區間是［—1,+°°),則a=.

答案一3

解析由題意知火x)必為二次函數且“<0,

又錯誤！=—1,，a=-3.

命題點3二次函數的最值

典例已知函數於)=a?+2"+1在區間［-1,2］上有最大值4,求實數〃的值.

解f(x)=a(x+l)2+l—a

(1)當。=o時，函數./U)在區間［-1,2］上的值為常數1,不符合題意,舍去；

(2)當”>0時，函數f(x)在區間［-1,2］上是增函數，最大值為/(2)=8a+l=4,解得

〃=錯誤！；

(3)當“<0時，函數次x)在區間［—1,2］上是減函數，最大值為f(-1)=1—a=4,解得a

=-3。

綜上可知，a的值為錯誤!或一3.

引申探究

將本例改為:求函數f(x)=『+2"+1在區間［-1,2］上的最大值.

解火x)=(x+a)2+1—a2,

：.f(x)的圖像是開口向上的拋物線，對稱軸為彳=一四

(1)當一。即一錯誤!時，?r)max=/(2)=4a+5,

(2)當一心錯誤！即aW一錯誤！時，/(x)max=/(-l)=2-2a,

綜上，/U)max=錯誤！

命題點4二次函數中的恒成立問題

典例(1)已知函數火x)=f—x+l,在區間［-1,1］上，不等式f(x)>2%+m恒成立，則實

數m的取值范圍是.

答案(一8,-1)

解析於)〉2x+m等價于x2—x+D2x+m,即/—3x+1—m>0,

令g(x)=*一3x+1-優，

要使g(x)=x1—3x+1—m>0在［—1,1］上恒成立，

只需使函數g(x)=/—3x+l—m在［―1,1］上的最小值大于0即可.

g(x)=f—3x+l一根在［—1,1］上是減少的，

，g(X)min=g(l)=-m—\.

由一m—1)0,得〃?<—1o

因此滿足條件的實數機的取值范圍是(-8,-1).

(2)已知a是實數，函數式幻=2加+2?-3在1］上恒小于零,則實數”的取值范圍

為.

答案錯誤！

解析2a『+2x—3<0在［-1,1］上恒成立.

當x=0時，-3<0,成立；

當x#0時,a〈錯誤!錯誤!2—錯誤！，因為錯誤！w(—8,—1］uEl,+~),當x=l時，右

邊取最小值錯誤！，(錯誤！。

綜上，實數a的取值范圍是錯誤！。

思維升華解決二次函數圖像與性質問題時要注意：

(1)拋物線的開口，對稱軸位置，定義區間三者相互制約，要注意分類討論；

(2)要注意數形結合思想的應用，尤其是給定區間上的二次函數最值問題，先“定性”(作

草圖)，再“定量”(看圖求解).

(3)由不等式恒成立求參數取值范圍的思路及關鍵

解題思路:一是分離參數;二是不分離參數.兩種思路都是將問題歸結為求函數的最值或值

域.

跟蹤訓練(1)設。兒>0,二次函數/(幻=加+法+。的圖像可能是()

答案D

解析由A,C,D知，￡0)=c<0,

從而由abc>0,所以HV0,所以對稱軸》=一錯誤！>0,知A,C錯誤，D滿足要求；由B

知#))=c>0,

所以必>0,所以x=—^<0,B錯誤.

(2)已知函數兀r)=f-2nx+2a+4的定義域為R,值域為［1,+°°)，則a的值為.

答案T或3

解析由于函數/(X)的值域為［1,+8),

所以f(x)min=l.又/(x)—(x—a)2—a2+2a+4,

當xGR時，/(x)min=/(”)=一/+2“+4=1,

即2a—3=0,解得a=3或a=—1。

(3)設函數f(x)=混一2苫+2,對于滿足1<%<4的一切x值都有兀r)〉0,則實數a的取值范

圍為.

答案錯誤！

解析由題意得錯誤！一錯誤!對l〈x<4恒成立，

又錯誤!一錯誤！=一2錯誤!2+錯誤！，錯誤!〈錯誤!<1,

，錯誤!max=錯誤！錯誤！。

題型三幕函數的圖像和性質--------自主演練

1.已知點錯誤!在幕函數/(X)的圖像上，則兀V)是()

A.奇函數B.偶函數

C.定義域內的減函數D.定義域內的增函數

答案A

解析設f(x)=d,由已知得錯誤!。=錯誤!，解得a=jl,因此f(x)=x7,易知該函數為奇

函數.

2.若四個基函數y=f,y=/，y=/在同一坐標系中的圖像如圖所示，則〃力，c,d

的大小關系是()

A.d>c>b>aB.a>b>c>d

C.d>c>a>bD.a>b>d>c

答案B

解析由嘉函數的圖像可知，在(0,1)上黑函數的指數越大，函數圖像越接近x軸，由題圖知a

>b>c>d,故選B.

3.若a<0,則0。5",5",51的大小關系是()

A.5〈0。5"B.5"<0.5"<5一"

C.0。5"<5"<5"D.5"<5"〈0。5"

答案B

解析5一"=錯誤!，因為a〈0時，函數y=V在（0,+~）上是減少的，且錯誤！〈0。5<5,所以

5M）。5°〈5?

思維升華（1）幕函數的形式是y=d（aWR）,其中只有一個參數a,因此只需一個條件即可確

定其解析式.

（2）在區間（0,1）上，幕函數中指數越大，函數圖像越靠近x軸（簡記為“指大圖低”），

在區間（1,+8）上,寐函數中指數越大，函數圖像越遠離X軸.

（3）在比較露值的大小時，必須結合幕值的特點,選擇適當的函數，借助其單調性進行比較，

準確掌握各個霸函數的圖像和性質是解題的關鍵.

—■思想方法■

數形結合思想和分類討論思想在二次函數中的應用

典例（12分）設函數/2x+2,［tt+1］,fGR,求函數逃x）的最小值.

思想方法指導研究二次函數的性質，可以結合圖像進行；對于含參數的二次函數問題，要明

確參數對圖像的影響，進行分類討論.

規范解答

解fG）=4-2x+2=（x-l）2+l,xe［r,t+l］,fSR,函數圖像的對稱軸為x=l.［2分］

當什1<1,即，<0時，函數圖像如圖（1）所示，函數f（x）在區間［t,t+1］上為減函數，

所以最小值為用+1）=產+1；［5分］

當WlWr+1,即0WW1時，函數圖像如圖（2）所示，在對稱軸x=l處取得最小值，最小

當f>l時，函數圖像如圖（3）所示,函數於）在區間［t,t+1］上為增函數,

所以最小值為f（。=尸一2/+2.口1分］

綜上可知，_/U）min=錯誤！［12分］

課時作業

力基礎保分練

1.若函數,/U）=（，〃-1）/+2,如+3為偶函數，則/G）在區間（-5,-3）上（）

A.先減少后增加B.先增加后減少

C.是減少的D.是增加的

答案D

2.(2018?江西九江七校聯考)若累函數f(x)=(〃?2—4m+4>x'"—""8在(0,+8)上為增函數，

則m的值為0

A.1或3B.1

C.3D.2

答案B

解析由題意得4,”+4=1,6相+8>0,

解得加=1.

3.己知函數段)=a?+x+5的圖像在x軸上方，則“的取值范圍是()

A。錯誤!B。錯誤！

Co錯誤!D。錯誤！

答案C

解析由題意知錯誤!即錯誤!得。〉錯誤！。

4.已知二次函數7U)滿足f(2+x)=/(2—x),且/(x)在[0,2]上是增函數，若強i)，f

(0),則實數a的取值范圍是。

A.[0,+°°)B.(—8,0]

C.[0,4]D.(-8,0]U[4,+8)

答案C

解析由題意可知函數式x)的圖像開口向下，對稱軸為x=2(如圖)，

若f(a)宓0),從圖像觀察可知0W.W4。

5.已知二次函數於)—2wr—ax+l(a(0)，若為〈及內|+短=0,則次ri)與/(及)的大小關系為

()

A.f(X1)=f(X2)B.fAl)〉j(X2)

C.式X|)〈於2)D.與a值有關

答案C

解析該二次函數的圖像開口向下，對稱軸為直線》=錯誤!，

又依題意，得X1<0,%2>0,又為+及=0,

...當為,X2在對稱軸的兩側時，

錯誤！一xi〉垃一錯誤！，故，(xi)</(X2).

當XI,X2都在對稱軸的左側時，

由單調性知｛T1)勺'(X2).

綜上/(X1)(/(X2).

6.若關于x的不等式』一敘一2一。>0在區間(1,4)內有解，則實數a的取值范圍是。

A.(—8,—2)B.(—2,+°°)

C.(-6,+8)D.(-8,-6)

答案A

解析不等式X2—4彳-2一。>0在區間(1,4)內有解等價于“<Q2—4x—2)max,

令/(幻=/一以一2,%e(l,4),

所以/(x)</(4)=-2,所以“〈一2。

_3

7.已知P=2"Q=錯誤!3,R=錯誤!3,則P,Q,R的大小關系是.(用“〉”連

接)

答案P>R>Q

_3

解析P=2.5=錯誤!3,根據函數y=V是R上的增函數，且錯誤！>錯誤！>錯誤！，得錯誤！

3>錯誤!3>錯誤!3,即P>R>。。

8.已知基函數/(x)=x-"若y(a+i)</(10-2a),則a的取值范圍為.

答案(3,5)

解析?.?黑函數7U)=工-5是減少的，定義域為(0,+8),.?.由/(a+1)(f(10-2a),

得錯誤！

解得3(a〈5。

9.對于任意實數x,函數次x)=(5—a)/—6x+a+5恒為正值,則a的取值范圍是.

答案(一4,4)

解析由題意可得錯誤！

解得一4(a〈4。

10.若f(x)=~x2+2ax與g(x)=錯誤!在區間［1,2］上都是減函數，則a的取值范圍是

答案(0,1］

解析由7(x)=—/+2以在［1,2］上是減函數可得［1,2］=［a,+8),.?.aWL

'.'y=錯誤!在(-1,+8)上為減函數，

???由g(x)=M在口,2］上是減函數可得a〉0,

故0〈4<1。

11.已知函數/(x)=一爐+20￥+1-4在xG[O,l]時有最大值2,則〃的值為.

答案一1或2

解析fix')=-(x-a)2+a2-a+l,

當a》1時，兀t)max=『(1)=ci=2,即a=2；

當0<“<1時，f(a)—cr—a+1—2,此時無解；

當a〈0時，f(x)max=f(0)=1一“=2,

??a=-1o綜上，u——1或a=2。

12.己知函數於)=/+(2a-l)x-3.

(1)當a=2,xG[-2,3]時，求函數_Ax)的值域；

(2)若函數；(x)在[-1,3]上的最大值為1,求實數a的值.

解(1)當“=2時，加)=『+3》-3,xG[—2,3],

對稱軸x=一錯誤！G[-2,3],

.V(x)min=7錯誤!=錯誤!一錯誤!—3=一錯誤!,

fix)max=/(3)=15,

.?.函數/(X)的值域為錯誤！。

(2)對稱軸為》=一錯誤！。

①當一錯誤!<1,即心一錯誤！時，

/)max=/(3)=6a+3,

：.6a+3=\,即a=一錯誤!滿足題意；

②當一錯誤！>1,即。<一錯誤!時，

f(X)max=/(―1)=—2”一1,

-2a—1=1,即a=-1滿足題意.

綜上可知，a=一錯誤!或一1。

土技能提升練

13.已知函數段)=f+bx,則*<0”是“/(/))的最小值與的最小值相等”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

答案A

解析由題意知./U)=/+以=錯誤!2一錯誤！，

7(X)min=一錯誤！，令f=/+6x》一錯誤！，

則用'(X))=?=*+從=錯誤!2一錯誤！,

當6Vo時，fif(x))的最小值為一錯誤!，所以"％<0"能推出"/(/(x))的最小值與_/(x)的

最小值相等〃；

當b=0時，y(X%))=d的最小值為0,f(x