“鴿巢原理”教學設計

【教學內容】

人教版《義務教育課程標準實驗教科書?數學》六年級下冊第68、69頁。

【教學目標】

1.經歷“鴿巢（抽屜）原理”的探究過程，初步了解“鴿巢（抽屜）原理”，會用“抽

屜原理”解決簡單的實際問題。

2.通過操作發展學生的類推能力，形成比較抽象的數學思維。

3.通過“鴿巢（抽屜）原理”的靈活應用感受數學的魅力。

【教學重點】

經歷“鴿巢（抽屜）原理”的探究過程，初步了解“鴿巢（抽屜）原理”。

【教學難點】

理解“鴿巢（抽屜）原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”。

【教具、學具準備】

每組都有相應數量的紙杯、小棒。

【教學過程】

一、課前游戲引入。

上課前，我們先來熱身一下，一起來個小游戲。

請4位同學上來參加游戲，游戲規則是：四名同學到黑板后面，每個同學拿一個小球,

放到3個杯子里面，然后讓同學們猜會出現什么結果？

為什么總有一張椅子至少坐兩個同學？

在這個游戲中蘊含著一個有趣的數學原理叫做鴿巢理原，這節課我們就一起來研究鴿巢

理原。（板書課題）

二、通過操作，探究新知

（一）探究例1

1、研究3根小棒放進2個紙杯。

（1）要把3小棒放進2個紙杯，有幾種放法？請同學們想一想，擺一擺，寫一寫，再把

你的想法在小組內交流。

（2）反饋：兩種放法：（3,0）和（2,1）。

（3）從兩種放法，同學們會有什么發現呢？（總有一個紙杯至少放進2根小棒）你是怎

么發現的？（說得真有道理）

（4）“總有”什么意思？（一定有）

（5）“至少”有2根什么意思？（不少于2根）

小結：在研究3根小棒放進2個紙杯時，同學們表現得很積極，發現了“不管怎么放，總

有一個紙杯放進2根小棒）

2、研究4根小棒放進3個紙杯。

（1）要把4根小棒放進3個紙杯里，有幾種放法？請同學們動手擺一擺，再把你的想法

在小組內交流。

（2）反饋:四種放法:（4,0,0）、（3,1,0）、（2,2,0）、（2,1,1）。

（3）從四種放法，同學們會有什么發現呢？（總有一個筆盒至少有2根小棒）

（4）你是怎么發現的？

（5）大家通過枚舉出四種放法，能清楚地發現“總有一個紙杯放進2根小棒，如果要

讓每個紙杯里放的筆盡可能的少，你覺得應該要怎樣放？（每個紙杯都先放進一枝，還剩一

枝不管放進哪個紙杯，總會有一個紙杯至少有2枝筆）（你真是一個善于思想的孩子。）

（6）這位同學運用了假設法來說明問題，你是假設先在每個紙杯里放1根小棒，這種放

法其實也就是怎樣分？（平均分）那剩下的1枝怎么處理？（放入任意一個紙杯，那么這個

紙杯就有2根小棒了）

（7）誰能用算式來表示這位同學的想法？（5+4=1…1）商1表示什么？余數1表示什么？

怎么辦？

（8）在探究4根小棒放進3個紙杯的問題，同學們的方法有兩種，一是枚舉了所有放法，

找規律，二是采用了“假設法”來說明理由，你覺得哪種方法更明了更簡單？

3、類推：把5根小棒放進4個紙杯，是不是總有一個筆盒至少有2根小棒？為什么？

把6根小棒放進5個紙杯，是不是總有一個筆盒至少有2根小棒？為什么？

把7根小棒放進6個紙杯，是不是總有一個筆盒至少有2根小棒？為什么？

把100根小棒放進99個紙杯，是不是總有一個筆盒至少有2根小棒？為什么？

4、從剛才我們的探究活動中，你有什么發現？（只要放的鉛筆比紙杯的數量多1,總

有一個紙杯里至少放進2根小棒。）

5、如果鉛筆數比紙杯數多2呢？多3呢？是不是也能得到結論："總有?個筆盒至少有

2根小棒。”

6、小結：剛才我們分析了把鉛筆放進紙杯的情況，只要鉛筆數量多于紙杯數量時，

總有一個紙杯至少放進2根小棒。

這就是今天我們要學習的鴿巢原理也叫抽屜原理。既然叫“抽屜原理”是不是應該和抽屜有

聯系吧？鉛筆相當于我們要準備放進抽屜的物體，那么紙杯就相當于抽屜了。如果物體數多

于抽屜數，我們就能得出結論“總有一個抽屜里放進了2個物體

7、在我們的生活中，常常會遇到抽屜原理，你能不能舉個例子？在課前我們玩的游戲

中，有沒有抽屜原理？

過渡：同學們非常了不起，善于運用觀察、分析、思考、推理、證明的方法研究問題，

得出結論。同學們的思維也在不知不覺中提升了許多，那么讓我們再來研究這樣一組問題。

（二）探究例2

1、研究把5本書放進2個抽屜。

（1）把5本書放進2個抽屜會有幾種情況？（5,0）、（4,1）和（3,2）

（2）從三種情況中，我們可以得到怎樣的結論呢？（總有一個抽屜至少放進了3本書）

（3）還可以怎樣理解這個結論？先在每個抽屜里放進2本，剩下的1本放進任何一個抽

屜，這個抽屜就有3本書了。

（4）可以把我們的想法用算式表示出來：5+2=2…1（商2表示什么，余數1表示什么）

2+1=3表示什么？

2、類推：如果把7本書放進2個抽屜中，至少有一個抽屜放進4本書。

如果把9本書放進2個抽屜中。至少有一個抽屜放進5本書。

如果把11本書放進3個抽屜中。至少有一個抽屜放進4本書。你是怎樣想的？（11+3=3-

2）商3表示什么？余數2表示什么？3+1=4表示什么？

3、小結：從以上的學習中，你有什么發現？（在解決鴿巢（抽屜）原理時，我們可以

運用假設法，把物體盡可量多地“平均分”給各個抽屜，總有一個抽屜比平均分得的物體數

多1。）

4、經過剛才的探索研究，我們經歷了一個很不簡單的思維過程，個個都是了不起的數

學家。“鴿巢（抽屜）原理”最先是由19世紀的德國數學家狄利克雷提出來的，所以又稱

“狄里克雷原理”，也稱為“鴿巢原理二這一原理在解決實際問題中有著廣泛的應用。“鴿

巢（抽屜）原理”的應用是千變萬化的，用它可以解決許多有趣的問題，并且常常能得到一

些令人驚異的結果。

5、做一做：

7只鴿子飛回5個鴿舍，至少有2只鴿子要飛進同一個佶舍里。為什么？

8只鴿子飛回3個鴿舍，至少有3只鴿子要飛時同一個鴿舍里。為什么？

（先讓學生獨立思考，在小組里討論，再全班反饋）

三、總結全課

這節課，你有什么收獲？

學情分析

鴿巢（抽屜）原理是學生從未接觸過的新知識，難以理解鴿巢原理的真正含義，發現有

相當多的學生他們自己提前先學了，在具體分的過程中，都在運用平均分的方法，也能就一

個具體的問題得出結論。但是這些學生中大多數只“知其然，不知其所以然"，為什么平均

分能保證“至少”的情況，他們并不理解。有時要找到實際問題與“鴿巢原理”之間的聯系

并不容易，即使找到了，也很難確定用什么作為“鴿巢”，要用幾個“鴿巢”。

1.年齡特點：六年級學生既好動又內斂，教師一方面要適當引導，引發學生的學習興

趣，使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面要創造條件和機會，讓學生發表見解，發

揮學生學習的主體性。

2.思維特點：知識掌握上，六年級的學生對于總結規律的方法接觸比較少，尤其對于

“數學證明”。因此，教師要耐心細致的引導，重在讓學生經歷知識的發生、發展和過程，

而不是生搬硬套，只求結論，要讓學生不知其然，更要知其所以然。

效果分析

數學課程標準指出，數學課堂教學是師生互動與發展的過程，學生是數學學習的主人，

教師是課堂的組織者，引導者和合作者。本節課的教學注重為學生提供自主探索的空間，引

導學生在觀察、猜測、操作、推理和交流等數學活動中初步了解“鴿巢（抽屜）原理”，學

會用“鴿巢（抽屜）原理”解決簡單的實際問題。

1、經歷“數學化”的過程。

本節課運用“感知模型一一建立模型一一驗證模型一一應用模型”這一模式，讓學生經

歷“抽屜原理”的探究過程，從探究具體問題到類推得出一般結論，初步了解“鴿巢（抽屜）

原理”，再到實際生活中加以應用，找到實際問題和“鴿巢（抽屜）原理”之間的聯系，靈

活地解決實際問題。讓學生經歷“數學化”的過程，學會思考數學問題的方法，培養學生的

數學思維能力。

2、提供探索空間。

本節課充分放手，讓學生自主思考，采用自己的方法“證明”：“把4根小棒放入3

個杯子中，不管怎么放，總有一個杯子里至少放進2枝鉛筆”，然后交流展示，評價各種“證

明”方法，針對學生的不同方法教師給予針對性的鼓勵和指導，讓學生在自主探索中體驗成

功，獲得發展。

3、注重引導提升。

本節課的教學，有意識地培養學生的“模型”思想，讓學生理解“鴿巢（抽屜）問題”

的“一般化模型”。在學生自主探索的基礎上，教師引導學生對兩種方法進行比較，使學生

逐步學會運用一般性的數學方法來思考問題；在學生解決了“把4根小棒放入3個杯子”的

問題后，繼續思考，類推，得出一般性的結論。這樣設計，提升了學生的思維，發展了學生

的能力。

本節課多數學生能積極參與，教學效果較好。但是也存在一些不足：教學節奏有點快，

個別學生思維跟不上。

教材分析

“數學廣角”是人教版六年級下冊第五單元的內容。在數學問題中，有一類與“存在性”

有關的問題，如任意367名學生中，一定存在兩名學生，他們在同一天過生日。在這類問題

中，只需要確定某個物體（或某個人）的存在就可以了，并不需要指出是哪個物體（或哪個

人），也不需要說明通過什么方式把這個存在的物體（或人）找出來。這類問題依據的理論，

我們稱之為“鴿巢原理二本節課教材借助把4枝鉛筆放進3個文具盒中的操作情境，介紹

了一類較簡單的“鴿巢原理”，即把m個物體任意分放進n個空鴿巢里（m>n,n是非0自然

數），那么一定有一個鴿巢中放進了至少2個物體。關于這類問題，學生在現實生活中已積

累了一定的感性經驗。教學時可以充分利用學生的生活經驗，放手讓學生自主思考，先采用

自己的方法進行“證明”，然后再進行交流，在交流中引導學生對“枚舉法”、“反證法”、“假

設法”等方法進行比較，使學生逐步學會運用一般性的數學方法來思考問題，發展學生的抽

象思維能力。讓學生通過本內容的學習，幫助學生加深理解，學會利用“鴿巢問題”解決簡

單的實際問題。在此過程中，讓學生初步經歷“數學證明”的過程。實際上，通過“說理”

的方式來理解“鴿巢原理”的過程就是一種數學證明的雛形，有助于提高學生的邏輯思維能

力，為以后學習較嚴密的數學證明做準備。還要注意培養學生的“模型”思想，這個過程是

將具體問題“數學化”的過程，能從紛繁的現實素材中找出最本質的數學模型，是體現學生

數學思維和能力的重要方面。

評測練習

1.某班有37名同學，至少有幾個同學在同一天過生日？

2.42只鴿子飛進5個籠子里，可以保證至少有一個籠子里有可以有幾只鴿子？

課后反思

本節課的內容是小學六年級下冊數學廣角的內容。很多老師初一看這內容，覺得本節課

的內容與生活無關，沒有任何聯系。其實，“鴿巢原理”在生活中的應月很廣泛且靈活多變，

可以解決一些看上去很復雜、覺得無從下手，卻又是相當有趣的數學問題。但對于小學生來

說，理解和掌握“鴿巢原理”還存在著一定的難度。所以，本節課根據學生的認知特點和規

律，我在設計時著眼于學生數學思維的發展，通過猜測、驗證、觀察、分析等活動，建立數

學模型，滲透數學思想。

我覺得一堂好的數學課，應該是原生態的、充滿“數學味”的課；課堂中教師應該立足

課堂，立足知識點。“創設情境--建立模型-一解釋應用”是新課程所倡導的教學模式。本

節課的設計中，我運用這一模式，創設了一些活動，讓學生通過活動，產生興趣，讓學生經

歷探究“鴿巢原理”的過程，初步了解了“鴿巢原理”，并能夠應用于實際，學會思考數學

問題的方法，培養了學生的數學思維。

一、創設情境，激趣導入

創設情境，目的不是為了創設情，主要是目的是讓學生很快的排除外界及內心因素的干

擾而進入教學內容，營造一個教學情境，幫助學生在廣泛的文化情境中學習探索，同時也是

為新內容的學習做好鋪墊。導入新課的目的是要引起學生在思想上產生學習新知識的愿望，

產生一種需要認識和學習的心理。我以“把四個小球放入3個杯子，猜放的情況”的游戲導

入新課，激發學生的興趣，初步感受至少有兩位同學相同的現象，激發學習新知的