資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】7.5正態分布（精講）考點一正態分布（小題）【例1-1】（2022春·安徽滁州·高二校考階段練習）設隨機變量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，若，則.故選：A【例1-2】（2021春·天津薊州·高二校考期末）為弘揚我國優秀的傳統文化，市教育局對全市所有中小學生進行了“成語”聽寫測試，經過大數據分析，發現本次聽寫測試成績服從正態分布.試根據正態分布的相關知識估計測試成績不小于95的學生所占的百分比為（

）參考數據：，，A．0.135% B．1.35% C．3.15% D．3.35%【答案】A【解析】依題意，所以測試成績不小于95的學生所占的百分比為.故選：A【例1-3】（2022春·河北·高二河北省文安縣第一中學校考期末）隨機變量X服從正態分布，且，則下列說法一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，由正態分布的對稱性可得，故B正確，A錯誤，而正態分布的方差無法確定，故C，D均錯誤.故選：B．【一隅三反】1．（2022春·山東·高二校聯考階段練習）某次數學考試成績近似服從正態分布，若，則可以估計考試成績大于或等于80分的概率為（

）A．0.372 B．0.256 C．0.128 D．0.744【答案】C【解析】由正態分布的對稱性可知：，故估計考試成績大于或等于80分的概率為.故選：C2．（2022春·江蘇·高二校聯考階段練習）已知兩個隨機變量，其中，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，又因為，所以，所以.故選：D．3．（2022春·江蘇南京·高二校考期中）已知服從正態分布的隨機變量在區間，和內取值的概率分別為68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年級1000名學生的某次考試成績服從正態分布N，則此次考試成績在區間內的學生大約有（

）A．477人 B．136人 C．341人 D．131人【答案】B【解析】根據題意，，則，故此次考試成績在區間內的學生大約有人.故選：B.4．（2023·全國·高二專題練習）（多選）已知隨機變量，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由題設，隨機變量對應的均值，標準差，所以，而，故，即，A錯誤，B正確；由，C正確；由，D錯誤.故選：BC5．（2022春·福建福州·高二福州三中校考期末）（多選）楊明上學有時坐公交車，有時騎自行車，他記錄了坐公交車用時X（單位：min）和騎自行車用時Y（單位：min），經數據分析得到，，則（

）A．B．C．若某天只有34min可用，楊明應選擇坐公交車D．若某天只有38min可用，楊明應選擇坐公交車【答案】BC【解析】由知，，由知，，對于A，，A不正確；對于B，，B正確；對于C，，則楊明應選擇坐公交車，C正確；對于D，，則楊明應選擇騎自行車，D不正確.故選：BC考點二正態分布（解答題）【例2】（2022·高二課時練習）為了切實維護居民合法權益，提高居民識騙防騙能力，守好居民的“錢袋子”，某社區開展“全民反詐在行動——反詐騙知識競賽”活動，現從參加該活動的居民中隨機抽取了100名，統計出他們競賽成績分布如下：成績（分）人數242240284(1)求抽取的100名居民競賽成績的平均分和方差（同一組中數據用該組區間的中點值為代表）；(2)以頻率估計概率，發現該社區參賽居民競賽成績X近似地服從正態分布，其中近似為樣本成績平均分，近似為樣本成繢方差，若，參賽居民可獲得“參賽紀念證書”；若，參賽居民可獲得“反詐先鋒證書”，①若該社區有3000名居民參加本次競賽活動，試估計獲得“參賽紀念證書”的居民人數（結果保留整數）；②試判斷競賽成績為96分的居民能否獲得“反詐先鋒證書”．附：若，則，，．【答案】(1)，(2)①2456；②能【解析】（1）100名居民本次競賽成績平均分，100名居民本次競賽成績方差，（2）①由于近似為樣本成績平均分，近似為樣本成績方差，所以，，可知，，由于競賽成績X近似地服從正態分布，因此競賽居民可獲得“參賽紀念證書”的概率估計獲得“參賽紀念證書”的居民人數為2456；②當時，即時，參賽居民可獲得“反詐先鋒證書”，所以競賽成績為96分的居民能獲得“反詐先峰證書”．【一隅三反】1．（2022春·吉林長春·高二長春吉大附中實驗學校校考期中）某地區名高三學生在某次模擬考試中的總分服從正態分布.(1)求；(2)試估計該地區名高三學生中，總分落在區間的人數.參考數據：，，.【答案】(1)(2)約為人【解析】（1）解：由已知，，則，，所以，.（2）解：，，所以，，，所以，該地區名高三學生中，總分落在區間的人數約為2．（2022春·山東泰安·高二統考期末）某公司采購了一批零件，為了檢測這批零件是否合格，從中隨機抽測了120個零件的長度（單位：分米），按數據分成這6組，得到如下的頻數分布表.分組頻數3154242153以這120個零件的長度在各組的頻率作為整批零件的長度在各組的概率.(1)若從這批零件中隨機抽取3個，記x為抽取的零件的長度在的個數，求的分布列和數學期望；(2)若變量滿足，且，則稱變量滿足近似于正態分布的概率分布，如果這批零件的長度（單位：分米）滿足近似于正態分布的概率分布，則認為這批零件是合格的，將順利被簽收，否則，公司將拒絕簽收，試問該批零件能否被簽收？【答案】(1)分布列見解析，數學期望：(2)這批零件是合格的，將順利被該公司簽收【解析】（1）從這批零件中隨機選取1件，長度在的概率，隨機變量的可能取值為，則，，所以隨機變量的分布列為0123所以（2）由題意知，，，因為，所以這批零件的長度滿足近似于正態分布的概率分布.所以認為這批零件是合格的，將順利被該公司簽收.3．（2022春·河北保定·高二校聯考階段練習）某食品廠生產一種零食，該種零食每袋的質量X（單位：）服從正態分布.(1)當質檢員隨機抽檢20袋該種零食時，測得1袋零食的質量為73，他立即要求停止生產，檢查設備，請你根據所學知識，判斷該質檢員的決定是否有道理，并說明判斷的依據.(2)規定：這種零食的質量在62.8~69.4的為合格品.①求這種零食的合格率；（結果精確到0.001）②從該種零食中任意挑選n袋，合格品的袋數為Y，若Y的數學期望大于58，求n的最小值.參考數據：若，則，，.【答案】(1)該質檢員的決定有道理，理由見解析(2)①

；②

71【解析】(1)因為，所以，，所以，，所以.因為0.00135遠小于，所以此事件應為小概率事件，而質檢員隨機抽檢20袋該種零食時，測得1袋零食的質量為73，說明小概率事件確實發生了，因此他立即要求停止生產，檢查設備的決定有道理.(2)①因為，，所以，，由題意可知當零食質量X滿足時為合格品，所以這種零食的合格率為.②由題意可知，則，則，故n的最小值為71；[注]在第（2）問第2小問中，若寫為，則，則，故n的最小值為71.考點三綜合運用【例3】（2022·湖南郴州·高二安仁縣第一中學階段練習）為了不斷提高教育教學能力，某地區教育局利用假期在某學習平臺組織全區教職工進行網絡學習．第一學習階段結束后，為了解學習情況，負責人從平臺數據庫中隨機抽取了300名教職工的學習時間（滿時長15小時），將其分成六組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）．(1)求a的值；(2)以樣本估計總體，該地區教職工學習時間近似服從正態分布，其中近似為樣本的平均數，經計算知．若該地區有5000名教職工，試估計該地區教職工中學習時間在內的人數；(3)現采用分層抽樣的方法從樣本中學習時間在內的教職工中隨機抽取5人，并從中隨機抽取3人作進一步分析，分別求這3人中學習時間在與內的教職工平均人數．（四舍五入取整數）參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，，．【答案】(1)(2)4093(3)在內的教職工平均人數為1，在內的教職工平均人數2【解析】（1）由題意得，解得．（2）由題意知樣本的平均數為，所以．又，所以．則，所以估計該地區教職工中學習時間在內的人數約為4093．（3）對應的頻率比為，即為2:3，所以抽取的5人中學習時間在內的人數分別為2，3，設從這5人中抽取的3人學習時間在內的人數為X，則X的所有可能取值為0，1，2，，，，所以．則這3人中學習時間在內的教職工平均人數約為1．設從這5人中抽取的3人中學習時間在內的人數為Y，則，所以．則這3人中學習時間在內的教職工平均人數約為2．【一隅三反】1．（2022秋·江西宜春·高二校聯考階段練習）學史明理，學史增信，學史崇德，學史力行.近年來，某市積極組織開展黨史學習教育的活動，為調查活動開展的效果，市委宣傳部對全市多個基層支部的黨員進行了測試，并從中抽取了1000份試卷進行調查，根據這1000份試卷的成績（單位：分，滿分100分）得到如下頻數分布表：成績/分頻數40902004001508040(1)求這1000份試卷成績的平均數？（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）.(2)假設此次測試的成績服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差，已知的近似值為6.61，以樣本估計總體，假設有84.14%的學生的測試成績高于市教育局預期的平均成績，則市教育局預期的平均成績大約為多少（結果保留一位小數）？(3)該市教育局準備從成績在內的120份試卷中用分層抽樣的方法抽取6份，再從這6份試卷中隨機抽取3份進行進一步分析，記為抽取的3份試卷中測試成績在內的份數，求的分布列和數學期望.參考數據：若，則，，.【答案】(1)82.15分(2)75.5分(3)分布列見解析，【解析】（1）設這1000份試卷成績的平均數為，則：分.（2）由（1）得，而，由于，即，所以市委宣傳部預期平均成績大約為75.5分；（3）由分層抽樣得抽取的6份試卷中2份在內，4份在內，的可能取值為0，1，2，則，，即的分布列為：012所以.2．（2022春·福建南平·高二統考期末）某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況.隨機抽取該流水線上的40件產品作為樣本并稱出它們的質量（單位：克），質量的分組區間為，，…，，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示.(1)根據頻率分布直方圖，求質量超過505克的產品數量和樣本平均值；(2)由樣本估計總體，結合頻率分布直方圖，近似認為該產品的質量指標值服從正態分布，其中近似為（1）中的樣本平均值，計算該批產品質量指標值的概率；(3)從該流水線上任取2件產品，設為質量超過505克的產品數量，求的分布列和數學期望.附；若，則，，【答案】(1)12（件），501.75(2)0.977