PAGEPAGE4充分條件與必要條件[A級基礎鞏固]1．若p：四邊形ABCD是菱形，q：四邊形ABCD是矩形，則p是q的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．既充分又必要條件D．既不充分又不必要條件解析：選D依題意，當四邊形ABCD是菱形時，不肯定是矩形．當四邊形ABCD是矩形時，不肯定是菱形．∴p?/q，q?/p，∴p是q的既不充分又不必要條件．2．(多選)下列“若p，則q”形式的命題中，p是q的充分條件的是()A．若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，則x＝yB．若x2＝1，則x＝1C．若eq\r(x)＝eq\r(y)，則x＝yD．若x＜y，則x2＜y2解析：選AC由于A、C明顯為真命題，故A、C中p是q的充分條件，B不是，x2＝1?x＝1或x＝－1.D不是，如x＝－3，y＝－2，則x2＝9＞y2＝4.3．對實數a，b，c，在下列命題中，是真命題的為()A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要條件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要條件C．“ac＞bc”是“a＞b”的充分條件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分條件解析：選B∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ac＞bc，,c＞0))?a＞b，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ac＞bc，,c＜0))?a＜b，∴ac＞bc?/a＞b，而由a＞b?/ac＞bc，∴“ac＞bc”是“a＞b”的既不充分也不必要條件，故A、C錯誤．又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ac＝bc，,c≠0))?a＝b，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ac＝bc，,c＝0))?/a＝b，∴由ac＝bc?/a＝b，由a＝b?ac＝bc，∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要條件．故選B.4．唐代詩人杜牧的七絕唐詩《偶題》傳誦至今，“道在人間或可傳，小還輕變已多年，今來海上上升望，不到蓬萊不是仙”，其中設p：“是仙”，q：“到蓬萊”，則()A．p是q的充分條件B．p是q的必要條件C．既充分又必要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A由題得，“是仙”肯定是“到蓬萊”，“到蓬萊”不肯定“是仙”．所以“是仙”是“到蓬萊”的充分條件．故選A.5．設甲、乙、丙是三個命題，假如甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，那么()A．丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件B．丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件C．丙既是甲的充分條件，又是甲的必要條件D．丙既不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件解析：選A因為甲是乙的必要條件，所以乙?甲．又因為丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，所以丙?乙，但乙?/丙，如圖．綜上，有丙?甲，但甲?/丙，即丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件．6．“x2＝2x”是“x＝0”的________條件，“x＝0”是“x2＝2x”的________條件(用“充分”“必要”填空)．解析：由于x＝0?x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要條件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分條件．答案：必要充分7．下列說法不正確的是________．(填序號)①“x＞5”是“x＞4”的充分條件；②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分條件；③“－2＜x＜2”是“x＜2”的充分條件．解析：②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，則②不正確；①③正確．答案：②8．條件p：1－x<0，條件q：x>a，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是________．解析：p：x>1，若p是q的充分不必要條件，則p?q，但eq\a\vs4\al(q?/p)，也就是說，p對應集合是q對應集合的真子集，所以a<1.答案：{a|a<1}9．下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？哪些命題中的p是q的必要條件？(1)p：實數a能被6整除，q：實數a能被3整除；(2)p：x＞1，q：x2＞1；(3)p：b2＝ac，q：eq\f(a,b)＝eq\f(b,c)；(4)p：A∩B＝A，q：?UB??UA.解：(1)實數a能被6整除，則肯定能被3整除，反之不肯定成立．即p?q，q?/p，所以p是q的充分條件，但p不是q的必要條件．(2)因為x2＞1?x＞1或x＜－1，所以p?q，且q?/p.所以p是q的充分條件，但p不是q的必要條件．(3)b2＝ac?/eq\f(a,b)＝eq\f(b,c)，如b＝0，c＝0時，b2＝ac，而eq\f(a,b)，eq\f(b,c)無意義．但eq\f(a,b)＝eq\f(b,c)?b2＝ac，所以p是q的必要條件，但p不是q的充分條件．(4)畫出Venn圖(如圖)．結合圖形可知，A∩B＝A?A?B??UB??UA，反之也成立，所以p是q的充分條件，且p是q的必要條件．10．已知a，b為實數，條件甲：“a＋b＝0”，條件乙：“eq\f(a,b)＝－1”．依據充分條件與必要條件的概念，推斷甲是乙的什么條件．解：當a＝b＝0時，滿意a＋b＝0，但eq\f(a,b)＝－1不成立，即甲不是乙的充分條件；若eq\f(a,b)＝－1，則a＝－b，即a＋b＝0，則甲是乙的必要條件．綜上，甲不是乙的充分條件，但甲是乙的必要條件．[B級綜合運用]11．(多選)一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正實數根的充分不必要條件是()A．n＝4 B．n＝－5C．n＝－1 D．n＝－12解析：選BCD設y＝x2＋4x＋n，則函數的圖象是開口向上的拋物線，且對稱軸為x＝－2，要使得一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正數根，則滿意當x＝0時，y＜0，即n＜0，所以一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正數根的充分不必要條件可以為B、C、D.故選B、C、D.12．南北朝時期的宏大數學家祖暅在數學上有突出貢獻，他在實踐的基礎上提出祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．其含義是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的隨意平面所截，假如截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．如圖，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體的體積分別為V1，V2，被平行于這兩個平面的隨意平面截得的兩個截面的面積分別為S1，S2，則“V1，V2相等”是“S1，S2總相等”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．既充分又必要條件D．既不充分也不必要條件解析：選B由祖暅原理知，若S1，S2總相等，則V1，V2相等成立，即必要性成立；若V1，V2相等，則S1，S2不肯定相等，即充分性不成立．所以“V1，V2相等”是“S1，S2總相等”的必要不充分條件，故選B.13．已知p：－1＜x＜3，若－a＜x－1＜a(a＞0)是p的一個必要條件，則使a＞b恒成立的實數b的取值范圍是________．解析：∵－a＜x－1＜a?1－a＜x＜1＋a，∴{x|－1＜x＜3}?{x|1－a＜x＜1＋a}，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a≤－1，,1＋a≥3，))解得a≥2.又a＞b恒成立，因此b＜2，故實數b的取值范圍是{b|b＜2}．答案：{b|b＜2}14．設α：0≤x≤1，β：x＜2m－1或x＞－2m＋1，m∈R，若α是β的充分條件，求實數m的取值范圍．解：記A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|x＜2m－1或x＞－2m＋1}．因為α是β的充分條件，所以A?B.①當2m－1＞－2m＋1，即m＞eq\f(1,2)時，B＝R，滿意A?B；②當m≤eq\f(1,2)，即B≠R時，1＜2m－1或0＞－2m＋1，m無解．綜上可得，實數m的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m＞\f(1,2))))).[C級拓展探究]15．已知p：x2＋x－6＝0和q：mx＋1＝0，且p是q的必要條件但不是充分條件，求實數m的值．解：p：x∈{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，q：x∈{x|mx＋1＝0}，因為p是q的必要條件