專題08解三角形及其應用（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）知識點1正、余弦定理及應用1、正、余弦定理與變形定理正弦定理余弦定理內容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(3)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝2RcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)【注意】若已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，可用正弦定理．在根據另一邊所對角的正弦值確定角的值時，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意結合“大邊對大角，大角對大邊”及三角形內角和定理去考慮問題．2、解三角形中的常用結論（1）三角形內角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；變形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).（2）三角形中的三角函數關系=1\*GB3①sin(A＋B)＝sinC；=2\*GB3②cos(A＋B)＝－cosC；=3\*GB3③sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；=4\*GB3④coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).（3）三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.（4）三角形中的大角對大邊：在△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB.3、三角形常用面積公式（1）S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)；（2）S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；（3）S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為內切圓半徑)．知識點2解三角形的實際應用名稱意義圖形表示仰角與俯角在目標視線與水平視線所成的角中，目標視線在水平視線eq\a\vs4\al(上)方的叫做仰角，目標視線在水平視線eq\a\vs4\al(下)方的叫做俯角方位角從某點的指eq\a\vs4\al(北)方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角，方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的eq\a\vs4\al(銳)角，通常表達為北(南)偏東(西)例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：【注意】（1）方位角和方向角本質上是一樣的，方向角是方位角的一種表達形式，是同一問題中對角的不同描述．（2）將三角形的解還原為實際問題時，要注意實際問題中的單位、近似值要求，同時還要注意所求的結果是否符合實際情況．重難點01解三角形中的最值范圍問題1、三角形中的最值、范圍問題的解題策略（1）定基本量：根據題意或幾何圖形厘清三角形中邊、角的關系，利用正、余弦定理求出相關的邊、角或邊角關系，并選擇相關的邊、角作為基本量，確定基本量的范圍．（2）構建函數：根據正、余弦定理或三角恒等變換將待求范圍的變量用關于基本量的函數解析式表示．（3）求最值：利用基本不等式或函數的單調性等求最值．2、求解三角形中的最值、范圍問題的注意點（1）涉及求范圍的問題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進行求解，已知邊的范圍求角的范圍時可以利用余弦定理進行轉化．（2）注意題目中的隱含條件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大邊對大角等．類型1角或三角函數值的最值范圍【典例1】（2324高三下·山西·模擬預測）鈍角中，角的對邊分別為，，，若，則的最大值是.【答案】【解析】因為，由正弦定理得，又因為，可得，所以，則或.當時，可得，與是鈍角三角形矛盾，所以，由，則，可得，所以，所以當時，的最大值為.【典例2】（2324高三下·福建廈門·三模）記銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，則的取值范圍是.【答案】【解析】因為，所以，由余弦定理可得：，可得，在銳角中，由余弦定理可得：，因為，即，即，所以，所以，所以.類型2邊或周長的最值范圍【典例1】（2324高三下·江蘇·月考）在中，內角的對邊分別為，已知（1）若求的大小；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意，在中，，由余弦定理得，∴，，∵，∴，或（舍），∵，，．（2）由題意及（1）得，在中，，由正弦定理得，，為銳角三角形，解得：，，∴的取值范圍為．【典例2】（2324高三下·安徽淮北·二模）記的內角的對邊分別為，已知（1）試判斷的形狀；（2）若，求周長的最大值.【答案】（1）是直角三角形；（2）【解析】（1）由，可得，所以，即，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以是直角三角形（2）由（1）知，是直角三角形，且，可得，所以周長為，因為，可得，所以，當時，即為等腰直角三角形，周長有最大值為.類型3三角形面積的最值范圍【典例1】（2324高三下·廣東茂名·一模）在中，內角的對邊分別是，且.（1）求的大小；（2）若是邊的中點，且，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1），，，由正弦定理可得，，，，，，即，即；（2）依題意，，，，，即，即，當且僅當時，等號成立，即，面積的最大值為.【典例2】（2324高三下·湖北武漢·二模）在中，角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）已知，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，由正弦定理得，，即，所以，∵，∴，∴，∵，∴；（2）由正弦定理，得，∴，又∵，為銳角，∴的最大值為，∴的最大值為.重難點02解三角形角平分線的應用如圖，在?ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所對的邊分別問a，b，（1）利用角度的倍數關系：∠（2）內角平分線定理：AD為?ABC的內角∠BAC的平分線，則AB說明：三角形內角平分線性質定理將分對邊所成的線段比轉化為對應的兩邊之比，再結合抓星結構，就可以轉化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類問題，運用向量知識解決起來都較為簡捷。（3）等面積法：因為S?ABD+S所以b+cAD=2bccosA2，【典例1】（2324高三下·江西·模擬預測）在中，內角所對的邊分別為，其外接圓的半徑為，且．（1）求角；（2）若的角平分線交于點，點在線段上，，求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因為，由正弦定理可得，又，所以，所以，即，，故，，即，又，則．（2）由（1）可知，，又外接圓的半徑為；由正弦定理可知，所以，因為是的平分線，故，又，由，可得，即．①由余弦定理可知，，即．②由①②可知．所以，又，則，所以.【典例2】（2324高三下·河北滄州·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求證：；（2）若的角平分線交AC于點D，且，，求BD的長．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）在中，由余弦定理及，得，即，由正弦定理，得，即，由，得，則，因此，即，則，所以．（2）由，得，由，得．在，中，由正弦定理，得，則，解得，從而，又，由余弦定理，得，解得，所以BD的長為.重難點03解三角形中線的應用1、中線長定理：在?ABC中，AD是邊BC上的中線，則AB【點睛】靈活運用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中2、向量法：AD【點睛】適用于已知中線求面積（已知BDCD的值也適用）【典例1】（2324高三下·山西·三模）在中，內角所對的邊分別為已知的外接圓半徑是邊的中點，則長為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由的外接圓半徑，得，由和得，又，解得，所以.因為中，是邊的中點，所以,于是.故選：D.【典例2】（2324高三下·黑龍江哈爾濱·三模）已知的內角的對邊分別為，且邊上中線長為1，則最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，所以，又，且D是的中點，所以，在中，，在中，，所以，即，得，當且僅當取等號，故選：A一、利用正、余弦定理求解三角形的邊角問題，實質是實現邊角的轉化，解題的思路是：1、選定理.（1）已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；（2）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊所對的角，利用正弦定理；（3）已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；（4）已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；（5）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊，利用余弦定理；2、巧轉化：化邊為角后一般要結合三角形的內角和定理與三角恒等變換進行轉化；若將條件轉化為邊之間的關系，則式子一般比較復雜，要注意根據式子結構特征靈活化簡.3、得結論：利用三角函數公式，結合三角形的有關性質（如大邊對大角，三角形的內角取值范圍等），并注意利用數形結合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等。【典例1】（2324高三下·浙江金華·三模）在中，角的對邊分別為，，.若，，，則為（

）A．1 B．2 C．3 D．1或3【答案】C【解析】由余弦定理得,即，即，解得或（舍）.故選：C.【典例2】（2324高三下·江蘇·二模）設鈍角三個內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若，，，則.【答案】【解析】由余弦定理得，，而由，得，因為是鈍角三角形，且，故A為銳角，所以，所以，解得或，當時，即，，由大邊對大角得：最大角為C，，故C為銳角，不符合題意；當時，即，，由大邊對大角得：最大角為B，，故B是鈍角，符合題意.【典例3】（2324高三下·廣東江門·二模）是內一點，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，設，因為，所以．在中，由正弦定理可得，則，即，即，解得．故選：D二、判定三角形形狀的兩種常用途徑1、角化邊：利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數恒等變換，求出邊與邊之間的關系進行判斷；2、邊化角：通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行判斷【典例1】（2324高三下·湖南衡陽·模擬預測）在中，角的對邊分別為，若，則的形狀為.【答案】等腰三角形或直角三角形.【解析】因為，可得，由正弦定理和余弦定理，可得，整理得，即，即，可得，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形.【典例2】（2324高三下·河北秦皇島·三模）在中，內角，，的對邊分別為，，，且，，則（

）A．為直角三角形 B．為銳角三角形C．為鈍角三角形 D．的形狀無法確定【答案】A【解析】由，可得，則，，，即，由，故只能為銳角，可得，因為，所以，.故選：A.三、三角形的面積及應用1、三角形面積公式的使用原則：對于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是使用哪一個角就使用哪一個公式；2、與面積有關的問題：一般要用到正弦定理和余弦定理進行邊角互化；3、三角形的周長問題：一般是利用余弦定理和公式a2+b2=(a+b)22ab將問題轉化為求兩邊之和的問題。【典例1】（2324高三下·重慶·三模）（多選）在中，角的對邊為若，則的面積可以是（

）A． B．3 C． D．【答案】AC【解析】由余弦定理得:，即或4，故面積或.故選：AC.【典例2】（2324高三下·福建莆田·三模）在中，內角的對邊分別為，且.（1）證明：.（2）若，，求的面積.【答案】（1）證明見解析；（2）或【解析】（1）根據正弦定理知，整理得，因為，所以，由正弦定理可得；（2）因為，所以，由余弦定理可得，即，則，因為，所以，所以，則，即，解得或，當時，，此時的面積，當時，，此時的面積.所以的面積為或.四、利用正弦定理解三角形的外接圓利用正弦定理：可求解三角形外接圓的半徑。若要求三角形外接圓半徑的范圍，一般將用含角的式子表示，再通過三角函數的范圍來求半徑的范圍。【典例1】（2324高三下·云南·月考）在中，角，，所對的邊分別為，，，記的面積為，已知，，，求外接圓半徑與內切圓半徑之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，即，由余弦定理，得，，，在三角形中，則或(舍)，故，由余弦定理，，所以，由正弦定理，，則，因為，所以，所以.故選：B.【典例2】（2324高三下·河南·模擬預測）在中，角的對邊分別為，且.（1）求；（2）如圖所示，為平面上一點，與構成一個四邊形，且，若，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，由正弦定理得，，所以，所以，因為，所以，因為，所以.（2）在中，由余弦定理得，，因為，所以四邊形存在一個外接圓，所以圓的直徑為，因為，即，當AD為圓O直徑時取等號，故的最大值為.五、利用解三角形解決測量距離問題1、解決方法：選擇合適的輔助測量點，構造三角形，將問題轉化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解。2、求距離問題的注意事項（1）選定或確定要創建的三角形，要先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的量．（2）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理．【典例1】（2324高三下·吉林·二模）如圖，位于某海域處的甲船獲悉，在其北偏東方向處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救.甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東，且與甲船相距的處的乙船，已知遇險漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營救遇險漁船時需要航行的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，，由正弦定理得，所以.故乙船前往營救遇險漁船時需要航行的距離為.故選：B.【典例2】（2324高三上·廣東廣州·月考）如圖，、兩點在河的同側，且、兩點均不可到達．現需測、兩點間的距離，測量者在河對岸選定兩點、，測得，同時在、兩點分別測得，，，則、兩點間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，是等邊三角形，；中，，，，由正弦定理得，，，，中，由余弦定理得，，即、兩點間的距離為．故選：D．六、求解高度問題應注意的三個問題1、要理解仰角、俯角的定義；2、在實際問題中可能遇到空間與平面（底面）同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形；3、注意山或塔垂直于底面或海平面，把空間問題轉化為平面問題。【典例1】（2324高三下·寧夏石嘴山·模擬預測）海寶塔位于銀川市興慶區，始建于北朝晚期，是一座方形樓閣式磚塔，內有木梯可盤旋登至頂層，極目遠眺，巍巍賀蘭山，綿綿黃河水，塞上江南景色盡收眼底.如圖所示，為了測量海寶塔的高度，某同學（身高173cm）在點處測得塔頂的仰角為，然后沿點向塔的正前方走了38m到達點處，此時測得塔頂的仰角為，據此可估計海寶塔的高度約為m.（計算結果精確到0.1）

【答案】【解析】如圖，設海寶塔塔底中心為點，與交于點，過點作于點，則，由題意知，m，m，所以，則，在中，m，又是的外角，即有，所以，在中，m，設m，則m，在中，由勾股定理得，即，整理得，解得或（舍），所以m，所以m，即海寶塔的高度為m.【典例2】（2324高三下·廣東湛江·二模）財富匯大廈坐落在廣東省湛江市經濟技術開發區，是湛江經濟技術開發區的標志性建筑，同時也是已建成的粵西第一高樓.為測量財富匯大廈的高度，小張選取了大廈的一個最高點A，點A在大廈底部的射影為點O，兩個測量基點B、C與O在同一水平面上，他測得米，，在點B處測得點A的仰角為（），在點C處測得點A的仰角為45°，則財富匯大廈的高度米.【答案】204【解析】設米，因為在點B處測得點A的仰角為，所以，所以.因為在點C處測得點A的仰角為45°，所以米.由余弦定理，可得，即，解得.易錯點1利用正弦定理解三角形時，若已知三角形的兩邊及其一邊的對角解三角形時，易忽視三角形解的個數。點撥：正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個重要工具，它溝通了三角形中的邊角之間的內在聯系，正弦定理能夠解決兩類問題（1）已知兩角及其一邊，求其它的邊和角。這時有且只有一解。（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求其它的邊和角,這是由于正弦函數在在區間內不嚴格格單調，此時三角形解的情況可能是無解、一解、兩解，可通過幾何法來作出判斷三角形解的個數。【典例1】（2324高三上·河北正定·月考）在中，已知，，則角B等于（

）A． B．或 C． D．或【答案】A【解析】，由正弦定理可得，，由可得，，則故選：A【典例2】（2324高三上·安徽·月考）（多選）在中，角所對的邊分別為，那么在下列給出的各組條件中，能確定三角形有唯一解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BD【解析】選項A，點A到邊BC的距離是1，∵，∴三角形有兩解；選項B，點A到邊BC的距離是2與b相等，∴三角形是直角三角形，有唯一解；選項C，點A到邊BC的距離是，三角形無解；選項D，根據已知可解出，，∴三角形有唯一解.故選：BD.易錯點2解三角形時，在中忽視的解點撥：解題時容易習慣性約去相同的項，沒有注意到約分的條件，當此時，可以左右兩邊約去，從而造成漏解，所以考生在平時解題養成習慣，什么時候可以約，要牢記。【典例1】（2324高三下·山東·模擬預測）記的內角，，的對邊分別為，，，已知，則．【答案】【解析】因為，所以，所以，即，由正弦定理可得，所以，所以，所以，即，因為，所以，所以.【典例2】（2324高三下·全國·模擬預測）在中，角所對的邊分別為，且，的面積為，則（

）A．4 B． C．4或 D．或【答案】C【解析】由及余弦定理得．若，則，，故，，所以，所以．若，則，，由正弦定理得．因為，所以，，所以，，，所以，，所以，所以，解得．綜上，或．故選：C．易錯點3忽視對角的討論點撥：當解題過程中出現類似于sin2A=sin2B這樣的情況要注意結合三角形內角范圍進行討論，另外當題設中出現銳角三角形時一定要注意條件之間的相互“限制”。【典例1】（2324高三下·全國·模擬預測）已知銳角的內角的對邊分別為，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，由正弦定理得，即，又，所以，所以，即，所以或（舍去），所以，又，解得，所以，所以，即的取值范圍為．故選:D．【典例2】（2324高三下·重慶·月考）銳角中，內角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若邊上的中線長為，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為，所以，又，所以，所以，所以或，若，則，與為銳角三角形矛盾，舍去，從而