重難點(diǎn)08全等三角形中“截長補(bǔ)短”模型【知識梳理】截長：即在一條較長的線段上截取一段較短的線段在線段上截取補(bǔ)短：即在較短的線段上補(bǔ)一段線段使其和較長的線段相等延長，使得截長補(bǔ)短法是幾何證明題中十分重要的方法，通常來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系，常見做輔助線方法有：截長法：⑴過某一點(diǎn)作長邊的垂線；⑵在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。補(bǔ)短法：⑴延長短邊。⑵通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起，證與長邊相等。【考點(diǎn)剖析】例1如圖，在中，，于D，求證：．例2.如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)．求證：．【變式1】如圖，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求證：AB=AC+CD【變式2】如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于點(diǎn)E，∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE.【變式3】如圖所示，AB∥CD,BE,CE分別是∠ABC,∠BCD的平分線，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD.【變式4】如圖，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD、CE相交于點(diǎn)O，求證：AE+CE=AC.【變式5】如圖，是等邊三角形，是頂角的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連接MN，求證：．【變式6】已知四邊形ABCD是正方形，E、F分別在CB、CD的延長線上，．

求證：．例4．已知：在中，，，求證：．【變式1】如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求證：AD平分∠CDE.【變式2】已知四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC如圖2，點(diǎn)P,Q分別在線段AD,DC上，滿足PQ=AP+CQ,求證：∠PBQ=90°-12∠ADC例5.正三角形ABC中，E在AB上，F(xiàn)在AC上EDF=60°，DB=DC，BDC=120°，請問現(xiàn)在EF、BE、CF又有什么數(shù)量關(guān)系？【變式1】正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD延長線上，點(diǎn)F在BC延長線上，EAF=45°，請問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關(guān)系？【變式2】正方形ABCD中，點(diǎn)E在DC延長線上，點(diǎn)F在CB延長線上，EAF=45°，請問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關(guān)系？【過關(guān)檢測】一、解答題1．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC．求證：BC=AB+CD．2．（2022秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，已知：在中，，、是的角平分線，交于點(diǎn)O求證：．3．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，四邊形中，，，，M、N分別為AB、AD上的動點(diǎn)，且．求證：．4．（2022秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D．求證：AD+BC=AB．5．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，交BC于點(diǎn)D，過D作DE⊥BA于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，且BD＝DF．（1）求證：AC＝AE；（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求線段BE的長．6．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，中，，分別平分和，，相交于點(diǎn)，．（1）求的度數(shù)；（2）判斷，，之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．7．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖①，和是等腰三角形，且，，，，以為頂點(diǎn)作一個角，角的兩邊分別交邊，于點(diǎn)、，連接．（1）探究、、之間的關(guān)系，并說明理由；（2）若點(diǎn)、分別在、CA延長線上，其他條件不變，如圖②所示，則、、之間存在什么樣的關(guān)系？并說明理由．8．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）在中，AE，CD為的角平分線，AE，CD交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若．①直接寫出的大小；②求證：．（2）若圖2，若，求證：．9．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，線段EF、BE、FD之間的關(guān)系是；（不需要證明）（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．10．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）通過類比聯(lián)想、引申拓展典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的．下面是一個案例，請補(bǔ)充完整．【解決問題】如圖，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，，連接EF，則，試說明理由．證明：延長CD到G，使，在與中，∴理由：（SAS）進(jìn)而證出：___________，理由：（__________）進(jìn)而得．【變式探究】如圖，四邊形ABCD中，，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，．若、都不是直角，則當(dāng)與滿足等量關(guān)系________________時，仍有．請證明你的猜想．【拓展延伸】如圖，若，，，但，，連接EF，請直接寫出EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系．11．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，，、分別平分、，與交于點(diǎn)O．（1）求的度數(shù)；（2）說明的理由．12．（2022秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，M是AD上任意一點(diǎn)，求證：MB－MC＜AB－AC．13．（2023秋·山西朔州·八年級校考期末）（1）問題背景：如圖①：在四邊形中，，，．E、F分別是、上的點(diǎn)且．探究圖中線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的方法是：延長到點(diǎn)，使．連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是___________；（2）探索延伸：如圖②，若在四邊形中，，．分別是、上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由；（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖③，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以海里/小時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以海里/小時的速度前進(jìn)小時后，甲、乙兩艦艇分別到達(dá)處，此時在指揮中心觀測到兩艦艇之間的夾角為，試求此時兩艦艇之間的距離．14．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）本學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識，而四邊形的學(xué)習(xí)，我們一般通過輔助線把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，通過三角形的基本性質(zhì)和全等來解決一些問題．（1）如圖1，在四邊形中，，，連接．①小明發(fā)現(xiàn)，此時平分．他通過觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下想法：延長到點(diǎn)，使得，連接，證明，從而利用全等和等腰三角形的性質(zhì)可以證明平分．請你參考小明的想法，寫出完整的證明過程．②如圖2，當(dāng)時，請你判斷線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖3，等腰、等腰的頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在線段上，且，請你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明．15．（2022秋·全國·八年級期末）（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補(bǔ)”可以通過“截長、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；方法2：延長到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當(dāng)時，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，請直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．16．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB=AC，∠EAF=∠BAC，BF⊥AE

于E交AF于點(diǎn)F，連結(jié)CF．（1）如圖1所示，當(dāng)∠EAF在∠BAC內(nèi)部時，求證：EF＝BE+CF．（2）如圖2所示，當(dāng)∠EAF的邊AE、AF分別在∠BAC外部、內(nèi)部時，求證：CF＝BF+2BE．17．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖所示，平分平分；（1）求與的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由．（2）若把條件去掉，則（1）中與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?并說明你的理由．18．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC（1）如圖1，連接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的長度．（2）如圖2，點(diǎn)P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ＝AP＋CQ，求證：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC（3）若點(diǎn)Q在DC的延長線上，點(diǎn)P在DA的延長線上，如圖3所示，仍然滿足PQ＝AP＋CQ，請寫出∠PBQ與∠ADC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程．

重難點(diǎn)08全等三角形中“截長補(bǔ)短”模型【知識梳理】截長：即在一條較長的線段上截取一段較短的線段在線段上截取補(bǔ)短：即在較短的線段上補(bǔ)一段線段使其和較長的線段相等延長，使得截長補(bǔ)短法是幾何證明題中十分重要的方法，通常來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系，常見做輔助線方法有：截長法：⑴過某一點(diǎn)作長邊的垂線；⑵在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。補(bǔ)短法：⑴延長短邊。⑵通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起，證與長邊相等。【考點(diǎn)剖析】例1如圖，在中，，于D，求證：．∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴．解法二：（補(bǔ)短）延長CB到F，使，連接AF，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．例2.如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)．求證：．方法一：（截長）在上截取，連接．在和中，，∴∴，又∵∴，∴∴．方法二：（補(bǔ)短）延長到點(diǎn)使得，連接．在和中，，，∴，∴又∵∴∴，∴．方法三：（補(bǔ)短）延長到點(diǎn)使得，連接則有，又∵，∴∴∴，∴∴AB+BD=AC若題目條件或求證結(jié)論中含有“”的條件，需要添加輔助線時多考慮“截長補(bǔ)短”.建議教師此題把3種解法都講一下，方便學(xué)生更加深刻理解這種輔助線添加方法.【變式1】如圖，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求證：AB=AC+CD解析：在AB上取一點(diǎn)E,使AE=AC,連接DE,∵AE=AC,∠1=∠2，AD=AD∴△ACD≌△AED∴CD=DE,∠C=∠3∵∠C=2∠B∴∠3=2∠B=∠4+∠B∴∠4=∠B，∴DE=BE,CD=BE∵AB=AE+BE∴AB=AC+CD【變式2】如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于點(diǎn)E，∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE.解析：如圖，在EA上取點(diǎn)F,使EF=BE,連接CF,∵CE⊥AB∴CF=CB∠CFB=∠B∵∠AFC+∠CFB=180°，∠D+∠B=180°∴∠D=∠AFC∵AC平分∠BAD即∠DAC=∠FAC在△ACD和△ACF中∠D=∠AFC∠DAC=∠FACAC=AC∴ACD≌△ACF（AAS）∴AD=AF∴AE=AF+EF=AD+BE【變式3】如圖所示，AB∥CD,BE,CE分別是∠ABC,∠BCD的平分線，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD.解析：在BC上取點(diǎn)F，使BF=AB∵BE,CE分別是∠ABC,∠BCD的平分線∴∠ABE=∠FBE,∠BCE=∠DCE∵AB∥CD∴∠A+∠D=180°在△ABE和△FBE中AB=FB∠ABE=∠FBEBE=BE∴△ABE≌△FBE（SAS）∴∠A=∠BFE∴∠BFE+∠D=180°∵∠BFE+∠EFC=180°∴∠EFC=∠D在△EFC和△EDC中，∠EFC=∠D∠BCE=∠DCECE=CE∴△EFC≌△EDC（AAS）∴CF=CD∵BC=BF+CF∴BC=AB+CD【變式4】如圖，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD、CE相交于點(diǎn)O，求證：AE+CE=AC.解析：由題意可得∠AOC=120°∴∠AOE=∠DOC=180°-∠AOC=180°-120°=60°在AC上截取AF=AE，連接OF，如圖在△AOE和△AOF中，AE=AF∠OAE=∠OAFOA=OA∴△AOE≌△AOF（SAS）∴∠AOE=∠AOF，∴∠AOF=60°∴∠COF=∠AOC-∠AOF=60°又∠COD=60°，∴∠COD=∠COF同理可得：△COD≌△COF（ASA）∴CD=CF又∵AF=AE∴AC=AF+CF=AE+CD即AE+CD=AC【變式5】如圖，是等邊三角形，是頂角的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連接MN，求證：．延長AC到E點(diǎn)，使，連接DE，由題意可知，，，，，，，，，，，，，．【變式6】已知四邊形ABCD是正方形，E、F分別在CB、CD的延長線上，．

求證：．延長FD到G，使，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．例3.在中，的平分線交于，，，求的大小．在上截取，連接．∵，，，∴，∴，，∵，，∴∴，例4．已知：在中，，，求證：．方法一：在上取一點(diǎn)，使，如圖1，在和中，，，．∴．∴，．又∵∴，∴∴．方法二：延長到點(diǎn)，使，如圖2，∴．∵，∴．在和中，，，．∴．∴．∵∴．【變式1】如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求證：AD平分∠CDE.解析：延長CB至點(diǎn)F,使BF=DE,連接BF=DE,連接AF,AC∵∠1+∠2=180°，∠E+∠1=180°∴∠2=∠E∵AB=AE,∠2=∠E,BF=DE∴△ABF≌△AED∠F=∠4，AF=AD∵BC+BF=CD即FC=CD又∵AC=AC∴△ACF≌△ACD∴∠F=∠3∵∠F=∠4∴∠3=∠4∴AD平分∠CDE.【變式2】已知四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC如圖2，點(diǎn)P,Q分別在線段AD,DC上，滿足PQ=AP+CQ,求證：∠PBQ=90°-12∠ADC解析：如圖2，延長DC，在上面找一點(diǎn)K，使得CK=AP，連接BK,∵∠ABC+∠ADC=180°∴∠BAD+∠BCD=180°∵∠BCD+∠BCK=180°∴∠BAD=∠BCK在△BAP和△BKC中AP=CK∠BAP=∠BCKAB=BC∴△BPA≌△BKC（SAS）∴∠ABP=∠CBK,BP=BK∵PQ=AP+CQ∴PQ=QK∵在△BPQ和△BKQ中BP=BKBQ=BQPQ=KQ∴△BPQ≌△BKQ(SSS)∴∠PBQ=∠KBQ∴∠PBQ=12∵∠ABC+∠ADC=180°∴∠ABC=180°-∠ADC∴12∠ABC=90°-1∴∠PBQ=90°-12例5.正三角形ABC中，E在AB上，F(xiàn)在AC上EDF=60°，DB=DC，BDC=120°，請問現(xiàn)在EF、BE、CF又有什么數(shù)量關(guān)系？數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+FC，理由如下延長AC到點(diǎn)G，使得CG=BE，連接DG由△ABC是正三角形得：ABC=ACB=60°又∵DB=DC，BDC=120°，∴DBC=DCB=30°∴DBE=ABC+DBC=60°+30°=90°，ACD=ACB+DCB=60°+30°=90°∴GCD=180°ACD=90°∴DBE=DCG=90°又∵DB=DC，BE=CG，∴△DBE≌△DCG（SAS）∴EDB=GDC，DE=DG又∵DBC=120°=EDB+EDC=GDC+EDC=EDG∴GDF=EDGEDF=12060°=60°∴GDF=EDF=60°又∵DG=DE，DF=DF∴△GDF≌△EDF（SAS）∴EF=GF=CG+FC=BE+FC【變式1】正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD延長線上，點(diǎn)F在BC延長線上，EAF=45°，請問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關(guān)系？數(shù)量關(guān)系為：EF=BFDE．理由如下：在BC上截取BG，使得BG=DF，連接AG由四邊形ABCD是正方形得ADE=ABG=90°，AD=AB又DE=BG∴△ADE≌△ABG（SAS）∴EAD=GAB，AE=AG由四邊形ABCD是正方形得DAB=90°=DAG+GAB=DAG+EAD=GAE∴GAF=GAEEAF=90°45°=45°∴GAF=EAF=45°又∵AG=AE，AF=AF∴△EAF≌△GAF（SAS）∴EF=GF=BFBG=BFDE【變式2】正方形ABCD中，點(diǎn)E在DC延長線上，點(diǎn)F在CB延長線上，EAF=45°，請問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關(guān)系？數(shù)量關(guān)系為：EF=DEBF.理由如下：在DC上截取DG，使得DG=BF，連接AG由四邊形ABCD是正方形得ADG=ABF=90°，AD=AB又∵DG=BF∴△ADG≌△ABF（SAS）∴GAD=FAB，AG=AF由四邊形ABCD是正方形得DAB=90°=DAG+GAB=BAF+GAB=GAF∴GAE=GAFEAF=90°45°=45°∴GAE=FAE=45°又∵AG=AF，AE=AE∴△EAG≌△EAF（SAS）∴EF=EG=EDGD=DEBF【過關(guān)檢測】一、解答題1．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC．求證：BC=AB+CD．【答案】證明見解析【分析】在BC上截取點(diǎn)E，并使得BE=BA，連接DE，證明△ABD≌△EBD，得到∠DEB=∠BAD=108°，進(jìn)一步計算出∠DEC=∠CDE=72°得到CD=CE即可證明．【詳解】證明：在線段BC上截取BE=BA，連接DE，如下圖所示：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD，在△ABD和△EBD中：，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠DEB=∠BAD=108°，∴∠DEC=180°-108°=72°，又AB=AC，∴∠C=∠ABC=(180°-108°)÷2=36°，∴∠CDE=180°-∠C-∠DEC=180°-36°-72°=72°，∴∠DEC=∠CDE，∴CD=CE，∴BC=BE+CE=AB+CD．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等，本題的關(guān)鍵是能在BC上截取BE，并使得BE=BA，這是角平分線輔助線和全等三角形的應(yīng)用的一種常見作法．2．（2022秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，已知：在中，，、是的角平分線，交于點(diǎn)O求證：．【答案】見解析【分析】在AC上取一點(diǎn)H，使AH＝AE，根據(jù)角平分線的定義可得∠EAO＝∠HAO，然后利用“邊角邊”證明△AEO和△AHO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AE0＝∠AHO，根據(jù)角平分線的定義可得∠1＝∠2，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠3＝60°，再根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理求出∠4＝60°，從而得到∠3＝∠4，然后利用“邊角邊”證明△CFO和△CHO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF＝CH，再根據(jù)AC＝AH＋CH代換即可得證．【詳解】證明：如圖，在上取一點(diǎn)H，使，連接．∵是的角平分線，∴，在和中，∵∴，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∵、是的角平分線，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，利用“截長補(bǔ)短”法作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，四邊形中，，，，M、N分別為AB、AD上的動點(diǎn)，且．求證：．【答案】見解析【分析】延長至點(diǎn)，使得，連接，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得，根據(jù)證明，則，進(jìn)而證明，根據(jù)證明，得到，則．【詳解】證明：延長至點(diǎn)，使得，連接，四邊形中，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．4．（2022秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D．求證：AD+BC=AB．【答案】證明見解析【分析】如圖，在上截取證明再證明可得從而可得結(jié)論.【詳解】證明：如圖，在上截取平分平分【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握“利用截長補(bǔ)短的方法證明兩條線段的和等于另一條線段”是解題的關(guān)鍵.5．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，交BC于點(diǎn)D，過D作DE⊥BA于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，且BD＝DF．（1）求證：AC＝AE；（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求線段BE的長．【答案】（1）見解析；（2）3【分析】（1）證明△ACD≌△AED（AAS），即可得出結(jié)論；（2）在AB上截取AM=AF，連接MD，證△FAD≌△MAD（SAS），得FD=MD，∠ADF=∠ADM，再證Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），得ME=BE，求出MB=AB-AM=6，即可求解．【詳解】解：（1）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵DE⊥BA，∴∠DEA=∠DEB=90°，∵∠C=90°，∴∠C=∠DEA=90°，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC=AE；（2）在AB上截取AM=AF，連接MD，在△FAD和△MAD中，，∴△FAD≌△MAD（SAS），∴FD=MD，∠ADF=∠ADM，∵BD=DF，∴BD=MD，在Rt△MDE和Rt△BDE中，，∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），∴ME=BE，∵AF=AM，且AF=1.4，∴AM=1.4，∵AB=7.4，∴MB=AB-AM=7.4-1.4=6，∴BE＝BM＝3，即BE的長為3．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線定義、直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識；證明△FAD≌△MAD和Rt△MDE≌Rt△BDE是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，中，，分別平分和，，相交于點(diǎn)，．（1）求的度數(shù)；（2）判斷，，之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）∠BFD＝60°；（2）BC＝BD＋CE；證明見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線和外角性質(zhì)求解即可；（2）在BC上截取BG＝BD，連接FG，證明△BDF≌△BGF，△CGF≌△CEF，即可得到結(jié)果；【詳解】（1）∵，分別平分和，，∴，，∵，∴，∴，∴．（2）BC＝BD＋CE；證明方法：在BC上截取BG＝BD，連接FG，在△BDF和△BGF中，，∴，∴，又∵，∴△CGF≌△CEF（ASA）,∴CE＝CG，∴BC＝BD＋CE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、外角定理、三角形全等應(yīng)用，準(zhǔn)確分析是解題的關(guān)鍵．7．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖①，和是等腰三角形，且，，，，以為頂點(diǎn)作一個角，角的兩邊分別交邊，于點(diǎn)、，連接．（1）探究、、之間的關(guān)系，并說明理由；（2）若點(diǎn)、分別在、CA延長線上，其他條件不變，如圖②所示，則、、之間存在什么樣的關(guān)系？并說明理由．【答案】（1）EF=BE+FC；（2）EF=FC-BE．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，解得，，延長AB至G，使得BG=CF，連接DG，進(jìn)而證明，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)解得，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可證明，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解題即可；（2）在CA上截取CG=BE,連接DG，由等腰三角形的性質(zhì)，可得，，進(jìn)而證明得到，據(jù)此方法再證明，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解題即可．【詳解】（1）和是等腰三角形，延長AB至G，使得BG=CF，連接DG在和中，BG=CF，，在和中，DE=DE，，（2）在CA上截取CG=BE,連接DG是等腰三角形，在和中，CG=BE，在和中，F(xiàn)D=FD，【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．8．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）在中，AE，CD為的角平分線，AE，CD交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若．①直接寫出的大小；②求證：．（2）若圖2，若，求證：．【答案】（1）①120°；②見解析；（2）見解析【分析】（1）①綜合三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義求解即可；②利用“截長補(bǔ)短”思想，在AC上取點(diǎn)H，使得AD=AH，從而通過全等證得∠AFD=∠AFH，再結(jié)合①的結(jié)論進(jìn)一步證明∠CFH=∠CFE，從而通過全等證得CE=CH，即可得出結(jié)論；（2）同樣利用“截長補(bǔ)短”思想，在AC上取S、T兩點(diǎn)，使得AD=AS，CE=CT，連接SF，SE，TF，TE，可通過全等直接先對△ADF和△CEF的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換，然后結(jié)合（1）中的結(jié)論，證明SF∥ET，即可對△DEF的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）①解：∵∠B=60°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°，∵AE平分∠BAC，CD平分∠BCA，∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠BCA，∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠BCA)=×120°=60°，∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°；②證：如圖所示，在AC上取點(diǎn)H，使得AD=AH，在△ADF和△AHF中，∴△ADF≌△AHF(SAS)，∴∠AFD=∠AFH，∵∠AFD=∠CFE，∴∠AFH=∠CFE，由①可知，∠AFC=120°，∴∠CFE=180°-120°=60°，∴AFH=∠CFE=60°，∴∠CFH=60°，即：∠CFH=∠CFE，在△CFH和△CFE中，∴△CFH≌△CFE(ASA)，∴CE=CH，∵AC=AH+CH，∴AC=AD+CE；（2）證：如圖所示，在AC上取S、T兩點(diǎn)，使得AD=AS，CE=CT，連接SF，SE，TF，TE，∵AE平分∠BAC，∴∠DAF=∠SAF，在△ADF和△ASF中，∴△ADF≌△ASF(SAS)，同理可證△AED≌△AES，△CEF≌△CTF，∴DF=SF，DE=SE，F(xiàn)T=FE，∴△DEF≌△SEF，∴，，，且∠AFD=∠AFS，∠CFE=∠CFT，∵∠AFD=∠CFE，∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT，由（1）可得：∠AFC=90°+∠B=135°，∴∠CFE=180°-135°=45°，∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT=45°，∴∠CFS=135°-∠AFS=90°，∴CF⊥SF，又∵FT=FE，CT=CE，∴CF垂直平分EF，即：CF⊥ET，∴SF∥ET，∴，∴∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形角平分線相關(guān)的證明問題，掌握基本的輔助線添加思想，熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，線段EF、BE、FD之間的關(guān)系是；（不需要證明）（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）EF＝BE+FD；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，見解析；（3）結(jié)論不成立，EF＝BE﹣FD，見解析【分析】（1）延長CB至G，使BG＝DF，連接AG，證明△ABG≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，再證明△GAE≌△FAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝EG，結(jié)合圖形計算，證明結(jié)論；（2）延長CB至M，使BM＝DF，連接AM，仿照（1）的證明方法解答；（3）在EB上截取BH＝DF，連接AH，仿照（1）的證明方法解答．【詳解】解：（1）EF＝BE+FD，理由如下：如圖1，延長CB至G，使BG＝DF，連接AG，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴EF＝EG，∵EG＝BG+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+FD，故答案為：EF＝BE+FD；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖2，延長CB至M，使BM＝DF，連接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，∴∠1＝∠D，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠3＝∠2，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠2+∠4＝∠EAF，∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，在△MAE和△FAE中，，∴△MAE≌△FAE（SAS），∴EF＝EM，∵EM＝BM+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+FD；（3）（1）中的結(jié)論不成立，EF＝BE﹣FD，理由如下：如圖3，在EB上截取BH＝DF，連接AH，同（2）中證法可得，△ABH≌△ADF，∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，∴∠HAE＝∠FAE，在△HAE和△FAE中，，∴△HAE≌△FAE（SAS），∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．10．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）通過類比聯(lián)想、引申拓展典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的．下面是一個案例，請補(bǔ)充完整．【解決問題】如圖，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，，連接EF，則，試說明理由．證明：延長CD到G，使，在與中，∴理由：（SAS）進(jìn)而證出：___________，理由：（__________）進(jìn)而得．【變式探究】如圖，四邊形ABCD中，，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，．若、都不是直角，則當(dāng)與滿足等量關(guān)系________________時，仍有．請證明你的猜想．【拓展延伸】如圖，若，，，但，，連接EF，請直接寫出EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1），理由：SAS；（2），證明見解析；（3）BE+DF=EF．【分析】（1）在前面已證的基礎(chǔ)上，得出結(jié)論，進(jìn)而證明，從而得出結(jié)論；（2）利用“解決問題”中的思路，同樣去構(gòu)造即可；（3）利用前面兩步的思路，證明全等得出結(jié)論即可．【詳解】（1），，則，，，在與中，，理由：（）；（2）滿足即可，證明如下：如圖，延長至，使，，，，在與中，，，則，，，在與中，，理由：（）；（3）BE+DF=EF．證明如下：如圖，延長至，使，在與中，，，則，，，在與中，，理由：（）；．【點(diǎn)睛】本題考查了截長補(bǔ)短的方法構(gòu)造全等三角形，能夠理解前面介紹的方法并繼續(xù)探究是解決問題的關(guān)鍵．11．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，，、分別平分、，與交于點(diǎn)O．（1）求的度數(shù)；（2）說明的理由．【答案】（1）120°；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠OAB+∠OBA=60°，從而得到∠AOB；（2）在AB上截取AE=AC，證明△AOC≌△AOE，得到∠C=∠AEO，再證明∠C+∠D=180°，從而推出∠BEO=∠D，證明△OBE≌△OBD，可得BD=BE，即可證明AC+BD=AB．【詳解】解：（1）∵AD，BC分別平分∠CAB和∠ABD，∠CAB+∠ABD=120°，∴∠OAB+∠OBA=60°，∴∠AOB=180°-60°=120°；（2）在AB上截取AE=AC，∵∠CAO=∠EAO，AO=AO，∴△AOC≌△AOE（SAS），∴∠C=∠AEO，∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°，∴∠AEO+∠D=180°，∵∠AEO+∠BEO=180°，∴∠BEO=∠D，又∠EBO=∠DBO，BO=BO，∴△OBE≌△OBD（AAS），∴BD=BE，又AC=AE，∴AC+BD=AE+BE=AB．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是截取AE=AC，利用全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．12．（2022秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，M是AD上任意一點(diǎn)，求證：MB－MC＜AB－AC．【答案】見解析【分析】法一：因?yàn)锳B＞AC，所以在AB上截取線段AE＝AC，則BE＝AB－AC，連接EM，在△BME中，顯然有MB－ME＜BE，再證明ME＝MC，則結(jié)論成立．法二：延長AC至H，在AH上截取線段AB＝AG，證明△ABM≌△AGM，得到BM=GM，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解．【詳解】證明：法一：在AB上截取AE＝AC，連接ME，在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形兩邊之差小于第三邊）,∵AD是∠BAC的平分線，∴,在△AMC和△AME中，∵∴△AMC≌△AME（SAS），∴MC＝ME（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．法二：延長AC至H，在AH上截取線段AB＝AG，同理可證得△ABM≌△AGM（SAS），∴BM=GM，∵在△MCG中MG-MC＜CG∴MB－MC＜AG-AC=AB－AC即MB－MC＜AB－AC．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系以及截長補(bǔ)短法，解題關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．13．（2023秋·山西朔州·八年級校考期末）（1）問題背景：如圖①：在四邊形中，，，．E、F分別是、上的點(diǎn)且．探究圖中線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的方法是：延長到點(diǎn)，使．連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是___________；（2）探索延伸：如圖②，若在四邊形中，，．分別是、上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由；（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖③，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以海里/小時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以海里/小時的速度前進(jìn)小時后，甲、乙兩艦艇分別到達(dá)處，此時在指揮中心觀測到兩艦艇之間的夾角為，試求此時兩艦艇之間的距離．【答案】（1）問題背景：，理由見詳解；（2）探索延伸：成立，理由見詳解；（3）實(shí)際應(yīng)用：兩艦艇之間的距離為海里【分析】（1）問題背景：，，，可證，由，，為公共邊，可證，由此即可求解；（2）探索延伸：根據(jù)“問題背景”的提示，延長到點(diǎn)，使，由此即可求解；（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖所示（見詳解），延長，使得，連接，證明，，可知，由此即可求解．【詳解】解：（1）問題背景：根據(jù)題意，在，中，∵，∴，∴，，∵，，∴，即，∴在，中，∵，∴，∴，∴；（2）探索延伸：如圖所示，延長到點(diǎn)，使，∵，，∴，在，中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在，中，∵，∴，∴，∴，∴成立；（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖所示，延長，使得，連接，∵艦艇甲在指揮中心（處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，艦艇乙沿北偏東的方向行駛，∴，，，∴在，中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，在，中，，∴，∴，∵艦艇甲向正東方向以海里/小時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以海里/小時的速度前進(jìn)小時，∴，，∴（海里），∴兩艦艇之間的距離為海里．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)及實(shí)際應(yīng)用，掌握作輔助線求證三角形全等，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）本學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識，而四邊形的學(xué)習(xí)，我們一般通過輔助線把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，通過三角形的基本性質(zhì)和全等來解決一些問題．（1）如圖1，在四邊形中，，，連接．①小明發(fā)現(xiàn)，此時平分．他通過觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下想法：延長到點(diǎn)，使得，連接，證明，從而利用全等和等腰三角形的性質(zhì)可以證明平分．請你參考小明的想法，寫出完整的證明過程．②如圖2，當(dāng)時，請你判斷線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖3，等腰、等腰的頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在線段上，且，請你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）①見解析；②，證明見解析；（2），證明見解析【分析】（1）①參考小明的想法，延長到點(diǎn)，使得，連接，證明，從而利用全等和等腰三角形的性質(zhì)可以證明平分；②沿用①中輔助線，延長到點(diǎn)，使得，連接，證得直角三角形，再利用勾股定理可求得，，之間的數(shù)量關(guān)系；（2）類比（1）中證明的思路，延長至，使得，連，證明、，再利用全等三角形的對應(yīng)角相等和等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)，找到與的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）如圖，延長到點(diǎn)，使得，連接．，，在與中，，．平分（2）證明：如圖，延長到點(diǎn)，使得，連接．由（1）知，，在直角三角形中，（3）證明：如圖，延長至，使得，連，由（1）知，，在與中，，，，【點(diǎn)睛】本題考查三角形的基本知識、全等三角形的性質(zhì)和判定以及等腰三角形的性質(zhì)與判定．綜合性較強(qiáng)．15．（2022秋·全國·八年級期末）（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補(bǔ)”可以通過“截長、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；方法2：延長到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當(dāng)時，探究線段，，之間的數(shù)量