高一上學期數學期末重難點歸納總結考點一集合【例1-1】（2023秋·遼寧）設集合，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，又，所以.故選：B.【例1-2】（2023·全國·高一專題練習）已知集合，集合，則集合A∩B=（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】】由題意可得，集合表示時線段上的點，集合表示時線段上的點，則表示兩條線段的交點坐標，聯立，解得，滿足條件，所以.故選：C.【例1-3】（2023秋·廣東廣州）設為實數，集合，，滿足，則的取值范圍是．【答案】【解析】當時，，解得，此時滿足，則；當時，由，得，解得，所以的取值范圍是.故答案為：【一隅三反】1．（2023秋·上海浦東新·高一校考階段練習）已知集合，則

（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，.故選：D2．（2022秋·全國·高一期中）（多選）若{1,2}?B{1,2,3,4}，則B=（

）A．{1,2} B．{1,2,3} C．{1,2,4} D．{1,2,3,4}【答案】ABC【解析】∵{1,2}?B{1,2,3,4}，∴B={1,2}或B={1,2,3}或B={1,2,4}，故選：ABC3．（2023·北京）（多選）已知集合，集合，則集合可以是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】因為集合，對于A：滿足，所以選項A符合題意；對于B：滿足，所以選項B符合題意；對于C：滿足，所以選項C符合題意；對于D：不是的真子集，故選項D不符合題意，故選：ABC.考點二常用的邏輯用語【例2-1】（2023·全國·高一專題練習）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關.黃沙百戰穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，其中最后一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉”的（

）A．必要條件 B．充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】由題意可知：“返回家鄉”則可推出“攻破樓蘭”，故“攻破樓蘭”是“返回家鄉”必要條件，故選：A.【例2-2】（2023·江蘇連云港）命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】命題“”為真命題,則對恒成立，所以，故，所以命題“”為真命題的充分不必要條件需要滿足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合，故選：D【例2-3】（2022秋·全國·高一期末）設，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，解得或，由于?或，則“”是“”的必要不充分條件.故選：B.【一隅三反】1（2023秋·湖南益陽）“”是“關于的一元二次方程有實數根”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為關于的一元二次方程有實數根，所以，所以或，因為是集合或的真子集，所以“”是“關于的一元二次方程有實數根”的充分不必要條件.故選：A.2．（2023秋·江西宜春）命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】命題“，”的否定是“，”，故選：C3．（2023秋·高一課時練習）命題“存在，使”是假命題，求得m的取值范圍是，則實數a的值是（）A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】命題“存在，使”是假命題，命題的否定：“，有”是真命題．由，解得，由已知m的取值范圍是，所以.故選：B.考點三基本不等式【例3-1】（2023秋·寧夏吳忠）已知正數x，y滿足，則的最小值是.【答案】【解析】因為，所以，即，因為正實數，所以，，所以，當且僅當等號成立.故答案為：.【例3-2】（2022秋·海南·高一校考期中）命題“，關于的不等式<5成立”為假命題，則實數a的取值范圍是.【答案】【解析】依題意，命題“，關于的不等式成立”，當時，，當且僅當，即時取等號，因此，解得，所以實數a的取值范圍是.故答案為：【例3-3】（2022秋·山東）（多選）已知，，且，下列結論中正確的是（

）A．的最小值是 B．的最小值是2C．的最小值是 D．的最小值是【答案】CD【解析】由，且，對于A中，由，當且僅當時，等號成立，所以，解得，即的最大值為，所以A錯誤；對于B中，由，當且僅當時，等號成立，所以最小值為，所以B錯誤；對于C中，，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值是，所以C正確；對于D中，由，當且僅當時，等號成立，的最小值是，所以D正確.故選：CD.【一隅三反】1．（2022·江蘇連云港）（多選）下列說法中正確的是（

）A．存在，使得不等式成立 B．若，則函數的最大值為C．若，則的最小值為1 D．函數的最小值為4【答案】ABD【解析】A：當時，顯然不等式成立，因此本選項正確；B：當時，，因為，當且僅當取等號，即當時取等號，于是，所以本選項正確；C：因為，所以由當且僅當時取等號，因此本選項不正確；D：，當時，即當時取等號，因此本選項正確，故選：ABD2．（2023·黑龍江齊齊哈爾）（多選）已知正數a，b滿足，則（

）A．的最大值是 B．ab的最大值是C．的最大值是 D．的最小值是2【答案】ABC【解析】由得，當且僅當時取等，A正確；由得，當且僅當時取等，B正確；對C，因為，a，b為正數，則，，當時去等，故C正確；對D，，當且僅當時等號成立，故D錯誤，故選：ABC.3．（2023·遼寧大連）（多選）已知不等式對任意恒成立，則滿足條件的正實數a的值可以是（

）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】BCD【解析】令，則.由基本不等式得，當且僅當，即時等號成立,所以要使對任意正實數恒成立,只需即，得，解得（舍去），或，得，故選：BCD.4．（2023秋·福建莆田）已知若正數、滿足，則的最小值為．【答案】/0.8【解析】已知正數、滿足，則，所以，，當且僅當時，等號成立.因此，的最小值為.故答案為：.考點四二次函數與一元二次不等式【例4-1】（2023秋·福建莆田）（多選）已知關于的不等式的解集為或，則下列結論中，正確結論的序號是（

）A．B．不等式的解集為C．不等式的解集為或D．【答案】AD【解析】由的解集為或得，故故A正確，，故D正確，對于B，，解得，故B錯誤，對于C，為，解得，故C錯誤.故選：AD【一隅三反】1．（2022秋·全國·高一期中）（多選）已知關于x的不等式的解集為，則（

）A．B．C．不等式的解集為D．不等式的解集為【答案】ABD【解析】由于不等式的解集為，所以和是的兩個實數根，所以，故，，故AB正確，對于C,不等式為，故，故C錯誤，對于D,不等式可變形為，解得，故D正確，故選：ABD2．（2023秋·廣西欽州·高一校考開學考試）解關于的不等式.【答案】答案見解析【解析】因為可化為，當時，不等式可化為，則不等式解集為；當時，可化為，當，即時，可得不等式解集為；當，即時，可得不等式解集為；當，即時，可得不等式解集為；當時，可化為，此時顯然，可得不等式解集為；綜上：當時，不等式解集為；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為.3．（2023秋·河南）已知函數．(1)若關于的不等式的解集為，求的值；(2)當時，解關于的不等式．【答案】(1)(2)答案見解析【解析】（1）由題意可知，關于的不等式的解集為，所以關于的方程的兩個根為1和2，所以，解得，則．（2）由條件可知，，即，當時，解得或；當時，解得；當時，解得或．綜上可知，當時，原不等式的解集為或；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為或.考點五函數的基本性質【例5-1】（2023秋·陜西渭南）已知的定義域為，則函數的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題設，則，可得，所以函數定義域為.故選：A【例5-2】（2023秋·河南南陽·高一統考期末）已知是定義在上的偶函數，且對任意的，都有恒成立，則關于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由于是定義在上的偶函數，故，則的圖象關于直線對稱；對任意的，都有恒成立，即對任意的，有，則，故在上單調遞減，根據對稱性可知在上單調遞增，故由得，即，解得，即不等式的解集為，故選：C【例5-3】（2022秋·云南紅河·高一彌勒市一中校考階段練習）（多選）下列各組函數表示的是不同函數的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】ACD【解析】A.的定義域為，且，的定義域為，解析式不同，所以不是同一函數，故錯誤；B.的定義域為R，定義域為R，且解析式相同，所以是同一函數，故正確；C.的定義域為R，的定義域為，所以不是同一函數，故錯誤；D.，由得，所以的定義域為，由，得或，所以函數的定義域為或，所以不是同一函數，故錯誤；故選：ACD【一隅三反】1．（2023秋·黑龍江哈爾濱）（多選）在下列函數中，值域是的是（）A． B．C． D．【答案】AC【解析】對A，函數在R上是增函數，由可得，所以函數的值域為，故正確；對B，函數，函數的值域為，故錯；對C，函數的定義域為，因為，所以，函數的值域為，故正確；對D，函數的值域為，故錯；故選：AC．2．（2022秋·全國·高一期中）（多選）關于函數，下列說法正確的是（）A．定義域為 B．是偶函數C．在上遞減 D．圖像關于原點對稱【答案】CD【解析】對于A，函數，有，即函數的定義域為，A錯誤；對于B，的其定義域為，有，所以為奇函數，B錯誤；對于C，和函數在上遞減，所以函數在上遞減，C正確；對于D，由B的結論，為奇函數，其圖像關于原點對稱，D正確.故選：CD．3．（2023·全國·高三專題練習）若函數的定義域為一切實數，則實數的取值范圍是．【答案】【解析】由題意可得：對一切實數恒成立，當時，則對一切實數恒成立，符合題意；當時，則，解得；綜上所述：，即實數的取值范圍是.故答案為：.4（湖北省鄂州市部分高中教研協作體2022-2023學年高一上學期期中數學試題）若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是.【答案】【解析】根據題意得，解得，所以實數的取值范圍是.故答案為：5．（2023·全國·高一專題練習）設函數，若存在最大值，則實數a的取值范圍為．【答案】【解析】①當時，當時，，故趨近于時，趨近于，故不存在最大值；②當時，，故不存在最大值；③當時，當時，；當時，，故若存在最大值，則，即；綜上所述，實數a的取值范圍為；故答案為：．考點六指數函數【例6-1】（2023春·江蘇淮安）已知冪函數，則過定點（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】是冪函數，，故則，令，即，得，故過定點.故選：【例6-2】（2023秋·江蘇常州）已知函數滿足對任意，都有成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵滿足對任意，都有成立，∴在上是減函數，，解得，∴a的取值范圍是.故選：C．【例6-3】（2023秋·江蘇南通）已知函數在區間上是減函數，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數在區間上是減函數，令，則函數在區間是增函數，所以，則.故選：B【例6-4】（2024·陜西寶雞·校考一模）已知是奇函數，則（

）A．2 B． C．1 D．-2【答案】A【解析】因為函數是奇函數，所以滿足，即，化簡為，得，，此時，函數的定義域為，成立.故選：A【一隅三反】1．（2022秋·高一單元測試）函數的單調遞增區間是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數是實數集上的減函數，因為二次函數的開口向下，對稱軸為，所以二次函數在時單調遞增，在時單調遞減，由復合函數的單調性，可得函數的單調遞增區間是，故選：C2．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯考期中）已知函數，則（

）A．是奇函數，且在R上是增函數 B．是偶函數，且在R上是增函數C．是奇函數，且在R上是減函數 D．是偶函數，且在R上是減函數【答案】A【【解析】的定義域為，，所以是奇函數，由于，所以在上單調遞增.故選：A考點七對數函數【例7-1】（2023秋·重慶沙坪壩）若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，由題意知：在區間上單調遞增且，，解得：，則實數的取值范圍是.故選：C.【例7-2】（2023秋·重慶涪陵）已知是上的單調遞減函數，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為是上的單調遞減函數，所以，解得．故選：C．【例7-2】（2023秋·安徽）已知實數a，b，c滿足，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，得，即，即．，，綜上可知.故選:A．【一隅三反】1．（2023·四川綿陽）不等式“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】】，解得，，解得，因為，但，故“”是“”成立的充分不必要條件.故選：A2．（2023秋·江蘇）已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，可得的對稱軸的方程為，由函數在上單調遞減，則滿足在區間單調遞減且，即且，解得，即實數的取值范圍是.故選：D.3．（2023秋·天津南開）已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為函數在上單調遞減，所以在單調遞增且在大于零恒成立.所以.故選：C4．（2023秋·湖南常德）下列三個數：，，，大小順序正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，，所以，所以，，所以.故選：C考點八零點【例8-1】（2023秋·廣東茂名）函數的一個零點所在的區間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，當時，，當時，，故在上為減函數，在上為增函數，又，，根據零點存在性定理及函數的單調性可得函數在內有零點，故選：B.【例8-2】（2022秋·江西南昌·高一南昌市八一中學校考階段練習）若不等式在上有解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】若，當，因為在定義域內單調遞減，則可得，符合題意；若，如圖所示，可得，解得；

綜上所述：的取值范圍是.故選：D.【例8-3】（2022春·遼寧盤錦）校考階段練習）已知函數，，的零點分別為，，，則，，的大小順序為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函數，，的零點分別為，，，可得函數，，與圖象交點的橫坐標分別為，，，在同一直角坐標系中作出四個函數的圖象如圖所示：由圖知，，，所以，故選：A【一隅三反】1．（2022秋·甘肅·高一統考期中）的零點所在區間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為在上單調遞增，且，所以函數零點所在區間為.故選：C2．（2023北京）已知：的零點，那么a，b，大小關系可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意：的零點，則，令，則，而，則其圖象可由圖象向下平移2個單位得到，故可作出函數的大致圖象如圖：

由此可知應介于兩數之間，結合選項可知可能的結果為，故B，C，D錯誤，A正確，故選：A3．（2023·江蘇淮安）函數，，的零點分別是a，b，c，則它們的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知：，，的零點即為圖象與圖象交點的橫坐標，在同一平面直角坐標系中作出的圖象如下圖：根據圖象可知：，故選：C.4（2022秋·四川遂寧·高一射洪中學校考期中）函數有零點時，的范圍是.【答案】【解析】有零點，等價于有解，令，得，；當，即時，；當，即時，；若，則，當且僅當時取等號，所以；若，則，當且僅當時取等號，所以，即；綜上可得.所以的范圍是.故答案為：5．（2023秋·四川遂寧·高一射洪中學校考階段練習）已知函數，若方程有五個不同的實數根，則實數的取值范圍為【答案】【解析】方程化為：，則或，由，得或，解得或，由方程有五個不同的實數根，得方程有三個不同的實數根，因此直線與函數的圖象有3個交點，在直角坐標系中作出的圖象，如圖，

觀察圖象知，當時，直線與函數的圖象有3個交點，所以實數的取值范圍為.故答案為：考點九函數的綜合運用【例9】（2023秋·江西宜春）已知函數是定義在上的奇函數，且(1)求m，n的值；(2)求使成立的實數a的取值范圍．【答案】(1)，(2)實數a的取值范圍是【解析】1）（1）解法一：因為函數是定義在上的奇函數，所以，得，解得，經檢驗，時，是定義在上的奇函數．法二：是定義在上的奇函數，則在上恒成立，即在上恒成立，則，所以，又因為，得，所以，．（2）（2）由（1）知，．因為是定義在上的奇函數，所以由，得，設，且，則，∵，∴，，，∴，∴，∴在上是增函數．所以，即，解得．故實數a的取值范圍是．【一隅三反】1．（2023秋·江蘇鹽城·高一校聯考期末）已知函數為奇函數．(1)求的值(2)解不等式(3)求的值域．【答案】(1)(2)(3)【解析】1）由題意可得：，所以，因為，所以．（2）不等式等價于，則，化簡得，所以，所以，所以不等式的解集為．（3）令，則，整理得，即，又，所以，解之得：或，所以的值域為.2（2023秋·江蘇鎮江）設函數是定義域為R的偶函數.(1)求p的值；(2)若在上最小值為，求k的值.【答案】(1)(2)【解析】（1）函數是定義域為的偶函數，可得，即為，化為，由，可得，即；（2），設，由，遞增，可得，設，對稱軸為，當時，在,遞增，可得的最小值為，解得，舍去；當時，在處取得最小值，且為，解得舍去），綜上可得，；3．（2022秋·全國·高一期末）已知函數

.(1)求的定義域；(2)判斷的奇偶性并予以證明；(3)求使的x的取值范圍.【答案】(1)(2)f（x）為奇函數，證明見解析(3)答案見解析【解析】（1）要使函數有意義，則，∴的定義域為.（2）函數定義域為，關于原點對稱，又∵，∴為奇函數.（3）即，當時，由于函數是定義域上的增函數，原不等式等價為，即，又的定義域為，，當時，由于函數是定義域上的減函數，原不等式等價為：，即，又的定義域為，，綜上，使的x的取值范圍為：當時為；當時為.4（2023秋·遼寧·高二校聯考開學考試）已知函數是奇函數．(1)求實數的值；(2)當時，，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：由是奇函數，得，即，所以，整理得，對于定義域內的每一個恒成立，所以，解得．當時，為奇函數，符合題意；當時，，不存在．綜上，.（2）解：，其中，易知在上單調遞減，所以．設，則，由，得在上恒成立，令，其中，因為函數、均為上的增函數，故在上單調遞增，所以，則，故實數的取值范圍為．考點十三角函數定義【例10-1】（2023春·四川達州）若角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則點到原點的距離為，則.故選：D.【例10-2】（2024秋·廣東）若，，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【解析】由，，得，而，即，解得，因此，所以.故選：B【例10-3】（2023秋·內蒙古包頭）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故選：D.【一隅三反】1．（2023·北京）以角的頂點為坐標原點，始邊為x軸的非負半軸，建立平面直角坐標系，角的終邊過點，則＝（）A． B． C． D．3【答案】D【解析】由題意角的終邊過點，因此，則由兩角差的正切公式得.故選：D.2．（2023春·江西吉安·高一校聯考期中）（多選）已知為銳角，且，則下列選項中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因為，所以，而為銳角，所以，選項A正確；，所以選項C正確；因為為銳角，所以，因此選項D正確，由，所以選項B不正確，故選：ACD3．（2023秋·江西南昌）若，則.【答案】【解析】，.故答案為：.4．（2024秋·內蒙古呼和浩特）若，，則．【答案】/【解析】由題設.故答案為：考點十一誘導公式及恒等變化【例11-1】（2023春·新疆和田·高一校考階段練習）已知.(1)化簡；(2)若，求的值；【答案】(1)；(2).【解析】（1）依題意，.（2）由（1）知，，當為第一象限角時，，，當為第四象限角時，，，所以.【例11-2】（2023春·廣東佛山·高一校考階段練習）已知．(1)若，且，求a的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【解析】（1），因為，所以，又，所以．（2）由（1）知，因為，所以，令，則，，所以【一隅三反】1．（2022秋·山東）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選：C2．（2023秋·江蘇常州）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故選：A3．（2023秋·江蘇南京）已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點，則．【答案】/【解析】由角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點，可得，根據三角函