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文檔簡介
2023屆高三年級1月模擬考試數學(文科)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.集合,則()A. B. C. D.2.設,其中為實數,則()A. B. C. D.3.已知向量,則()A.2 B.3 C.4 D.54.設為拋物線的焦點,點在上,點,若,則()A.2 B. C.3 D.5.已知等比數列的前3項和為,則()A.14 B.12 C.6 D.36.在正方體中,分別為的中點,則()A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面7.函數在區間的圖象大致為()A. B. C. D.8.將函數的圖象向左平移個單位長度后得到曲線,若關于軸對稱,則的最小值是()A. B. C. D.9.當時,函數取得最大值,則()A. B. C. D.110.甲、乙兩個圓錐的母線長相等,側面展開圖的圓心角之和為,側面積分別為和,體積分別為和.若,則()A. B. C. D.11.設函數在區間恰有三個極值點、兩個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知正四棱錐的側棱長為,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為,且,則該正四棱錐體積的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.記為等差數列的前項和.若,則公差_________.14.若雙曲線的漸近線與圓相切,則_________.15.設點在直線上,點和均在上,則的方程為_________.16.記函數的最小正周期為,若,為的零點,則的最小值為_________.三、解答題:17.(10分)記的內角的對邊分別為,已知.(1)證明:;(2)若,求的周長.18.(12分)記為數列的前項和.已知.(1)證明:是等差數列;(2)若成等比數列,求的最小值.19.(12分)如圖,四面體中,為的中點.(1)證明:平面平面;(2)設,點在上,當的面積最小時,求三棱錐的體積.20.(12分)如圖,直四棱柱的底面是菱形,,分別是的中點.(1)證明:平面;(2)求點到平面的距離.21.(12分)已知函數,曲線在點處的切線也是曲線的切線.(1)若,求;(2)求的取值范圍.22.(12分)已知函數.(1)當時,求的最大值;(2)若恰有一個零點,求的取值范圍.
數學(文科)—答案一、選擇題1.A【詳解】,所以.2.A【詳解】因為,所以,解得:.3.D【詳解】因為,所以.4.B【詳解】由題意得,,則,即點到準線的距離為2,所以點的橫坐標為,不妨設點在軸上方,代入得,,所以.5.D【詳解】設等比數列的公比為,若,則,與題意矛盾,所以,則,解得,所以.6.A【詳解】解:在正方體中,且平面,又平面,所以,因為分別為的中點,所以,所以,又,所以平面,又平面,所以平面平面,故A正確;7.A【詳解】令,則,所以為奇函數,排除BD;又當時,,所以,排除C.8.C【詳解】由題意知:曲線為,又關于軸對稱,則,解得,又,故當時,的最小值為.9.B【詳解】因為函數定義域為,所以依題可知,,而,所以,即,所以,因此函數在上遞增,在上遞減,時取最大值,滿足題意,即有10.C【詳解】解:設母線長為,甲圓錐底面半徑為,乙圓錐底面圓半徑為,則,所以,又,則,所以,所以甲圓錐的高,乙圓錐的高,所以.11.C【詳解】解:依題意可得,因為,所以,要使函數在區間恰有三個極值點、兩個零點,又的圖象如下所示:則,解得,即.12.C【詳解】球的體積為,所以球的半徑,設正四棱錐的底面邊長為,高為,則,所以所以正四棱錐的體積,所以,當時,,當時,,所以當時,正四棱錐的體積取最大值,最大值為,又時,時,,所以正四棱錐的體積的最小值為,所以該正四棱錐體積的取值范圍是.二、填空題13.2【詳解】由可得,化簡得,即,解得.14.【詳解】雙曲線的漸近線為,即,不妨取,圓,即,所以圓心為,半徑,依題意圓心到漸近線的距離,解得或(舍去).15.【詳解】點在直線上,設點為,又因為點和均在上,點到兩點的距離相等且為半徑,,解得,的方程為.16.3【詳解】解:因為所以最小正周期,因為,又,所以,即,又為的零點,所以,解得,因為,所以當時;三、解答題:17.證明:(1)因為,所以,所以,即,所以;(2)因為,由(1)得,由余弦定理可得,則,所以,故,所以,所以的周長為.18.解:(1)因為,即①,當時,②,①-②得,,即,即,所以且,所以是以1為公差的等差數列.(2)由(1)可得,又成等比數列,所以,即,解得,所以,所以,所以,當或時,.19.解:(1)由于是的中點,所以.由于,所以,所以,故,由于平面,所以平面,由于平面,所以平面平面.(2)依題意,三角形是等邊三角形,所以,由于,所以三角形是等腰直角三角形,所以.,所以,由于平面,所以平面.由于,所以,所以,所以,由于,所以當最短時,三角形的面積最小值.過作,垂足為,在Rt中,,解得,所以,所以.過作,垂足為,則,所以平面,且,所以,所以.20.解:(1)連結.因為分別為的中點,所以,且.又因為為的中點,所以.由題設知,可得,故,因此四邊形為平行四邊形,.又平面,所以平面.(2)過作的垂線,垂足為.由已知可得,所以平面,故.從而平面,故的長即為到平面的距離,由已知可得,所以,故.從而點到平面的距離為.21.解(1)由題意知,,則在點處的切線方程為,即,設該切線與切于點,則,解得,則,解得;(2),則在點處的切線方程為,整理得,設該切線與切于點,則,則切線方程為,整理得,則,整理得,令,則,令,解得或,令,解得或,則變化時,的變化情況如下表:01-0+0-0+則的值域為,故的取值范圍為.22.解(1)當時,,則,當時,單調遞增;當時,單調遞減;所以;(2),則,當時,,所以當時,單調遞增;當時,單調遞減;所以,此時函數無零點,不合題意;當時,,在上,單調遞增;在上,單調遞減;又,當趨近正
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