2023屆高三年級1月模擬考試數學（文科）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．集合，則（）A． B． C． D．2．設，其中為實數，則（）A． B． C． D．3．已知向量，則（）A．2 B．3 C．4 D．54．設為拋物線的焦點，點在上，點，若，則（）A．2 B． C．3 D．5．已知等比數列的前3項和為，則（）A．14 B．12 C．6 D．36．在正方體中，分別為的中點，則（）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面7．函數在區間的圖象大致為（）A． B． C． D．8．將函數的圖象向左平移個單位長度后得到曲線，若關于軸對稱，則的最小值是（）A． B． C． D．9．當時，函數取得最大值，則（）A． B． C． D．110．甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為，側面積分別為和，體積分別為和．若，則（）A． B． C． D．11．設函數在區間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知正四棱錐的側棱長為，其各頂點都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．記為等差數列的前項和．若，則公差_________．14．若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．15．設點在直線上，點和均在上，則的方程為_________．16．記函數的最小正周期為，若，為的零點，則的最小值為_________．三、解答題：17．（10分）記的內角的對邊分別為，已知．（1）證明：；（2）若，求的周長．18．（12分）記為數列的前項和．已知．（1）證明：是等差數列；（2）若成等比數列，求的最小值．19．（12分）如圖，四面體中，為的中點．（1）證明：平面平面；（2）設，點在上，當的面積最小時，求三棱錐的體積．20．（12分）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，分別是的中點．（1）證明：平面；（2）求點到平面的距離．21．（12分）已知函數，曲線在點處的切線也是曲線的切線．（1）若，求；（2）求的取值范圍．22．（12分）已知函數．（1）當時，求的最大值；（2）若恰有一個零點，求的取值范圍．

數學（文科）—答案一、選擇題1．A【詳解】，所以．2．A【詳解】因為，所以，解得：．3．D【詳解】因為，所以．4．B【詳解】由題意得，，則，即點到準線的距離為2，所以點的橫坐標為，不妨設點在軸上方，代入得，，所以．5．D【詳解】設等比數列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以．6．A【詳解】解：在正方體中，且平面，又平面，所以，因為分別為的中點，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；7．A【詳解】令，則，所以為奇函數，排除BD；又當時，，所以，排除C．8．C【詳解】由題意知：曲線為，又關于軸對稱，則，解得，又，故當時，的最小值為．9．B【詳解】因為函數定義域為，所以依題可知，，而，所以，即，所以，因此函數在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有10．C【詳解】解：設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以．11．C【詳解】解：依題意可得，因為，所以，要使函數在區間恰有三個極值點、兩個零點，又的圖象如下所示：則，解得，即．12．C【詳解】球的體積為，所以球的半徑，設正四棱錐的底面邊長為，高為，則，所以所以正四棱錐的體積，所以，當時，，當時，，所以當時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時，時，，所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是．二、填空題13．2【詳解】由可得，化簡得，即，解得．14．【詳解】雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）．15．【詳解】點在直線上，設點為，又因為點和均在上，點到兩點的距離相等且為半徑，，解得，的方程為．16．3【詳解】解：因為所以最小正周期，因為，又，所以，即，又為的零點，所以，解得，因為，所以當時；三、解答題：17．證明：（1）因為，所以，所以，即，所以；（2）因為，由（1）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為．18．解：（1）因為，即①，當時，②，①-②得，，即，即，所以且，所以是以1為公差的等差數列．（2）由（1）可得，又成等比數列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當或時，．19．解：（1）由于是的中點，所以．由于，所以，所以，故，由于平面，所以平面，由于平面，所以平面平面．（2）依題意，三角形是等邊三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以．，所以，由于平面，所以平面．由于，所以，所以，所以，由于，所以當最短時，三角形的面積最小值．過作，垂足為，在Rt中，，解得，所以，所以．過作，垂足為，則，所以平面，且，所以，所以．20．解：（1）連結．因為分別為的中點，所以，且．又因為為的中點，所以．由題設知，可得，故，因此四邊形為平行四邊形，．又平面，所以平面．（2）過作的垂線，垂足為．由已知可得，所以平面，故．從而平面，故的長即為到平面的距離，由已知可得，所以，故．從而點到平面的距離為．21．解（1）由題意知，，則在點處的切線方程為，即，設該切線與切于點，則，解得，則，解得；（2），則在點處的切線方程為，整理得，設該切線與切于點，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時，的變化情況如下表：01-0+0-0+則的值域為，故的取值范圍為．22．解（1）當時，，則，當時，單調遞增；當時，單調遞減；所以；（2），則，當時，，所以當時，單調遞增；當時，單調遞減；所以，此時函數無零點，不合題意；當時，，在上，單調遞增；在上，單調遞減；又，當趨近正