專題07全等三角形能力提升題（壓軸題）華師版數(shù)學八年級上冊期末考試，通常用“全等三角形能力提升題”，作為壓軸題。1．（1）如圖1，已知：在中，，直線m經(jīng)過點A，直線m，直線m，垂足分別為點D、E．證明：．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，，D、A、E三點都在直線m上，并且有，其中為任意鈍角，請問結論是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．2．直角三角形中，，直線過點．(1)當時，如圖①，分別過點，作于點，于點．試說明；(2)當，時，如圖②，點與點關于直線對稱，連接，，動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿邊向終點運動，同時動點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿向終點運動，點，到達相應的終點時停止運動，過點作于點，過點作于點，設運動時間為秒．①，當在路徑上時，；（用含的代數(shù)式表示）②當與全等時，求的值．3．如圖（），已知點在上，和都是等腰直角三角形，，且為的中點．(1)求證：為等腰直角三角形；(2)將繞點再逆時針旋轉時（如圖（）所示的位置），為等腰直角三角形的結論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．4．（1）【問題背景】如圖1：在四邊形中，，，，E、F分別是上的點，且，試探究圖中線段之間的數(shù)量關系．小王同學探究此問題的方法是：延長到點G，使，連接，先證明，再證明，可得出結論，他的結論應是

．（2）【探索延伸】如圖2，若在四邊形中，，E、F分別是上的點，且，上述結論是否仍然成立，并說明理由．（3）【學以致用】如圖3，四邊形是邊長為5的正方形，，直接寫出的周長5．（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點E使，再連接，這樣就把集中在中，利用三角形三邊的關系可判斷線段的取值范圍是；則中線的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在中，D是邊的中點，于點D，交于點E，交于點F，連接，此時：（填“＞”或“＝”或“＜”）；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，以C為頂點作，邊分別交于E，F(xiàn)兩點，連接，此時：（填“＞”或“＝”或“＜“）；（4）若在圖③的四邊形中，且（3）中的結論仍然成立，則（用含α的代數(shù)式表示）．6．已知在中，，過點B引一條射線，D是上一點【問題解決】(1)如圖1，若，射線在內部，，求證：，小明同學展示的做法是：在上取一點E使得，通過已知的條件，從而求得的度數(shù)，請你幫助小明寫出證明過程；【類比探究】(2)如圖2，已知．①當射線在內，求的度數(shù)②當射線在下方，如圖3所示，請問的度數(shù)會變化嗎?若不變，請說明理由，若改變，請求出的度數(shù)；7．(1)感知：如圖，平分，，易知：（不需證明）(2)探究：如圖，平分，，求證：．(3)應用：如圖，四邊形中，，，，，求證：．8．八年級數(shù)學興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動，請你和他們一起活動吧．【探究與發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1，是的中線，延長至點，使，連接，寫出圖中一組全等三角形(2)如圖2，是的中線，若，，設，則的取值范圍是．【理解與應用】(3)如圖3，是的中線，交于，交于，且，若，，求線段的長．(4)如圖4，是的中線，，點在的延長線上，，求證：．9．在中，，，是的角平分線，于點．(1)如圖1，連接，求證：是等邊三角形；(2)點是線段上的一點（不與點，重合），以為一邊，在的下方作，交延長線于點．請你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出，與之間的數(shù)量關系；(3)如圖3，點是線段上的一點，以為一邊，在的下方作，交延長線于點．試探究，與數(shù)量之間的關系，并說明理由．10．如圖，已知等邊，直線，點為垂足，點是直線上的一個動點，線段繞點順時針方向旋轉60°得線段，聯(lián)結、．(1)如圖1，當點在線段上時，說明的理由；(2)如圖2，當點在線段的延長線上時，設直線與直線交于點，求的度數(shù)；(3)定義：有一個內角是的等腰三角形稱作黃金三角形，聯(lián)結，當是黃金三角形吋，直接寫出為______度．11．（1）如圖1，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點，且．求證：．（2）如圖2，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點，且，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出線段、、它們之間的數(shù)量關系，并證明．（3）如圖3，在四邊形中，，，、分別是邊、延長線上的點，且，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出線段、、它們之間的數(shù)量關系，并證明．12．如圖1，中，于點G，以A為直角頂點，分別以、為直角邊，向作等腰和等腰，過點E、F作射線的垂線，垂足分別為P、Q．(1)試探究與之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；(2)如圖2，若連接交的延長線于H，由（1）中的結論你能判斷與的大小關系嗎？并說明理由．(3)在（2）的條件下，若，請直接寫出．13．如圖，在中，，點D是直線上一點（不與B，C重合），以為一邊在的右側作，使，，連結．(1)如圖1，當點D在線段BC上時，如果，則________；(2)設，．①如圖2，當點D在線段BC上移動時，，之間有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由；②當點D在直線BC上移動時，，之間有怎樣的數(shù)量關系？請你在備用圖上畫出圖形，并直接寫出結論．14．【問題情境】利用角平分線構造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分，點A為上一點，過點A作，垂足為，延長交于點B，易證≌，則．其分析過程如下：在和中，平分≌（___________）在括號內填寫全等判定方法字母簡稱（___________）在括號內填寫理由依據(jù)【問題探究】如圖2，中，平分，垂足在的延長線上．證明：；【拓展延伸】如圖3，在中，在線段上，向左側作于交于，試探究和之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．15．已知，中，，，過A任作一直線，作于D，于E，觀察三條線段之間的數(shù)量關系．(1)如圖1，當經(jīng)過中點時，此時；(2)如圖2，當不與線段相交時，三者的數(shù)量關系為，并證明你的結論．(3)如圖3，當與線段相交，交點靠近B點時，三者的數(shù)量關系為．證明你的結論，并畫圖直接寫出交點靠近C點時，三者的數(shù)量關系為．16．在中，，點D是直線上一點（不與B、C重合），以為一邊在的右側作，使，連接CE．(1)如圖1，當點D在線段上，如果，則度；(2)如圖2，當點D在線段上，如果，則度；(3)設①如圖3，當點D在線段上移動，則之間有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由；②當點D在直線上移動，請直接寫出之間的數(shù)量關系，不用證明．17．已知為等邊三角形，取的邊中點，連接，如圖1，易證為等邊三角形，將繞點順時針旋轉，設旋轉的角度，其中．(1)如圖2，當，連接，求證：；(2)在旋轉過程中，當超過一定角度時，如圖3，連接會交于一點，記交點為點交于點交于點，連接，請問是否會平分？如果是，求出，如果不是，請說明理由；(3)在第（2）問的條件下，試猜想線段和之間的數(shù)量關系，并說明理由．18．（1）如圖①，中，，，點D為BC的中點，求AD的取值范圍；（2）如圖②，在四邊形ABCD中，，E、F分別在BC、CD上，且，，M為EF的中點，求證：．19．如圖，已知，射線分別和直線，交于A、B，射線分別和直線，交于C、D，點P在A、B間運動（P與A、B兩點不重合）(1)如圖①，如果，，．若，，，請直接寫出，，之間的數(shù)量關系．(2)如圖②，若于點A，，，，當為多少時，，請判斷此時與的數(shù)量與位置關系，并說明理由．(3)請用尺規(guī)作圖作出的角平分線，其中P為角平分線與的交點，若此時點P為線段的中點，請你在備用圖中再畫出合適的輔助線以能展現(xiàn)你的做題思路，并直接寫出線段的數(shù)量關系，不用再說明理由．20．如圖1，為等腰直角三角形，即，，．點在線段上（不與重合），以為腰長作等腰直角，即，且于．(1)求證：；(2)連接交于，若，求的值；(3)如圖2，過作交的延長線于點，過點作交于，連接，當點在線段上運動時（不與重合），式子的值會變化嗎？若不變，求出該值；若變化，請說明理由．21．為等腰直角三角形，，點在邊上（不與點、重合），以為腰作等腰直角，．(1)如圖1，作于，求證：；(2)如圖1，在（1）的條件下，連接交于，求的值；(3)如圖2，過點作交的延長線于點，過點作，交于點，連接當點在邊上運動時，式子的值會發(fā)生變化嗎？若不變，求出該值；若變化請說明理由．22．如圖，在正方形中，點為邊上任意一點（點不與，重合），點在線段上，過點的直線，分別交，于點，．(1)求證：；(2)如圖，當點為中點時，其他條件不變，連接正方形的對角線，與交于點，連接．求證：；(3)如圖，當點為延長線上的動點時，如果（）中的其他條件不變，直線分別交直線，于點，．結論“”還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．23．閱讀下面材料，完成（1）﹣﹣（2）題．數(shù)學課上，老師出示了這樣一道題：中，，是延長線上一點，是的中點，為上一點，過點作,交的延長線于，連接，且．求證．同學們經(jīng)過思考后，交流了自己的想法：小明：“延長到點，使，連接，可以得到兩個陰影三角形全等．”小偉：“繼續(xù)連接，經(jīng)過進一步推理，可以得到與的數(shù)量關系．”小強：“根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等，繼續(xù)添加適當?shù)妮o助線，可以得出結論……”(1)求證：；(2)探究與的數(shù)量關系，并證明；(3)求證：．專題07全等三角形能力提升題（壓軸題）華師版數(shù)學八年級上冊期末考試，通常用“全等三角形能力提升題”，作為壓軸題。1．（1）如圖1，已知：在中，，直線m經(jīng)過點A，直線m，直線m，垂足分別為點D、E．證明：．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，，D、A、E三點都在直線m上，并且有，其中為任意鈍角，請問結論是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）成立，見解析【詳解】證明：（1）如圖1，∵直線m，直線m，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴；（2）如圖2，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∴．2．直角三角形中，，直線過點．(1)當時，如圖①，分別過點，作于點，于點．試說明；(2)當，時，如圖②，點與點關于直線對稱，連接，，動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿邊向終點運動，同時動點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿向終點運動，點，到達相應的終點時停止運動，過點作于點，過點作于點，設運動時間為秒．①，當在路徑上時，；（用含的代數(shù)式表示）②當與全等時，求的值．【答案】(1)證明見詳解；(2)①，；②當秒或秒或秒時【詳解】（1）解：∵直角三角形中，，，，∴，，∴，在與中，，∴，∴．（2）解：①由題意得，，，則，由折疊的性質可知，，∴．故答案為：，；②由折疊的性質可知，，∵，，∴，∴當時，與全等，當點沿路徑運動時，，解得，（不合題意），當點沿路徑運動時，，解得，，當點沿路徑運動時，由題意得，，解得，，當點沿路徑運動時，由題意得，，解得，，綜上所述，當秒或秒或秒時，與全等．3．如圖（），已知點在上，和都是等腰直角三角形，，且為的中點．(1)求證：為等腰直角三角形；(2)將繞點再逆時針旋轉時（如圖（）所示的位置），為等腰直角三角形的結論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【答案】(1)見解析；(2)成立，證明見解析【詳解】（1）如圖，延長交于點．，．．在和中，，．，．是等腰直角三角形，且是底邊的中線．，．為等腰直角三角形．（2）為等腰直角三角形．理由如下：如圖（），作交的延長線于點，連接，．，，，．在和中，，．，是等腰直角三角形，且是底邊的中線．，．為等腰直角三角形．4．（1）【問題背景】如圖1：在四邊形中，，，，E、F分別是上的點，且，試探究圖中線段之間的數(shù)量關系．小王同學探究此問題的方法是：延長到點G，使，連接，先證明，再證明，可得出結論，他的結論應是

．（2）【探索延伸】如圖2，若在四邊形中，，E、F分別是上的點，且，上述結論是否仍然成立，并說明理由．（3）【學以致用】如圖3，四邊形是邊長為5的正方形，，直接寫出的周長【答案】（1）；（2）成立，見解析；（3）10【詳解】（1）解：如圖1，在和中，∵，∴∴∵∴∴在和中，∵，∴∴∵∴故答案為：（2）解：結論仍然成立；理由：如圖2，延長到點G．使．連接，在和中，∵，∴∴∵∴∴在和中，∵，∴∴∵∴；（3）解：如圖3，延長到點G，截取，連接，在與中，∵，∴∴∵∴∴在與中，∵，∴∴∴的周長5．（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點E使，再連接，這樣就把集中在中，利用三角形三邊的關系可判斷線段的取值范圍是；則中線的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在中，D是邊的中點，于點D，交于點E，交于點F，連接，此時：（填“＞”或“＝”或“＜”）；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，以C為頂點作，邊分別交于E，F(xiàn)兩點，連接，此時：（填“＞”或“＝”或“＜“）；（4）若在圖③的四邊形中，且（3）中的結論仍然成立，則（用含α的代數(shù)式表示）．【答案】（1）；；（2）＞；（3）=；（4）【詳解】解：（1）在與中，，∴，∴在中，即∴∴故答案為：（2）如圖，延長至點G，使，連接∵點D是的中點，∴∵∴∴∵∴在中，∴故答案為：＞；（3），如圖，延長至點G，使，連接，∵∴又∵∴∴∵∴∴∴又∵∴∴∵∴故答案為：＝；（4）由（3）同理可得∴若則∴∴∴故答案為：．6．已知在中，，過點B引一條射線，D是上一點【問題解決】(1)如圖1，若，射線在內部，，求證：，小明同學展示的做法是：在上取一點E使得，通過已知的條件，從而求得的度數(shù)，請你幫助小明寫出證明過程；【類比探究】(2)如圖2，已知．①當射線在內，求的度數(shù)②當射線在下方，如圖3所示，請問的度數(shù)會變化嗎?若不變，請說明理由，若改變，請求出的度數(shù)；【答案】(1)見解析；(2)①②；的度數(shù)會變化，理由見解析【詳解】（1）證明：如圖1，在上取一點E，使，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，即，∵在和中，∴，∴，∴；（2）證明：①在上取一點E，，如圖所示：∵，，∴，，∴，∴，∵在和中，∴，∴，∴；②的度數(shù)會變化，理由如下：在延長線上取一點E，使得，如圖所示：同理①的方法可證：，∴，∴．7．(1)感知：如圖，平分，，易知：（不需證明）(2)探究：如圖，平分，，求證：．(3)應用：如圖，四邊形中，，，，，求證：．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析【詳解】（1），，，平分，，在和中，≌，；（2）作于，于，如圖所示：平分，，，，，，，在和中，，≌，；（3）連接，作于點，如圖所示：，，，，在和中，≌，，，在和中，，≌，，，．8．八年級數(shù)學興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動，請你和他們一起活動吧．【探究與發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1，是的中線，延長至點，使，連接，寫出圖中一組全等三角形(2)如圖2，是的中線，若，，設，則的取值范圍是．【理解與應用】(3)如圖3，是的中線，交于，交于，且，若，，求線段的長．(4)如圖4，是的中線，，點在的延長線上，，求證：．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)證明見解析【詳解】（1）解：．是的中線，，在和中，，；（2）解：延長至點，使，連接，如圖所示：在與中，，，，在中，根據(jù)三角形三邊關系可得，即，的取值范圍是；（3）解：延長到，使，連接，如圖所示：，，，，是中線，，在和中，，，，，，，，，；（4）證明：延長到，使，連接，如圖所示：，是的中線，，在與中，，，，，又，=，在與中，，，．9．在中，，，是的角平分線，于點．(1)如圖1，連接，求證：是等邊三角形；(2)點是線段上的一點（不與點，重合），以為一邊，在的下方作，交延長線于點．請你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出，與之間的數(shù)量關系；(3)如圖3，點是線段上的一點，以為一邊，在的下方作，交延長線于點．試探究，與數(shù)量之間的關系，并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)見解析，；(3)【詳解】（1）證明：如圖1所示：在中，，，，，平分，，，于點，，，是等邊三角形；（2）結論：．證明：如圖2所示：延長使得，連接，，，是的角平分線，于點，，，又，是等邊三角形，，在和中，，，．（3）結論：．證明：如圖3所示，延長至，使得，由（1）得，，于點，，，是等邊三角形，，，，，，即，在和中，，，，，，．10．如圖，已知等邊，直線，點為垂足，點是直線上的一個動點，線段繞點順時針方向旋轉60°得線段，聯(lián)結、．(1)如圖1，當點在線段上時，說明的理由；(2)如圖2，當點在線段的延長線上時，設直線與直線交于點，求的度數(shù)；(3)定義：有一個內角是的等腰三角形稱作黃金三角形，聯(lián)結，當是黃金三角形吋，直接寫出為______度．【答案】(1)見解析；(2)；(3)132或92或12或24【詳解】（1）∵是等邊三角形，∴,∵線段繞點順時針方向旋轉得線段，∴是等邊三角形，∴，，∴，即∴，∴∴，∴；（2）解：∵是等邊三角形，∴,，∵線段繞點順時針方向旋轉得線段，∴是等邊三角形，∴，，∴，即，∴，∴，∴，∵，∴，（3）由（1）可知，在的的垂線上運動，如圖，是黃金三角形吋，當時，時，∴，∴，如圖，當點在點上方時，,如圖，當時，，如圖，當點在的下方時，，綜上所述，當是黃金三角形吋，為或或或．故答案為：或或或．11．（1）如圖1，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點，且．求證：．（2）如圖2，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點，且，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出線段、、它們之間的數(shù)量關系，并證明．（3）如圖3，在四邊形中，，，、分別是邊、延長線上的點，且，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出線段、、它們之間的數(shù)量關系，并證明．【答案】（1）證明見解析；（2）結論仍然成立，理由見解析；（3）結論不成立，應當是，證明見解析【詳解】證明：（1）如圖1，延長至，使，連接，∵在與中，，∴，∴，，∴，∴，又，易證，∴，∵，∴；（2）（1）中的結論仍然成立，證明：如圖2，延長至，使，連接，∵，，∴，在與中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，在與中，，∴，∴，即，∴；（3）（1）中的結論不成立，應當是，證明：如圖3，在上截取，使，連接，∵，，∴，∵在與中，，∴，∴，，∴，∴，∵，易證，∴，∵，∴．12．如圖1，中，于點G，以A為直角頂點，分別以、為直角邊，向作等腰和等腰，過點E、F作射線的垂線，垂足分別為P、Q．(1)試探究與之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；(2)如圖2，若連接交的延長線于H，由（1）中的結論你能判斷與的大小關系嗎？并說明理由．(3)在（2）的條件下，若，請直接寫出．【答案】(1)，證明見解析；(2)，理由見解析；(3)288【詳解】（1）解：，證明如下：是等腰直角三角形，，，，，，，，，在和中，，，，同理，則，；（2）解：，理由如下：，，，在和中，，，；（3）解：，，，，，，．即288．13．如圖，在中，，點D是直線上一點（不與B，C重合），以為一邊在的右側作，使，，連結．(1)如圖1，當點D在線段BC上時，如果，則________；(2)設，．①如圖2，當點D在線段BC上移動時，，之間有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由；②當點D在直線BC上移動時，，之間有怎樣的數(shù)量關系？請你在備用圖上畫出圖形，并直接寫出結論．【答案】(1)；(2)①；②當點在射線上時：，當點在射線的反向延長線上時：．【詳解】（1）解：∵∴，∴；在和中，，∴；∴∴故答案為：；（2）解：①由（1）可知：，即：；②當點在射線上時，如圖，同（1）法可證：；∴，∴，∴；當點在射線的反向延長線上時，如圖，同（1）法可證：；∴，∴∴．綜上：當點在射線上時：，當點在射線的反向延長線上時：．14．【問題情境】利用角平分線構造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分，點A為上一點，過點A作，垂足為，延長交于點B，易證≌，則．其分析過程如下：在和中，平分≌（___________）在括號內填寫全等判定方法字母簡稱（___________）在括號內填寫理由依據(jù)【問題探究】如圖2，中，平分，垂足在的延長線上．證明：；【拓展延伸】如圖3，在中，在線段上，向左側作于交于，試探究和之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．【答案】[問題情境]

，全等三角形對應邊相等；[問題探究]見解析；[拓展延伸]，見解析【詳解】解：[問題情境]：在和中，，≌，全等三角形的對應邊相等．故答案為：，全等三角形對應邊相等；[問題探究]證明：延長交延長線于，平分，，在和中，，≌，，，，，在和中，，≌，，．[拓展延伸]解：結論：理由如下：過點作，交的延長線于點，與相交于，，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，≌，，在和中，，≌，，．15．已知，中，，，過A任作一直線，作于D，于E，觀察三條線段之間的數(shù)量關系．(1)如圖1，當經(jīng)過中點時，此時；(2)如圖2，當不與線段相交時，三者的數(shù)量關系為，并證明你的結論．(3)如圖3，當與線段相交，交點靠近B點時，三者的數(shù)量關系為．證明你的結論，并畫圖直接寫出交點靠近C點時，三者的數(shù)量關系為．【答案】(1)＝；(2)，證明見解析；(3)，【詳解】（1）∵，，經(jīng)過中點，∴，∴點D，點E與的中點重合，∴，故答案為：=．（2）如圖2：，理由如下：∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．（3）如圖3，，理由如下：∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．如圖4，，理由如下：∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．16．在中，，點D是直線上一點（不與B、C重合），以為一邊在的右側作，使，連接CE．(1)如圖1，當點D在線段上，如果，則度；(2)如圖2，當點D在線段上，如果，則度；(3)設①如圖3，當點D在線段上移動，則之間有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由；②當點D在直線上移動，請直接寫出之間的數(shù)量關系，不用證明．【答案】(1)；(2)；(3)①，理由見解析；②當點D在線段及的延長線上時，；當點D在的延長線上時，【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：；（3）①，理由如下：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴；②如圖4，當點D在的延長線上時，，證明方法同①；如圖5，當點D在的延長線上時，，理由如下：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴．17．已知為等邊三角形，取的邊中點，連接，如圖1，易證為等邊三角形，將繞點順時針旋轉，設旋轉的角度，其中．(1)如圖2，當，連接，求證：；(2)在旋轉過程中，當超過一定角度時，如圖3，連接會交于一點，記交點為點交于點交于點，連接，請問是否會平分？如果是，求出，如果不是，請說明理由；(3)在第（2）問的條件下，試猜想線段和之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)不會BF平分，理由見解析；(3)，理由見解析【詳解】（1）證明：∵都是等邊三角形，，，在和中，，；（2）解：不是，理由如下：如圖3，過點作于，過點作于，都是等邊三角形，，，在和中，，，，又，，，，，，，當平分時，則，，，，與題干相矛盾，不會平分；（3）解：，理由如下：如圖4，在上截取，連接，，∴是等邊三角形，，，在和中，，，，．18．（1）如圖①，中，，，點D為BC的中點，求AD的取值范圍；（2）如圖②，在四邊形ABCD中，，E、F分別在BC、CD上，且，，M為EF的中點，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析【詳解】（1）如圖①，延長AD到點G，使，連接CG，∵點D為BC的中點，∴，在和中，，∴，∴，∵，且，∴，∴，∴AD的取值范圍是，（2）證明：如圖②，延長BM到點H，使，連接HF、BD、HD，∵M為EF的中點，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，且，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．19．如圖，已知，射線分別和直線，交于A、B，射線分別和直線，交于C、D，點P在A、B間運動（P與A、B兩點不重合）(1)如圖①，如果，，．若，，，請直接寫出，，之間的數(shù)量關系．(2)如圖②，若于點A，，，，當為多少時，，請判斷此時與的數(shù)量與位置關系，并說明理由．(3)請用尺規(guī)作圖作出的角平分線，其中P為角平分線與的交點，若此時點P為線段的中點，請你在備用圖中再畫出合適的輔助線以能展現(xiàn)你的做題思路，并直接寫出線段的數(shù)量關系，不用再說明理由．【答案】(1)；；(2)，，理由見解析；(3)作圖見解析；．【詳解】（1）解：過點P作，交于點Q，如圖①，，，，，，，，，，，同理可得：，，故答案為：；；（2）解：，，理由如下：如圖②，若，則，，，，，，，，，；（3）解：，理由如下：以點D為圓心，以任意長度為半徑畫弧，交，于F、H，分別以H、F為圓心，以大于的長為半徑畫弧，相交于Q、T兩點，連接，即為的角平分線，令交于P，交于G，如圖③，在和中，，，，是的角平分線，，，，，，，．20．如圖1，為等腰直角三角形，即，，．點在線段上（不與重合），以為腰長作等腰直角，即，且于．(1)求證：；(2)連接交于，若，求的值；(3)如圖2，過作交的延長線于點，過點作交于，連接，當點在線段上運動時（不與重合），式子的值會變化嗎？若不變，求出該值；若變化，請說明理由．【答案】(1)見解析;(2)2;(3)式子的值不會變化，值為1【詳解】（1）證明：∵為等腰三角形，，點在線段上（不與重合），以為腰長作等腰直角，于．∴，∴，在和中，，∴；（2）∵，∴，∵，∴．在和中