2023-2024學年蘇科版數學九年級上冊章節知識講練知識點01：等可能性一般地，設一個試驗的所有可能發生的結果有n個，它們都是隨機事件，每次試驗有且只有其中的一個結果出現.如果每個結果出現的機會均等，那么我們說這n個事件的發生是等可能的，也稱這個試驗的結果具有等可能性.知識點02：等可能條件下的概率1.等可能條件下的概率一般地，如果一個試驗有n個等可能的結果，當其中的m個結果之一出現時，事件A發生，那么事件A發生的概率P（A）=（其中m是指事件A發生可能出現的結果數，n是指所有等可能出現的結果數）.當一個隨機事件在一次試驗中的所有可能出現的結果是有限個，且具有等可能性時，只需列出一次試驗可能出現的所有結果，就可以求出某個事件發生的概率.2.等可能條件下的概率的求法一般地，等可能性條件下的概率計算方法和步驟是：（1）列出所有可能的結果，并判定每個結果發生的可能性都相等；（2）確定所有可能發生的結果的個數n和其中出現所求事件的結果個數m；（3）計算所求事件發生的可能性：P（所求事件）=.知識點03：用列舉法計算概率常用的列舉法有兩種：列表法和畫樹狀圖法.1.列表法當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件發生的各種情況出現的次數和方式，以及某一事件發生的可能的次數和方式，并求出概率的方法.細節剖析：（1）列表法適用于各種情況出現的總次數不是很大時，求概率的問題；（2）列表法適用于涉及兩步試驗的隨機事件發生的概率.2.樹狀圖當一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖，也稱樹形圖、樹圖.樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發生的各種情況出現的次數和方式，以及某一事件發生的可能的次數和方式，并求出概率的方法.細節剖析：(1)樹狀圖法同樣適用于各種情況出現的總次數不是很大時，求概率的問題；(2)在用樹狀圖法求可能事件的概率時，應注意各種情況出現的可能性務必相同.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023春?宿豫區期末）一只不透明的袋子中裝有1個白球、2個黑球、3個紅球，這些球除顏色外都相同，將球搖勻，從中任意摸出1個球，則摸到球的概率最大的是（）A．白球 B．黑球 C．紅球 D．黃球2．（2分）（2023?鹽城一模）一個小球在如圖所示的地板上自由滾動，并隨機停在某塊方磚上．如果每一塊方磚除顏色外完全相同，那么小球最終停留在黑磚上的概率是（）A． B． C． D．3．（2分）（2023?連云港）如圖是由16個相同的小正方形和4個相同的大正方形組成的圖形，在這個圖形內任取一點P，則點P落在陰影部分的概率為（）A． B． C． D．4．（2分）（2023?工業園區校級二模）中國傳統文化中很多內容體現了數學中的對稱美，太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現了相互轉化，對稱統一的形式美和諧美．如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖，現隨機向正方形內置一枚小針則針尖落入黑色區域內的概率為（）A． B． C． D．5．（2分）（2023?射陽縣校級二模）如圖，點C、D在線段AB上，且AC：CD：DB＝3：2：1．以點A為圓心，分別以線段AC、AD、AB為半徑畫同心圓，記以AC為半徑的圓為區域Ⅰ，CD所在的圓環為區域Ⅱ，DB所在的圓環為區域Ⅲ．現在此圖形中隨機撒一把豆子，統計落在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個區域內的豆子數．若大量重復此實驗，則（）A．豆子落在區域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在區域Ⅱ的概率最小 C．豆子落在區域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在區域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同6．（2分）（2023?工業園區校級二模）如圖，小明隨機地在對角線為6cm和8cm的菱形區域內投針，則針扎到其內切圓區域的概率是（）A． B． C． D．7．（2分）（2022秋?泗陽縣期末）從甲，乙，丙三人中任選兩名代表，甲被選中的可能性是（）A． B． C． D．8．（2分）（2022秋?海陵區校級期中）小明隨機地在如圖所示的圓及其內部區域投針，則針扎到其內接等邊三角形（陰影）區域的概率為（）A． B． C． D．9．（2分）（2018秋?玄武區期中）如圖，一個可以自由轉動的轉盤，被分成了白色和紅色兩個區域，任意轉動轉盤一次，當轉盤停止轉動時（若指針停在邊界處，則重新轉動轉盤），指針落在紅色區域內的概率是（）A． B． C． D．10．（2分）（2020秋?射陽縣期末）我們研究過的圖形中，圓的任何一對平行切線的距離總是相等的，所以圓是“等寬曲線”．除了圓以外，還有一些幾何圖形也是“等寬曲線”，如勒洛三角形（如圖1），它是分別以等邊三角形的每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間畫一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形．圖2是等寬的勒洛三角形和圓形滾木的截面圖．有如下四個結論：①勒洛三角形是中心對稱圖形；②使用截面是勒洛三角形的滾木來搬運東西，不會發生上下抖動；③圖2中，等邊三角形的邊長為2，則勒洛三角形的周長為2π；④圖3中，在△ABC中隨機取一點，則該點取自勒洛三角形DEF部分的概率為．上述結論中，所有正確結論的序號是（）A．①② B．②④ C．②③ D．③④二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?蘇州一模）如圖，在4×4的正方形網格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點稱為格點．假設飛鏢擊中游戲板的每一處是等可能的（擊中邊界或沒有擊中游戲板，則重投一次），任意投擲飛鏢一次，飛鏢擊中陰影部分的概率是．?12．（2分）（2023?姑蘇區校級一模）如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖，現隨機向正方形內擲一枚小針，則針尖落在黑色區域內的概率為．13．（2分）（2023?洪澤區二模）如圖，正方形中所有的小三角形都全等，一只螞蟻在正方形內部隨機爬行，則它停在陰影部分的概率為．?14．（2分）（2023?東臺市一模）不透明袋子中裝有3個黑球、5個白球，這些球除了顏色外無其他差別．從袋子中隨機摸出1個球，“摸出黑球”的概率是．15．（2分）（2023?蘇州一模）如圖所示游戲板中每一個小正方形除顏色外都相同，把游戲板平放到露天地面上，落在該游戲板上的第一滴雨正好打中陰影部分的概率是．16．（2分）（2023春?泰州期末）袋中裝有8個小球，顏色為紅、白、黑，每個球除顏色外其它都相同，將球搖勻，從中任意摸出一個球，若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一樣，則紅球和白球共有個．17．（2分）（2023?姜堰區一模）如圖，小明制作了一個含內接正三角形的圓形標靶，圖中的陰影部分是正三角形的內切圓，小明隨意向該標靶區域投擲飛鏢，則飛鏢落在陰影區域的概率為．18．（2分）（2023?工業園區校級模擬）如圖所示，電路圖上有A、B、C三個開關和一個小燈泡，閉合開關C或者同事閉合開關A、B，都可使小燈泡發光，現在任意閉合其中一個開關，則小燈泡發光的概率等于．19．（2分）（2023?高新區一模）東漢時期的數學家趙爽在注解《周髀算經》時，給出的“趙爽弦圖”是我國古代數學的瑰寶，如圖1，四個直角三角形是全等的，且直角三角形的長直角邊與短直角邊之比為2：1，現連接四條線段得到圖2的新的圖案．若隨機向該圖形內擲一枚針，則針尖落在圖2中陰影區域的概率為．20．（2分）（2021?武進區校級自主招生）有六張正面分別標有數0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它們除了數字不同外其余全部相同．現將它們背面朝上，洗勻后從中任取一張，將卡片上的數記為a，則使關于x的方程+2＝有正整數解的概率為三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?蘇州二模）在一個不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的球．其中紅球3個，白球5個，黑球若干個，若從中任意摸出一個白球的概率是．（1）求任意摸出一個球是黑球的概率；（2）能否通過只改變盒子中白球的數量，使得任意摸出一個球是紅球的概率，若能，請寫出如何調整白球數量；若不能，請說明理由．22．（6分）（2023?江都區二模）甲，乙兩個小區各有300戶居民，為了解兩個小區3月份用戶使用燃氣量情況，小明和小麗分別從中隨機抽取30戶進行調查，并對數據進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a．甲小區用氣量頻數分布直方圖如下（數據分成5組：5≤x＜10，10≤x＜15，15≤x＜20，20≤x＜25，25≤x＜30）b．甲小區用氣量的數據在15≤x＜20這一組的是：151516161616181818181819c．甲，乙兩小區用氣量的平均數、中位數、眾數如下：小區平均數中位數眾數甲17.2m18乙17.71915根據以上信息，回答下列問題：（1）寫出表中m的值；（2）在甲小區抽取的用戶中，記3月份用氣量高于它們的平均用氣量的戶數為p1．在乙小區抽取的用戶中，記3月份用氣量高于它們的平均用氣量的戶數為p2．比較p1，p2的大小，并說明理由；（3）估計甲小區中用氣量超過15立方米的戶數．23．（8分）（2023?鎮江一模）如圖，在3×3的正方形網格中，點A、B、C、D、E、F都是格點．（1）從A、D、E、F四點中任意取一點，以這點及點B、C為頂點畫三角形，求所畫三角形是等腰三角形的概率；（2）從A、D、E、F四點中任意取兩點，以這兩點及點B、C為頂點畫四邊形，求所畫四邊形是平行四邊形的概率．24．（8分）（2022秋?鼓樓區校級期末）為了響應區教育局“千師訪萬家”的新家庭教育活動，某校七年級3班的語文學科王老師、數學學科李老師決定分別利用周六上午、周日下午各自家訪一名同學，本次家訪的對象為班級第六組學習小伙伴，共有王鵬、李佳、劉丹三位同學．（1）李佳同學被王老師選為家訪對象的概率是：；（2）請利用樹狀圖或表格的形式求王老師和李老師家訪的是同一個同學的概率．25．（8分）（2023春?大豐區期中）一個不透明的袋子中裝有5個紅球、7個黑球，這些球除顏色外都相同．（1）若從中任意摸出一個球，則摸到球的可能性大；（2）如果另外拿紅球和黑球一共6個放入袋中，你認為怎樣放才能讓摸到紅球和摸到黑球的可能性相同．26．（8分）（2023?銅山區一模）某醫院醫生為了研究該院某種疾病的診斷情況，需要調查來院就診病人的兩個生理指標x，y，他分別在這種疾病的患者和非患者中，各隨機選取20人作為調查對象，將收集到的數據整理后，繪制統計圖如圖：根據以上信息，回答下列問題：（1）在這40名被調查者中，①指標x大于0.5的有人；②將20名患者的指標y的平均數記作，方差記作，20名非患者的指標y的平均數記作，方差記作，則，（填“＞”，“＝”或“＜”）；（2）來該院就診的500名非患者中，估計指標x低于0.3的大約有人；（3）若將“指標x低于0.3，且指標y低于0.8”作為判斷是否患有這種疾病的依據，則發生漏判的概率是多少？27．（8分）（2023?靖江市一模）經濟學教授張銳在“緩解中小企疫情之困需政策合力”一文中提及：“保護中小企業就是保護經濟增長的基石，為疫情之中和疫情之后的中小企業排憂解難，所有的政策能量供給都應當不遺余力”．某市計劃對該市的中小企業進行財政補貼，相關行業的主管部門為了解該市中小企業的生產情況?隨機調查了100家企業，得到這些企業今年第一季度相對于去年第一季度產值增長率y的頻數分布表．增長率﹣0.60≤y＜﹣0.40﹣0.40≤y＜﹣0.20﹣0.20≤y＜00≤y＜0.200.20≤y＜0.40企業數640201816[各組數據的組中值代表各組的實際數據，說明：組中值是各小組的兩個端點的數的平均數，如﹣0.60≤y＜﹣0.40的組中值是]（1）以這100個企業為樣本，求該市中小企業今年第一季度相對于去年第一季度產值增長率在0≤y＜0.40范圍內的概率；（2）該市有3000家中小企業，通過市場調研?去年該市中小企業的第一季度平均產值是20萬元，若要使一家中小企業保持良好的經營狀態，必須保證其第一季度產值不低于19萬元，若要想讓該市增長率為負的中小企業保持良好的經營狀態，該市至少應準備多少萬元的補貼資金？28．（8分）（2016秋?興化市期中）國家規定，中小學生每天在校體育活動時間不低于1小時，為了解這項政策的落實情況，有關部門就“你某天在校體育活動時間是多少”的問題，在某校隨機抽查了部分學生，再根據活動時間t（小時）進行分組（A組：t＜0.5，B組：0.5≤t＜1，C組：1≤t＜1.5，D組：t≥1.5），繪制成如下兩幅不完整統計圖，請根據圖中信息回答問題：（1）此次抽查的學生數為人，并補全條形統計圖；（2）從抽查的學生中隨機詢問一名學生，該生當天在校體育活動時間低于1小時的概率是；（3）若當天在校學生數為1200人，請估計在當天達到國家規定體育活動時間的學生有人．

2023-2024學年蘇科版數學九年級上冊章節知識講練知識點01：等可能性一般地，設一個試驗的所有可能發生的結果有n個，它們都是隨機事件，每次試驗有且只有其中的一個結果出現.如果每個結果出現的機會均等，那么我們說這n個事件的發生是等可能的，也稱這個試驗的結果具有等可能性.知識點02：等可能條件下的概率1.等可能條件下的概率一般地，如果一個試驗有n個等可能的結果，當其中的m個結果之一出現時，事件A發生，那么事件A發生的概率P（A）=（其中m是指事件A發生可能出現的結果數，n是指所有等可能出現的結果數）.當一個隨機事件在一次試驗中的所有可能出現的結果是有限個，且具有等可能性時，只需列出一次試驗可能出現的所有結果，就可以求出某個事件發生的概率.2.等可能條件下的概率的求法一般地，等可能性條件下的概率計算方法和步驟是：（1）列出所有可能的結果，并判定每個結果發生的可能性都相等；（2）確定所有可能發生的結果的個數n和其中出現所求事件的結果個數m；（3）計算所求事件發生的可能性：P（所求事件）=.知識點03：用列舉法計算概率常用的列舉法有兩種：列表法和畫樹狀圖法.1.列表法當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件發生的各種情況出現的次數和方式，以及某一事件發生的可能的次數和方式，并求出概率的方法.細節剖析：（1）列表法適用于各種情況出現的總次數不是很大時，求概率的問題；（2）列表法適用于涉及兩步試驗的隨機事件發生的概率.2.樹狀圖當一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖，也稱樹形圖、樹圖.樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發生的各種情況出現的次數和方式，以及某一事件發生的可能的次數和方式，并求出概率的方法.細節剖析：(1)樹狀圖法同樣適用于各種情況出現的總次數不是很大時，求概率的問題；(2)在用樹狀圖法求可能事件的概率時，應注意各種情況出現的可能性務必相同.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023春?宿豫區期末）一只不透明的袋子中裝有1個白球、2個黑球、3個紅球，這些球除顏色外都相同，將球搖勻，從中任意摸出1個球，則摸到球的概率最大的是（）A．白球 B．黑球 C．紅球 D．黃球解：袋子中裝有1個白球，2個黃球和3個紅球，其中紅球最多，故摸到紅球的概率最大．故選：C．2．（2分）（2023?鹽城一模）一個小球在如圖所示的地板上自由滾動，并隨機停在某塊方磚上．如果每一塊方磚除顏色外完全相同，那么小球最終停留在黑磚上的概率是（）A． B． C． D．解：觀察這個圖可知：黑色區域（5塊）的面積占總面積（9塊）的，則它最終停留在黑磚上的概率是．故選：C．3．（2分）（2023?連云港）如圖是由16個相同的小正方形和4個相同的大正方形組成的圖形，在這個圖形內任取一點P，則點P落在陰影部分的概率為（）A． B． C． D．解：設16個相同的小正方形的邊長為a，則4個相同的大正方形的邊長為1.5a，∴點P落在陰影部分的概率為＝，故選：B．4．（2分）（2023?工業園區校級二模）中國傳統文化中很多內容體現了數學中的對稱美，太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現了相互轉化，對稱統一的形式美和諧美．如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖，現隨機向正方形內置一枚小針則針尖落入黑色區域內的概率為（）A． B． C． D．解：設正方形的邊長為2a，則正方形的內切圓的半徑為a，所以針尖落在黑色區域內的概率＝＝．故選：D．5．（2分）（2023?射陽縣校級二模）如圖，點C、D在線段AB上，且AC：CD：DB＝3：2：1．以點A為圓心，分別以線段AC、AD、AB為半徑畫同心圓，記以AC為半徑的圓為區域Ⅰ，CD所在的圓環為區域Ⅱ，DB所在的圓環為區域Ⅲ．現在此圖形中隨機撒一把豆子，統計落在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個區域內的豆子數．若大量重復此實驗，則（）A．豆子落在區域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在區域Ⅱ的概率最小 C．豆子落在區域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在區域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同解：∵AC：CD：DB＝3：2：1，∴設AC＝3x，CD＝2x，DB＝x，∴Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個區域的面積分別為S1＝π?（3x）2＝9x2π，S2＝π?（5x）2﹣π?（3x）2＝16x2π，S3＝π?（6x）2﹣π?（5x）2＝11x2π，∵S2＞S3＞S1，∴豆子落在區域Ⅰ的概率最小．故選：A．6．（2分）（2023?工業園區校級二模）如圖，小明隨機地在對角線為6cm和8cm的菱形區域內投針，則針扎到其內切圓區域的概率是（）A． B． C． D．解：連接兩對角線，設圓與菱形切點為E，∵對角線為6cm和8cm的菱形，∴AO＝CO＝3cm，BO＝DO＝4cm，BD⊥AC，∴AB＝5cm，由題意可得出：OE⊥AB，∴×EO×AB＝×AO×BO，∴×5×EO＝×3×4，解得：EO＝，∴內切圓區域的面積為：π×（）2＝π（cm2），∵菱形的面積為：×6×8＝24（cm2），∴則針扎到其內切圓區域的概率是：＝．故選：C．7．（2分）（2022秋?泗陽縣期末）從甲，乙，丙三人中任選兩名代表，甲被選中的可能性是（）A． B． C． D．解：選兩名代表共有以下情況：甲，乙；甲，丙；乙，丙；三種情況．故甲被選中的可能性是．故選：A．8．（2分）（2022秋?海陵區校級期中）小明隨機地在如圖所示的圓及其內部區域投針，則針扎到其內接等邊三角形（陰影）區域的概率為（）A． B． C． D．解：設扎到陰影區域的正三角形的概率為P，圓的半徑為R，記圓的圓心為點O，過O作OD⊥BC于D，連接OA，OB，OC，∵△ABC是正三角形，∴AB＝BC＝AC，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA，∴∠BOC＝＝120°，∵OB＝OC，∴∠BOD＝×120°＝60°，∴∠OBD＝30°，∵OB＝R，∴OD＝，BD＝OBcos30°＝R，∴BC＝2BD＝R，∴S△BOC＝BC?OD＝，∵OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，∴△AOB≌△BOC≌△COA（SAS），∴S△AOB＝S△BOC＝S△COA，∴S△ABC＝3S△BOC＝，∵S圓＝πR2，∴P＝＝．故選：C．9．（2分）（2018秋?玄武區期中）如圖，一個可以自由轉動的轉盤，被分成了白色和紅色兩個區域，任意轉動轉盤一次，當轉盤停止轉動時（若指針停在邊界處，則重新轉動轉盤），指針落在紅色區域內的概率是（）A． B． C． D．解：指針落在紅色區域內的概率是＝，故選：C．10．（2分）（2020秋?射陽縣期末）我們研究過的圖形中，圓的任何一對平行切線的距離總是相等的，所以圓是“等寬曲線”．除了圓以外，還有一些幾何圖形也是“等寬曲線”，如勒洛三角形（如圖1），它是分別以等邊三角形的每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間畫一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形．圖2是等寬的勒洛三角形和圓形滾木的截面圖．有如下四個結論：①勒洛三角形是中心對稱圖形；②使用截面是勒洛三角形的滾木來搬運東西，不會發生上下抖動；③圖2中，等邊三角形的邊長為2，則勒洛三角形的周長為2π；④圖3中，在△ABC中隨機取一點，則該點取自勒洛三角形DEF部分的概率為．上述結論中，所有正確結論的序號是（）A．①② B．②④ C．②③ D．③④解：①勒洛三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故①錯誤；②夾在平行線之間的勒洛三角形無論怎么滾動，平行線間的距離始終不變，使用截面是勒洛三角形的滾木來搬運東西，不會發生上下抖動，故②正確；③∵等邊三角形DEF的邊長為2，∴勒洛三角形的周長＝3×＝2π，故③正確；④如圖，設△ABC的邊長為2，則正三角形DEF的邊長為1，以D為圓心的扇形面積是＝，△DEF的面積是×1×1×＝，∴勒洛三角形的面積為3個扇形面積減去2個正三角形面積，即圖中勒洛三角形面積為3×（﹣）+＝，△ABC的面積為，∴所求概率為＝，故④錯誤；故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?蘇州一模）如圖，在4×4的正方形網格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點稱為格點．假設飛鏢擊中游戲板的每一處是等可能的（擊中邊界或沒有擊中游戲板，則重投一次），任意投擲飛鏢一次，飛鏢擊中陰影部分的概率是．?解：∵共有16小正方形，其中陰影部分為4個小正方形，∴任意投擲飛鏢一次，飛鏢擊中陰影部分的概率是＝．故答案為：．12．（2分）（2023?姑蘇區校級一模）如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖，現隨機向正方形內擲一枚小針，則針尖落在黑色區域內的概率為．解：設正方形的邊長為2a，則正方形的內切圓的半徑為a，所以針尖落在黑色區域內的概率＝＝．故答案為．13．（2分）（2023?洪澤區二模）如圖，正方形中所有的小三角形都全等，一只螞蟻在正方形內部隨機爬行，則它停在陰影部分的概率為．?解：∵正方形被等分成16份，其中陰影占6份，∴當螞蟻停下時，停在陰影部分的概率為＝．故答案為：．14．（2分）（2023?東臺市一模）不透明袋子中裝有3個黑球、5個白球，這些球除了顏色外無其他差別．從袋子中隨機摸出1個球，“摸出黑球”的概率是．解：∵不透明袋子中裝有3個黑球、5個白球，這些球除了顏色外無其他差別．∴從袋子中隨機摸出1個球，則摸到黑球的概率為＝．故答案為：．15．（2分）（2023?蘇州一模）如圖所示游戲板中每一個小正方形除顏色外都相同，把游戲板平放到露天地面上，落在該游戲板上的第一滴雨正好打中陰影部分的概率是．解：∵總面積為4×3＝12，其中陰影部分面積為2××2×1+×4×2＝6，∴落在該游戲板上的第一滴雨正好打中陰影部分的概率是＝，故答案為：．16．（2分）（2023春?泰州期末）袋中裝有8個小球，顏色為紅、白、黑，每個球除顏色外其它都相同，將球搖勻，從中任意摸出一個球，若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一樣，則紅球和白球共有4個．解：若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一樣，則黑球占；紅球和白球共占．故紅球和白球共有×8＝4個．故答案我：417．（2分）（2023?姜堰區一模）如圖，小明制作了一個含內接正三角形的圓形標靶，圖中的陰影部分是正三角形的內切圓，小明隨意向該標靶區域投擲飛鏢，則飛鏢落在陰影區域的概率為．解：如圖，由題意，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，設OA＝R，OB＝r，則OA＝2OB，∴外接圓的面積為πR2＝4πr2，內切圓面積為πr2，∴飛鏢落在陰影區域的概率為，故答案為：．18．（2分）（2023?工業園區校級模擬）如圖所示，電路圖上有A、B、C三個開關和一個小燈泡，閉合開關C或者同事閉合開關A、B，都可使小燈泡發光，現在任意閉合其中一個開關，則小燈泡發光的概率等于．解：∵閉合開關C或者同時閉合開關A、B，都可使小燈泡發光，∴任意閉合其中一個開關共有3種等可能的結果，而小燈泡發光的只有選擇閉合C，∴小燈泡發光的概率等于：．19．（2分）（2023?高新區一模）東漢時期的數學家趙爽在注解《周髀算經》時，給出的“趙爽弦圖”是我國古代數學的瑰寶，如圖1，四個直角三角形是全等的，且直角三角形的長直角邊與短直角邊之比為2：1，現連接四條線段得到圖2的新的圖案．若隨機向該圖形內擲一枚針，則針尖落在圖2中陰影區域的概率為．解：如圖2，設直角三角形的長直角邊與短直角邊分別為2x和x，則AC＝x，BD＝x，AB＝CD，△ABD是直角三角形，則大正方形面積＝AC2＝5x2，△ADC面積＝?x?x＝x2，陰影部分的面積S＝5x2﹣4×x2＝3x2，∴針尖落在陰影區域的概率為＝．故答案為：．20．（2分）（2021?武進區校級自主招生）有六張正面分別標有數0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它們除了數字不同外其余全部相同．現將它們背面朝上，洗勻后從中任取一張，將卡片上的數記為a，則使關于x的方程+2＝有正整數解的概率為解：解分式方程得：x＝，∵分式方程的解為正整數，∴2﹣a＞0，∴a＜2，∴a＝0，1，∵分式方程的解為正整數，當a＝1時，x＝2不合題意，∴a＝0，∴使關于x的分式方程有正整數解的概率為，故答案為：．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?蘇州二模）在一個不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的球．其中紅球3個，白球5個，黑球若干個，若從中任意摸出一個白球的概率是．（1）求任意摸出一個球是黑球的概率；（2）能否通過只改變盒子中白球的數量，使得任意摸出一個球是紅球的概率，若能，請寫出如何調整白球數量；若不能，請說明理由．解：（1）∵紅球3個，白球5個，黑球若干個，從中任意摸出一個白球的概率是，∴盒子中球的總數為：5÷＝15（個），故盒子中黑球的個數為：15﹣3﹣5＝7（個）；∴任意摸出一個球是黑球的概率為：；（2）∵任意摸出一個球是紅球的概率為，∴盒子中球的總量為：3÷＝12，∴可以將盒子中的白球拿出3個．22．（6分）（2023?江都區二模）甲，乙兩個小區各有300戶居民，為了解兩個小區3月份用戶使用燃氣量情況，小明和小麗分別從中隨機抽取30戶進行調查，并對數據進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a．甲小區用氣量頻數分布直方圖如下（數據分成5組：5≤x＜10，10≤x＜15，15≤x＜20，20≤x＜25，25≤x＜30）b．甲小區用氣量的數據在15≤x＜20這一組的是：151516161616181818181819c．甲，乙兩小區用氣量的平均數、中位數、眾數如下：小區平均數中位數眾數甲17.2m18乙17.71915根據以上信息，回答下列問題：（1）寫出表中m的值；（2）在甲小區抽取的用戶中，記3月份用氣量高于它們的平均用氣量的戶數為p1．在乙小區抽取的用戶中，記3月份用氣量高于它們的平均用氣量的戶數為p2．比較p1，p2的大小，并說明理由；（3）估計甲小區中用氣量超過15立方米的戶數．解：（1）將抽取的30戶用氣量從小到大排列，處在中間位置的兩個數都是16，因此中位數是16，即m＝16，答：m＝16；（2）p1＜p2，理由：甲小區，p1＝6+6+2＝14（戶）；乙小區中位數高于平均數，則p2至少為15戶，∴p1＜p2；（3）由題意得：300×＝180（戶），答：甲小區中用氣量超過15立方米約180戶．23．（8分）（2023?鎮江一模）如圖，在3×3的正方形網格中，點A、B、C、D、E、F都是格點．（1）從A、D、E、F四點中任意取一點，以這點及點B、C為頂點畫三角形，求所畫三角形是等腰三角形的概率；（2）從A、D、E、F四點中任意取兩點，以這兩點及點B、C為頂點畫四邊形，求所畫四邊形是平行四邊形的概率．解：（1）根據從A、D、E、F四個點中任意取一點，一共有4種可能，只有選取D點時，所畫三角形是等腰三角形，故P（所畫三角形是等腰三角形）＝；（2）用“樹狀圖”或利用表格列出所有可能的結果：∵以點A、E、B、C為頂點及以D、F、B、C為頂點所畫的四邊形是平行四邊形，∴所畫的四邊形是平行四邊形的概率P＝＝．24．（8分）（2022秋?鼓樓區校級期末）為了響應區教育局“千師訪萬家”的新家庭教育活動，某校七年級3班的語文學科王老師、數學學科李老師決定分別利用周六上午、周日下午各自家訪一名同學，本次家訪的對象為班級第六組學習小伙伴，共有王鵬、李佳、劉丹三位同學．（1）李佳同學被王老師選為家訪對象的概率是：；（2）請利用樹狀圖或表格的形式求王老師和李老師家訪的是同一個同學的概率．解：（1）本次家訪的對象為班級第六組學習小伙伴，共有王鵬、李佳、劉丹三位同學，共有3種情況，其中李佳同學被王老師選為家訪對象只有一種情況，所以李佳同學被王老師選為家訪對象的概率是．故答案為：．（2）畫樹狀圖列出等可能的所有結果為9種，其中王老師和李老師家訪的是同一個同學共3種情況．∴P（王老師和李老師家訪的是同一個同學）＝．25．（8分）（2023春?大豐區期中）一個不透明的袋子中裝有5個紅球、7個黑球，這些球除顏色外都相同．（1）若從中任意摸出一個球，則摸到黑球的可能性大；（2）如果另外拿紅球和黑球一共6個放入袋中，你認為怎樣放才能讓摸到紅球和摸到黑球的可能性相同．解：（1）摸到紅球的可能性為：＝；摸到黑球的可能性為＝．故摸到黑球的概率大．故答案為：黑；（2）放入4個紅球，2個黑球．理由如下：∵另外拿紅球和黑球一共6個放入袋中，∴共有5+7+6＝18個球，∵摸到紅球和摸到黑球的可能性相同，∴黑球和紅球的數量相等，∴應放入4個紅球，2個黑球．26．（8分）（2023?銅山區一模）某醫院醫生為了研究該院某種疾病的診斷情況，需要調查來院就診病人的兩個生理指標x，y，他分別在這種疾病的患者和非患者中，各隨機選取20人作為調查對象，將收集到的數據整理后，繪制統計圖如圖：根據以上信息，回答下列問題：（1）在這40名被調查者中，①指標x大于0.5的有3人；②將20名患者的指標y的平均數記作，方差記作，20名非患者的指標y的平均數記作，方差記作，則＜，＞（填“＞”，“＝”或“＜”）；（2）來該院就診的500名非患者中，估計指標x低于0.3的大約有100人；（3）若將“指標x低于0.3，且指標y低于0.8”作為判斷是否患有這種疾病的依據，則發生漏判的概率是多少？解：（1）①根據圖象可得，指標x大于0.5的有3人，故答案為：3．②由圖象可得：20名患者的指標y的取值范圍是0.1＜y＜0.9，20名非患者的指標y的取值范圍是0.4＜y＜1.1，位置相