高級中學名校試卷PAGEPAGE1天津市部分區2022-2023學年高一下學期期末數學試題一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某校舉行演講比賽，9位評委分別給出一名選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉一個最低分和一個最高分，得到7個有效評分，則這7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數字特征是（）A.平均數 B.眾數 C.中位數 D.方差〖答案〗C〖解析〗根據平均數、中位數、眾數和方差的意義，從9個原始評分中去掉一個最低分和一個最高分，得到7個有效評分，不論是7個有效評分，還是9個原始評分，中間位置的評分不變，所以不變的數字特征為中位數.故選：C.2.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結論正確的是（）A.正方形的直觀圖是正方形 B.矩形的直觀圖是矩形C.菱形直觀圖是菱形 D.平行四邊形的直觀圖是平行四邊形〖答案〗D〖解析〗根據斜二測畫法的規則可知，平行于坐標軸的直線平行性不變，平行于軸的線段長度不變，平行于軸的線段長度減半，對于A中，正方形的直角，在直觀圖中變為或，不是正方形，所以A錯誤；對于B中，矩形的直角，在直觀圖中變為或，不是矩形，所以B錯誤；對于C中，菱形的對角線互相垂直平分，在直觀圖中對角線的夾角變為，所以菱形的直觀圖不是菱形，所以C錯誤；對于D中，根據平行線不變，可知平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形，所以D正確.故選：D.3.已知向量，，則（）A.-3 B.-1 C.2 D.(-1，-2)〖答案〗A〖解析〗因為，，所以.故選：A.4.若為虛數單位，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.5.拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A=“第一枚硬幣正面朝上”，事件B=“第二枚硬幣正面朝上”.下列結論正確的是（）A.A與B互為對立事件 B.A與B互斥C.A與B相等 D.P(A)=P(B)〖答案〗D〖解析〗拋擲兩枚質地均勻的硬幣的所有可能結果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4種結果，事件A包含的結果有：（正，正），（正，反）2種，事件B包含的結果有：（正，正），（反，正）2種，顯然事件A和事件B都包含（正，正）這一結果，即事件A和事件B能同時發生，所以事件A和事件B既不對立也不互斥，故選項A、B錯誤；事件A和事件B中有不同的結果，所以事件A和事件B不相等，故選項C錯誤；由古典概型得，所以，故選項D正確.故選：D.6.將一個棱長為的正方體鐵塊磨成一個球體零件，則能制作的最大零件的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正方體的棱長為1，要使制作成球體零件的體積最大，則球內切于正方體，則球的直徑為1，半徑為，所以能制作的最大零件的體積為.故選：A.7.在中，角的對邊分別為.若，，，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，在中，根據正弦定理得，所以.故選：B.8.甲、乙兩人參加“社會主義價值觀”知識競賽，甲、乙兩人的能榮獲一等獎的概率分別為和，甲、乙兩人是否獲得一等獎相互獨立，則這兩個人中恰有一人獲得一等獎的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設甲、乙獲一等獎的概率分別是，不獲一等獎的概率是，則這兩人中恰有一人獲獎的事件的概率為：.故選：D.9.設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的為（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗D〖解析〗對A，若，，則，故A錯；對B，若，，則有可能或，故B錯；對C，若，，則有可能或與相交，故C錯；對D，根據兩條平行線中的一條直線垂直一個平面，則另一條也垂直該平面，故D正確.故選：D.10.在中，，，.若，分別為邊，上的點，且滿足，，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，，，因為，，所以，，所以，因為，所以，函數開口向下，對稱軸為，當時，取最大值.故選：A.二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.11.若事件與互斥，且，，則______.〖答案〗0.8〖解析〗因為事件與互斥，且，，所以.故〖答案〗為：0.8.12.已知向量，，若存在實數，滿足，則實數的值為______.〖答案〗6〖解析〗因，所以，所以，得.故〖答案〗為：6.13.某工廠對一批產品的長度（單位：）進行檢驗，將抽查的產品所得數據分為五組，整理后得到的頻率分布直方圖如圖所示，若長度在以下的產品有30個，則長度在區間內的產品個數為______.〖答案〗55〖解析〗由頻率分布直方圖可知，長度在區間內的頻率為，長度在以下的頻率為，則長度在區間內的產品個數為.故〖答案〗為：55.14.在長方體中，若，是棱的中點，則直線與所成的角的大小為______.〖答案〗〖解析〗由題意，連接，作圖如下：在長方體中，顯然，則為直線與的夾角，由為的中點，且，則，即，故為等邊三角形，則.故〖答案〗為：.15.在中，，，.若，，且，則的值為______.〖答案〗2〖解析〗∵，，∴，，∵，∴，則，解得.故〖答案〗為：.三、解答題：本大題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.已知是虛數單位，復數，.（1）當時，求；（2）若是純虛數，求的值；（3）若在復平面內對應的點位于第二象限，求的取值范圍.解：（1）當時，，所以.（2）若復數是純虛數，則，解得，所以.（3）復數在復平面內對應的點位于第二象限，則，即，所以，實數的取值范圍是.17.甲、乙兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的成績（環數）如下：甲78795491074乙9578768677（1）求甲運動員的樣本數據的眾數和第85百分位數；（2）分別計算這兩位運動員射擊成績的方差；（3）如果選一位成績穩定的運動員參加比賽，選誰較好？說明理由.注：一組數據的平均數為，它的方差為.解：（1）根據題意可知，甲的數據里的眾數是7；把甲的數據按從小到大排列如下：44577789910，因為85%10=8.5所以第9個數據是第85百分位數，所以第85百分位數為9.（2），；，.（3）由（2）知，，即甲的成績離散程度大，乙的成績離散程度小，乙的成績較穩定，所以選乙參加比賽.18.在銳角中，角，，的對邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，，求的面積.解：（1）由正弦定理及，得，因為，所以，因為是銳角三角形，所以.（2）由及余弦定理，得，解得，所以.19.一個袋子中裝有標號分別為1，2的2個黑球和標號分別為的3個白球，這5個球除標號和顏色外，沒有其他差異.（1）若有放回的從中隨機摸兩次，每次摸出一個球，求第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率；（2）若不放回的從中隨機摸出兩個球，已知黑球的標號用表示，白球的標號用表示.求滿足條件的概率.解：（1）記摸一次得到黑球的事件為A，得到白球的事件為B，則，，又事件A與B相互獨立，所以，.（2）從中摸兩個球，所得樣本空間為，包含10個樣本點，滿足條件的樣本點有共3個，滿足條件的事件的概率為.20.如圖，在多面體中，平面平面，四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，，.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線與平面所成的角的正切值.解：（1）證明：因為，平面，平面，所以平面.（2）因為四邊形為正方形，所以，又因為平面平面，平面，平面平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（3）連接，設，因為，所以，，又因為∥，所以，由余弦定理得，所以，即，由（2）知平面，平面，則，而平面，所以平面，所以就是直線與平面所成的角，在中，，所以直線與平面所成的角的正切值為.天津市部分區2022-2023學年高一下學期期末數學試題一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某校舉行演講比賽，9位評委分別給出一名選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉一個最低分和一個最高分，得到7個有效評分，則這7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數字特征是（）A.平均數 B.眾數 C.中位數 D.方差〖答案〗C〖解析〗根據平均數、中位數、眾數和方差的意義，從9個原始評分中去掉一個最低分和一個最高分，得到7個有效評分，不論是7個有效評分，還是9個原始評分，中間位置的評分不變，所以不變的數字特征為中位數.故選：C.2.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結論正確的是（）A.正方形的直觀圖是正方形 B.矩形的直觀圖是矩形C.菱形直觀圖是菱形 D.平行四邊形的直觀圖是平行四邊形〖答案〗D〖解析〗根據斜二測畫法的規則可知，平行于坐標軸的直線平行性不變，平行于軸的線段長度不變，平行于軸的線段長度減半，對于A中，正方形的直角，在直觀圖中變為或，不是正方形，所以A錯誤；對于B中，矩形的直角，在直觀圖中變為或，不是矩形，所以B錯誤；對于C中，菱形的對角線互相垂直平分，在直觀圖中對角線的夾角變為，所以菱形的直觀圖不是菱形，所以C錯誤；對于D中，根據平行線不變，可知平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形，所以D正確.故選：D.3.已知向量，，則（）A.-3 B.-1 C.2 D.(-1，-2)〖答案〗A〖解析〗因為，，所以.故選：A.4.若為虛數單位，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.5.拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A=“第一枚硬幣正面朝上”，事件B=“第二枚硬幣正面朝上”.下列結論正確的是（）A.A與B互為對立事件 B.A與B互斥C.A與B相等 D.P(A)=P(B)〖答案〗D〖解析〗拋擲兩枚質地均勻的硬幣的所有可能結果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4種結果，事件A包含的結果有：（正，正），（正，反）2種，事件B包含的結果有：（正，正），（反，正）2種，顯然事件A和事件B都包含（正，正）這一結果，即事件A和事件B能同時發生，所以事件A和事件B既不對立也不互斥，故選項A、B錯誤；事件A和事件B中有不同的結果，所以事件A和事件B不相等，故選項C錯誤；由古典概型得，所以，故選項D正確.故選：D.6.將一個棱長為的正方體鐵塊磨成一個球體零件，則能制作的最大零件的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正方體的棱長為1，要使制作成球體零件的體積最大，則球內切于正方體，則球的直徑為1，半徑為，所以能制作的最大零件的體積為.故選：A.7.在中，角的對邊分別為.若，，，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，在中，根據正弦定理得，所以.故選：B.8.甲、乙兩人參加“社會主義價值觀”知識競賽，甲、乙兩人的能榮獲一等獎的概率分別為和，甲、乙兩人是否獲得一等獎相互獨立，則這兩個人中恰有一人獲得一等獎的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設甲、乙獲一等獎的概率分別是，不獲一等獎的概率是，則這兩人中恰有一人獲獎的事件的概率為：.故選：D.9.設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的為（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗D〖解析〗對A，若，，則，故A錯；對B，若，，則有可能或，故B錯；對C，若，，則有可能或與相交，故C錯；對D，根據兩條平行線中的一條直線垂直一個平面，則另一條也垂直該平面，故D正確.故選：D.10.在中，，，.若，分別為邊，上的點，且滿足，，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，，，因為，，所以，，所以，因為，所以，函數開口向下，對稱軸為，當時，取最大值.故選：A.二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.11.若事件與互斥，且，，則______.〖答案〗0.8〖解析〗因為事件與互斥，且，，所以.故〖答案〗為：0.8.12.已知向量，，若存在實數，滿足，則實數的值為______.〖答案〗6〖解析〗因，所以，所以，得.故〖答案〗為：6.13.某工廠對一批產品的長度（單位：）進行檢驗，將抽查的產品所得數據分為五組，整理后得到的頻率分布直方圖如圖所示，若長度在以下的產品有30個，則長度在區間內的產品個數為______.〖答案〗55〖解析〗由頻率分布直方圖可知，長度在區間內的頻率為，長度在以下的頻率為，則長度在區間內的產品個數為.故〖答案〗為：55.14.在長方體中，若，是棱的中點，則直線與所成的角的大小為______.〖答案〗〖解析〗由題意，連接，作圖如下：在長方體中，顯然，則為直線與的夾角，由為的中點，且，則，即，故為等邊三角形，則.故〖答案〗為：.15.在中，，，.若，，且，則的值為______.〖答案〗2〖解析〗∵，，∴，，∵，∴，則，解得.故〖答案〗為：.三、解答題：本大題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.已知是虛數單位，復數，.（1）當時，求；（2）若是純虛數，求的值；（3）若在復平面內對應的點位于第二象限，求的取值范圍.解：（1）當時，，所以.（2）若復數是純虛數，則，解得，所以.（3）復數在復平面內對應的點位于第二象限，則，即，所以，實數的取值范圍是.17.甲、乙兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的成績（環數）如下：甲78795491074乙9578768677（1）求甲運動員的樣本數據的眾數和第85百分位數；（2）分別計算這兩位運動員射擊成績的方差；（3）如果選一位成績穩定的運動員參加比賽，選誰較好？說明理由.注：一組數據的平均數為，它的方差為.解：（1）根據題意可知，甲的數據里的眾數是7；把甲的數據按從小到大排列如下：445777899