第80講阿基米德三角形知識梳理如圖所示，為拋物線的弦，，，分別過作的拋物線的切線交于點，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊．1、阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸．2、若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內定點，則另一頂點的軌跡為一條直線．3、若直線與拋物線沒有公共點，以上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點．4、底邊長為的阿基米德三角形的面積的最大值為．5、若阿基米德三角形的底邊過焦點，則頂點的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積的最小值為．6、點的坐標為；7、底邊所在的直線方程為8、的面積為．9、若點的坐標為，則底邊的直線方程為．10、如圖1，若為拋物線弧上的動點，點處的切線與，分別交于點C，D，則.11、若為拋物線弧上的動點，拋物線在點處的切線與阿基米德三角形的邊，分別交于點C，D，則．12、拋物線和它的一條弦所圍成的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的．圖1必考題型全歸納題型一：定點問題例1．（2024·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知點，，動點滿足．記點的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）設為直線上的動點，過作的兩條切線，切點分別是，．證明：直線過定點．【解析】（1）設，則，，，，所以，可以化為，化簡得．所以，的方程為．（2）由題設可設，，，由題意知切線，的斜率都存在，由，得，則，所以，直線的方程為，即，①因為在上，所以，即，②將②代入①得，所以直線的方程為同理可得直線的方程為．因為在直線上，所以，又在直線上，所以，所以直線的方程為，故直線過定點．例2．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學校考模擬預測）已知動圓恒過定點，圓心到直線的距離為．(1)求點的軌跡的方程；(2)過直線上的動點作的兩條切線，切點分別為，證明：直線恒過定點．【解析】（1）設，則，因為，即，當，即時，則，整理得；當，即時，則，整理得，不成立；綜上所述：點的軌跡的方程.（2）由（1）可知：曲線：，即，則，設，可知切線的斜率為，所以切線：，則，整理得，同理由切線可得：，可知：為方程的兩根，則，可得直線的斜率，設的中點為，則，即，所以直線：，整理得，所以直線恒過定點.例3．（2024·全國·高二專題練習）已知平面曲線滿足：它上面任意一定到的距離比到直線的距離小1.(1)求曲線的方程；(2)為直線上的動點，過點作曲線的兩條切線，切點分別為，證明：直線過定點；(3)在（2）的條件下，以為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求四邊形的面積.【解析】（1）思路一：由題意知，曲線是一個以為焦點，以的拋物線，故的方程為：.思路二：設曲線上的點為，則，由題意易知，，整理得，.（2）設，則.又因為，所以.則切線的斜率為，故，整理得.設，同理得.都滿足直線方程.于是直線過點，而兩個不同的點確定一條直線，所以直線方程為，即，當時等式恒成立.所以直線恒過定點.（3）思路一：利用公共邊結合韋達定理求面積設的中點為，則，.由，得，將代入上式并整理得，因為，所以或.由（1）知，所以軸，則（設）.當時，，即；當時，，即.綜上，四邊形的面積為3或.思路二：利用弦長公式結合面積公式求面積設，由（1）知拋物線的焦點的坐標為，準線方程為.由拋物線的定義，得.線段的中點為.當時，軸，，；當時，，由，得，即.所以，直線的方程為.根據對稱性考慮點和直線的方程即可.到直線的距離為，到直線的距離為.所以.綜上，四邊形的面積為3或.思路三：結合拋物線的光學性質求面積圖5中，由拋物線的光學性質易得，又，所以.因為，所以≌，所以.同理≌，所以，即點為中點.圖6中已去掉坐標系和拋物線，并延長于點.因為，所以.又因為分別為的中點，所以，故為平行四邊形，從而.因為且，所以為的中點，從而..當直線平行于準線時，易得.綜上，四邊形的面積為3或.思路四：結合弦長公式和向量的運算求面積由（1）得直線的方程為.由，可得，于是設分別為點到直線的距離，則.因此，四邊形的面積.設為線段的中點，則，由于，而與向量平行，所以，解得或.當時，；當時因此，四邊形的面積為3或.變式1．（2024·陜西·校聯考三模）已知直線l與拋物線交于A，B兩點，且，，D為垂足，點D的坐標為．(1)求C的方程；(2)若點E是直線上的動點，過點E作拋物線C的兩條切線，，其中P，Q為切點，試證明直線恒過一定點，并求出該定點的坐標．【解析】（1）設點A的坐標為，點B的坐標為，因為，所以，則直線的方程為，聯立方程組，消去y，整理得，所以有，，又，得，整理得，解得．所以C的方程為．（2）由，得，所以，設過點E作拋物線C的切線的切點為，則相應的切線方程為，即，設點，由切線經過點E，得，即，設，，則，是的兩實數根，可得，．設M是的中點，則相應，則，即，又，直線的方程為，即，所以直線恒過定點．變式2．（2024·安徽·高二合肥市第八中學校聯考開學考試）拋物線的弦與在弦兩端點處的切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”．對于拋物線C：給出如下三個條件：①焦點為；②準線為；③與直線相交所得弦長為2．(1)從以上三個條件中選擇一個，求拋物線C的方程；(2)已知是（1）中拋物線的“阿基米德三角形”，點Q是拋物線C在弦AB兩端點處的兩條切線的交點，若點Q恰在此拋物線的準線上，試判斷直線AB是否過定點？如果是，求出定點坐標；如果不是，請說明理由．【解析】（1）C：即C：，其焦點坐標為，準線方程為，若選①，焦點為，則，得，所以拋物線的方程為；若選②，準線為，則，得，所以拋物線的方程為；若選③，與直線相交所得的弦為2，將代入方程中，得，即拋物線與直線相交所得的弦長為，解得，所以拋物線的方程為；（2）設，，，切線：，將其與C：聯立得，由得，故切線：，即；同理：又點滿足切線，的方程，即有故弦AB所在直線方程為，其過定點．變式3．（2024·湖北武漢·高二武漢市第四十九中學校考階段練習）已知拋物線（a是常數）過點，動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B．(1)求拋物線C的焦點坐標和準線方程；(2)當時，求直線AB的方程；(3)證明：直線AB過定點．【解析】（1）由點P代入得，所以C的焦點為，準線方程為；（2）設，此時，則，因為，所以切線DA的斜率，即，所以（1）同理可得（2）所以由（1）、（2）可得直線AB的方程為；法二：設其中一條切線的斜率為k（顯然存在），則切線方程為，由得，所以由得，不妨設，可解得所以AB的斜率，得直線AB的方程為即（3）由（2）知：，所以，同理可得，顯然直線AB經過定點．變式4．（2024·全國·高三專題練習）已知動點P在x軸及其上方，且點P到點的距離比到x軸的距離大1.（1）求點P的軌跡C的方程；（2）若點Q是直線上任意一點，過點Q作點P的軌跡C的兩切線QA?QB，其中A?B為切點，試證明直線AB恒過一定點，并求出該點的坐標.【解析】（1）設點，則，即化簡得∵∴.∴點的軌跡方程為.（2）對函數求導數.設切點，則過該切點的切線的斜率為，∴切線方程為.即，設點，由于切線經過點Q，∴設，則兩切線方程是，，所以過兩點的直線方程是，即∴當，時，方程恒成立.∴對任意實數t，直線恒過定點.題型二：交點的軌跡問題例4．（2024·全國·高三專題練習）已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．(1)求拋物線的方程；(2)設點，為直線上一動點，過點作拋物線的兩條切線，，其中，為切點，求直線的方程，并證明直線過定點；(3)過（2）中的點的直線交拋物線于，兩點，過點，分別作拋物線的切線，，求，交點滿足的軌跡方程．【解析】（1）設拋物線的方程為，∵拋物線的焦點到直線的距離為，∴，解得或（舍去，∴，，∴拋物線的方程為．（2）設，，設切點為，曲線，，則切線的斜率為，化簡得，設，，，則，是以上方程的兩根，則，，，直線的方程為：，整理得，∵切線的方程為，整理得，且點，在切線上，∴，即直線的方程為：，化簡得，又∵，∴，故直線過定點．（3）設，，，過的切線，過的切線，則交點，設過點的直線為，聯立，得，∴，，∴，∴．∴點滿足的軌跡方程為．例5．（2024·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為，過點作直線交拋物線于、兩點；橢圓的中心在原點，焦點在軸上，點是它的一個頂點，且其離心率．(1)求橢圓的方程；(2)經過、兩點分別作拋物線的切線、，切線與相交于點．證明：點定在直線上；(3)橢圓上是否存在一點，經過點作拋物線的兩條切線、、為切點），使得直線過點？若存在，求出切線、的方程；若不存在，試說明理由．【解析】（1）設橢圓的方程為，半焦距為．由已知有，，，，解得，．∴橢圓的方程為．（2）顯然直線的斜率存在，否則直線與拋物線只有一個交點，不合題意，故可設直線的方程為，,,，與拋物線方程聯立，消去，并整理得，，則．拋物線的方程為，求導得，過拋物線上，兩點的切線方程分別是，，即，解得兩條切線的交點的坐標為，，點在直線上.（3）假設存在點滿足題意，由（2）知：必在直線上，又直線與橢圓有唯一交點，故的坐標為,，設過且與拋物線相切的切線方程為，其中,為切點．令，得，，解得或，故不妨取,,，即直線過．綜上，橢圓上存在，經過作拋物線的兩條切線、、為切點），能使直線過．此時，兩切線的方程分別為和．例6．（2024·全國·高三專題練習）已知動點在軸上方，且到定點距離比到軸的距離大.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點的直線與曲線交于，兩點，點，分別異于原點，在曲線的，兩點處的切線分別為，，且與交于點，求證：在定直線上.【解析】（1）設，則有，化簡得，故軌跡的方程為.（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為，設直線的方程為與聯立得，設，，則，，又，所以，所以切線的方程為，即，同理切線的方程為聯立得，.兩式消去得，當時，，，所以交點的軌跡為直線，去掉點.因而交點在定直線上.變式5．（2024·全國·高三專題練習）已知動點P與定點的距離和它到定直線的距離之比為，記P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過點的直線與曲線C交于兩點，分別為曲線C與x軸的兩個交點，直線交于點N，求證:點N在定直線上．【解析】（1）設動點，∵動點P與定點的距離和它到定直線的距離之比為，∴，整理得，∴曲線C的方程為；（2）設，，，直線方程，與橢圓方程聯立，整理得：，，由韋達定理得：，化簡得：，由已知得,,則直線的方程為，直線的方程為，聯立直線和：，代入，、可得：，化簡可得：，所以N點在一條定直線上．變式6．（2024·全國·高三專題練習）已知點為拋物線的焦點，點、在拋物線上，且、、三點共線.若圓的直徑為.（1）求拋物線的標準方程；（2）過點的直線與拋物線交于點，，分別過、兩點作拋物線的切線，，證明直線，的交點在定直線上，并求出該直線.【解析】（1）由題可知中點為，設、到準線的距離分別為，.到準線的距離為，則，由拋物線定義得，，所以，所以，即.所以拋物線的標準方程為.（2）設，，由，得，則，所以直線的方程為，直線的方程為，聯立，方程得，即，的點坐標為.因為過焦點，由題可知直線的斜率存在，所以設直線方程為，與拋物線聯立得，所以，，所以直線，的交點在定直線上.變式7．（2024·全國·高三專題練習）下面是某同學在學段總結中對圓錐曲線切線問題的總結和探索，現邀請你一起合作學習，請你思考后，將答案補充完整．(1)圓上點處的切線方程為．理由如下：．(2)橢圓上一點處的切線方程為；(3)是橢圓外一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為A，B，如圖，則直線的方程是．這是因為在，兩點處，橢圓的切線方程為和．兩切線都過點，所以得到了和，由這兩個“同構方程”得到了直線的方程；(4)問題（3）中兩切線，斜率都存在時，設它們方程的統一表達式為，由，得，化簡得，得．若，則由這個方程可知點一定在一個圓上，這個圓的方程為．（5）拋物線上一點處的切線方程為；（6）拋物線，過焦點的直線與拋物線相交于A，B兩點，分別過點A，B作拋物線的兩條切線和，設，，則直線的方程為．直線的方程為，設和相交于點．則①點在以線段為直徑的圓上；②點在拋物線的準線上．【解析】（1）圓上點處的切線方程為．理由如下：①若切線的斜率存在，設切線的斜率為，則，所以，又過點，由點斜式可得，，化簡可得，，又，所以切線的方程為；②若切線的斜率不存在，則，此時切線方程為．綜上所述，圓上點處的切線方程為．（2）①當切線斜率存在時,設過點的切線方程為，聯立方程，得，，即，，又，把代入中，得，，化簡得.②當切線斜率不存在時，過的切線方程為，滿足上式.綜上，橢圓上一點的切線方程為：.（3）在，兩點處，橢圓的切線方程為和，因為兩切線都過點，所以得到了和，由這兩個“同構方程”得到了直線的方程為；（4）問題（3）中兩切線，斜率都存在時，設它們方程的統一表達式為，由，可得，由，可得，因為，則，所以式中關于的二次方程有兩個解，且其乘積為，則，可得，所以圓的半徑為2，且過原點，其方程為．題型三：切線垂直問題例7．（2024·全國·高三專題練習）已知拋物線的方程為，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為.（1）若點坐標為，求切線的方程；（2）若點是拋物線的準線上的任意一點，求證：切線和互相垂直.【解析】（1）由題意，開口向上的拋物線的切線斜率存在，設切線斜率為，點坐標為，過點的切線方程為，聯立方程，消去，得，由，解得，所以切線的方程分別為和，即切線方程分別為和；（2）設點坐標為，切線斜率為，過點的切線方程為，聯立方程，消去，得，由，得，記關于的一元二次方程的兩根為，則分別為切線的斜率，由根與系數的關系知，所以切線和互相垂直.例8．（2024·全國·高三專題練習）已知拋物線的方程為，點是拋物線的準線上的任意一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，點是的中點.（1）求證：切線和互相垂直；（2）求證：直線與軸平行；（3）求面積的最小值.【解析】（1）由題意，開口向上的拋物線的切線斜率存在.設點坐標為，切線斜率為，過點的切線方程為，聯立方程，，消去，得，由，得，記關于的一元二次方程的兩根為，則分別為切線的斜率，由根與系數的關系知，所以切線和互相垂直.（2）設點，由，知，則，所以過點的切線方程為，將點代入，化簡得，同理可得，所以是關于的方程的兩個根，由根與系數的關系知，所以，即中點的橫坐標為，而點的橫坐標也為，所以直線與軸平行.（3）點，則，則，由（2）知，，則，，，當時，面積的最小值為4.例9．（2024·全國·高三專題練習）已知中心在原點的橢圓和拋物線有相同的焦點，橢圓的離心率為，拋物線的頂點為原點.(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)設點為拋物線準線上的任意一點，過點作拋物線的兩條切線，，其中為切點.設直線，的斜率分別為，，求證：為定值.【解析】（1）設橢圓和拋物線的方程分別為，，，橢圓和拋物線有相同的焦點，橢圓的離心率為，，解得，，橢圓的方程為，拋物線的方程為．（2）由題意知過點與拋物線相切的直線斜率存在且不為0，設，則切線方程為，聯立，消去，得，由，得，直線，的斜率分別為，，，為定值．變式8．（2024·全國·高三專題練習）已知中心在原點的橢圓和拋物線有相同的焦點，橢圓過點，拋物線的頂點為原點．求橢圓和拋物線的方程；設點P為拋物線準線上的任意一點，過點P作拋物線的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點．設直線PA，PB的斜率分別為，，求證：為定值；若直線AB交橢圓于C，D兩點，，分別是，的面積，試問：是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，請說明理由．【解析】設橢圓和拋物線的方程分別為和，，中心在原點的橢圓和拋物線有相同的焦點，橢圓過點，拋物線的頂點為原點．，解得，，，橢圓的方程為，拋物線的方程為．證明：設，過點P與拋物線相切的直線方程為，由，消去x得，由得，，即，．設，由得，，則，，直線BA的方程為，即，直線AB過定點．以A為切點的切線方程為，即，同理以B為切點的切線方程為，兩條切線均過點，，則切點弦AB的方程為，即直線AB過定點設P到直線AB的距離為d，當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為，設，，，，由，得，時恒成立．．由，得，恒成立．．．當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為，此時，，，．綜上，有最小值．變式9．（2024·全國·高三專題練習）拋物級的焦點到直線的距離為2.（1）求拋物線的方程；（2）設直線交拋物線于，兩點，分別過，兩點作拋物線的兩條切線，兩切線的交點為，求證：.【解析】（1）由題意知：，則焦點到直線的距離為：，所以拋物線的方程為：；（2）證明：把直線代入消得：，又，利用韋達定理得，由題意設切線的斜率為，切線的斜率為，點坐標為，由（1）可得：，則，所以，則切線的方程為：，切線的方程為：，則，利用韋達定理化簡整理得：，把代入整理得：，則，，則變式10．（2024·河南駐馬店·校考模擬預測）已知拋物線：的焦點為，點在上，直線：與相離．若到直線的距離為，且的最小值為．過上兩點分別作的兩條切線，若這兩條切線的交點恰好在直線上．（1）求的方程；（2）設線段中點的縱坐標為，求證：當取得最小值時，．【解析】（1）由題意，得，且的最小值等于點到直線的距離，即，解得（負值舍去），∴拋物線的方程為．（2）由，得，故，設，，則切線方程分別為，，設兩切線的交點為，代入切線方程并整理可得：，，即，是方程的實數根．則，，則線段中點縱坐標為，∴當時，取最小值．此時，，，，，則．∴．解法二：（同解法一）∴當時，取最小值．此時，，由得，故，∴．題型四：面積問題例10．（2024·全國·高三專題練習）已知拋物線的方程為，點是拋物線上的一點，且到拋物線焦點的距離為2．（1）求拋物線的方程；（2）點為直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，求面積的最小值．【解析】本題考查直線與拋物線位置關系的應用．（1）設拋物線焦點為，由題意可得，故，∴拋物線的方程為．（2）設，由題可知切線的斜率存在且不為0，故可設切線方程為，．聯立，消去得．由直線與拋物線相切可得，∴，即．∴，解得，可得切點坐標為，故可設，．由，可得，，∴，∴為直角三角形，∴的面積．令切點到點的距離為，則，∴，，∴，當，即點的坐標為時，的面積取得最小值1．例11．（2024·全國·高三專題練習）已知拋物線上一點到其焦點的距離為．（1）求拋物線的方程；（2）如圖，過直線上一點作拋物線的兩條切線，，切點分別為，，且直線與軸交于點．設直線，與軸的交點分別為，，求四邊形面積的最小值．【解析】（1）由，得，所以拋物線的方程為．（2）設，，可知在點處的切線方程為：，即，同理，在點處的切線方程為：，可得，又兩切線均過點，所以，于是的方程為，所以點．將與聯立可得，則，，記四邊形面積為，則（當且僅當時，等號成立）所以．例12．（2024·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點到原點的距離等于直線的斜率.（1）求拋物線C的方程及準線方程；（2）點P是直線l上的動點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為A，B，求面積的最小值.【解析】（1）由題意，，即，可知拋物線方程為，其準線方程為.（2），則切線：，即；同理：.分別代入點可得，對比可知直線的方程為：.(即切點弦方程)聯解，可知，點到直線的距離為，因此，，而，故.當且僅當，即時，的最小值為.變式11．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知拋物線上的點R的橫坐標為1，焦點為F，且，過點作拋物線C的兩條切線，切點分別為A、B，D為線段PA上的動點，過D作拋物線的切線，切點為E（異于點A，B），且直線DE交線段PB于點H.(1)求拋物線C的方程；(2)（i）求證：為定值；（ii）設，的面積分別為，求的最小值.【解析】（1）拋物線的焦點，準線則，則，拋物線C的方程為（2）（i）設直線AP：由，可得則，解得則，解得不妨令直線AP：，直線BP：，則設，設直線由，可得由，可得或（舍）則，直線由，可得故，為定值.（ii）由（i）得，，則，故，令則當時，，單調遞減；當時，，單調遞增則，故的最小值為6.變式12．（2024·全國·高三專題練習）已知點A（﹣4，4）、B（4，4），直線AM與BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為﹣2，點M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的軌跡方程；（2）Q為直線y=﹣1上的動點，過Q作曲線C的切線，切點分別為D、E，求△QDE的面積S的最小值．【解析】（Ⅰ）設，由題意得，化簡可得曲線的方程為；（Ⅱ）設，切線方程為，與拋物線方程聯立互為，由于直線與拋物線相切可得，解得，可切點，由，利用韋達定理，得到，得到為直角三角形，得出三角形面積的表達式，即可求解三角形的最小值．試題解析：（1）設M（x，y），由題意可得：，化為x2=4y．∴曲線C的軌跡方程為x2=4y且（x≠±4）．（2）聯立，化為x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直線與拋物線相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切點（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1?k2=﹣1．∴切線QD⊥QE．∴△QDE為直角三角形，|QD|?|QE|．令切點（2k，k2）到Q的距離為d，則d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），∴|QD|=，|QE|=，∴（4+m2）=≥4，當m=0時，即Q（0，﹣1）時，△QDE的面積S取得最小值4．變式13．（2024·河南開封·河南省蘭考縣第一高級中學校考模擬預測）已知點，平面上的動點S到F的距離是S到直線的距離的倍，記點S的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過直線上的動點向曲線C作兩條切線，，交x軸于M，交y軸于N，交x軸于T，交y軸于Q，記的面積為，的面積為，求的最小值．【解析】（1）設是所求軌跡上的任意一點，由題意知動點到的距離是到直線的距離的倍，可得，整理得，即曲線C的方程為.（2）設直線的方程分別為，可得，所以，聯立方程組，整理得，則，整理得，所以，所以，所以，代入上式，可得，令，，當且僅當時，即時，即時，的最小值為.題型五：外接圓問題例13．（2024·全國·高三專題練習）已知P是拋物線C：的頂點，A，B是C上的兩個動點，且．（1）試判斷直線是否經過某一個定點？若是，求這個定點的坐標；若不是，說明理由；（2）設點M是的外接圓圓心，求點M的軌跡方程．【解析】（1）因為點是拋物線的頂點，所以點的坐標為，由題意，直線的斜率存在，設直線的方程為：，，，，，故，因為，則，又、是拋物線上的兩個動點，所以，，故，即，解得，由，消去可得，則有，所以，解得，所以直線的方程為，所以直線經過一個定點．（2）線段的中點坐標為，又直線的斜率為，所以線段的垂直平分線的方程為，①同理，線段的垂直平分線的方程為，②由①②解得，設點，則有，消去，得到，所以點的軌跡方程為．例14．（2024·高二單元測試）已知點是拋物線的頂點，，是上的兩個動點，且.（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設點是△的外接圓的圓心，點到軸的距離為，點，求的最大值.【解析】（1）設直線方程，根據題意可知直線斜率一定存在，則則由所以將代入上式化簡可得，所以則直線方程為，所以直線過定點，所以可知點不在直線上.（2）設線段的中點為線段的中點為則直線的斜率為，直線的斜率為可知線段的中垂線的方程為由，所以上式化簡為即線段的中垂線的方程為同理可得：線段的中垂線的方程為則由（1）可知：所以即，所以點軌跡方程為焦點為，所以當三點共線時，有最大所以例15．（2024·全國·高三專題練習）已知點是拋物線的頂點，，是上的兩個動點，且.（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設點是△的外接圓的圓心，求點的軌跡方程.【解析】(1)點在直線上.理由如下，由題意,拋物線的頂點為因為直線與拋物線有2個交點，所以設直線AB的方程為聯立得到，其中，所以，因為所以，所以，解得，經檢驗，滿足，所以直線AB的方程為，恒過定點.（2）因為點是的外接圓的圓心，所以點是三角形三條邊的中垂線的交點，設線段的中點為，線段的中點為為，因為，設，，，所以，，，，，，所以線段的中垂線的方程為：，因為在拋物線上，所以，的中垂線的方程為：，即，同理可得線段的中垂線的方程為：，聯立兩個方程，解得，由（1）可得，，所以，，即點，所以，即點的軌跡方程為：．題型六：最值問題例16．（2024·全國·高三專題練習）如圖已知是直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，與軸分別交于.（1）求證：直線過定點，并求出該定點；（2）設直線與軸相交于點，記兩點到直線的距離分別為；求當取最大值時的面積.【解析】（1）設過點與拋物線相切的直線方程為：，由，得，因為相切，所以，即得，設是該方程的兩根，由韋達定理得：，分別表示切線斜率的倒數，且每條切線對應一個切點，所以切點，所以，所以直線為：，得，直線方程為：，所以過定點.（2）由（1）知，由（1）知點坐標為，，所以直線方程為：，即：，所以，分居直線兩側可得，所以，∴∴當且僅當等號成立，又由，令得：，.例17．（2024·湖南·高三校聯考階段練習）在直角坐標系中，已知拋物線，為直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，當在軸上時，.(1)求拋物線的方程；(2)求點到直線距離的最大值.【解析】（1）當在軸上時，即，由題意不妨設則，設過點的切線方程為，與聯立得，由直線和拋物線相切可得，，所以由得，∴，，由可得，解得，∴拋物線的方程為；（2），∴，設，，則，又，所以即，同理可得，又為直線上的動點，設，則，，由兩點確定一條直線可得的方程為，即，∴直線恒過定點，∴點到直線距離的最大值為.例18．（2024·遼寧沈陽·校聯考二模）從拋物線的焦點發出的光經過拋物線反射后，光線都平行于拋物線的軸，根據光路的可逆性，平行于拋物線的軸射向拋物線后的反射光線都會匯聚到拋物線的焦點處，這一性質被廣泛應用在生產生活中．如圖，已知拋物線，從點發出的平行于y軸的光線照射到拋物線上的D點，經過拋物線兩次反射后，反射光線由G點射出，經過點．(1)求拋物線C的方程；(2)已知圓，在拋物線C上任取一點E，過點E向圓M作兩條切線EA和EB，切點分別為A、B，求的取值范圍．【解析】（1）由題設，令，，根據拋物線性質知：直線必過焦點，所以，則，整理得，，則，所以拋物線C的方程為.（2）由題意，，且，，，所以，而，令，則，所以，，綜上，，又，，若，則，由，當，即時，無最大值，所以，即，故，，令，則，令，在上恒成立，即遞減，所以.變式14．（2024·貴州·高三校聯考階段練習）已知拋物線上的點到其焦點的距離為.(1)求拋物線的方程；(2)已知點在直線：上，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，直線與直線交于點，過拋物線的焦點作直線的垂線交直線于點，當最小時，求的值.【解析】（1）因為點在拋物線上，可得，又因為點到其焦點的距離為，由拋物線的性質可得，解得，即拋物線的方程為.（2）由題意可設，且，，因為，所以，可得，所以，整理得，設點，同理可得，則直線方程為，令，可得，即點，因為直線與直線垂直，所以直線方程為，令，可得，即點，所以，當且僅當時，即時上式等號成立，即的最小值為，聯立方程組，整理得，所以，則所以.變式15．（2024·黑龍江大慶·高二大慶實驗中學校考階段練習）已知拋物線，點P為直線上的任意一點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為A，B，則點到直線AB的距離的最大值為（

）A．1 B．4 C．5 D．【答案】D【解析】設，切點，由題意知在點A處的切線斜率存在且不為0，設在點A處切線斜率為在點A處切線方程可設為由，可得由，可得則在點A處切線方程可化為，即由題意知在點B處的切線斜率存在且不為0，設在點B處切線斜率為在點B處切線方程可設為由，可得由，可得則在點B處切線方程可化為，即又兩條切線均過點P，則，則直線AB的方程為，即則直線AB恒過定點點到直線AB的距離的最大值即為點到的距離故點到直線AB的距離的最大值為.故選：D題型七：角度相等問題例19．設拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.（1）求△APB的重心G的軌跡方程.（2）證明∠PFA=∠PFB．【解析】（1）設切點，坐標分別為和，切線的方程為：；切線的方程為：；由于既在又在上，所以解得，所以的重心的坐標為，，所以，由點在直線上運動，從而得到重心的軌跡方程為：，即．（2）方法1：因為，，．由于點在拋物線外，則．，同理有，．方法2：①當時，由于，不妨設，則，所以P點坐標