考研數學二分類模擬題51解答題1.

設f(x)在[a，b]上連續且單調增加，證明：正確答案：[證明]方法一

令

因為f(x)在[a，b]上單調增加，所以

而

故

方法二

令

由得φ(b)≥φ(a)=0，所以

2.

設f(x)在(0，+∞)內連續且單調減少.證明：

正確答案：[證明]

當x∈[1，2]時，f(x)≤f(1)，兩邊積分得

同理相加得

當x∈[1，2]時，f(2)≤f(x)，兩邊積分得

同理

相加得

3.

設f(x)在[a，b]上連續且單調減少.證明：當0＜k＜1時，正確答案：[證明]方法一

其中ξ1∈[0，k]，ξ2∈[k，1]．因為0＜k＜1且f(x)單調減少，

所以故

方法二

當x∈[0，1]時，因為0＜k＜1，所以kx≤x，

又因為f(x)單調減少，所以f(kx)≥f(x)，兩邊積分得

故

4.

設f(x)在[0，1]上連續且|f'(x)|≤M.證明：正確答案：[證明]

因為

同理

于是

5.

設f(x)在[0，a]上一階連續可導，證明：正確答案：[證明]由微分中值定理得f(x)-f(0)=f'(ξ)x，其中ξ介于0與x之間，

因為f(0)=0，所以|f(x)|="f'(ξ)x|≤Mx，z∈[0，a]，

從而

6.

設f'(x)在[0，1]上連續，且f(1)-f(0)=1.證明：正確答案：[證明]由

得

7.

設f(x)在[a，b]上連續可導，且f(a)=0.證明：

正確答案：[證明]由f(a)=0，得由柯西不等式得

積分得

8.

設f(x)在[a，b]上連續可導，且f(a)=f(b)=0.證明：

正確答案：[證明]因為且f(a)=f(b)=0，所以

兩式相加得

9.

設f(x)在[a，b]上連續可導，證明：

正確答案：[證明]因為f(x)在[a，b]上連續，所以|f(x)|在[a，b]上連續，令

根據積分中值定理，其中ξ∈[a，b]．

由積分基本定理，取絕對值得

10.

設f(x)在[0，1]上二階可導，且f"(x)＜0.證明：正確答案：[證明]由泰勒公式，得，其中ξ介于與t之間，從而積分得

11.

設f(x)在區間[a，b]上二階可導且f"(x)≥0.證明：

正確答案：[證明]由泰勒公式得其中ξ介于x與之間，因為f"(x)≥0，所以有兩邊積分得

令

因為f"(x)≥0，所以f'(x)單調不減，于是φ'(x)≥0(a≤x≤b)，

由得φ(b)≥0，于是

故

12.

設f(x)∈C[0，1]，f(x)＞0.證明積分不等式：正確答案：[證明]令再令則有

兩邊積分，得

設直線y=ax與拋物線y=x2所圍成的圖形面積為S1，它們與直線x=1所圍成的圖形面積為S2，且a＜1.13.

確定a，使S1+S2達到最小，并求出最小值；正確答案：[解]直線y=ax與拋物線y=x2的交點為(0，0)，(a，a2).

當0＜a＜1時，

令得，因為所以時，S1+S2取到最小值，此時最小值為

當a≤0時，

因為所以S(a)單調減少，故a=0時S1+S2取最小值，而S(0)=因為所以當時，S1+S2最小．

14.

求該最小值所對應的平面圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積.正確答案：旋轉體的體積為

15.

求曲線y=3-|x2-1|與x軸圍成的封閉區域繞直線y=3旋轉所得的旋轉體的體積.正確答案：[解]顯然所給的函數為偶函數，只研究曲線的右半部分繞y=3旋轉所成的體積．

當x≥0時，對[x，x+dx][0，1]，

dV1=x{32-[3-(x2+2)]2)dx=π(2x2-x4+8)dx，

16.

求橢圓與橢圓所圍成的公共部分的面積.正確答案：[解]根據對稱性，所求面積為第一象限圍成面積的4倍，先求第一象限的面積．

令則

的極坐標形式為L1：

的極坐標形式為

令

則第一象限圍成的面積為

而

所以所求面積為

17.

計算正確答案：[解]令-sinx=u，則

18.

計算正確答案：[解]

19.

計算定積分正確答案：[解]方法一

令

方法二

令x=tant，則

20.

證明：，其中a＞0為常數.正確答案：[證明]因為

所以

21.

證明：當x≥0時，的最大值不超過正確答案：[證明]當x＞0時，令f'(x)=(x-x2)sin2nx=0得x=1，x-kπ(k=1，2，…)，當0＜x＜1時，f'(x)＞0；當x＞1時，f'(x)≤0(除x=kπ(k=1，2，…)外f'(x)＜0)，于是x=1為f(x)的最大值點，f(x)的最大值為f(1)．因為當x≥0時，sinx≤x，所以當x∈[0，1]時，(x-x2)sin2nx≤(x-x2)x2n=x2n+1-x2n+2，

于是

22.

設f(x)在[a，b]上連續，且對任意的t∈[0，1]及任意的x1，x2∈[a，b]滿足：

f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2).

證明：正確答案：[證明]因為

所以

又

所以

23.

設f(x)∈C[a，b]，在(a，b)內二階可導，且f"(x)≥0，φ(x)是區間[a，b]上的非負連續函數，且證明：正確答案：[證明]因為f"(x)≥0，所以有f(x)≥f(x0)+f'(x0)(x-x0)．

取因為φ(x)≥0，所以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x)，又于是有把中，再由φ(x)≥0，得

f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)+f'(x0)[xφ(x)-x0φ(x)]，

上述不等式兩邊再在區間[a，b]上積分，得

24.

令f(x)=x-[x]，求極限正確答案：[解]因為[x+m]=[x]+m(其中m為整數)，所以f(x)=x-[x]是以1為周期的函數，又[x]≤x，故f(x)≥0，且f(x)在[0，1]上的表達式為對充分大的x，存在自然數n，使得n≤x＜n+1，則

而同理

所以得

顯然當x→+∞3時，n→+∞，由夾逼定理得

25.

為清除井底污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥提出井口.設井深30m，抓斗自重400N，纜繩每米重50N，抓斗盛污泥2000N，提升速度為3m/s，在提升過程中，污泥以20N/s的速度從抓斗中漏掉.現將抓斗從井底提升到井口，問克服重力做功多少?正確答案：[解]設拉力對空斗所做的功為W1，則W1=400×3