考研數學二分類模擬210一、選擇題1.

具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三階常系數齊次線性微分方程是______A.y'''-y"-y'+y=0B.y'''+y"-y'-y=0（江南博哥）C.y'''-6y"+11y'-6y=0D.y'''-2y"-y'+2y=0正確答案：B[解析]由y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是所求方程的三個特解知，λ=-1，-1，1為所求三階常系數齊次微分方程的特征方程的三個根，則其特征方程為(λ-1)(λ+1)2=0，即λ3+λ2-λ-1=0，對

應的微分方程為y'''+y"-y'-y=0。故選B。

如果已知常系數齊次線性微分方程的通解，要反過來求微分方程，一般的思路是先得到方程的特征根，由特征根還原出特征方程，進而得到微分方程。

2.

在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3為任意常數)為通解的是______A.y'''+y"-4y'-4y=0B.y'''+y"+4y'+4y=0C.y'''-y"-4y'+4y=0D.y'''-y"+4y'-4y=0正確答案：D[解析]已知題設的微分方程通解中含有ex，cos2x，sin2x可知齊次線性方程所對應的特征方程的特征根為λ=1，λ=±2i，所以特征方程為

(λ-1)(λ-2i)(λ+2i)=0，

即

λ3-λ2+4λ-4=0。

因此根據微分方程和對應特征方程的關系，可知所求微分方程為

y'''-y"+4y'-4y=0，

故選D。

高階常系數齊次線性微分方程通解與特征根的關系，與二階常系數齊次線性微分方程是一樣的。

3.

函數y=C1ex+C2e-2x+xex滿足的一個微分方程是______A.y"-y'-2y=3xexB.y"-y'-2y=3exC.y"+y'-2y=3xexD.y"+y'-2y=3ex正確答案：D[解析]根據所給解的形式，可知原微分方程對應的齊次微分方程的特征根為

λ1=1，λ2=-2。

因此對應的齊次微分方程的特征方程為

λ2+λ-2=0。

故對應的齊次微分方程為y"+y'-2y=0。

又因為y*=xex為原微分方程的一個特解，而λ=1為特征根且為單根，故原非齊次線性微分方程右端的非齊次項形式為f(x)=Cex(C為常數)。

比較四個選項，故選D。

4.

若y=xex+x是微分方程y"-2y'+ay=bx+c的解，則______A.a=1，b=1，c=1B.a=1，b=1，c=-2C.a=-3，b=-3，c=0D.a=-3，b=1，c=1正確答案：B[解析]由于y=xex+x是方程y"-2y'+ay=bx+c的解，則xex是對應的齊次方程的解，其特征方程有二重根λ1=λ2=1，則a=1。x為非齊次方程的解，將y=x代入方程y"-2y'+y=bx+c，得b=1，c=-2。故選B。

5.

方程y"-3y'+2y=ex+1+excos2x的特解形式為______A.y=axex+b+Aexcos2xB.y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)C.y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)D.y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)正確答案：D[解析]齊次微分方程y"-3y'+2y=0的特征方程為

λ2-3λ+2=0，

特征根為λ1=1，λ2=2，則方程y"-3y'+2y=ex+1+excos2x的特解為

y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。

故選D。

6.

微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可設為______A.y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)B.y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)C.y*=ax2+bx+c+AsinxD.y*=ax2+bx+c+Acosx正確答案：A[解析]對應齊次方程y"+y=0的特征方程為

λ2+1=0，

特征根為

λ=±i，

對于方程y"+y=x2+1=e0(x2+1)，0不是特征根，從而其特解形式可設為

y1*=ax2+bx+c，

對于方程y"+y=sinx，i為特征根，從而其特解形式可設為

y2*=x(Asinx+Bcosx)，

因此y"+y=x2+1+sinx的特解形式可設為

y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)。

故選A。

非齊次線性微分方程y"+ay'+by=f(x)，(f(x)≠0)的特解形式是根據其對應的齊次線性微分方程的特征根決定的，如果f(x)是多項式，則根據特解的結構，結合解的疊加原理，將微分方程拆分成幾個單獨的方程，分別求特解再相加。

7.

微分方程y"-λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式為______A.a(eλx+e-λx)B.ax(eλx+e-λx)C.x(aeλx+be-λx)D.x2(aeλx+be-λx)正確答案：C[解析]原方程對應的齊次方程的特征方程為r2-λ2=0，其特征根為r1,2=±λ，所以y"-λ2y=eλx的特解為y1*=axeλx，y"-λ2y=e-λx的特解為y2*=bxe-λx，根據疊加原理可知原方程的特解形式為

y*=y1*+y2*=x(aeλx+be-λx)。

故選C。

二、填空題1.

微分方程滿足初始條件y|x=2=1的特解是______。正確答案：x=y2+y[解析]將x看作未知函數，則

上式為x對y的一階線性方程，又因y=1＞0，則

將x=2，y=1代入，得C=1。故x=y2+y。

2.

微分方程ydx+(x-3y2)dy=0，x＞0滿足條件y|x=1=1的特解為______。正確答案：x=y2[解析]對原微分方程變形可得

此方程為一階線性微分方程，所以

又y=1時x=1，解得C=0，因此x=y2。

3.

已知y1=e3x-xe2x，y2=ex-xe2x，y3=-xe2x是某二階常系數非齊次線性微分方程的3個解，則該方程的通解為______。正確答案：y=C1e3x+C2ex-xe2x[解析]顯然y1-y3=e3x和y2-y3=ex是對應的二階常系數齊次線性微分方程的兩個線性無關的解，且y*=-xe2x是非齊次微分方程的一個特解。

由解的結構定理，該方程的通解為

y=C1e3x+C2ex-xe2x。

4.

設y=ex(asinx+bcosx)(a，b為任意常數)為某二階常系數線性齊次微分方程的通解，則該方程為______。正確答案：y"-2y'+2y=0[解析]由通解的形式可知，特征方程的兩個根是λ1，λ2=1±i，因此特征方程為

(λ-λ1)(λ-λ2)=λ2-(λ1+λ2)λ+λ1λ2=λ2-2λ+2=0，

故所求微分方程為y"-2y'+2y=0。

5.

微分方程xy"+3y'=0的通解為______。正確答案：[解析]令p=y'，則原方程化為其通解為p=Cx-3。

因此

6.

微分方程的通解為______。正確答案：[解析]二階齊次微分方程的特征方程為

解方程得因此齊次方程的通解為

7.

微分方程y"+2y'+5y=0的通解為______。正確答案：y=e-x(C1cos2x+C2sin2x)[解析]由題干可知，方程y"+2y'+5y=0的特征方程為λ2+2λ+5=0。解得

則原方程的通解為y=e-x(C1cos2x+C2sin2x)。

8.

設函數y=y(x)是微分方程y"+y'-2y=0的解，且在x=0處y(x)取得極值3，則y(x)=______。正確答案：e-2x+2ex[解析]先求解特征方程λ2+λ-2=0，解得λ1=-2，λ2=1。所以原方程的通解為

y=C1e-2x+C2ex。

由題設可知y(0)=3，y'(0)=0。代入解得C1=1，C2=2，故y=e-2x+2ex。

9.

微分方程y"-2y'+2y=ex的通解為______。正確答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex[解析]對應的特征方程為

λ2-2λ+2=0，

解得其特征根為λ1,2=1±i。由于α=1不是特征根，可設原方程的特解為y*=Aex，代入原方程解得A=1。因此所求的通解為y=C1excosx+C2exsinx+ex。

10.

二階常系數非齊次線性方程y"-4y'+3y=2e2x的通解為y=______。正確答案：y=C1ex+C2e3x-2e2x[解析]特征方程為λ2-4λ+3=0，解得λ1=1，λ2=3。則對應齊次線性微分方程y"-4y'+3y=0的通解為y=C1ex+C2e3x。

設非齊次線性微分方程y"-4y'+3y=2e2x的特解為y*=ke2x，代入非齊次方程可得k=-2。

故通解為y=C1ex+C2e3x-2e2x。

11.

微分方程y"-3y'+2y=2ex滿足的特解為______。正確答案：y=-3ex+3e2x-2xex[解析]y"-3y'+2y=2ex對應的齊次方程的特征方程是λ2-3λ+2=0，它的兩個特征根分別是λ1=1，λ2=2。因此對應齊次方程的通解為y=C1ex+C2e2x。

又因為x=1是特征方程的單根，所以，設非齊次方程的特解為y*=Axex，則

(y*)'=Aex+Axex，

(y*)"=2Aex+Axex，

將其代入方程得A=-2。

因此，此非齊次線性微分方程的通解為

y=C1ex+C2e2x-2xex。

由所給題設條件可得y(0)=0，y'(0)=1，代入上式解得y=-3ex+3e2x-2xex。

12.

若二階常系數齊次線性微分方程y"+ay'+by=0的通解為y=(C1+C2x)ex，則非齊次方程y"+ay'+by=x滿足條件y(0)=2，y'(0)=0的特解為y=______。正確答案：x(1-ex)+2[解析]由常系數齊次線性微分方程y"+ay'+by=0的通解為y=(C1+C2x)ex可知y1=ex，y2=xex為它的兩個線性無關的解，代入齊次方程，有

y"1+ay'1+by1=(1+a+b)ex=01+a+b=0，

y"2+ay'2+by2=[2+a+(1+a+b)x]ex=02+a=0，

從而a=-2，b=1，故非齊次微分方程為y"+ay'+by=x。

設特解y*=Ax+B，代入非齊次微分方程，得-2A+Ax+B=x，即

所以特解為y*=x+2，非齊次方程的通解為y=(C1+C2x)ex+x+2。

把y(0)=2，y'(0)=0代入通解，得C1=0，C2=-1。故所求特解為

y=-xex+x+2=x(1-ex)+2。

13.

三階常系數齊次線性微分方程y'''-2y"+y'-2y=0的通解為y=______。正確答案：C1e2x+C2cosx+C3sinx[解析]微分方程對應的特征方程為

λ3-2λ2+λ-2=0。

解上述方程可得其特征值為2，±i，于是其中一組特解為e2x，cosx，sinx。

因此通解為y=C1e2x+C2cosx+C3sinx。

三、解答題1.

設位于第一象限的曲線y=f(x)過點其上任一點P(x，y)處的法線與y軸的交點為Q，且線段PQ被x軸平分。求曲線y=f(x)的方程。正確答案：解：曲線y=f(x)在點P(x，y)處的法線方程為

令X=0，則它與y軸的交點為由題意，此點與點P(x，y)所連的線段被x軸平分，由中點公式得即

2ydy+xdx=0，

上式兩端積分得

代入初始條件故曲線y=f(x)的方程為

2.

在xOy坐標平面上，連續曲線L過點M(1，0)，其上任意點P(x，y)(x≠0)處的切線斜率與直線OP的斜率之差等于ax(常數a＞0)。

(Ⅰ)求L的方程；

(Ⅱ)當L與直線y=ax所圍成平面圖形的面積為時，確定a的值。正確答案：解：(Ⅰ)設曲線L的方程為y=f(x)，則由題設可得

這是一階線性微分方程，其中

代入通解公式得

又f(1)=0，所以C=-a。

故曲線L的方程為

y=ax2-ax(x≠0)。

(Ⅱ)L與直線y=ax(a＞0)所圍成的平面圖形如圖所示。

所以

故a=2。

3.

已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二階微分方程(2x-1)y"-(2x+1)y'+2y=0的解，若u(-1)=e，u(0)=-1，求u(x)，并寫出該微分方程的通解。正確答案：解：由已知得

y'2=u'(x)ex+u(x)ex=[u'(x)+u(x)]ex，

y"2=ex[u"(x)+2u'(x)+u(x)]，

所以

(2x-1)ex[u"(x)+2u'(x)+u(x)]-(2x+1)[u'(x)+u(x)]ex+2u(x)ex=0，

化簡可得兩邊對x求積分得

即

u'=C1(2x-1)e-x。

上式兩端再次積分得

u(x)=C1∫(2x-1)e-xdx=C1(-2x-1)e-x+C2，

將u(-1)=e，u(0)=-1代入上式得C1=1，C2=0，故u(x)=-(2x+1)e-x。

因此，原方程的通解為

y(x)=D1y1(x)+D2y2(x)=D1ex-D2(2x+1)，

其中D1，D2為任意常數。

4.

設函數y(x)具有二階導數，且曲線l：y=y(x)與直線y=x相切于原點，記α為曲線l在點(x，y)處切線的傾角，若求y(x)的表達式。正確答案：解：由兩邊對x求導得即(1+y'2)y'=y"，因此可知

令y'=p，分離變量得

兩邊求積分得

代入y'(0)=1，得因此

即可得

由y(0)=0，且再次積分可得

5.

設y=y(x)是凸的連續曲線，其上任意一點(x，y)處的曲率為且此曲線上點(0，1)處的切線方程為y=x+1，求該曲線的方程，并求函數y=y(x)的極值。正確答案：解：由題設及曲率公式，有(因曲線y=y(x)是凸的，所以y"＜0，|y"|=-y")

化簡得兩端同時積分解得

arctany'=-x+C1。

(1)

由題設，曲線上點(0，1)處的切線方程為y=x+1，可知y(0)=1，y'(0)=1。

將x=0代入(1)式，得

由可得

對(2)式積分得

又由題設可知y(0)=1，代入上式得于是所求的曲線方程為

由于且lnx在定義域內是增函數，所以當且僅當時，即x=時，y取得最大值，由于所以此時y取極大值，極大值為顯然y在范圍內沒有極小值。[解析]本題選擇是因為已知曲線在x=0處有值，且曲線是一條連續曲線，因此該解的范圍應該包含x=0在內并且使y(x)連續的一個區間。

6.

設函數y(x)(x≥0)二階可導，且y'(x)＞0，y(0)=1。過曲線y=y(x)上任意一點P(x，y)作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S1，區間[0，x]上以y=y(x)為邊的曲邊梯形面積記為S2，并設2S1-S2恒為1，求曲線y=y(x)的方程。正確答案：解：設曲線y=y(x)上的點P(x，y)處的切線方程為

Y-y=y'(X-x)，

它與x軸的交點為

由于y'(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞1(x＞0)。于是

又可得

根據題設2S1-S2=1，有

并且y'(0)=1，兩邊對x求導并化簡得

yy"=(y')2，

這是可降階的二階常微分方程，令p(y)=y'，則上述方程可化為

分離變量得

從而有

y=C2eC1x。

根據y'(0)=1，y(0)=1，可得C1=1，C2=1。

故所求曲線的方程為y=ex。

7.

設y=f(x)是第一象限內連接點A(0，1)，B(1，0)的一段連續曲線，M(x，y)為該曲線上任意一點，點C為M在x軸上的投影，O為坐標原點。若梯形OCMA的面積與曲邊三角形CBM的面積之和為求f(x)的表達式。正確答案：解：由題意得

所以

兩邊對x求導

即有

1+f(x)+xf'(x)-2f(x)=x2。

當x≠0時，化簡得即

此方程為標準的一階線性非齊次微分方程，其通解為

曲線過點B(1，0)，代入上式，得C=-2。所以

f(x)=x2+1-2x=(x-1)2。

8.

設y(x)是區間內的可導函數，且y(1)=0，點P是曲線l：y(x)上的任意一點。l在P處的切線與y軸相交于點(0，Yp)，法線與x軸相交于點(Xp，0)，若Xp=Yp，求l上點的坐標(x，y)滿足的方程。正確答案：解：設點P處的切線為Y-y=y'(X-x)，則法線為

令X=0得Yp=y-y'x，令Y=0得Xp=x+yy'。

由Yp=Xp得，y-xy'=x+yy'，即那么

已知y(1)=0，所以C=0。

9.

如圖，C1和C2分別是和y=ex的圖像，過點(0，1)的曲線C3是一單調增函數的圖像。過C2上任一點M(x，y)分別作垂直于x軸和y軸的直線lx和ly。記C1，C2與lx所圍圖形的面積為S1(x)；C2，C3與ly所圍圖形的面積為S2(y)。如果總有S1(x)=S2(y)，求曲線C3的方程x=φ(y)。

正確答案：解：由已知條件

故有

而y=ex，于是

兩邊對y求導得

故所求的函數關系為

10.

已知高溫物體置于低溫介質中，任一時刻該物體溫度對時間的變化率與該時刻物體和介質的溫差成正比，現將一初始溫度為120℃的物體在20℃的恒溫介質中冷卻，30min后該物體的溫度降至30℃，若要將該物體的溫度繼續降至21℃，還需冷卻多長時間?正確答案：解：設t時刻，物體的溫度為f(t)，比例系數為k，由題設可知

f'(t)=k[f(t)-20]，

解得f(t)=20+Cekt，由題設可知初始條件為f(0)=120，f(30)=30，代入可得C=100，k=則解得t=60，60-30=30，故還需30min。

11.

設f(x)是區間[0，+∞)上具有連續導數的單調增加函數，且f(0)=1。對任意的t∈[0，+∞)，直線x=0，x=t，曲線y=f(x)以及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周得一旋轉體。若該旋轉體的側面積在數值上等于其體積的2倍，求函數f(x)的表達式。正確答案：解：旋轉體的體積公式

側面積公式

根據已知

上式兩端對t求導得

即

由分離變量法解得

將y(0)=1代入，得C=1，故

因此，所求函數為

[解析]微分方程常與微積分的幾何應用結合在一起考查，一般出題模式為給出某函數滿足的條件，例如給出過函數某點的切線或法線，曲線滿足的面積條件，旋轉體的側面積或體積等等，以此建立微分方程，解微分方程。

12.

有一平底容器，其內側壁是由曲線x=φ(y)(y