經濟數學基礎輔導第10講顧靜相2.4函數的微分教學要求

理解微分的概念；

了解可導、可微與連續之間的關系；

掌握微分的運算法則．微分的概念

若給定函數

y=f(x)在點

x處可導，根據導數定義有

．由定理1.2知，

，其中

是當

x0時的無窮小量，上式可寫作

．

（10.1）微分的概念

．

(10.1)(10.1)式表明函數的增量可以表示為兩項之和.第一項

是

x

的線性函數，第二項

x，當

x0時是比

x高階的無窮小量．因此，當

x很小時，我們稱第一項

為

y的線性主部，并叫做函數

f(x)的微分．微分的概念

定義2.3設函數

y=f(x)在點

x0

處有導數，則稱為y=f(x)在點

x0

處的微分，記作dy，即dy=f

(x0)

x，(10.2)此時，稱

在點

處是可微的．微分的概念

定義2.3設函數

y=f(x)在點

x0

處有導數，則稱為y=f(x)在點

x0

處的微分，記作dy，即dy=f

(x0)

x，(10.2)此時，稱

在點

處是可微的．

函數

y=f(x)在任意點

x的微分，叫做函數的微分，記作dy=f

(x)

x．(10.3)微分的概念

函數

y=f(x)在任意點

x的微分，叫做函數的微分，記作dy=f

(x)

x．(10.3)

如果將自變量

x當作自己的函數

y=x則有dx=dy=(x)

x=

x，說明自變量的微分dx就等于它的增量

，于是函數的微分可以寫成dy=f

(x)dx，(10.4)即

，(10.5)微分的概念也就是說，函數的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數的導數，因此，導數又叫微商．

如果將自變量

x當作自己的函數

y=x則有dx=dy=(x)

x=

x，說明自變量的微分dx就等于它的增量

，于是函數的微分可以寫成dy=f

(x)dx，(10.4)即

，(10.5)可導與可微的關系

如果函數

y=f(x)在點

x處可導，則

y=f(x)在點

x處可微；反之，如果

y=f(x)在點

x處可微，則

y=f(x)在點

x處可導．微分公式

求函數的微分只須求出函數的導數，然后再乘上自變量的dx即可．

由求導公式和求導運算法則，我們可以建立基本初等函數的微分公式和微分運算法則．微分公式

求函數的微分只須求出函數的導數，然后再乘上自變量的dx即可.

結合教材中的求導公式和運算法則，可以建立基本初等函數的微分公式和微分運算法則.2．

（

為任意實數）；3．

（a>0,a

1）；4．

；5．

（a>0,a

1）；?微分四則運算法則設

u(x)，v(x)都是可微函數，則1．

；2．

；

3．

；4．

．復合函數的微分法則

設

y=f(u)，u=

(x)，且函數

(x)

在點

x處可導，函數

f(u)在相應的點

u處可導，則以u

為中間變量的復合函數

y=f[

(x)]

的微分dy=f

(u)

(x)dx，(10.6)復合函數的微分法則

設

y=f(u)，u=

(x)，且函數

(x)

在點

x處可導，函數

f(u)在相應的點

u處可導，則以u

為中間變量的復合函數

y=f[

(x)]

的微分dy=f

(u)

(x)dx，(10.6)

由于

(x)dx=du，故

dy=f

(u)du，(10.7)注意到當

u是自變量時，函數

y=f(u)的微分dy也是(10.6)式的形式．

這一性質稱為微分形式不變性．函數的微分例1求下列函數的微分：（1）

；（２）

．

函數的微分例1求下列函數的微分：（1）

；（２）

．

解（1）因為

所以

．

導數乘法法則

函數的微分例1求下列函數的微分：（1）

；（２）

．

解（1）因為

（2）因為，

所以

．

所以

．

導數乘法法則

導數除法法則

函數的微分例2設，求dy．

函數的微分例2設，求dy．

解將

看作中間變量

u，用微分(導數)公式

求之，即

，函數的微分例2設，求dy．

解將

看作中間變量

u，用微分(導數)公式求之，即

，微分公式函數的微分例3求

在點

x=2處的微分．

函數的微分例3求

在點

x=2處的微分．

解將

看作中間變量

u，用微分(導數)公式求之．因為函數的微分例3求

在點

x=2處的微分．

解將

看作中間變量

u，用微分(導數)公式求之．因為再將1+x2看作一個中間變量，用微分四則運算法則和微分公式求之，即函數的微分例3求

在點

x=2處的微分．

解將

看作中間變量

u，用微分公式6求之．因為再將1+x2看作一個中間變量，用微分四則運算法則和微分公式求之，即所以當

x=2時，

．

函數的微分例4設

y=y(x)是由方程

所確定的隱函數，求dy．

函數的微分例4設

y=y(x)是由方程

所確定的隱函數，求dy．

解對方程兩端分別求微分，得

，