專題4.2向量四心及補充定理綜合歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01“奔馳定理” 1題型02極化恒等式 5題型03極化恒等式求最值范圍 7.題型04等和線題型：基礎 10題型05等和線題型：型 13題型06等和線題型：型 16題型07等和線題型：分數型 20題型08等和線題型：與數列 24題型09奔馳定理與重心型軌跡 27題型10三角形四心向量：內心 29題型11三角形四心向量：外心 32題型12三角形四心向量：重心 35題型13三角形四心向量：垂心 38題型14向量點域綜合 41高考練場 44題型01“奔馳定理”【解題攻略】奔馳定理：為內一點，，則.重要結論：，，.結論1：對于內的任意一點，若、、的面積分別為、、，則：.即三角形內共點向量的線性加權和為零，權系數分別為向量所對的三角形的面積.結論2：對于平面內的任意一點，若點在的外部，并且在的內部或其對頂角的內部所在區域時，則有.結論3：對于內的任意一點，若，則、、的面積之比為.即若三角形內共點向量的線性加權和為零，則各向量所對的三角形面積之比等于權系數之比.結論4：對于所在平面內不在三角形邊上的任一點，，則、、的面積分別為.即若三角形平面內共點向量的線性加權和為零，則各向量所對應的三角形面積之比等于權系數的絕對值之比.各向量所對應的三角形是指另外兩個向量所在的三角形.【典例1-1】（2022春·全國·高三模擬）奔馳定理：已知是內的一點，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.設為三角形內一點，且滿足：，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根據向量的基本運算得到，再結合“奔馳定理”即可求解結論．【詳解】解：為三角形內一點，且滿足，，．，故選：D．【典例1-2】已知點P為ABC內一點，，則△APB，△APC，△BPC的面積之比為（）A． B． C． D．四川省三臺中學2021-2022學年高三4月質量檢測數學試題【答案】D【分析】先將已知向量式化為兩個向量共線的形式，再利用平行四邊形法則及向量數乘運算的幾何意義，三角形面積公式確定面積之比【詳解】解：，，如圖：，，、、三點共線，且，為三角形的中位線，而，，的面積之比等于故選：．【變式1-1】如圖所示，設為所在平面內的一點，并且，則與的面積之比等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題，延長AP交BC于點D，利用共線定理，以及向量的運算求得向量的關系，可得與的比值，再利用面積中底面相同可得結果.【詳解】延長AP交BC于點D，因為A、P、D三點共線，所以，設代入可得即又因為，即，且。解得所以可得因為與有相同的底邊，所以面積之比就等于與之比所以與的面積之比為故選D【變式1-2】已知是等邊三角形，且,那么四邊形ABCD的面積為()A． B． C． D．【答案】A【分析】設AD的中點為E，以為鄰邊作平行四邊形AECB，畫出對應的圖形，利用E為中點，得到為平行四邊形，再根據可得四邊形為矩形，于是得到四邊形ABCD為直角梯形，進而可得所求的面積．【詳解】取AD的中點E，以為鄰邊作平行四邊形AECB，如圖所示，則有，又，∴，∴四邊形為平行四邊形，又BE為等邊的中線，∴，∴平行四邊形BCDE是矩形，∴四邊形ABCD是直角梯形．又，∴，∴四邊形ABCD的面積為．故選A．【變式1-3】是所在平面上的一點,滿足,若,則的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】A【解析】∵，∴，∴，且方向相同．∴，∴．選A．題型02極化恒等式【解題攻略】極化恒等式：a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]【典例1-1】（2023·江蘇·高三專題練習）向量的數量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一.即如圖所示：，我們稱為極化恒等式.在△中，是中點，，，則（

）A．32 B．-32 C．16 D．-16【答案】D【分析】由題設有，代入極化恒等式求即可.【詳解】由題設，，，.故選：D【典例1-2】如圖,在中,已知,點分別在邊上,且,若為的中點,則的值為________解：取的中點,連接,則,在中,,【變式1-1】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，AD＝2，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，AD邊上的中點，則eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))＝________．答案eq\f(3,2)；解析連結EG，FH，交于點O，則eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EO,\s\up6(→))2－eq\o(OH,\s\up6(→))2＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,4)，eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))＝eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\o(GO,\s\up6(→))2－eq\o(OH,\s\up6(→))2＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,4)，因此eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)．【變式1-2】（2023·福建泉州·泉州五中校考模擬預測）在中，，，點是線段上靠近點的三等分點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先用，兩個向量表示，然后根據數量積的運算即可得到.【詳解】

，，因，所以，又，所以，故選：B【變式1-3】（2023·安徽合肥·合肥市第七中學校考三模）以邊長為2的等邊三角形ABC每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知P為弧AC上的一點，且，則的值為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】如圖所示，以B為坐標原點，建立平面直角坐標系，利用向量數量積的坐標表示計算即可.【詳解】如圖所示，以B為坐標原點，直線BC為x軸，過點B且垂直于BC的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則，，由，得，所以，，所以．

故選：C.題型03極化恒等式求最值范圍【解題攻略】極化恒等式的模型：平行四邊形模式：如圖，平行四邊形ABCD，O是對角線交點．則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[|AC|2－|BD|2]．三角形模式：如圖，在△ABC中，設D為BC的中點，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|AD|2－|BD|2．（1）推導過程：由.三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問題都是用它解決．記憶規律：向量的數量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差．【典例1-1】如圖,在平面四邊形中,,則的最大值為____解：取的中點,連接,由,由四點共圓,且直徑為.則.所以.【典例1-2】已知點O為坐標原點，為圓的內接正三角形，則的最小值為_________．解：取的中點N，連結，取其中點D，如圖所示，則：．當正沿圓周運動時，點D在以M圓心，以為半徑的小圓上運動．由外接圓半徑為1，可求得，從而．所以的最小值是，故所求最小值為．【變式1-1】在銳角中，已知，則的取值范圍是____________．解析：考慮到題中的形式，學生一般是想通過極化恒等式進行處理．由題意，取的中點為M，立即可得等式，但要突破顯得困難重重．此題的突破關鍵在于“銳角”兩個字，銳角的極限狀態就是直角，要注意從特殊狀態來研究一般狀態，即化普通狀態為特殊狀態進行極限化處理．如圖，取的中點M，可得，應長度變化的極限位置是為直角三角形時的狀態，而成為直角的可能有兩種情況，即為直角和為直角．下面分兩種情況進行分析：過點C作，垂足為，此時；過點C作，垂足為C，此時，，因此，故取值范圍是．【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習）已知直線與圓相切于點，設直線與軸的交點為，點為圓上的動點，則的最大值為______．【答案】【解析】圓的圓心的為，因為直線與圓相切于點則所以得，所以，，所以直線方程為，圓的方程為，所以，，的中點，則因為，所以故，所以的最大值為故答案為：【變式1-3】半徑為4的圓上有三點，滿足，點是圓內一點，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖所示，設與交于點，由，得四邊形是菱形，且，則，，由圖知，，而，所以，同理，，而，所以，所以，因為點是圓內一點，則，所以，即的取值范圍為，.題型04等和線題型：基礎【解題攻略】等和線基礎：系數為1型形如，求值或者范圍，其中可以理解對應系數如，稱之為“和”系數為1.這種類型，可以直接利用“基底線”平移，做比值即可求得【典例1-1】.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P是以C為圓心且與BD相切的圓上，若，則的最大值為（）A.3B.C.D.2答案：A解：根據圖形可知，當點P在圓上運動到與A點距離最大時有最大值，此時，過A點作BD的垂線，如圖所示垂足分別為M、N，則【典例1-2】已知在內，且，，則____．【答案】【解析】【分析】首先根據題意，畫出相應的圖形，利用題中所給的條件，列出相應的等量關系式，根據平面向量基本定理，得到對應的結果.【詳解】如圖，設BO與AC相交于D，則由，可得，設CO與AB相交于E，則由，可得，因B,O,D三點共線，故存在實數m，使，因C,O,E三點共線，故存在實數n，使得，所以，解得，，所以，，故答案是：.【變式1-1】在△ABC中，∠BAC=，以AB為一邊向△ABC外作等邊三角形ABD，∠BCD=2∠ACD，則____________．【答案】【解析】【分析】以A為原點建立直角坐標系，則設，，，,則，根據三倍角公式建立方程可求出m,利用點的坐標運算求出即可.【詳解】如圖建系，設，則，根據三倍角公式，有，于是也即解得，于是從而.【變式1-2】已知在中，，，，P為BC上任意一點（含B，C），以P為圓心，1為半徑作圓，Q為圓上任意一點，設，則的最大值為A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖:設或的延長線交于D,過Q作//BC交AC或AC的延長線于,過圓上離BC最遠點作切線與AB的延長線交于,與AC的延長線交于,過A作,垂足為,然后根據向量知識將的最大值轉化為的最大值來求,【詳解】如圖:設或的延長線交于D,過Q作//BC交AC或AC的延長線于,過圓上離BC最遠點作切線與AB的延長線交于,與AC的延長線交于,過A作,垂足為,交BC于K，此時圓P的圓心為,BC=5,,,其中,又,所以,當Q在BC的下方時,;當Q在BC上時,,當Q在BC的上方時,,根據平面幾何知識,可知當Q為、D為K時，最大，所以x+y取最大，所以：x+y的最大值為：．故選：C．【變式1-3】如圖，A、B、C是圓O上的三點，CO的延長線與線段BA的延長線交于圓O外一點D，若，則λ+μ的取值范圍是A．(-∞,-1) B．(-1,0) C．(0,1) D．(1,+∞)【答案】B【解析】【分析】首先由C,O,D三點共線且點D在圓外可設，再由B,A,D三點共線且點D在圓外可得，然后結合三角形法則可得，進而可得，所以得到，從而，最后將其與已知向量式對比即可求出λ與μ，據此問題即可解答．【詳解】由點D是圓O外一點且C,O,D三點共線，可設，由B,A,D三點共線且點D在圓外可得，又，∴，∴，∴．又，∴，∴．故選B．題型05等和線題型：型【解題攻略】形如，求值或者范圍.一般動點多在圓上，則可以通過三角換元，構造三角函數輔助角形式求最值。可構建直角坐標系并設且()，應用平面向量線性關系的坐標表示求得關于參數的函數式求最值.【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）O是的外心，，，則（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】根據外心的性質，結合數量積運算求解，注意討論是否在上.【詳解】當在上，則為的中點，滿足，符合題意，∴，則；當不在上，取的中點，連接，則，則，同理可得：∵，，聯立可得，解得，故選：D.【典例1-2】在矩形ABCD中，，，P為矩形內一點，且若，則的最大值為A． B． C． D．【答案】B【分析】可根據條件畫出圖形，根據圖形設，且，則又可用表示為：所以根據平面向量基本定理得到：，所以，最大值為1，所以的最大值為．【詳解】如圖，設，，則：；又；；；的最大值為．故選B．【變式1-1】（2022春·江蘇無錫·高三江蘇省天一中學校考）在中，，，，為的外心，若，、，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圖形，先推導出，同理得出，由此得出關于實數、的方程組，解出這兩個未知數的值，即可求出的值.【詳解】如下圖所示，取線段的中點，連接，則且，，同理可得，，由，可得，即，解得，，因此，.故選：C.【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）已知正三角形的邊長為2，D是邊的中點，動點P滿足，且，其中，則的最大值為．【答案】/2.5【分析】構建以為原點，為x、y軸的直角坐標系，確定相關點坐標并設且()，由向量線性關系的坐標表示列方程得到關于的三角函數式，應用正弦型函數性質求最大值.【詳解】由題設，在以為圓心，1為半徑的圓上或圓內，構建以為原點，為x、y軸的直角坐標系，如下圖示：所以，，，令且()，所以，，，又，即，所以，而，則，故當時，有最大值.故答案為：題型06等和線題型：型【解題攻略】形如，求值或者范圍，有如下思維：如果動點P在圓上運動，可以通過圓的參數方程轉化為輔助角求解。可以借助等和線，找到=定值，然后代入消元求解單元變量范圍或最值【典例1-1】如圖，在直角梯形中，，∥，，，圖中圓弧所在圓的圓心為點C，半徑為，且點P在圖中陰影部分（包括邊界）運動．若，其中，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：以點為坐標原點，方向為軸，軸正方向建立直角坐標系，如圖所示，設點的坐標為，由意可知：，據此可得：，則：，目標函數：，其中為直線系的截距，當直線與圓相切時，目標函數取得最大值.當直線過點時，目標函數取得最小值，則的取值范圍是.本題選擇B選項.【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習）已知銳角滿足，且O為的外接圓圓心，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，將平方整理得，設，則有，再設，則有==，求解即可.【詳解】解：如圖所示：由正弦定理可得：，所以，在中，由余弦定理可得,又因為,所以.又因為，所以，即有：，即，所以，設，可得，又因為為銳角三角形，所以，所以，設，則有，所以==，所以故選：A.【變式1-1】（2022·四川·校聯考三模）在直角梯形中，，，，，分別為，的中點，以為圓心，為半徑的半圓分別交及其延長線于點，，點在上運動（如圖）.若，其中，，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【分析】根據直角坐標系，根據向量的坐標運算，即可表達出，進而用輔助角公式以及三角函數的性質即可求解.【詳解】分別以所在直線為軸，軸，方向為正方向建立直角坐標系，知,設，由得：，即,則，由可得：，則，故.則的取值范圍是

.故選：C【變式1-2】（2019·北京·首都師范大學附屬中學校考一模）在中，點滿足.若存在點，使得，且，則的取值范圍是．【答案】（﹣2，0）【分析】由，得，結合條件，得到m＝﹣3λ﹣1，n＝3λ﹣1，利用mn＞0．可求出實數λ的取值范圍，由此可計算出m﹣n的取值范圍．【詳解】由，可得，所以，，則m＝﹣3λ﹣1，n＝3λ﹣1，由于mn＞0，則（﹣3λ﹣1）（3λ﹣1）＞0，即（3λ+1）（3λ﹣1）＜0，解得，∵λ＞0，所以，，m﹣n＝（﹣3λ﹣1）﹣（3λ﹣1）＝﹣6λ∈（﹣2，0），故答案為（﹣2，0）【變式1-3】（2022秋·山東青島·高三統考）將兩個直角三角形如圖拼在一起，當點在線段上移動時，若，當取最大值時，的值是．【答案】【詳解】如圖所示：設且，由題意知，當取最大值時，點與點重合．中，由余弦定理求得又，故答案為題型07等和線題型：分數型【解題攻略】形如，求值或者范圍，一般情況下，則可以通過等和線或者，然后對采用均值不等式中的“1”的代換技巧。【典例1-1】（2021·遼寧大連·大連八中校考一模）在中，已知，，，為線段上的一點，且，則的最小值為A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，設，，，結合三角形的內角和及和角的正弦公式化簡可求，可得，再由已知條件求得，，，考慮建立以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立直角坐標系，根據已知條件結合向量的坐標運算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中，設，，，，即，即，，，，，，，，即，又，，，則，所以，，解得，.以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、、，為線段上的一點，則存在實數使得，，設，，則，，，，，消去得，，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：A.【典例1-2】（2023春·江蘇南通·高三江蘇省南通中學校考階段練習）在中，已知，，，為線段上的一點，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由sinB=cosA?sinC化簡可求cosC=0即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考慮建立直角坐標系，由P為線段AB上的一點，則存在實數λ使得,由，為單位向量，可得，，可得,可得，則由，利用基本不等式求解最小值．【詳解】中設，，，，即，，，，，，，，，根據直角三角形可得，，，，，以所在的直線為x軸，以所在的直線為y軸建立直角坐標系可得，，，P為直線上的一點，則存在實數使得,設，，則，，,,，則,,故所求的最小值為,故選：D.【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習）在平行四邊形ABCD中，點E在邊AB上，且，點F為線段BD上的一動點（包含端點），若，則的取值范圍為．【答案】【分析】由向量加法法則可得，根據F為線段BD上的一動點（包含端點）有且、，構造并利用導數研究單調性，進而確定值域，即可得結果.【詳解】由，所以且，結合目標式有，，，，（舍），故在、上遞減，在上遞增，當時，當時，所以．故答案為：【變式1-2】（2023春·內蒙古烏蘭察布·高三校考）已知是正實數，的三邊長為，點是邊(與點不重合)上任一點，且．若不等式恒成立，則實數的取值范圍是．【答案】【分析】建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算得到x、y的關系式，再由題給條件得到關于m的不等式，利用均值定理即可得到實數的取值范圍.【詳解】以C為原點分別以CB、CA為x、y軸建立平面直角坐標系如圖：則，則則，又點P在直線：上，則有，即由恒成立，可得恒成立，由，可得則（當且僅當時等號成立）又，，則則，則，則，則實數的取值范圍是故答案為：【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習）已知為等邊三角形，點G是的重心．過點G的直線l與線段AB交于點D，與線段AC交于點E．設，，則；與周長之比的取值范圍為．【答案】3【分析】連接AG并延長，交BC于F，可得，變形可得，根據D、G、E三點共線，即可得答案；設的邊長為1，設與周長之比，可得，根據余弦定理，可求得表達式，代入可得，根據的范圍，可得的范圍，利用導數，結合的范圍，即可得答案.【詳解】連接AG并延長，交BC于F，如圖所示由題意得，F為BC中點，所以，又G為重心，所以，所以，即，因為D、G、E三點共線，所以，即.設的邊長為1，設與周長之比，則，在中，由余弦定理得，所以，即，所以，由（1）可得，即代入上式，可得由題意得，所以，又，所以，又，所以，因為，所以，令，則，令，則，所以在上為增函數，所以，所以與周長之比的取值范圍為題型08等和線題型：與數列【典例1-1】（2022·全國·高三專題練習）如圖，平面四邊形中，點D為動點，的面積是面積的3倍，數列滿足，，當時，恒有，則數列的前6項和為（

）．A．2020 B．1818 C．911 D．912【答案】D【分析】連接交于點，根據，得，則，再根據，設，，，轉化為，根據與不共線，得到，即，變形為，由等比數列的定義得到是等比數列，得到通項公式，再用累加法得到，然后用分組求和法求解.【詳解】如圖，連接交于點，由，得，，設，，，，又與不共線，所以，則，即，所以，所以，即，所以是以2為首項，4為公比的等比數列，所以，由，，…，，累加得，所以，所以．故選：D．【典例1-2】（2022秋·安徽合肥·高三階段練習）如圖，點為的邊上一點，，為邊上的一列點，滿足，若，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據向量的運算、共線向量的表示和等差數列的判定得出數列和的關系.【詳解】因為，所以，所以，因為，且，所以，得，所以，又，所以數列表示首項為，公差為的等差數列，所以.故選：B.【變式1-1】．（2022秋·河北石家莊·高三正定中學階段練習）如圖，已知點為的邊上一點，，為邊上的一列點，滿足，其中實數列中，，，則A．46 B．30 C．242 D．161【答案】D【詳解】因為，所以，設，，又因為，，

以，又，所以數列表示首項為，公比為的等比數列，所以，,故選D．【變式1-2】（2023秋·遼寧沈陽·高三新民市高級中學校考階段練習）已知四邊形ABCD，為邊BC邊上一點，連接交BD于，點滿足，其中是首項為1的正項數列，，則的前n項.

【答案】【分析】由結合共線向量定理的推論可得，則可求得，再由可得，從而得，則得，然后利用分組求和法可求得結果.【詳解】因為，所以，因為三點共線，所以，所以，因為，所以是以4為首項，2為公比的等比數列，所以，所以，因為，所以，所以，因為，所以因為，所以，所以，故答案為：題型09奔馳定理與重心型軌跡【解題攻略】向量型求動點軌跡：利用向量幾何意義與坐標運算，尋找轉化為坐標。①直接法，設出動點的坐標，根據題意列出關于的等式即可；②定義法，根據題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數法，把分別用第三個變量表示，消去參數即可；④逆代法，將代入.【典例1-1】（2024·全國·高三專題練習）已知是平面上的4個定點，不共線，若點滿足，其中，則點的軌跡一定經過的（

）A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心【答案】A【分析】設邊的中點為，則，進而結合題意得，再根據向量共線判斷即可.【詳解】解：根據題意，設邊的中點為，則，因為點滿足，其中所以，，即，所以，點的軌跡為的中線，所以，點的軌跡一定經過的重心.故選：A【典例1-2】（2022春·重慶·高三統考）已知是三角形所在平面內一定點，動點滿足，則點軌跡一定通過三角形的A．重心 B．外心 C．垂心 D．內心【答案】A【分析】作，根據，結合求解.【詳解】如圖所示：作，因為，所以，由加法法則知，在三角形的中線上，所以動點P的軌跡一定經過的重心，故選：A．【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習）已知A，B，C是平面上不共線的三點，O為坐標原點，動點P滿足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，則點P的軌跡一定經過（

）A．△ABC的內心 B．△ABC的垂心C．△ABC的重心 D．AB邊的外心【答案】C【分析】根據向量的加法的平行四邊形法則向量的運算法則，對條件進行化簡，得到，根據三點共線的充要條件知道、、三點共線，從而得到點的軌跡一定經過的重心．【詳解】取AB的中點D，則2＝＋，∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋，而＋＝1，∴P，C，D三點共線，∴點P的軌跡一定經過△ABC的重心.故選：C【變式1-2】（2023春·全國·高三專題練習）已知，，是不在同一直線上的三個點，是平面內一動點，若，，則點的軌跡一定過的（

）A．外心 B．重心 C．垂心 D．內心【答案】B【分析】設出的中點，利用向量的運算法則化簡；據向量共線的充要條件得到在三角形的中線上，利用三角形的重心定義：三中線的交點，得到選項【詳解】解：如圖，取的中點，連接，則．又，，即．又，點在射線上．故的軌跡過的重心．故選：B．.題型10三角形四心向量：內心【解題攻略】四心的向量統一形式：設是內一點且；若為內心，則；【典例1-1】（2020春·山西運城·高三臨猗縣臨晉中學校考開學考試）為所在平面上動點，點滿足,,則射線過的A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】將變形為，因為和的模長都是1，根據平行四邊形法則可得，過三角形的內心.【詳解】因為和分別是和的單位向量所以是以和為鄰邊的平行四邊形的角平分線對應的向量。所以的方向與的角平分線重合即射線過的內心。故選B【典例1-2】（2022秋·重慶·高三重慶一中校考）已知為的內心，，若，則的最大值為A． B． C． D．【答案】D【詳解】點O是平面ABC上任意一點，點I是△ABC內心的充要條件是：其中BC=a、AC=b、AB=c，將O點取作A點帶入得到，故由余弦定理得到，又因為，最終求得，故．故答案選D.【變式1-1】（2021春·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學校考階段練習）已知，，，，則下列結論錯誤的是（

）A．若是的重心，則 B．若是的內心，則C．若是的垂心，則 D．若是的外心，則【答案】B【分析】根據三角形各心的性質求出對應的之間的比值，即可得出答案.【詳解】如圖，設，直線與直線交于點，因為，所以，則，即，過作分別平行于，則，而，，由平行線分線段成比例得，同理，所以；若是的重心，則為的中點，所以，故A正確；若是的內心，則直線平分，而，，所以分的比，故B不正確；若是的垂心，如圖，則點與點重合，則，故C正確；若是的外心，因為，所以線段AB的中垂線的斜率為，且AB的中點為，所以線段AB的中垂線的方程為，即，又線段BC的中垂線為，聯立，解得，所以，，由于，，所以，則，故D正確，故選：B.【變式1-2】（2024·全國·高三專題練習）設為的內心，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中點，連，則為內切圓的半徑，利用面積關系求出，得，再根據得，由平面向量基本定理求出可得答案.【詳解】取的中點，連，因為，，所以，，所以的內心在線段上，為內切圓的半徑，因為，所以，所以，得，所以，所以，又，所以，又已知，所以，所以.

故選：B.【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）在中，若，則點是的（

）A．重心 B．內心 C．垂心 D．外心【答案】B【分析】根據“奔馳定理”列方程，整理后判斷出是的內心.【詳解】過點分別作，，的垂線，，，其垂足依次為，如圖所示，由于，根據奔馳定理就有：，即，因此，故點是的內心，B選項正確.故選：B

題型11三角形四心向量：外心【解題攻略】設是內一點且；若為外心，則；【典例1-1】（2021春·湖北武漢·高三統考）中，，點為的外心，若，則實數．【答案】/【分析】利用余弦定理可求出角的余弦值，再利用向量的投影求出和的值，從而對兩邊同時點乘，得到關于的方程組，從而得解.【詳解】記的中點分別為，連接，如圖，

則，因為在中，，由余弦定理，得，所以，，，因為，所以，所以，解得，所以.故答案為：.【典例1-2】（2023春·廣東珠海·高三統考）在中，，，為的外心，，，分別為，，的中點，且，則.【答案】【分析】先求出，由，，兩邊平方，結合及數量積的定義直接求解.【詳解】如圖，設的外接圓半徑為，由正弦定理，則，又因為，，分別為，，的中點，所以，，，三式平方相加可得，又因為，代入得結果為.故答案為：.【變式1-1】（2023春·湖北武漢·高三校聯考階段練習）設的外心為，且滿足，，則的面積為.【答案】/【分析】設的外接圓的半徑為，根據平面向量的數量積的運算法則，求出兩向量的夾角，判定為等腰三角形，由此求得的面積.【詳解】設的外接圓的半徑為，因為，所以，即，解得，又因為，可得，又由，可得,解得，因為，可得，同理可得，由圓的性質知，，所以為等腰三角形，因為，所以為等腰直角三角形，所以，所以的面積為.故答案為：.

【變式1-2】（2023春·山東青島·高三統考）記的三個內角的對邊分別為，，，且，，若是的外心，則．【答案】【分析】作于，于，根據向量數量積的幾何意義，，即可得到答案.【詳解】如圖：

作于，于，∵圓中，，∴，因此，同理可得，∴.故答案為:.【變式1-3】（2023春·廣東汕頭·高三金山中學校考已知為的外心，若，則最小值.【答案】【分析】利用外心的性質，向量的數量積運算得到，再利用余弦定理求出，利用基本不等式求最值.【詳解】∵為的外心，若，∴,∴，∴,即，即，∴,當且僅當時取等號，∴的最小值為.故答案為:.

題型12三角形四心向量：重心【解題攻略】重心四心的向量統一形式：設是內一點且；若為重心，則；解決該類問題常用如下方法：（1）根據條件，利用正、余弦定理直接解三角形；（2）利用向量，結合向量的數量積進行求解；（3）建立直角坐標系，利用坐標進行求解.【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O為△ABC的外心，G為△ABC的重心，則OG的最小值為A．1 B． C．1 D．【答案】D【分析】首先根據條件解△ABC可得：C和△ABC外接圓的半徑R，由此建立直角坐標系，可得：.A（，0），B（，0），外心O為（0，），重心G.從而求得|OG|2sinθ，即可得解.【詳解】A=5sin（B），c=5，∴acsin（B），由正弦定理可得：sinAsinC（sinB+cosB），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinCcosB，化為：sinBcosC=sinCsinB，sinB0，∴cosC=sinC，即tanC=1，C∈（0，π）.∴C.∴△ABC外接圓的半徑R.如圖所示，建立直角坐標系.A（，0），B（，0），O（0，）.△ABC外接圓的方程為：x2.設C（cosθ，sinθ）.θ∈（0，π）則G.|OG|2sinθ，∴|OG|的最小值為：.故選：D.【典例1-2】（2022春·陜西西安·高三長安一中校考階段練習）已知點為的重心，，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由三角形重心的性質可得，，由向量數量積的定義可求得，然后根據向量數量積的性質可得|，結合基本不等式可求的最小值.【詳解】如圖所示，設的中點為，由三角形重心性質可得，又為中點，，，則.又，，由向量的數量積定義可得，，.，當且僅當時等號成立，即的最小值.故選：C.【變式1-1】（2020春·天津·高三天津市濱海新區塘沽第一中學校考階段練習）已知中，為的重心，則A． B． C． D．【答案】A【分析】由題，先用余弦定理求得，再用向量表示出，然后代入用向量的數量積公式進行計算即可求得結果.【詳解】因為中，為的重心，所以，由余弦定理可得：且所以=【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）過的重心作直線，已知與、的交點分別為、，，若，則實數的值為A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】利用面積之比，轉化為的方程，解方程即可.【詳解】設,因為G為的重心，所以,即.由于三點共線，所以，即.因為，，所以，即有，解之得或.故選B.【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習）已知點是的重心，，若，，則的最小值是A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意將原問題轉化為均值不等式求最值的問題，據此求解的最小值即可.【詳解】如圖所示，由向量加法的三角形法則及三角形重心的性質可得,，根據向量的數量積的定義可得,設，則，，當且僅當，即，△ABC是等腰三角形時等號成立.綜上可得的最小值是.本題選擇C選項.題型13三角形四心向量：垂心【解題攻略】四心的向量統一形式：設是內一點且；若為垂心，則.【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）奔馳定理：已知是內的一點，若、、的面積分別記為、、，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】由O是垂心，可得，結合可得，根據三角形內角和為π，結合正切的和差角公式即可求解.【詳解】∵是的垂心，延長交與點，∴，同理可得，∴：，又，∴，又，∴，不妨設，其中，∵，∴，解得或，當時，此時，則都是鈍角，則，矛盾.故，則，∴是銳角，，于是，解得.故選：A.【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習）已知點是所在平面內一點，且滿足，則直線必經過的A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】兩邊同乘以向量，利用向量的數量積運算可求得從而得到結論．【詳解】兩邊同乘以向量,得。。即點P在BC邊的高線上，所以P的軌跡過△ABC的垂心，故選D.【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習）設為的外心，若，則點是的（

）A．重心 B．內心 C．垂心 D．外心【答案】C【分析】取BC的中點D，連接OD，AM，BM，CM，由，結合，得到，從而，再由為的外心，得到即可.【詳解】解：取BC的中點D，如圖所示，連接OD，AM，BM，CM．因為，所以，又，則，所以，又由于為的外心，所以，因此有．同理可得，，所以點是的垂心．故選：C．【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）已知H為的垂心，若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】，，利用、得，，解得，再利用平方共線可得答案.【詳解】依題意，，同理．由H為△ABC的垂心，得，即，可知，即．同理有，即，可知，即，解得，，又，所以．故選：C．【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習）在中，D為邊BC上的一點，H為的垂心，，則（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】C【分析】令BC，AB邊上的高分別為AE，CF，利用向量共線及向量數量積可得，再借助面積法及正弦定理計算可得即可得解.【詳解】設BC，AB邊上的高分別為AE，CF，則AE與CF交點為H，如圖，由B，C，D三點共線可得：，于是有，則，在中，，則，在中，由正弦定理得，則，在中，由正弦定理有，于是得，因此，，所以2021故選：C題型14向量點域綜合【典例1-1】如圖，在中，點是線段及、的延長線所圍成的陰影區域內（含邊界）的任意一點，且，則在直角坐標平面上，實數對所表示的區域在直線的右下側部分的面積是A． B．C．4 D．5【答案】B【詳解】試題分析：如圖,過作,,因此面積為,故選B.【典例1-2】如圖，A、B分別是射線上的兩點，給出下列向量：①;②；③；④；⑤這些向量中以O為起點，終點落在陰影區域內的是________（填序號）．【答案】①③【分析】設，證明當點P落在陰影區域內時，滿足：且，對照各個條件一一驗證即可.【詳解】設.當點P在線段AB上時，過點P分別作PE∥OA，PF∥OB分別交OB、OA于點E、F.則。同理可得：當點P落在陰影區域除了線段AB上時，.因此當點P落在陰影區域內時，滿足：且.據此可知:只有①③滿足條件.故答案為：①③【變式1-1】如圖，在平面直角坐標系中，原點為正八邊形的中心，軸，若坐標軸上的點（異于點）滿足（其中，且、），則滿足以上條件的點的個數為（）A． B． C． D．山東省濱州市2019—2020學年下學期高三年級期末考試數學試題【答案】D【分析】分點在、軸進行分類討論，可得出點、關于坐標軸對稱，由此可得出點的個數.【詳解】分以下兩種情況討論：①若點在軸上，則、關于軸對稱，由圖可知，與、與、與、與關于軸對稱，此時，符合條件的點有個；②若點在軸上，則、關于軸對稱，由圖可知，與、與、與、與關于軸對稱，此時，符合條件的點有個.綜上所述，滿足題中條件的點的個數為.故選：D.【變式1-2】如圖，OM//AB，點P在由射線OM、線段OB及AB的延長線組成的區域內（不含邊界）運動，且，當時，y的取值范圍是________【答案】【分析】根據向量加法的平行四邊形法則，為平行四邊形的對角線，該四邊形應是以和的反向延長線為兩鄰邊，得到的取值范圍，當時，要使點落在指定區域內，即點應落在上，得到的范圍．【詳解】解：如圖，，點在由射線，線段及的延長線圍成的區域內（不含邊界）運動，且，由向量加法的平行四邊形法則，為平行四邊形的對角線，該四邊形應是以和的反向延長線為兩鄰邊，的取值范圍是；當時，要使點落在指定區域內，即點應落在上，，，的取值范圍是，．故答案為：，【變式1-3】在中，，，D是內切圓圓心，設P是外的三角形區域內的動點，若，則點所在區域的面積為______.江蘇省鹽城市東臺創新高級中學2019-2020學年高三上學期11月檢測數學試題【答案】【分析】建立平面直角坐標系，求出內切圓半徑，求出點所在區域面積，利用與點坐標間的關系可求得所要求的面積【詳解】以為原點，為軸，為軸建立如圖所求的平面直角坐標系，∵，，∴，∴內切圓的半徑為，則圓外的外部的面積為，，∴點所在區域面積為，而點所在區域面積為點所在區域面積的，面積為．故答案為：．高考練場1.已知等邊邊長為4，為其內一點，且，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴．如圖所示，延長到點，使得，分別以為鄰邊作平行四邊形，則，又，可得，∴，∴，∴，故選B.2.如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點．eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值為________．答案eq\f(7,8)；解析極化恒等式法設BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，則AD＝3n．根據向量的極化恒等式，有eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝9n2－m2＝4，eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝n2－m2＝－1．聯立解得n2＝eq\f(5,8)，m2＝eq\f(13,8)．因此eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝4n2－m2＝eq\f(7,8)．即eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(7,8)．3.設點P為正三角形△ABC的邊BC上的一個動點，當取得最小值時，sin∠PAC的值為____．【答案】【解析】取邊的中點為，連接線段，設正三角形的邊長為由極化恒等式可得：，則當取最小值時，也取最小值，又，此時，點在上靠近的四等分點，在中，余弦定理可得，由正弦定理可得：4.如圖所示，矩形ABCD的邊AB=4，AD=2，以點C為圓心，CB為半徑的圓與CD交于點E，若點P是圓弧(含端點B、E)上的一點，則的取值范圍是.【答案】【解析】取AB的中點設為O，則，當O、P、C共線時，PO取得最小值為；當P與B（或E）重合時，PO取得最大值為PO=2，所以的取值范圍是.5.直角梯形中，，，是邊長為的正三角形，是平面上的動點，，設（，），則的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】【詳解】以為原點，為軸，所在直線為軸，建立直角坐標系，可設，因為，所以，，即的最大值為故答案為.6.（2020·江蘇南通·江蘇省如皋中學校考模擬預測）已知為銳角三角形的外心，若，，則的最大值.【答案】【分析】設外接圓的半徑為，,求出，，在兩別分別乘以，可表示出，利用基本不