§8.8立體幾何中的向量方法(二)——求空間角和距離1．兩條異面直線所成角的求法設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則【思考辨析】判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角．(

)(2)兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角．(

)【答案】

(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

3．(2018·鄭州模擬)如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為(

)題型一求異面直線所成的角【例1】

如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一側的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)證明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值．【解析】

(1)證明

如圖所示，連接BD，設BD∩AC＝G，連接EG，FG，EF.【思維升華】

用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標系；(2)確定異面直線上兩個點的坐標，從而確定異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值．跟蹤訓練1

如圖所示正方體ABCD-A′B′C′D′，已知點H在A′B′C′D′的對角線B′D′上，∠HDA＝60°.求DH與CC′所成的角的大小．【解析】

如圖所示，以D為原點，DA為單位長度，建立空間直角坐標系D-xyz，題型二求直線與平面所成的角【例2】

(2018·深圳二調)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D為BC的中點，∠BAC＝90°，∠A1AC＝60°，AB＝AC＝AA1＝2.(1)求證：A1B∥平面ADC1；(2)當BC1＝4時，求直線B1C與平面ADC1所成角的正弦值．【解析】

(1)證明

連接A1C，與AC1相交于點E，連接ED.∵D，E分別為BC，A1C的中點，∴A1B∥ED，又A1B?平面ADC1，ED?平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1.∴BA⊥平面A1ACC1，又∵BA?平面ABC，∴平面A1ACC1⊥平面ABC.如圖，過點A在平面A1ACC1內作Az⊥AC，垂足為A.∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，∴Az⊥平面ABC.如圖，過點A1作A1O⊥AC，垂足為O，連接OD.∵AC＝AA1，∠A1AC＝60°，∴△A1AC為等邊三角形，∴O為AC的中點．又∵D為BC的中點，∴OD∥AB，∴OD⊥OC.又∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，∴A1O⊥平面ABC.【思維升華】

利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．跟蹤訓練2

在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖所示．(1)求證：AB⊥CD；(2)若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．【解析】

(1)證明

∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB?平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又CD?平面BCD，∴AB⊥CD.(2)過點B在平面BCD內作BE⊥BD，如圖．題型三求二面角【例3】

(2017·全國Ⅰ卷，節選)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A-PB-C的余弦值．【思維升華】

利用向量法計算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小．(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內找到