摘要：冪級數和函數問題是數學分析課程中的重要內容，利用函數這一數學工具可以有效解決數學中的很多問題。介紹了冪級數和函數以及求和函數的方法，對冪級數和函數的應用展開了討論。應用冪級數的和函數解決問題，必須細心分析，選擇合適的冪級數是解決這類問題的核心。和函數可以通過逐項積分、逐項微分等方法求解，計算過程中要靈活變形，具體問題具體分析.掌握冪級數的和函數的應用方法，對提高問題的解決與處理能力有重要的幫助。關鍵詞：冪級數；函數；應用1前言1.1研究背景冪級數論起源于18世紀，是數學眾多分支學科中的一門學科。歐拉以及拉朗貝爾是先驅者，為建立冪級數論做了很多方面的工作。1774年，歐拉對冪級數的積分具有的一些性質進行了考量，同時發表于論文中。達朗貝爾，法國的一位數學家，在他所著的與流體力學相關的文章中提及了上述性質，比歐拉還要更早一些。所以，人們將這兩個方程命名為了“達朗貝爾一歐拉方程”。19世紀，黎曼以及柯西對流體力學展開分析時，在以上方程的基礎上進行了更加深入地探討，因而該方程也被稱之為“柯西一黎曼條件”。從這時候開始，冪級數就是針對基于復數域符合上述條件的構建的一類解析函數展開探究。19世紀，冪級數論實現了全面發展，就好比微積分在18世紀的數學中占據了統治地位，冪級數同樣在19世紀的數學中占據了統計地位。黎曼、柯西以及魏爾斯特拉斯等人在復變量函數論的研究上應用到了很多技術，對于這門學科來說，正式特征他們也已經提出了。那時的數學家普遍認為，冪級數論這個分支是最為豐饒的，而且將其視同為當時的數學享受，克萊因也指出，在抽象科學中，這個理論是其中最為和諧的一個理論。20世紀初期，歷經較長時間的發展，冪級數論的理論越發完善，技巧也更加精湛，作為數學的組成部分之一起到了至關重要的作用。它對部分學科如數論、微分方程以及概率論等的發展起到了積極地推動作用，諸多現代理論均基于當時的數學研究才得以發展，冪級數論也會被用作有力工具之一讓現實生活中面臨地復雜計算問題得到了很好的解決，如計算穩定場等等，也已普遍用于航空力學以及流體力學等多個領域，眾多理工科專業都將該理論的基礎內容列入到了必修課程的范疇。許多數學家也進行了非常多的研究工作，如法國的阿達瑪、瑞典的米塔-列夫勒等，冪級數論也涉及到了越來越多的研究領域，他們在發展、拓展并且壯大這門學科上所作的貢獻是非常之大的。所以，本文圍繞著冪級數理論展開，對其思想方法的具體演變進程展開分析，不單單理論價值比較大，現實意義也是極為深遠的。冪級數在研究函數方面是一個很有力的工具。作為函數級數中的一種，冪級數的形式比較簡單，應用也極為廣泛，基礎初等函數在一定范圍內都可展開成冪級。當前對冪級數和函數研究在不斷發展，冪級數的性質日益完善。在數學分析中，冪級數是至關重要的內容之一，且從復變函數論來看，從理論與應用這兩個層面來看，函數冪級數展開均起到了重要作用，而從復變函數來看，也被當作了一種重要工具。運用冪級數和函數的性質進行分析，可以解決很多數學難題。用冪級數表示的力學方程可以解決很多工程力學問題，在應用內容上非常豐富。目前冪級數對其他領域，如非線性橢圓型方程、循環碼等，的研究含不夠完善，所以要通過這個研究對冪級數和函數應用建立完整體系。1.2研究意義當前，對冪級數和函數的研究已經較為全面，但在其應用方面的總結和研究還有一定的缺陷和不足，但這個內容對冪級數和函數能否在實際工作和生活中得到發展至關重要，所以要通過這個研究對冪級數和函數應用建立完整體系，為一線工作人員提供理論的參考。本研究是基于冪級數和函數的理論性質的概述和應用相關文獻的總結，這對在線性遞歸數列、三角級數求和以及組合問題等多個方面對函數冪級數的應用展開探討起到了極大地幫助，為以后的研究提供參考依據。1.3研究現狀函數和冪函數的應用在數學領域的研究不斷深化，對數學教學中的研究也在不斷發展。在微積分學中，無窮級數是其中的一個重要部分，數學理論研究也好，工程實際應用也罷，都起到了非常重要的作用。作為與無窮級數相關的最為常用的函數項級數之一，從大學數學教學來看，對冪級數問題展開分析是有著極為深遠的現實意義的。在多個實例的基礎上，方艷等人[1]總結了求冪級數和函數的具體思路，并且對詳細解題過程進行了列示。在對函數進行表示時，冪級數通過的是冪函數的和也就是多項式，作為函數項級數中的一種，具有形式簡單的優點，應用也極為廣泛。在范圍一定的情況下，對基本初等函數進行展開是能夠得到冪級數的。冪級數是符合四則運算法則的，提供了加減乘除這四種運算，無論是積分還是求導都極為方便，所以，在對函數性質進行探討的過程中，冪級數無疑是一種有力工具，理論證明也好，工程計算也罷，應用都是極為廣泛的。陳芳芳[2]以函數的冪級數展開式為中心，著重對其在歐拉公式證明、近似計算、電場計算、微分方程求解以及累積分布函數計算等多個方面的應用進行了介紹，目的是深化知識的理解。對任何概率分布參數的估計都是至關重要的，因為不精確和有偏的估計可能會產生誤導。Muhammad等人[3]研究了一種柔性冪函數分布，提出了兩種新的參數加權方法，即概率加權矩法和廣義概率加權法。ZakaA等人[4]研究了兩參數冪函數分布的極大似然估計、矩估計和百分位估計的修正。用蒙特卡羅模擬方法表明了估計量的抽樣行為。對于某些參數值組合，在偏差、均方誤差和總偏差方面，一些修正的估計量比傳統的極大似然估計量、矩估計量和百分位數估計量更好。同時，將函數和冪級數應用到科研結果的驗證，同時它們的應用已經發展到了各行各業，不在局限于理論的研究。密碼學是近年來發展最為迅速的非交換密碼學，其主要原因是對量子密碼分析的抵制。SakalauskasE等人[5]提出了一種基于矩陣冪函數的非對稱密碼算法。Akimenko等人[6]研究了兩種具有非線性死亡率和多循環繁殖條件的年齡結構種群動力學模型的行波解的顯式遞歸算法和數值性質。遞歸公式使在研究中能夠建立精確的數值算法，并通過一組參數化代數函數對種群動態的不同場景進行大量模擬。從復變函數來看，主要通過下述方法來對解析函數展開了探究：1、積分表示法，提出者為Cauchy；2、冪級數方法，提出者為Weierstrass。在對解析函數進行分析時，冪級數方法是其中的重要方法之一，在復變函數論中起到了重要作用。金帥等人[7]以單復變解析函數為對象，把冪級數展開式推廣到了多復變的乘積域，也變成了對多復變全純函數展開分析的重要工具之一。Zhou等人[8]對土壤異養呼吸的動態變化及其與氣候因子的經驗關系進行研究，用三種模型，即對數線性模型、指數模型和冪模型，進行擬合和評價。結果表明，冪函數模型比指數衰減模型更準確地描述了亞熱帶森林礦質土壤有機碳的分解動態。Rajat等人[9]在研究含水層物質顆粒粒度分布對其滲透性的影響時建立了冪函數模型，所建立的冪函數模型為估算井的產量、土工結構下的滲流和合理精度的過濾器設計提供了一個有效的工具。Goans[10]利用傷口保留度的冪函數描述，不同傷口類別在對數尺度上呈直線，不同坡度對應不同保留度類別。2相關理論2.1冪級數具有下列形式的函數項級數稱為在點處的冪級數。稱為在點處的冪級數。若對冪級數中的每一個，都有，則稱為冪級數的和函數。簡單來說，對于冪級數來說，和函數是通過若干個冪函數相加而得到的。所以，以讓冪函數存在和函數為前提，自變量的取值范圍就可以叫做冪級數的收斂區間或者是收斂域。其中，收斂域的二分之一就可以叫做收斂半徑[11]。2.2冪級數和函數由冪級數可知，可以把冪級數的部分和記為：且部分和的極限就是和函數。即涉冪函數的和函數為，收連半徑為，則：(1)連續性對于一個冪級數而言，若其和函數為，那么屬于收斂區間的情況下，該函數是具有連續性的；也就是收斂區間中的所有點都是存在極限值的，和函數值是相等的。即。(2)可導性對于一個冪級數而言，若其和函數為，那么屬于收斂區間的情況下，該函數是存在連續的導數的，能夠逐項求導，也就是對于任取的一個，有，通過逐項求導可以得到一個冪級數，與原級數一樣，它們的收斂半徑是一致的；(3)可積性對于一個冪級數而言，若其和函數為，那么屬于收斂區間的情況下，該函數是可積的，還可逐項積分，也就是對于任取的一個，那么有通過逐項積分可以得到一個冪級數，與原級數一樣，它們的收斂半徑是一致的[12]。3冪級數和函數的應用研究3.1函數展開成冪級數3.1.1泰勒級數對于一個確定的函數，需要考慮能不能找出一個冪級數，不單單在某一區間表現出了收斂性，而且相加得到的剛好是該函數。假使可以找出這種冪級數，那么我們就能夠說，在這一收斂區間內，函數可以展開得到冪級數。泰勒中值定理如下：存在一個函數，如果有這么一個將包括在內的開區間，一直到都存在階導數，那么在屬于區間的情況下，就能夠表示成兩個部分的和，其一是的次多項式，其二是余項：其中這里是與之間的某個值。泰勒級數定義為：存在點的一個鄰域，假使在其內存在各階導數，，，，，則當時，點處的泰勒多項式如下：成為冪函數該冪函數就是的泰勒級數。顯而易見的是，在的情況下，的泰勒級數是收斂的，且收斂于。除了外，的泰勒級數是否收斂？如果收斂，它是否一定收斂于？定理一：存在一個函數，若其在點處存在一個鄰域，在其內存在各階導數，那么在這個鄰域內可以展開并得到泰勒級數是下述條件為充要條件的：在的情況下，的泰勒余項趨近于零，即證明：必要性證明：設在內能展開為泰勒級數，即：因為的階泰勒公式可寫成，其中是的泰勒級數的前項的和，又在內有。于是。由此，可證明條件的必要性。充分性證明：設對一切成立。因為的階泰勒公式可寫成，于是，即的泰勒級數在內收斂，并且收斂于。3.1.2麥克勞林級數在泰勒級數中取，得，此級數稱為的麥克勞林級數。假使可以展開得到的冪函數，此時該展示式具有唯一性，和的麥克勞林級數之間是具有完全一致性的。事實上，如果在點的某領域內有冪級數展開式，那么必有：，，，把代入以上各式，得，，，...，...假定可以展開并得到的冪級數，此時該冪級數也為的麥克勞林級數。然而，反之并不成立，假使存在點的某一個鄰域，在其中是收斂的，但是有可能不會一致收斂于。所以，假使處存在各階導數，那么盡管可以作出的麥克勞林級數，但是在某一區間內該級數存不存在收斂性，會不會一致收斂于還是有待考察的。3.1.3冪級數和函數的應用的步驟第一步求，，...，，...第二步求，，...，，...第三步寫出冪級數，并求出收斂半徑。第四步考察當在區間內時余項的極限是否為零。若為零，則在區間內有3.2冪級數和函數的方法探究3.2.1定義法存在一個冪級數，用來表示其前項和函數列，如果其存在極限，也就是存在，那么這個冪級數就是具有收斂性的，且和函數［8］。例3.2-1:求冪級數的和函數，其中，。解:當時，該法簡單、方便而且容易操作，僅需對求解得到前項和進行求極限操作即可，所以不論冪級數求和是以何種形式出現，該法均可適用。但是應當從實際問題出發來分析，如果冪級數的通項公式較為復雜，如等，對定義法進行適用并不具有可操作性。3.2.2逐項求導法在冪級數通項中，如果系數為下述兩種情況，一種是1除以自然數，另一種是1除以兩相鄰自然數，也就是分母中包括了，那么先進行求導、后進行積分這種方法會較為可行。例3.2-2:求冪級數的和函數。解:根據題意不難發現，對這一冪級數而言，收斂區間是［－1，1］當時，不妨設先上式兩邊求導得:再求導得:只需2次求導操作就能夠得到一個特殊冪級數，系數是與無關的，相當于一個無窮遞縮等比數列，根據求和公式可以得到：上式兩邊積分得:再積分得:于是就得到當時的和函數為當時，綜上所述3.2.3逐項積分法在冪級數通項中，如果系數為下述兩種情況，一種是自然數，另一種是兩相鄰自然數的乘積，即在分子上時，那么先進行積分、后進行求導這種方法會較為可行［9］。例3.2-3:求冪級數的和函數。解:根據題意不難發現，對這一冪級數而言，收斂區間是(－1，+1)。設兩邊除以令則將上式兩邊積分得:再積分得:再積分得:只需3次求積分操作就能夠得到一個特殊冪級數，通項公式是與無關的，相當于一個無窮遞縮等比數列，根據求和公式可以得到：在上式的基礎上第1次求導，可知:第2次求導得:第3次求導得:而可得所求和函數3.2.4其他方法例3.2-4:存在一個冪級數，試求其和函數以及收斂域。解:因為故當時級數收斂。可知在的情況下級數是收斂的，的情況下級數是發散的，因而收斂區間為［－1，1)。又由于所以，令則不難求出:故當時，時，因為故有3.3冪級數和函數的幾點應用介紹3.3.1皮亞諾型余項應用于函數冪級數的求解分析學有兩大分支，一個是級數理論，另一個是微積分學，它們當作基礎知識和基本工具被廣泛用于其它各個分支，它們是以函數作為研究對象的，基本工具都是極限，一個是從離散層面，另一個是從連續層面，綜合在一起來對函數展開探究。在對函數進行分析時，級數是其中的一種重要工具，無論是從理論來看還是從實際應用來看，均占據著非常重要的地位，理由如下：1、通過級數可讓眾多較為常見的非初等函數得到表示；2、函數也可以通過級數來表達，這樣就可通過級數來對函數展開探究。黃勇等人[13]以學習高等數學為例，指出在級數展開法的作用下，復雜程度相對較高的變系數微分方程是可以轉化的，得到一組線性代數方程，這種轉化研究的方法還是有很大的優勢的。陳乾等人[14]還是以學習高等數學為例，在無窮級數這個章節中，對學生面臨學習困境的有硬件進行了剖析，而后從下述方面著手提出了可行策略：1、“教”，2、“學”。姜瑩瑩等人[15]通過級數等多個概念的引入，比較分析了中等數學和高等數學采取的學習方法上的異同之處，指出應當轉換適應。于力等人[16]圍繞著帶皮亞諾型余項的泰勒公式展開，探討如何應用于極值的判定和極限的求解。袁秀萍[17]同樣針對帶皮亞諾型余項的泰勒公式展開了探究，探討的是如何應用于考研試題方面。從分析學來看，在點的鄰域上對函數進行展開，得到一個冪級數，無疑是從實際計算來看還是從函數理論來看，實用性都是比較強的，可對處函數的解析作出判定；在對函數能否在點的鄰域上展開得到冪級數作出判定時，其關鍵在于對這一鄰域內泰勒公式余項的極限是否等于0作出判定。下面就要著重對皮亞諾型余項怎樣用于對點的鄰域上函數可否展開得到冪級數作出判定展開探討。在函數給定的情況下，在點的鄰域上對其進行展開，得到一個冪級數，那么就需對滿足進行證明。對于一些函數而言，通過皮亞諾型余項就能夠證明，過程也會極為方便，具體可以參照下述例題。例3.3-1通過直接展開法在點的鄰域上對函數進行展開，得到一個冪級數。解:因，從而，所以函數生成的麥克勞林級數是，（3.3-1）根據上述過程極易得出下述結論：級數(3.3-1)的收斂半徑為，在的情況下，該級數是收斂的，在的情況下，該級數是發散的，所以收斂區間為(-1，1]。在該收斂區間內對泰勒公式余項具體的極限值展開探討。因為，得到，使用皮亞諾型余項，所以.對于，使用拉格朗日型余項，得到，其中，在0與1之間。所以，，都有，得.3.3.2Qp函數空間中的隨機函數從泛函分析、復分析以及算子理論等多個領域來看，全純函數空間無疑是其中的熱點方向之一，和眾多學科存在著極大地相關性。如利用復合算子和復動力系統形成了極大地相關性，利用Lipschitz算子和泛函分析形成了極大地相關性，利用Hilbert算子和多變量算子理論形成了極大地相關性。從現代數學領域來看，函數空間起到了至關重要的作用，表現出來的形式也不相同，以調和分析領域為例，常常會遇到Besov空間以及Hardy空間等。上世紀上半葉，在Hardy等眾多數學家的帶領下，人們對單變量Hardy空間展開了系統性的探討。而后，單變量解析函數空間理論實現了迅猛發展，空間理論以及Bergman空間理論等也在不斷被提出。從全純函數空間理論來看，空間起到了極為重要的作用，其最早出現于1993年Aulaskari與Lappan的文章[18]中。對于空間，可以知道，當時，；當時，等價于Dirichlet空間；當時，。當時，可以作為一般的Dirichlet型空間的生成空間，這方面引起了一些學者的關注。此外，空間也有多種推廣形式，如和空間[19-20]。隨機級數提出于1896年，提出者為Broel，但是當作理論研究，是從Zygmund以及Steinhaus等人在20世紀三十年代發表的文章為起始點的[21-22]。自此，國內外非常多的學者都對隨機級數展開了探討，成果也是比較可喜的。在對隨機級數展開的探討中，我國學者也取得了大量成果，其中較具代表性的就是余家榮教授。隨機級數可以分為很多種，如隨機Dirichlet級數和隨機冪級數等。近年來，許多學者從值分布、收斂性以及增長性等多個方面展開了探究，得出的成果也是頗具創造性的。全純函數均可以表示成冪級數的形式，在對單位圓盤內的解析函數進行分析時，缺項冪級數或者是一般冪級數又是其中的重要工具之一，在冪級數中，隨機冪級數為其中的特殊形式之一，和缺項冪級數之間存在諸多相似特征，但是不同之處也是有很多的。例如，對于Hadamard缺項級數：已有如下結果:，從文獻[23-24]可以看出，上述結果并不適用于隨機冪級數。相較于一般冪級數而言，隨機冪級數是存在諸多不同之處的，以Steinhaus序列為例：，而對于一般冪級數只有因此，研究隨機冪級數所表示的函數與函數空間的關系是有必要的。隨機Dirichlet級數是序列滿足的隨機級數，其中和均為實變量。文獻[25]中研究了隨機Dirichlet級數的一些性質，如增長性和收斂性.上世紀九十年代至今，在隨機泰勒級數方面人們展開了深入地分析，這里的表示的是一個復數序列，表示的是一個Rademacher序列，即僅取±1的隨機序列。1993年，Cochran，Ullrich以及Shapiro對隨機泰勒級數是在函數空間內的等多個系數的判別條件進行了列示。關于隨機冪級數的研究，目前在等空間上已有很好的結果，其中為隨機Bernolli序列，也就是隨機變量之間并不存在相關性，且每個變量取+1和-1的概率均為1/2。田范基在文獻[26]中給出了一般隨機冪級數屬于函數空間的充分條件，這里的表示的是一個隨機變量序列，具有獨立對稱性，而且符合。具有Steinhaus序列的隨機冪級數，是一類重要的隨機級數，其中為Steinhaus序列是指對于所有的有。Anderson，Clunie和Pommerenke給出了時，大概率是在空間的條件內的，Sledd給出了時，大概率是在空間的條件內的。此外，1994年，烏蘭哈斯對隨機冪級數大概率在與內的條件進行了列示。3.3.3無理性冪級數理論在函數上的應用從冪級數理論研究來看，構造出某一種不在單位圓范圍內不可開拓的冪級數是其中的一塊重要內容。魏爾斯特拉斯最開始對其展開了探究，同時對自然邊界這個概念進行了引入。隨后包括波萊爾以及龐加萊等在內的眾多數學家展開了深入分析，同時構造出了各式各樣的例子。1921年，赫克引入了無理性冪級數，作為不在單位圓范圍內不可開拓的冪級數中的一種，施瓦茲、紐曼以及莫德爾等多位數學家都展開了深入探討，得出了非常多有用結論。Car01l等人則讓無理性冪級數理論得到了更為快速的發展。1921年，在《論解析函數和模1數的分布》[27]中，赫克以數為對象，根據外爾均勻分布以及模1均勻分布這兩大定理，提出，如果是一個無理數，那么不在單位圓范圍內的情況下，與這兩個冪級數顯然是無法開拓的。這里的和分別代表的分數部分與整數部分。需要注意，赫克認為，二次域上還是能夠對冪級數系數展開討論的。1938年，由于赫克帶來的影響，在《模l數的分布及其代數數》[28]中，CPisot在整系數的冪級數的基礎上結合了單位圓范圍內的共軛代數數類，得出了許多頗有價值的結論，其中的一個結論是不在單位圓范圍內的整系數冪級數能夠開拓，這個結論起到了重要作用。在Pisot等人進行的工作的基礎上，RSalem對于與整系數冪級數相關的理論進行了證實，指出問題中存在的代數性質。1949年，在《具有整系數的冪級數》[29]中，Salem從對數進行探究這一視角著手，對整系數冪級數的各種理論展開了分析。Salem總結得到，赫克定理不以均勻分布定理為前提也能得到證明，同時對下述結論進行了證明，其中赫克的理論也涵蓋在內。用代表一個正有理函數，是會無限增大的，存在一個級數，表示其收斂半徑，是的極點之一，是任取的一個實數，那么如果為代數整數；就為代數的，而且有理數域的判定條件全部不符合，則。的自然邊界是單位圓。證明會用到兩個定理，一個是波利亞一卡爾松定理，另一個是普林斯海姆定理。1962年，在《無理性冪級數》[30]中，得益于擴大數域法的采用，施瓦茲對這一定理進行了推廣。Salem感謝KurtMahler教授，他是受到Mahler教授所寫的信的啟發，信中談及了ATllue(1863—1922)于1912年所寫的一篇文章，該文章對PV數具有的性質展開了分析，這讓他也格外的注意。對于一個冪級數來看，其系數是會極大地影響到收斂邊界上的各種表現的，1892年阿達瑪就已經對此進行了明確。隨后，眾多數學家都對不在收斂區間內的函數能不能夠解析開拓展開了探究，如斯澤古、波萊爾以及奧斯特洛斯基等，提出了部分極為重要的定理，也舉出了部分極具代表性的無法解析開拓的例子。在數論理論持續發展的同時，人們也構造出了越來越多的無法解析開拓的例子，無理性冪級數便是其中之一。莫德爾、赫克以及紐曼等多位數學家展開了深入探討，已有較多深刻結論得出。在對所得結論進行證明時，外爾均勻分布定理無疑是其中一個重要基礎。從無理性冪級數理論后期取得的發展來看，Caroll等多位數學家將該理論歸結到了不可開拓冪級數理論的范疇，使之變成了一種特殊情形。4結論與展望冪級數在賦值過程中存在截斷誤差，且很多無窮級數收斂速度慢，需要較大的展開項數才能獲得可靠的逼近效果。此外，這些逼近方法在自變量區間內效果不穩定，例如冪級數展開在零點附近時有較好的逼近效果，而漸近級數展開通常在自變量取值較大時才能很好地逼近原函數。在計算機技術持續發展的同時，計算能力的提高，出現了許多數學軟件，例如Matlab、Maple等，這些數學軟件由算法標準程序發展而來，可以對函數進行賦值和操作。但是這些數學軟件中對特殊函數的賦值算法還是不夠豐富、高效。因此，探索更精確高效的賦值算法，具有重要意義。【參考文獻】方艷,程航.冪級數和函數的幾種常見解法[J].海峽科學,2018(02):87-88.陳芳芳.函數的冪級數展開式的應用[J].科技資訊,2018,16(14):118-119.MuhammadS,UlH,IjazH,etal.ComparisonofTwoNewRobustParameterEstimationMethodsforthePowerFunctionDistribution[J].PlosOne,2016,11(8):e0160692.ZakaA,AkhterAS.ModifiedMoment,MaximumLikelihoodandPercentileEstimatorsfortheParametersofthePowerFunctionDistribution[J].PakistanJournalofStatistics&OperationResearch,2014,10(4):369.SakalauskasE,MihalkovichA.NewAsymmetricCipherofNon-CommutingCryptographyClassBasedonMatrixPowerFunction[J].Informatica,2013,24(2):283-298.AkimenkoVV.Nonlinearage-structuredmodelsofpolycyclicpopulationdynamicswithdeathratesaspowerfunctionswithexponentn[J].MathematicsandComputersinSimulation,2017,133:175-205.金帥,毛奕岑.冪級數在多復變函數論中的一個推廣[J].數學學習與研究,2017(19):5.ZhouW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