（第1課時）

課題：§3.1不等式與不等關系

【教學目標】

1.知識與技能：通過具體情景，感受在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，理解不等式（組）

的實際背景，掌握不等式的基本性質；

2.過程與方法：通過解決具體問題，學會依據具體問題的實際背景分析問題、解決問題的方法；

3.情態與價值：通過解決具體問題，體會數學在生活中的重要作用，培養嚴謹的思維習慣。

【教學重點】

用不等式（組）表示實際問題的不等關系，并用不等式（組）研究含有不等關系的問題。理解不等式（組）

對于刻畫不等關系的意義和價值。

【教學難點】

用不等式（組）正確表示出不等關系。

【教學過程】

1.課題導入

在現實世界和日常生活中，既有相等關系，又存在著大量的不等關系。如兩點之間線段最短，三角形兩邊

之和大于第三邊，等等。人們還經常用長與短、高與矮、輕與重、胖與瘦、大與小、不超過或不少于等來

描述某種客觀事物在數量上存在的不等關系。在數學中，我們用不等式來表示不等關系。

下面我們首先來看如何利用不等式來表示不等關系。

2.講授新課

1）用不等式表示不等關系

引例1：限速40km/h的路標，指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40km/h,寫成不等式

就是：

v<40

引例2：某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量應不少于2.5%,蛋白質的含量p應不少于2.3%,

寫成不等式組就是——用不等式組來表示

'f<2.5%

（p>2.3%

問題1：設點A與平面a的距離為d,B為平面a上的任意一點，則

問題2：某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本。據市場調查，若單價每提高0.1元，銷售

量就可能相應減少2000本。若把提價后雜志的定價設為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于

20萬元呢？

解：設雜志社的定價為x元，則銷售的總收入為（8-二r六-2二5x0.2）x萬元，那么不等關系“銷售的總收入

仍不低于20萬元”可以表示為不等式

（8-Y^-p2x50.2）x>20

問題3：某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種.按照生產的要求，600mm的數量不

能超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足所有上述不等關系的不等式呢？

解：假設截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根。根據題意，應有如下的不等關系:

(1)截得兩種鋼管的總長度不超過4000mm;

(2)截得600mm鋼管的數量不能超過500mm鋼管數量的3倍；

(3)截得兩種鋼管的數量都不能為負。

要同時滿足上述的三個不等關系，可以用下面的不等式組來表示：

5OOx+600y<4000;

3x>y；

x>0;

y>0.

3.隨堂練習

1、試舉幾個現實生活中與不等式有關的例子。

2、課本P74的練習1、2

4.課時小結

用不等式(組)表示實際問題的不等關系，并用不等式(組)研究含有不等關系的問題。

5.作業

課本P75習題3.1[A組]第4、5題

2

(第2課時)

課題：§3.1不等式與不等關系

【教學目標】

1.知識與技能：掌握不等式的基本性質，會用不等式的性質證明簡單的不等式；

2.過程與方法：通過解決具體問題，學會依據具體問題的實際背景分析問題、解決問題的方法;

3.情態與價值：通過講練結合，培養學生轉化的數學思想和邏輯推理能力.

【教學重點】

掌握不等式的性質和利用不等式的性質證明簡單的不等式；

【教學難點】

利用不等式的性質證明簡單的不等式。

【教學過程】

1.課題導入

在初中，我們已經學習過不等式的一些基本性質。

請同學們回憶初中不等式的的基本性質。

(1)不等式的兩邊同時加上或減去同一個數，不等號的方向不改變；

即若。>b=a±c〉/?±c

(2)不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數，不等號的方向不改變；

即若a〉仇c〉0=ac〉be

(3)不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數，不等號的方向改變。

即若a>b,c<0=>ac<be

2.講授新課

1、不等式的基本性質：

師：同學們能證明以上的不等式的基本性質嗎？

證明：

1)(a+c)—(b+c)

=a—b>0,

?*.a+c>b+c

2),.?(a+c)-(b+c)=a-b>0,

a+c>b+c.

實際上，我們還有a>6力>cna>c,(證明：；a>b,b>c,

?*.a—b>0,b—c>0.

根據兩個正數的和仍是正數，得

(a—b)+(b—c)>0,

3

即a—c>0,

??a>c?

于是，我們就得到了不等式的基本性質：

(1)a>b,b>c=>a>c

(2)a>ba+c>b-}-c

(3)a>h,c>0^>ac>be

(4)a>h.cac<hc

2、探索研究

思考，利用上述不等式的性質，證明不等式的下列性質：

(1)a>b,c>dna+c>b+d；

(2)a>h>O,c>d>0ac>hd；

11n

(3)a>h>O,nEN,n>l=>a>b\\[a>\fbo

證明：

1)Va>b,

/.a+c>b+c.①

Vc>d,

.\b+c>b+d.②

由①、②得a+c>b+d.

a>b,c>0ac>be]

2)>ac>hd

c>d,b>0=>be>bd

3)反證法)假設加(通，

yfa<>Jb=>a<b

則：若「「這都與a>b矛盾，

Ma=Mbna=b

：.'\[a>'\[b.

[范例講解]:

例1、已知。>b〉0,c<0,求證

cc

—>-o

ab

4

證明：以為a〉b〉O,所以ab>0,—>0?

ab

于是ax—>bx—,即

ababba

由c<0,得一>一

ab

3.隨堂練習1

1、課本P74的練習3

2、在以下各題的橫線處適當的不等號：

(1)(V3+V2)6+2V6；

(2)(V3—^^2,)2(V6—1)2；

1_]

(3)

V5-2V6-V5

(4)當a>b>0時，log]alog,b

22

答案：(1)<(2)<(3)<(4)<

［補充例題］

例2、比較(a+3)(a—5)與例+2)例-4)的大小。

分析：此題屬于兩代數式比較大小，實際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類項之

后，判斷差值正負(注意是指差的符號，至于差的值究竟是多少，在這里無關緊要)。根據實數運算的符號

法則來得出兩個代數式的大小。比較兩個實數大小的問題轉化為實數運算符號問題。

解：由題意可知：

(a+3)(a—5)—(a+2)(a—4)

=(a2—2a~15)—(a2—2a—8)

=-7<0

(a+3)(?—5)<(a+2)(a—4)

隨堂練習2

1、比較大小：

⑴(x+5)(x+7)與(x+6)2

(2)x2+5x+6與2x?+5x+9

4.課時小結

本節課學習了不等式的性質，并用不等式的性質證明了一些簡單的不等式，還研究了如何比較兩個實數(代

數式)的大小——作差法，其具體解題步驟可歸納為：

第一步：作差并化簡，其目標應是"個因式之積或完全平方式或常數的形式；

第二步：判斷差值與零的大小關系，必要時須進行討論；

第三步：得出結論

5.作業

課本P75習題3.1［A組］第2、3題：［B組］第1題

5

(第3課時)

課題：§3.2一元二次不等式及其解法

【教學目標】

1.知識與技能：理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數的關系，掌握圖象法解一元二次不等式的

方法；培養數形結合的能力，培養分類討論的思想方法，培養抽象概括能力和邏輯思維能力；

2.過程與方法：經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程和通過函數圖象探究一元二次不等式

與相應函數、方程的聯系，獲得一元二次不等式的解法；

3.情態與價值：激發學習數學的熱情，培養勇于探索的精神，勇于創新精神，同時體會事物之間普遍聯系

的辯證思想。

【教學重點】

從實際情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

【教學難點】

理解二次函數、一元二次方程與一元二次不等式解集的關系。

【教學過程】

1.課題導入

從實際情境中抽象出一元二次不等式模型：

教材P76互聯網的收費問題

教師引導學生分析問題、解決問題，最后得到一元二次不等式模型：X2-5X<0...........(1)

2.講授新課

1)一元二次不等式的定義

象x2-5x<0這樣，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式

2)探究一元二次不等式x2-5x<0的解集

怎樣求不等式(1)的解集呢？

探究：

(1)二次方程的根與二次函數的零點的關系

容易知道：二次方程的有兩個實數根：xt=0,x2=5

二次函數有兩個零點：Xj=0,x2=5

于是，我們得到：二次方程的根就是二次函數的零點。

(2)觀察圖象，獲得解集

畫出二次函數y=/-5x的圖象，如圖，觀察函數圖象，可知:

當x<0,或x>5時，函數圖象位于x軸上方，此時，y>0,B|Jx2—5x>0；

當0<x<5時，函數圖象位于x軸下方，此時，y<0,即犬―5x<0；

所以，不等式爐-5》<0的解集是{xl0<x<5},從而解決了本節開始時提出的問題。

6

3)探究一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式，總可以化為以下兩種形式：以2+區+00,3〉0)或分2+云+(;<0,(4〉())

一般地，怎樣確定一元二次不等式a—+bx+c>0與a—+bx+c<0的解集呢？

組織討論：

從上面的例子出發，綜合學生的意見，可以歸納出確定一元二次不等式的解集，關鍵要考慮以下兩點：

(1)拋物線y=ax?+云+c與x軸的相關位置的情況，也就是一元二次方程ax2+bx+c=O的根的情況

(2)拋物線y=a/+bx+c的開口方向，也就是a的符號

總結討論結果：

(1)拋物線y^ax2+hx+c(a>0)與x軸的相關位置，分為三種情況，這可以由一元二次方程

a?+b無+c=0的判別式△=/一4此三種取值情況(△>0,A=0,A<0)來確定.因此，要分二種情況討論

(2)a〈0可以轉化為a>0

分A>0,A=0,MO三種情況，得到一元二次不等式辦2+區+”0與。/+云+。<0的解集

一元二次不等式a/+bx+c〉0或ax?+bx+c<0(aH0)的解集:

設相應的一元二次方程+笈+。=0(。工0)的兩根為補超且當4》2，A=^2-4ac,則不等式的解

的各種情況如下表：(讓學生獨立完成課本第77頁的表格)

A>0A=0A<0

222

y=ctx+/zx+cy=Ciix+6x+cy==ax+/?x+c

二次函數

rkJ

2

y-ax+bx+c[L

1\T

(a>0)的圖象\

Xx=X2XX

一元二次方程

有兩才目異實根有兩相等實根

ax2+bx+c=Ob

(X]<x)Xi=Xj~無實根

(a>0的艮22a

ax2+》x+c>0

{x\x<匹或X>x]b

2<XxW--*----

(a>0)的解集2aR

ax2+Z?x+c<0

<X<X]

卜區20

(〃>0)的解集0

7

［范例講解］

例2(課本第78頁)求不等式4/一4工+1〉0的解集.

解：因為△=(),方程4x2-4x+l=0的解是/=%2=；.

所以，原不等式的解集是｛x

例3(課本第78頁)解不等式-/+2》-3〉0.

解：整理，得2x+3<0.

因為△<(),方程2尤+3=0無實數解,

所以不等式彳2—2x+3<0的解集是0.

從而，原不等式的解集是0.

3.隨堂練習

課本第80的練習1⑴、(3)、(5)、(7)

4.課時小結

解一元二次不等式的步驟：

①將二次項系數化為“+"：A=ax2++c>0(nJ(<0)(a>0)

②計算判別式△，分析不等式的解的情況:

若A>0,則x<項或〉x；

i.A>0時，求根匹v/，2

若A<0,則X]<x<々.

‘若A>0,則的一切實數;

ii.A=0時，求根玉=X2=工0,<若A<0,貝kG0；

若AK0,則

若A>0,則XER；

iii.A<O0寸，方程無解,

若A<0,則xe放.

③寫出解集.

5.評價設計

課本第80頁習題3.2［A］組第1題

8

（第4課時）

課題：§3.2一元二次不等式及其解法

【教學目標】

1.知識與技能：鞏固一元二次方程、一元二次不等式與二次函數的關系；進一步熟練解一元二次不等式的

解法；

2.過程與方法：培養數形結合的能力，一題多解的能力，培養抽象概括能力和邏輯思維能力；

3.情態與價值：激發學習數學的熱情，培養勇于探索的精神，勇于創新精神，同時體會從不同側面觀察同

一事物思想

【教學重點】

熟練掌握一元二次不等式的解法

【教學難點】

理解一元二次不等式與一元二次方程、二次函數的關系

【教學過程】

1.課題導入

1.一元二次方程、一元二次不等式與二次函數的關系

2.一元二次不等式的解法步驟——課本第86頁的表格

2.講授新課

［范例講解］

例1某種牌號的汽車在水泥路面上的剎車距離sm和汽車的速度xkm/h有如下的關系：

在一次交通事故中，測得這種車的剎車距離大于39.5m,那么這輛汽車剎車前的速度是多少？（精確到

0.01km/h）

11

解：設這輛汽車剎車前的速度至少為Xkm/h,根據題意，我們得到一x+—X02>39.5

20180

移項整理得：X2+9X-7110>0

顯然>0,方程/+9x-7110=0有兩個實數根，即

%a—88.94,々*79.94。所以不等式的解集為{xlx<—88.94,或x>79.94}

在這個實際問題中，x>0,所以這輛汽車剎車前的車速至少為79.94km/h.

例4、?個汽車制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產的摩托車數量x（輛）與創造的

價值y（元）之間有如下的關系：

y=-2x2+220x

若這家工廠希望在一個星期內利用這條流水線創收6000元以匕那么它在一個星期內大約應該生產多少輛

摩托車？

解：設在一個星期內大約應該生產x輛摩托車，根據題意，我們得到

-2X2+220X>6000

移項整理，得

9

X2-110X+3000<0

因為=100>0,所以方程――110X+3000=0有兩個實數根

X］=50,X,=60

由二次函數的圖象，得不等式的解為：50<x<60

因為x只能取正整數，所以，當這條摩托車整車裝配流水線在一周內生產的摩托車數量在51—59輛之間時,

這家工廠能夠獲得6000元以上的收益。

3.隨堂練習1

課本第80頁練習2

［補充例題］

▲應用一（?元二次不等式與一元二次方程的關系）

例：設不等式辦2+版+1>0的解集為求ab?

▲應用二（一元二次不等式與二次函數的關系）

例：設4={》|——4x+3<0},8={xlx2—2x+a—8W0},且求a的取值范圍.

改：設犬―2x+a—8W0對于一切xe（l,3）都成立，求。的范圍.

改：若方程/—2x+a—8=0有兩個實根玉,馬，且玉23,x2<1,求。的范圍.

隨堂練習2

1、已知二次不等式ax?+灰+。<0的解集為{xlx<:或x>5,求關于x的不等式ex?-bx+a>0的解

集.

2、若關于m的不等式〃?/一（2m+13+〃?一120的解集為空集，求機的取值范圍.

改1：解集非空

改2：解集為一切實數

4.課時小結

進一步熟練掌握一元二次不等式的解法

一元二次不等式與一元二次方程以及一元二次函數的關系

5.作業

課本第80頁的習題3.2［A］組第3、5題

10

（第5課時）

課題：§3.3.1二元一次不等式（組）與平面區域

【教學目標】

1.知識與技能：了解二元一次不等式的幾何意義，會用二元一次不等式組表示平面區域；

2.過程與方法：經歷從實際情境中抽象出二元詼不等式組的過程，提高數學建模的能力；

3.情態與價值：通過本節課的學習，體會數學來源與生活，提高數學學習興趣。

【教學重點】

用二元一次不等式（組）表示平面區域；

【教學難點】

【教學過程】

1.課題導入

1.從實際問題中抽象出二元一次不等式（組）的數學模型

課本第82頁的“銀行信貸資金分配問題”

教師引導學生思考、探究，讓學生經歷建立線性規劃模型的過程。

在獲得探究體驗的基礎上，通過交流形成共識：

2.講授新課

1.建立二元一次不等式模型

把實際問題包數學問題：

設用于企'業貸款的資金為x元，用于個人貸款的資金為y元。

（把文字語言包符號語言）

（資金總數為25000000元）=>x+y<25000000（1）

（預計企業貸款創收12%,個人貸款創收10%,共創收30000元以上）=（12%）x+（10%）y>30000即

12x+10y>3000000（2）

（用于企業和個人貸款的資金數額都不能是負值）=>x>0,y>0（3）

將（1）（2）（3）合在一起，得到分配資金應滿足的條件：

'x+y<25000000

<12x+lOy>3000000

x>0,y>0

2.二元一次不等式和二元一次不等式組的定義

（1）二元一次不等式：含有兩個未知數，并且未知數的最高次數是1的不等式叫做二元一次不等式。

（2）二元一次不等式組：有兒個二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組。

（3）二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式（組）的x和y的取值構成有序實數對（x,y）,

11

所有這樣的有序實數對（x,y）構成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集。

（4）二元一次不等式（組）的解集與平面直角坐標系內的點之間的關系：

二元一次不等式（組）的解集是有序實數對，而點的坐標也是有序實數對，因此，有序實數對就可以

看成是平面內點的坐標，進而，二元一次不等式（組）的解集就可以看成是直角坐標系內的點構成的集合。

3.探究二元一次不等式（組）的解集表示的圖形

（1）回憶、思考

回憶：初中一元一次不等式（組）的解集所表示的圖形——數軸上的區間

思考：在直角坐標系內，二元?次不等式（組）的解集表示什么圖形?

（2）探究

從特殊到一般:

先研究具體的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的圖形。

如圖：在平面直角坐標系內，x-y=6表示一條直線。平面內所有的點被直線分成三類：4

第一類：在直線x-y=6上的點；,一

第二類：在直線x-y=6左上方的區域內的點；’

第三類：在直線x-y=6右下方的區域內的點。力

設點是直線x-y=6上的點，選取點，使它的坐標滿足不等式x-y〈6,請同學們完成課本

第83頁的表格,

橫坐標X-3-2-10123

點P的縱坐標X

點A的縱坐標y2

并思考：

當點A與點P有相同的橫坐標時，它們的縱坐標有什么關系？

根據此說說，直線x-y=6左上方的坐標與不等式x-y〈6有什么關系?

直線x-y=6右下方點的坐標呢？

學生思考、討論、交流，達成共識：

在平面直角坐標系中，以二元一次不等式x-y<6的解為坐標的點都在直線x-y=6

的左上方；反過來，直線x-y=6左上方的點的坐標都滿足不等式x-y<6。

因此，在平面直角坐標系中，不等式x-y<6表示直線x-y=6左上方的平面區域；如圖。

類似的：二元一次不等式x-y〉6表示直線x-y=6右下方的區域；如圖。

直線叫做這兩個區域的邊界

由特殊例子推廣到?般情況:

（3）結論：

二元一次不等式Ax^By^OQ在平面直角坐標系中表示直線力廣Me0某一側所有點組成的平面區域.

（虛線表示區域不包括邊界直線）

4.二元一?次不等式表示哪個平面區域的判斷方法

由于對在直線Ax+By+（=Q同一側的所有點（x,y）,把它的坐標（x,y）代入Ax+By^C,所得到實數的符

號都相同，所以只需在此直線的某一側取一特殊點（版,修）,從計為計C的正負即可判斷Ax+Bp-C>0表示

直線哪一側的平面區域.（特殊地，當C*0時，常把原點作為此特殊點）

【應用舉例】

例1畫出不等式x+4y<4表示的平面區域。

12

解：先畫直線x+4y=4(畫成虛線).

取原點(0,0),代入x+4y-4,；044X0-4=4<0,

二原點在x+4y<4表示的平面區域內，不等式x+4y<4表示的區域如圖:

歸納：畫二元一次不等式表示的平面區域常采用“直線定界，特殊點定域”的方法。特殊地，當CwO時,

常把原點作為此特殊點。

變式1、畫出不等式4x-3y412所表示的平面區域。

變式2、畫出不等式x21所表示的平面區域。

例2用平面區域表示.不等式組的解集。

x<2y

分析：不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的

平面區域的公共部分。

解：不等式y<—3x+12表示直線y=—3x+12右下方的區域，x<2y表示直線x=2y勺

右上方的區域，取兩區域重疊的部分，如圖的陰影部分就表示原不等式組的解集。

歸納：不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式，「二

所表示的平面區域的公共部分。

變式1、畫出不等式3+2?+1)5-丁+4)<0表示的平面區域。

變式2、由直線x+y+2=0,x+2y+l=0和2x+y+l=0圍成的三角形區域(包括邊界)用不等式可

表示為?

3.隨堂練習

1、課本第86頁的練習1、2、3

4.課時小結

1.二元一次不等式表示的平面區域.

2.二元一次不等式表示哪個平面區域的判斷方法.

3.二元一次不等式組表示的平面區域.

5.作業

課本第93頁習題3.3[A]組的第1題

13

（第6課時）

課題：§3.3.1二元一次不等式（組）與平面區域

【教學目標】

1.知識與技能：鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區域；能根據實際問題中的已知條

件，找出約束條件；

2.過程與方法：經歷把實際問題抽象為數學問題的過程，體會集合、化歸、數形結合的數學思想;

3.情態與價值：結合教學內容，培養學生學習數學的興趣和“用數學”的意識，激勵學生創新。

【教學重點】

理解二元一次不等式表示平面區域并能把不等式（組）所表示的平面區域畫出來；

【教學難點】

把實際問題抽象化，用二元一次不等式（組）表示平面區域。

【教學過程】

1.課題導入

［復習引入］

二元一次不等式Ax^B^OQ在平面直角坐標系中表示直線4廿如信0某一側所有點組成的平面區域.

（虛線表示區域不包括邊界直線）

判斷方法：由于對在直線4戶為+小0同一?側的所有點（x,。，把它的坐標（x,。代入/廣a+G所得到

實數的符號都相同，所以只需在此直線的某一側取一特殊點（施,%），從4加+旗+，的正負即可判斷/戶5c

>0表示直線哪一側的平面區域.（特殊地，當今。時,常把原點作為此特殊點）。

隨堂練習1

1、畫出不等式2x+尸6Vo表示的平面區域.

x-y+5>0

2、畫出不等式組■x+yNO表示的平面區域。

x<3

2.講授新課

【應用舉例】

例3某人準備投資1200萬興辦一所完全中學，對教育市場進行調查后，他得到了下面的數據表格（以班

級為單位）：

學段班級學生人數配備教師數硬件建設/萬元教師年薪/萬元

初中45226/班2/人

高中40354/班2/人

分別用數學關系式和圖形表示上述的限制條件。

解：設開設初中班x個，開設高中班y個，根據題意，總共招生班數應限制在20-30之間，所以有

20<x+y<30

考慮到所投資金的限制,得至ij26x+54y+2x2x+2x3y<1200

即x+2y<40

另外，開設的班數不能為負，則xNO,yNO

14

把上面的四個不等式合在一起，得到:

20<x+y<30

x+2y<40

x>0

y>0

用圖形表示這個限制條件，得到如圖的平面區域（陰影部分）

例4一個化肥廠生產甲、乙兩種混合肥料，生產1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽18t;生產1車皮乙

種肥料需要的主要原料是磷酸鹽It,硝酸鹽15t,現庫存磷酸鹽10t、硝酸鹽66t,在此基礎上生產兩種混合

肥料。列出滿足生產條件的數學關系式，并畫出相應的平面區域。

解：設x,y分別為計劃生產甲乙兩種混合肥料的車皮數，于是滿足以下條件：

4x+y<10；

18x+15y<66

x-°ZF；

y〉04*..”10的“5丫"66

在直角坐標系中可表示成如圖的平面區域（陰影部分）。

［補充例題］

例1、畫出下列不等式表示的區域

（1）（x-y）（x-y-l）<0；（2）x<\y\<2x

分析：（D轉化為等價的不等式組；（2）注意到不等式的傳遞性，由x42x,得xNO,又用—y代y,不

等式仍成立，區域關于x軸對稱。

x-y>0fx-y<0一—-為人，

解：（1）^^0<x-y<l^\/，矛盾無解，故點（x,y）在一帶形區域內（含邊界）。

x-y-1<0［x-y>1

x—y<0

（2）由得xNO；當y>0時，有<）八點（x,y）在一條形區域內（邊界）；當yWO,由

2x-y>0

對稱性得出。

指出：把非規范形式等價轉化為規范不等式組形式便于求解

15

2x-y-3>0

例2、利用區域求不等式組《2x+3y-6<0的整數解

3x-5y-15<0

分析：不等式組的實數解集為三條直線4:2x—y—3=0,/2:2x+3y-6=0,。：3x—5y-15=0所圍

成的三角形區域內部（不含邊界）。設hch=B，l2n/3=C,求得區域內點橫坐標范圍，

取出x的所有整數值，再代回原不等式組轉化為y的一元不等式組得出相應的y的整數值。

解：設/[:2x-y—3=0,4：2x+3y-6=0,Z3:3x-5y-15=0,lxr>l2-A,八cj=B,

153751275

/2n/3=C,AA（—8（0,-3）,C（—,一一）。于是看出區域內點的橫坐標在（0,一）內，取x=l,

y<-1

412

2,3,當x=l時，代入原不等式組有得y=-2,.?.區域內有整點（1,-2）。

同理可求得另外三個整點（2,0）,（2,-1）,（3,-1）。

指出：求不等式的整數解即求區域內的整點是教學中的難點，它為線性規劃中求最優整數解作鋪墊。常有

兩種處理方法，一種是通過打出網絡求整點；另一種是本題解答中所采用的，先確定區域內點的橫坐標的

范圍，確定x的所有整數值，再代回原不等式組，得出y的一元一次不等式組，再確定y的所有整數值，

即先固定x,再用x制約y。

3.隨堂練習2

1.(1)y>|x|+1；(2).|x|>|y|；(3).x>|>!|

x+y-6>0

x—v0

2.畫出不等式組《一表示的平面區域

y<3

x<5

3.課本第86頁的練習4

4.課時小結

進一步熟悉用不等式（組）的解集表示的平面區域。

5.作業

1、課本第93頁習題3.3[B]組的第1、2題

16

（第7課時）

課題：§3.3.2簡單的線性規劃

【教學目標】

1.知識與技能：使學生了解二元一次不等式表示平面區域；了解線性規劃的意義以及約束條件、目標函數、

可行解、可行域、最優解等基本概念：了解線性規劃問題的圖解法，并能應用它解決?些簡單的實際問題;

2.過程與方法：經歷從實際情境中抽象出簡單的線性規劃問題的過程，提高數學建模能力；

3.情態與價值：培養學生觀察、聯想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數形結合的數學思想，提高學生

“建模”和解決實際問題的能力。

【教學重點】

用圖解法解決簡單的線性規劃問題

【教學難點】

準確求得線性規劃問題的最優解

【教學過程】

1.課題導入

［復習提問］

1、二元一次不等式Ax+8），+C〉0在平面直角坐標系中表示什么圖形？

2、怎樣畫二元次不等式（組）所表示的平面區域？應注意哪些事項？

3、熟記“直線定界、特殊點定域”方法的內涵。

2.講授新課

在現實生產、生活中，經常會遇到資源利用、人力調配、生產安排等問題。

1、下面我們就來看有關與生產安排的一個問題：

引例：某工廠有A、B兩種配件生產甲、乙兩種產品，每生產一件甲產品使用4個A配件耗時lh,每生產一

件乙產品使用4個B配件耗時2h,該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天8h計

算，該廠所有可能的日生產安排是什么？

（1）用不等式組表示問題中的限制條件：

設甲、乙兩種產品分別生產x、y件，又已知條件可得二元一次不等式組：

x+2y<8

4x<16

4y412

x>0

y>0

（2）畫出不等式組所表示的平面區域：

如圖，圖中的陰影部分的整點（坐標為整數的點）就代表所有可能的日生產安排。

（3）提出新問題:

進一步，若生產一件甲產品獲利2萬元，生產一件乙產品獲利3萬元，采用哪種生產安排利潤最大?

（4）嘗試解答：

設生產甲產品x件，乙產品y件時，工廠獲得的利潤為z,則這樣，上述問題就轉化為：

當x,y滿足不等式（1）并且為非負整數時，z的最大值是多少？

17

把z=2"3y變形為y=—2+7這是斜率為—2在y軸上的截距為;7的直線。當z變化時，可以

得到一族互相平行的直線，如圖，由于這些直線的斜率是確定的，因此只要給定一個點，(例如(1,2)),

就能確定一條直線(y=—-x+-),這說明，截距g可以由平面內的一個點的坐標唯一確定。可以看到，

333

直線y=-2+7*與不等式組(1)的區域的交點滿足不等式組(1),而且當截距7￡最大時，z取得最大值。

■333

因此，問題可以轉化為當直線y=2+￡7與不等式組(1)確定的平面區域有公共點時，

33

在區域內找一個點p,使直線經過點p時截距三最大。

(5)獲得結果：'

由上圖可以看出，當實現y=——2x+工7金國直線x=4與直線x+2y-8=0的交點M(4,2)時，截距三7的

333

14

值最大，最大值為一，這時2x+3y=14.所以，每天生產甲產品4件，乙產品2件時，工廠可獲得最大利潤

3

14萬元。

2、線性規劃的有關概念：

①線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關于x、y

的一次不等式，故又稱線性約束條件.

②線性目標函數：

關于x、y的一次式z=2x+y是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫線性目標函數.

③線性規劃問題：

一般地，求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題.

④可行解、可行域和最優解：

滿足線性約束條件的解(x,y)叫可行解.

由所有可行解組成的集合叫做可行域.

使目標函數取得最大或最小值的可行解叫線性規劃問題的最優解.

3、變換條件，加深理解

探究：課本第88頁的探究活動

(1)在上述問題中，如果生產一件甲產品獲利3萬元，每生產?件乙產品獲利2萬元，有應當如何安排

生產才能獲得最大利潤？在換幾組數據試試。

(2)有上述過程，你能得出最優解與可行域之間的關系嗎？

3.隨堂練習

1.請同學們結合課本為練習1來掌握圖解法解決簡單的線性規劃問題

3

2

(1)求麥2戶y的最大值，使式中的x、y滿足約束條件

-2

解：不等式組表示的平面區域如圖所示:CJ

當x=0,尸0時，

Z=2A+J=02x+y=0

18

點(0,0)在直線/。：2戶片0上.

作?組與直線/。平行的直線

I:2戶尸方"￡R.

可知，在經過不等式組所表示的公共區域內的點且平行于/的直線中,

以經過點力(2,-1)的直線所對應的心最大.x-y+1=0

所以2即=2X2-1=3.

3x+5y=0\/

(2)求^=3戶5P的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件XA

5x+3y<15,

ywx+L

x-5y>3,(

解：不等式組所表示的平面區域如圖所示：

從圖示可知，直線3田5產1在經過不等式組所表示的公共區域內的點

時，以經過點(-2,-1)的直線所對應的力最小，以經過點('9,：17)的直線所對應的t最大.

8'8

所以Zmn-3X(-2)+5X(-1)=-11.

c9「17,

X—+5X——14

88

4.課時小結

用圖解法解決簡單的線性規劃問題的基本步驟：

(1)尋找線性約束條件，線性目標函數；

(2)由二元一次不等式表示的平面區域做出可行域;

(3)在可行域內求目標函數的最優解

5.作業

課本第93頁習題［A］組的第2題.

19

（第8課時）