剛體的定軸轉動

第四章1第三節剛體定軸轉動的角動量第一節剛體運動的描述

第二節剛體定軸轉動的轉動定律目錄第四節剛體定軸轉動的動能定理和機械能守恒定律第一節

剛體運動的描述

一、剛體二、剛體運動的分類三、定軸轉動的運動學規律一.剛體

剛體是一種特殊的質點系統，無論它在多大外力作用下，系統內任意兩質點間的距離始終保持不變。特點(1)是一個質點組(2)組內任意兩點間的距離保持不變研究方法把剛體分成無數個質元

質點系

質點

剛體二.剛體運動的分類1.剛體的平動

當剛體運動時，如果剛體內任何一條給定的直線，在運動中始終保持它的方向不變，這種運動叫平動。剛體最簡單的運動形式特點取參考點O

O結論：剛體平動時,其上各點具有相同的速度、加速度及相同的軌跡平動時剛體內所有點都有相同的速度和加速度.質心的運動2.剛體的定軸轉動

剛體上各點都繞同一固定轉軸作不同半徑的圓周運動，且在相同時間內轉過相同的角度。OO’世界最大的摩天輪—“倫敦眼”

定軸轉動的特點(1)剛體上各點都在垂直于固定軸的平面內(轉動平面)做圓周運動.其圓心都在一條固定不動的直線(轉軸)上.(2)剛體上轉動半徑上各質元的速度、加速度大小不相同；(3)剛體上各質元的角速度、角加速度大小方向相同；用角量描述定軸轉動的獨立變量只有一個xOp

稱角位置或角坐標.規定逆時針轉向

為正.三.定軸轉動的運動學規律(1)角坐標

剛體定軸轉動的運動學方程(2)角位移

為t時間內剛體所轉過的角度.

=

(t)(3)角速度

角速度xOP(t)P(t+

t

)

+

角速度是矢量，方向規定為沿軸方向，指向用右手螺旋法則確定：右手四指沿剛體轉動方向，伸直的大拇指的指向為角速度的方向。對于剛體定軸轉動，角速度的方向只有兩個，規定逆時針方向為正，角速度方向可用正負號表示。(4)角加速度

可正可負角加速度方向一致方向相反加速轉動減速轉動勻變速轉動=常量與質點勻變速直線運動公式相對應.(5)剛體定軸轉動運動方程勻速轉動

=常量(6)角量與線量的關系線量——質點做圓周運動的位移r、速度v、加速度a

角量——描述剛體轉動整體運動的注:r的原點必須在轉軸上.弧長線速度切向加速度法向加速度r

sOxy如果α為恒量相應公式

兩類基本問題已知運動方程求角速度和角加速度求導數已知角加速度求角速度和運動方程求積分【例題4-1】一轉動的輪子由于摩擦力矩的作用，在5s內角速度由15rad/s

勻減速地降到10rad/s

。求：(1)角加速度；(2)在此5s內轉過的角度；(3)還需要多少時間輪子停止轉動。解：根據題意，角加速度為恒量。(3)【例題4-2】某發動機飛輪在時間間隔t內的角位移為求t時刻的角速度和角加速度。解：1.飛輪繞定軸作勻速轉動時,飛輪邊緣上任一點的[]切向加速度為零,法向加速度不為零切向加速度不為零,法向加速度為零切向加速度和法向加速度均為零切向加速度和法向加速度均不為零ABCD提交單選題1分第二節

剛體定軸轉動的轉動定律

一、剛體定軸轉動的轉動定律二、轉動慣量三、應用舉例一、剛體定軸轉動的轉動定律假設剛體由N個質元組成，對剛體中任一質元應用牛頓第二定律，可得上式切向分量式為：用乘以上式左右兩端并求和

根據內力性質(每一對內力等值、反向、共線,對同一軸力矩之代數和為零)

當剛體繞固定軸轉動時，剛體對該軸的轉動慣量與角加速度的乘積等于外力對此軸的合力距。

——定軸轉動定律J越大，就越小，說明越難改變其轉動狀態J越小，就越大，說明越易改變其轉動狀態二

轉動慣量1.定義

剛體的轉動慣量等于剛體上各質點的質量與該點到轉軸距離平方的乘積之和。2.說明

標量；

有可加性；單位：kg·m2

3.轉動慣量的計算若質量連續分布若質量離散分布y

rix

zyi

ximi

Δ線分布體分布面分布質量為線分布質量為面分布質量為體分布

其中、、分別為質量的線密度、面密度和體密度。線分布面分布體分布三

應用舉例1.轉動慣量的相關計算2.轉動定律的應用【例題4-3】如圖所示，一個質量為m、長為L的均勻細棒。求通過棒中心或端點并與棒垂直的軸的轉動慣量。ABLXABL/2L/2CX解：設細棒的線密度為λ，如圖所示若繞C軸轉動，則繞A軸轉動取一距離轉軸為x處的質量元

dm=λdx

【例題4-4】如圖所示，一個質量為m、半徑為R的均勻圓盤。求通過圓盤中心并與圓盤垂直的軸的轉動慣量。解：取半徑為r寬為dr的薄圓環,Rdrr

從理論上講，定義式適用于所有剛體，實際上，只有形狀規則的剛體才能用該式來計算轉動慣量，對于那些不規則形狀的剛體，往往要通過實驗方法進行測定。(1)平行軸定理ABCdxmi

i

i

i

對CA軸平行C軸（質心軸）對A由圖故：——平行軸定理平行軸定理若有任一軸與過質心的軸平行，相距為d，剛體對其轉動慣量為J，則有——平行軸定理說明：1)通過質心軸線的轉動慣量最小2)可用來計算剛體的轉動慣量ABLXABL/2L/2CXc

codJJcoJ＝JC＋md

2(2)垂直軸定理

yxz

圓盤R

Cm條件：厚度為無窮小的薄板?(3)組合定理

z

若剛體由有限部分組成，則剛體對Z軸的轉動慣量為JZ，為各個部分對Z軸的轉動慣量之和。z

桿

圓盤(4)影響剛體轉動慣量的因素剛體的總質量剛體的質量分布轉軸位置(5)轉動慣量與質量

任何剛體都有質量，無論是作平動，還是作轉動，剛體的質量都是固有屬性，不會消失也不會變化（指低速而言）。但轉動慣量只在轉動時才有意義，對于平動是無轉動慣量可言的。

一定形狀的剛體其質量是恒定的，但其轉動慣量卻不是惟一的，它不僅取決于總質量，還取決于質量的分布和轉軸的位置。對于不同的轉軸來說，由于質量對轉軸的分布情況不同，轉動慣量值就不相同了。因此，必須建立起這樣的概念：一提到轉動慣量，馬上應想到它是對哪個轉軸而言的。【例題4-5】

兩物體質量分別為、()，滑輪質量和半徑分別為、,

可看成質量均勻的圓盤,軸上的摩擦力矩為（設繩輕且不伸長,與滑輪無相對滑動）。求:物體的加速度及繩中張力。m1m2mRf例題4-5圖解：分別對、和分析運動、受力，設各量如圖所示因繩不伸長因輕繩對m1有對m2有對滑輪m由轉動方程再從運動學關系上有聯立以上幾式解得：討論：當不計滑輪質量和摩擦力矩時:1.剛體的轉動慣量只決定于[]剛體質量剛體質量的空間分布剛體質量對給定轉軸的空間分布轉軸的位置ABCD提交單選題1分2.關于剛體的轉動慣量J,下列說法中正確的是[]輪子靜止時其轉動慣量為零若mA＞mB,則JA＞JB只要m不變,則J一定不變以上說法都不正確ABCD提交單選題1分3.下列各因素中,不影響剛體轉動慣量的是[]外力矩剛體質量剛體質量的分布轉軸的位置ABCD提交單選題1分4.關于剛體的轉動慣量,以下說法中錯誤的是[]轉動慣量是剛體轉動慣性大小的量度轉動慣量是剛體的固有屬性,具有不變的量值轉動慣量是標量,對于給定的轉軸,剛體順時針轉動和逆時針轉動時,其轉動慣量的數值相同轉動慣量是相對量,隨轉軸的選取不同而不同ABCD提交單選題1分5.兩個質量分布均勻的圓盤A和B的密度分別為ρA和ρB,如果有ρA＞ρB,但兩圓盤的總質量和厚度相同．設兩圓盤對通過盤心垂直于盤面的軸的轉動慣量分別為JA和JB,則有[]JA＞JB

JA＜JBJA＝JB

不能確定JA、JB哪個大ABCD提交單選題1分6.兩個半徑相同、質量相等的細圓環A和B，A環的質量均勻分布，B環的質量分布不均勻,它們對通過環心并與環面垂直的軸的轉動慣量分別為JA和JB,則有[]JA＞JBJA＜JBJA＝JB

不能確定JA、JB哪個大ABCD提交單選題1分7.一個可繞定軸轉動的剛體,若受到兩個大小相等、方向相反但不在一條直線上的恒力作用,而且力所在的平面不與轉軸平行,剛體將怎樣運動?[]靜止勻速轉動勻加速轉動變加速轉動ABCD提交單選題1分8.繞定軸轉動的剛體轉動時,如果它的角速度很大,則[]作用在剛體上的力一定很大作用在剛體上的外力矩一定很大作用在剛體上的力和力矩都很大難以判斷外力和力矩的大小ABCD提交單選題1分4-13作業題：4-104-14第三節

剛體定軸轉動的角動量

一、剛體對軸的角動量二、剛體定軸轉動的角動量定理三、剛體定軸轉動的角動量守恒定律一、剛體對軸的角動量剛體上的一個質元,繞固定軸做圓周運動角動量為：剛體繞此軸的角動量為：剛體對固定轉動軸的角動量L,等于它對該軸的轉動慣量和角速度的乘積。mioo

Lrivi由轉動定律得積分得

當轉軸給定時，作用在剛體上的沖量矩等于剛體角動量的增量，這稱為剛體定軸轉動的角動量定理二、剛體定軸轉動的角動量定理

若剛體所受的外力對軸的力矩和為零角動量守恒定律：當剛體所受的合外力矩為零，或者不受合外力矩的作用，則剛體的角動量保持不變。三、剛體定軸轉動的角動量守恒定律轉速與轉動慣量成反比

1

2跳水運動員茹可夫斯基凳直升飛機花樣滑冰運動員的旋轉表演【例題4-6】長為L質量為m1的均勻細棒能繞其上端在豎直平面內轉動，開始時，細棒靜止于豎直位置。現有一質量為m2的子彈，以水平速度v0射入細棒下端而不復出，求子彈和棒開始一起運動時的角速度。v0m1Lv0m1解：由于子彈射入細桿到二者開始一起運動歷時很短，可認為在該過程中桿的位置不變，即仍為豎直位置。因此，對于細桿和子彈系統，在子彈射入過程中，系統所受外力（重力和軸支持力）對軸的力矩都是零，故系統的角動量守恒。

由角動量守恒定律：利用關系式：

即得：L【練習】一水平均質圓形轉臺，質量為m0，半徑為R，可繞鉛直的中心軸轉動，質量為m的人相對轉臺以不變的速度u，在轉臺上沿逆時針方向行走，且與軸的距離始終保持為r(r小于R)，，開始時，轉臺與人均靜止。若不計軸的摩擦，試問轉臺將以多大的角速度繞軸轉動？解：取人和轉臺為一個系統。轉臺所受的重力和底架對轉臺的支撐力均與軸平行，故它們對轉軸的力矩為零，因此系統的角動量守恒。以地面為參照系設人對轉臺的角速度為轉臺對地的角速度為則人對地的角速度為由角動量守恒即式中為人對軸的轉動慣量，J為轉臺對軸的轉動慣量。負號表示與人的角速度方向相反。1.剛體角動量守恒的充分而必要的條件是[]剛體不受外力矩作用剛體所受的合外力和合外力矩均為零剛體所受合外力矩為零剛體的轉動慣量和角速度均保持不變ABCD提交單選題1分2.幾個力同時作用在一個具有固定轉軸的剛體上．如果這幾個力的矢量和為零,則剛體[]必然不會轉動轉速必然不變轉速必然改變轉速可能不變,也可能變ABCD提交單選題1分第四節

剛體定軸轉動的動能定理和機械能守恒定律

一、力矩的功二、剛體定軸轉動的動能定理三、剛體的重力勢能四、剛體定軸轉動的機械能守恒定律對有限角位移作用于剛體的外力的功，可用外力對轉軸的力矩所做的功來計算.力矩的功率：剛體中P點在力的作用下位移則力元功OzP

一、力矩的功二、剛體定軸轉動的動能定理

當剛體繞定軸轉動時,其動能為所有質點作圓周運動動能的總和.任意質元的動能為：（1）定軸轉動剛體的動能剛體的動能（2）定軸轉動剛體的動能定理由于剛體是質點系，滿足質點系的動能定理。即（1）一對內力所做元功的代數和等于一個力與兩質點間相對距離的乘積（2）一對內力作功之和與參考系無關；內力功內力功=0

剛體是一種特殊的質點系統，無論它在多大外力作用下，系統內任意兩質點間的距離始終保持不變()。

作用于剛體的外力對固定軸的力矩所做的功等于剛體繞定軸轉動動能的改變量.三、剛體的重力勢能

剛體的重力勢能與質量集中在質心上的一個質點的重力勢能相同.剛體的重力勢能

四、定軸轉動的機械能守恒定律條件：剛體所受力中只有保守力做功動能+勢能=常數

若勢能是重力勢能【例題4-7】均質桿的質量為m，長為l,一端為光滑的支點.最初處于水平位置，釋放后桿向下擺動，如圖所示.求桿在圖示的豎直位置時，其下端點的線速度v。OCEp=0解:由機械能守恒得聯立得思考：桿末端固結一個質量也為m的小球，重解上題，結果多大？例題4-9圖解：把子彈和桿看作一個系統。系統所受的力有重力和軸對桿的約束力。在子彈射入桿的極短時間內，重力和約束力均通過軸，因而它們對軸的力矩均為零，系統的角動量守恒，于是有【例題4-8】如圖所示，一長為l、質量為的桿可繞支點O自由轉動。一質量為m、速度為v的子彈射入距支點為a的桿內。若桿的偏轉角為300，問子彈的初速為多少子彈射入桿內，在擺動過程中只有重力作功，故以子彈、桿和地球為系統，系統的機械能守恒。于是有解上述方程，得【例題4-9】如圖所示，一個質量為，半徑為R的定滑輪上面繞有細繩。繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質量為m的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體m由靜止下落h高度時的速度和此刻滑輪的角速度。例題4-10圖解：選取滑輪、物體和地球為研究系統，在質量為m的物體下降的過程中，滑輪軸對滑輪的作用力（外力）的功為零（無位移）。因此，系統只有重力（保守力）做功，所以機械能守恒。例題4-10圖滑輪的重力勢能不變，可以不考慮；取物體的初始位置為零勢能點，則系統的初態的機械能為零，末態的機械能為：由機械能守恒，得將關系式代入上式，可得：故滑輪的角速度為1.兩個質量相同、飛行速度相同的球A和B,其中A球無轉動,B球轉動,假設要把它們接住，所做的功分別為A1和A2,則[]A1＞A2A1＜A2A1=A2無法判定ABCD提交單選題1分2.銀河系中一均勻球體天體,其半徑為R,繞其對稱軸自轉的周期為T．由于引力凝聚作用,其體積在不斷收縮.則一萬年以后應有[]自轉周期變小,動能也變小自轉周期變小,動能增大自轉周期變大,動能增大自轉周期變大,動能減小ABCD提交單選題1分3.一人手拿兩個啞鈴,兩臂平伸并繞右足尖旋轉,轉動慣量為J,角速度為

．若此人突然將兩臂收回,轉動慣量變為J/3．如忽略摩擦力,則此人收臂后的動能與收臂前的動能之比為[]1：91：39：13：1ABCD提交單選題1分4.有兩個力作用在一個有固定轉軸的剛體上，在下述說法中正確的是[]：這兩個力都平行于軸作用時，它們對軸的合力矩一定是零這兩個力都垂直于軸作用時，它們對軸的合力矩可能是零當這兩個力的合力為零時，它們對軸的合力矩也一定是零當這兩個力對軸的合力矩為零時，它們的合力也一定是零ABCD提交多選題1分5.如圖所示，一圓盤正繞垂直于盤面的水平光滑固定軸O轉動，如圖射來兩個質量相同、速度大小相同，方向相反并在一條直線上的子彈，子彈射入圓盤并且留在盤內，則子彈射入后的瞬間，圓盤的角速度[]增大不變減小不能確定ABCD提交單選題1分6.一位溜冰者伸開雙臂來以1.0r/s繞身體中心軸轉動，此時的轉動慣量為1.33kg.m2,她收起雙臂來增加轉速，如收起雙臂后的轉動慣量變為0.48kg.m2

,她收起雙臂后的轉速[填空1]

r/s（保留2位小數）；她收起雙臂前后繞身體中心軸的轉動動能為[填空2]J

和[填空3]J（保留1位小數）。作答填空題6分7.質量為0.50kg，長為0.40m的均勻細棒，可繞垂直于棒的一端的水平軸轉動.如將此棒放在水平位置，然后任其落下，求：(1)當棒轉過60°時的角加速度[填空1]rad/s2和角速度[填空2]rad/s；(2)下落到豎直位置時的動能[填空3]J；(3)下落到豎直位置時的角速度[填空4]rad/s

（本題答案保留2位小數）。作答填空題8分作業題：4-124-17習題4-14質量為2.97kg，長為1.0m的勻質等截面細桿可繞水平光滑的軸線o轉動，最初桿靜止于鉛直方向。一彈片質量為10g，以水平速度200m/s射出并嵌入桿的下端，和桿一起運動，求桿的最大擺角θ.題4-13圖總結一、剛體

剛體是一種特殊的質點系統，無論它在多大外力作用下，系統內任意兩質點間的距離始終保持不變。二、剛體的運動形式1.剛體的平動當剛體運動時，如果剛體內任何一條給定的直線，在運動中始終保持它的方向不變，這種運動叫平動。特點：剛體平動時,其上各點具有相同的速度、加速度及相同的軌跡2.剛體的定軸轉動

剛體上各點都繞同一固定轉軸作不同半徑的圓周運動，且在相同時間內轉過相同的角度。定軸轉動的特點(1)剛體上各點都在垂直于固定軸的平