反比例函數（第1課時）教學目標1．了解反比例函數的相關概念，能判斷一個給定的函數是不是反比例函數．2．會用反比例函數解析式表示實際問題中變量間的對應關系．3．理解反比例函數自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數，會用待定系數法求反比例函數的解析式．4．掌握反比例關系與反比例函數的區別和聯系．教學重點理解反比例函數的概念，會用待定系數法確定反比例函數的解析式．教學難點1．能用待定系數法確定反比例函數的解析式．2．掌握反比例關系與反比例函數的區別和聯系．教學過程知識回顧我們已經學習過的函數有哪些？（1）一次函數：一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常數，k≠0)的函數，叫做一次函數．當b＝0時，y＝kx＋b即y＝kx，所以說正比例函數是一種特殊的一次函數．（2）二次函數：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數，a≠0)的函數，叫做二次函數．其中，x是自變量，a，b，c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項．【設計意圖】回顧學過的函數類型，為下文學習反比例函數作鋪墊．新知探究一、探究學習【思考】下列問題中，變量間具有函數關系嗎？如果有，請寫出它們的解析式．（1）京滬線鐵路全程為1463km，某次列車的平均速度v（單位：km/h）隨此次列車的全程運行時間t（單位：h）的變化而變化；（2）某住宅小區要種植一塊面積為1000m2的矩形草坪，草坪的長y（單位：m）隨寬x（單位：m）的變化而變化；（3）已知北京市的總面積為1.64×104km2，人均占有面積S（單位：km2/人）隨全市總人口n（單位：人）的變化而變化．【師生活動】教師提出問題，學生小組討論，教師參與討論，組織交流，引導學生寫出解析式．【答案】（1）根據“路程＝速度×時間”，得．（2）根據“矩形面積＝長×寬”，得．（3）根據“總面積＝人均占有面積×總人口”，得．【設計意圖】教師帶領學生對問題進行探究討論，引導學生用函數的觀點分析生活中變量間的對應關系，并讓學生嘗試用函數解析式表示出來，初步培養學生利用數學建模解決問題的能力．【問題】觀察這三個解析式，它們有什么共同特點？，，．【師生活動】學生獨立思考并回答問題，教師補充．【答案】都具有的形式，其中k是非零常數．【新知】一般地，形如(k為常數，k≠0)的函數，叫做反比例函數．其中x是自變量，y是函數．【問題】下列函數是不是反比例函數？若是，請指出系數k的值．，，，xy＝5，．【師生活動】選一名學生作答，教師和其他學生糾正補充．【答案】是反比例函數，可變形為，其中系數k＝3；不是反比例函數，是一次函數；是反比例函數，可變形為，其中系數k＝；xy＝5是反比例函數，可變形為，其中系數k＝5；不是反比例函數．【新知】反比例函數解析式的三種形式：，，xy＝k．(k為常數，k≠0)【問題】在反比例函數解析式中，自變量x的取值范圍是x≠0，為什么？【師生活動】學生回答：因為x作為分母，不能等于零，因此自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數．教師補充：在反比例函數解析式中，自變量x是分式的分母，因為當x＝0時，分式沒有意義，所以反比例函數的自變量x的取值范圍是x≠0，即x的取值范圍是不等于0的一切實數．【問題】在反比例函數解析式中，系數k≠0，為什么？【師生活動】教師提出問題，學生分小組交流討論并派代表回答，教師補充總結．【答案】在反比例函數解析式中的x，y成反比例，無論變量x，y怎樣變化，k的值始終等于x與y的乘積．若k＝0，則恒成立，為常數函數，失去了反比例函數的意義，所以系數k≠0．【設計意圖】通過問題串的形式，激發學生的求知欲，調動學生上課積極性，加深學生對反比例函數相關概念的理解．二、典例精講【例1】已知反比例函數，求(m－2)2022的值．【答案】解：因為是反比例函數，所以m2－2＝－1，且m＋1≠0，解得m＝1．當m＝1時，(m－2)2022＝(1－2)2022＝(－1)2022＝1．【設計意圖】讓學生進一步鞏固和理解反比例函數的概念與意義．【注意】利用反比例函數的概念求字母的值時，既要考慮自變量的次數，又要注意比例系數．本題易忽略m＋1≠0這一隱含條件．【例2】已知y是x的反比例函數，并且當x＝2時，y＝6．（1）寫出y關于x的函數解析式；（2）當x＝4時，求y的值．【分析】因為y是x的反比例函數，所以設．把x＝2，y＝6代入上式，就可求出常數k的值．【答案】解：（1）設．因為當x＝2時，y＝6，所以有．解得k＝12，因此．（2）把x＝4代入，得．【歸納】用待定系數法求反比例函數解析式的一般步驟：（1）設：設反比例函數的解析式為(k≠0)．（2）列：把已知x與y的一對對應值同時代入(k≠0)中，得到關于k的方程．（3）解：解方程，求出k的值．（4）寫：將求出的k的值代入所設解析式中，即得到所求反比例函數的解析式．【設計意圖】通過例2的練習與講解，讓學生掌握用待定系數法求反比例函數解析式的一般步驟．【例3】已知y＝y1＋y2，y1與(x－1)成正比例，y2與(x＋1)成反比例，當x＝0時，y＝－3，當x＝1時，y＝－1．求y關于x的解析式．【答案】解：因為y1與(x－1)成正比例，y2與(x＋1)成反比例，所以設y1＝k1(x－1)(k1≠0)，(k2≠0)，所以y＝y1＋y2＝k1(x－1)＋．把x＝0，y＝－3和x＝1，y＝－1分別代入y＝k1(x－1)＋，得解得所以．【歸納】反比例關系與反比例函數的區別和聯系：（1）如果ab＝k(k為常數，k≠0)，則a與b這兩個量成反比例關系，這里的a，b既可以代表單項式，也可以代表多項式．例如：若(y－3)與(x＋1)成反比例，則(k≠0)；若y與x3成反比例，則(k≠0)．（2）反比例函數中的兩個變量一定成反比例關系，但反比例關系不一定構成反比例函數．例如，表示y與x2成反比例關系，但y不是關于x的反比例