第十章計數原理、概率、隨機變量及其分布

突破3概率、統計與其他知識的綜合

。學生用書P253

命題點1概率、統計與函數、導數的綜合

例1[全國卷I]某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對

產品做檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件做

檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品做檢驗.設每件產品為不合格品的概率都

為p(0<p<l),且各件產品是否為不合格品相互獨立.

(1)記20件產品中恰有2件不合格品的概率為/⑺)，求/⑺)的最大值點

(2)現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以(1)中確定的0o作為p的

值.已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格

品支付25元的賠償費用.

(i)若不對該箱余下的產品做檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求E

(X)；

(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品做檢

驗？

解析(1)20件產品中恰有2件不合格品的概率/(0)=鬣或2(1一0)%

因此"(P)=C2Q[2p(1—P)18—1即2(1—p)17]=2C；°p(1—p)17(1—10/?).

令/(p)=0,得p=0.1.

當pG(0,0.1)時，f(p)>0;

當pe(0.1,1)時，f(/?)<0.

所以/(p)的最大值點po=O.l.

(2)由(1)知，72o=O.l,所以p=0.1.

(i)令y表示余下的180件產品中的不合格品的件數，依題意知y?3(iso,0.D,x=

20X2+25K,即X=40+25K

所以￡(X)=￡(40+257)=40+25E(K)=40+25X180X0.1=490.

(ii)如果對這箱余下的所有產品做檢驗，那么這一箱產品所需要的檢驗費為400元.

由于E(X)>400,因此應該對這箱余下的所有產品做檢驗.

方法技巧

概率、統計與函數、導數的綜合問題的解題策略

(1)讀懂題意，利用隨機變量的概率、均值與方差等的有關公式構造函數;

(2)結合函數的性質及概率統計知識求解.

訓練1[2021新高考卷n]一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微

生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代……該微生物每代

繁殖的個數是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個

數，P(X=i)=pi(z=0,1,2,3).

(1)已知po=O.4,pi—0.3,02=0.2,p3=0.1,求I(X).

(2)設0表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程po+pix+

的一個最小正實根，求證：當￡(X)W1時，p=l,當E(X)>1時，p<l.

(3)根據你的理解說明(2)問結論的實際含義.

解析(1)由題意，P(X=0)=0.4,P(X=l)=0.3,P(X=2)=0.2,P(X=3)=

0.1,

的分布列為

X0123

P0.40.30.20.1

：.E(X)=0X0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1=l.

(2)亍己/(X)=/>3X3+/>2X2+(6-1)x+po,

由題知，p為了(X)=0的實根，由00=1—pi—p2—P3,

得/(X)=03(X3-1)+02(%2-1)+pi(X—1)—(X~-1)=(X—1)[23%2+(03+。2)

x+p3+02+pi-1].

記g(X)=P3X2+(03+。2)x+p3+02+pi-1,

則g(1)=3p3~\~2p2~\~pi~1—E(X)—1,

g(0)=23+而+01-]=_po<O.

當E(X)W1時，g(1)WO,易知g(x)在(0,1)上單調遞增，，當xd(0,1)時，

g(x)=0無實根.

：.f(x)=0在(0,1]上有且僅有一個實根，即p=l,

當￡(X)W1時，p=\.

當E(X)>1時，g(1)>0,又g(0)<0,g(x)的圖象開口向上，；.g(x)=0在

(0,1)上有唯一實根"，

：.f(x)=0的最小正實根p=p'G(0,1),...當E(X)>1時，p<l.

(3)E(X)W1,表示1個微生物個體繁殖下一代的個數不超過自身個數，種群數量無法

維持穩定或正向增長，多代繁殖后將面臨滅絕，所以p=l.

￡(X)>1,表示1個微生物個體可以繁殖下一代的個數超過自身個數，種群數量可以正

向增長，所以面臨滅絕的可能性小于1.

命題點2概率、統計與數列的綜合

例2［2023新高考卷I］甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼

續投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為

0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、

乙的概率各為05

(1)求第2次投籃的人是乙的概率.

(2)求第，次投籃的人是甲的概率.

(3)已知：若隨機變量X?服從兩點分布，且尸(X=I)=1—尸(X=0)=qt,z=l,

nn

2,n,則￡(2%)=2分記前〃次(即從第1次到第"次投籃)中甲投籃的次數為

i=li=l

Y,求E(y).

解析(1)記“第2次投籃的人是乙”為事件“第1次投籃的人是甲”為事件3,則

A^BA+BA,

所以PQ4)=+BA)=P(B力)+P(BA)=P(8>P(A|B)+P(互)P(力忸)=0.5X(1-

0.6)+0.5x0.8=0.6.

(2)設第z?次投籃的人是甲的概率為由題意可知，Pi=g,pi+i=piX0.6+(1—pDX

2-1121

(1—0.8),即“?+1=0.4口+0.2=/+9所以2+Lg=g("一］)，

又p—?!='!—?!=，，所以數列血一g是以，為首項，!為公比的等比數列，

所以(|)廠1所以.=1+3X(|)口

(3)設第，次投籃時甲投籃的次數為X,則X的可能取值為0或1,當％=0時，表示第i

次投籃的人是乙，當X=1時，表示第，次投籃的人是甲，所以尸(X=l)=pi,P(x=

0)=1-/2/,所以E(%)=Pi.

+^3H----(Xi+E+J3H-----=〃i+o2+p3H-----

Y=X\+X2\~Xn,則E(丫)=E\'X^)\~Pn,

由(2)知，P尸(|)zl,所以pi+pz+p3T------［1+|+(|)24--------------------卜(

-)門］=巴+工義上4="義［1—(”?

方法技巧

概率、統計與數列的綜合問題的解題步驟

(1)精準定性，即明確所求概率的“事件屬性”，確定概率模型；

(2)準確建模，通過概率的求解，建立關于概率的遞推關系，轉化為數列模型問題；

(3)解決模型，利用數列的有關知識解決模型.

訓練2［全國卷I］為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為

此進行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，

隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗.當其中

一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥

更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白

鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得一1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈

則乙藥得I分，甲藥得一1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治

愈率分別記為a和.，一輪試驗中甲藥的得分記為X

(1)求X的分布列.

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得

分為，時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則po=O,小=1，pi=aPi^+bPi+cpi+l

(z=l,2,???,7),其中。=尸(X=-l),b=P(X=0),c=P(X=l).假設a=

0.5,夕=0.8.

(i)證明：｛口+i—“J(z=0,1,2,7)為等比數列.

(ii)求P4,并根據夕4的值解釋這種試驗方案的合理性.

解析(1)X的所有可能取值為一1,0,1.

p(x=-i)=(1-?)

P(X=0)=儂+(1—a)(1—日),

P(X=l)=a(1一￡).

所以X的分布列為

X-101

P(1~a)0磔+(1—a)(1一夕)a(.1—p)

(2)(i)由(1)得Q=0.4,6=0.5,c=0.1.

因此m=0.4口_1+0.5m+0.1“+1(z=l,2,…，7),故0.1(pi+i—pD=0.4(PLPi—i),

即“+i—口=4(pLPi—l).

又p—po=?WO,所以{口+i—“}(z=0,1,2,,,,,7)是公比為4,首項為pi的等比數

列.

(ii)由6)可得P8=p8_p7+0—p6H--F“_po+po=(28-0)+(27一26)H----F

(p「po)=，■%.

因為08=1,故所以04=(04—P3)+(03-？2)+(必一01)+(.pi—po')=

04表示甲藥的累計得分為4分時，最終認為甲藥比乙藥更有效的概率.由計算結果可以看

出，當甲藥的治愈率為0.5,乙藥的治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率04=

二七0.0039,此時得出錯誤結論的概率非常小，說明這種試驗方案合理.

1.［命題點1,023石家莊市三檢］國家在《中小學生健康體檢管理辦法(2021年版)》中規

定：中小學校每年組織1次在校學生健康體檢.現某學校有4000名學生，假設攜帶乙肝病

毒的學生占加%,某體檢機構通過抽血的方法篩查乙肝病毒攜帶者，如果對每個人的血樣

逐一化驗，就需要化驗4000次.為減輕化驗工作量，統計專家給出了一種化驗方法：隨機

按照七個人進行分組，將各組后個人的血樣混合再化驗，如果混合血樣呈陰性，說明這左

個人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需對該組每

個人的血樣再分別化驗一次.假設每人血樣化驗結果呈陰性還是陽性相互獨立.

(1)若機=0.4,記每人血樣化驗次數為X,求當先取何值時，X的數學期望最小，并求此

時化驗總次數.

(2)若加=0.8,設每人血樣單獨化驗一次費用5元，《個人混合化驗一次費用(上+4)元.

求當左取何值時，每人血樣化驗費用的數學期望最小，并求此時化驗總費用.

參考數據及公式：V10^3.16,(1+x)""l+〃x("dN*,〃22,IxIW0.01).

解析(1)由題意知，若混合血樣呈陰性，則X=±P(X=3=0.996、若混合血樣呈

kk

1-1

陽性，則X=；+l,P(X=；+l)=1—0.996，

kK

所以￡(X)=7X0.996*+(l+i)X(1-0.9961)=1+工一0.996*=1+=(1-0.004)

kkkk

^7+0.004^.

k

令/'(x)=1+0.004x,則/(x)=0.004—，，當XG(0,5V10)時，f(x)<0,當xd

(5V10,+8)時，f(x)>o,所以/(x)在(0,5V10)上單調遞減，在(5同,+8)

上單調遞增.

因為左GN*,(注意先取正整數)

5710^5X3.16=15.8,且/(15)=^+0.004X15^0.1267,/(16)=^+0.004X16=

0.1265,

所以當人=16時，E(X)取得最小值，且￡(X)的最小值為0.1265.

所以當先取16時，每人血樣化驗次數X的數學期望最小，此時化驗總次數為4000x

0.1265=506.

(2)設每組人人時，每組化驗總費用為Y元，

若混合血樣呈陰性，則丫=左+4,若混合血樣為陽性，貝I丫=6左+4,且尸(丫=后+4)=

0.992，P(Y=6后+4)=1—0.992*,

所以E(7)=(左+4)X0.992%+(6左+4)(1—0.992")=6k~5kX0.992k+4.

每個人血樣的化驗費用為山上=6—5X0,992無+?=6—5X(1-0.008)"6—5X(1-

kkk

0.008A)+：=1+0.04左+，21+2Jo.O4kq=1.8,

當且僅當0.04左=￡即左=10時取等號，所以當先取10時，每人血樣化驗費用的數學期望

k

最小，此時化驗總費用為4000X1.8=7200(元).

2.［命題點2/2023南樂市二模］進行獨立重復試驗，設每次成功的概率為p(0<p<l),失

敗的概率為1一0,將試驗進行到恰好出現廠次成功時結束試驗，以X表示試驗次數，則稱

X服從以r,〃為參數的帕斯卡分布或負二項分布，記為X?NB(r,p).

(1)若X?NB(3,1),求P(X=5).

(2)若X?NB(2,,〃GN*,〃22.

n

①求z尸(X=i)；

i=2

②要使得在n次內結束試驗的概率不小于1求?的最小值.

4

解析⑴因為X?NB(3,1),

X=5表示做了5次試驗，前4次中有2次成功，第5次也成功，所以尸(X=5)=C1(1

_工)2X(工)3=6X3XL=±

3392781

(2)①解法一P(X=i)=C_[X(1—夕廠2X(1)2=(Z-Dx(|)-.

記S=￡尸(X=i)=1X(1)2十2X(1)M--------1(H-1)X(i)?,則手=1X(|)3+

2XG)4+…+(fl—1)x(g),,+1,兩式相減，得為=(i)2+(g)3+…+(1)n—(〃

-1)x啰"+i

i2in一1

=91二？_]_("T)*(1)

=|—n—(〃—1)x(1)n+i

2n-n-l

所以S=卡二，即￡尸(x=?=號二.

，i=2z

解法二±P(X=i)=P(XW〃)，事件“XW〃”的對立事件為“〃次試驗中，成功了0

i=2

次或1次”.

“〃次試驗中，成功了0次“的概率”=(1—|)n=^r；

“〃次試驗中，成功了1次”的概率02=“X(l-i)

所以P(XW〃)=1—￡一次

即gp(X=i)=勺二1

i=2z

3

所

即

以>

即￡尸(X=i)=一二,\-

②〃次內結束試驗的概率為P(XW"),4

i=2z

吟W工

2"4

記/(〃)=*(〃22),因為/(〃+1)-/(?)=需一*=—贏＜0,所以/(")為遞

減數列.

因為/⑷=^＞1,f(5)=卷＜［,

故使得不等式噤成立的最小正整數為5,

214

所以〃的最小值為5.

(------------------------------:練習幫;，練透好題精準分層----------------------------

d學生用書?練習幫P401

1.［設問創新］魯班鎖是中國一種古老的益智玩具，它與九連環、華容道、七巧板被稱為中

國民間的四大傳統益智玩具.魯班鎖看似簡單，卻凝結著不平凡的智慧，是樺卯結構的集中

展現，一般由六根木條組成，三維拼插，內部柳卯咬合，外觀嚴絲合縫，十字立體，易拆

難裝，十分巧妙.某玩具公司新開發了/,8兩款魯班鎖玩具，記43兩款魯班鎖玩具所

獲利潤分別為X萬元、Y萬元，根據銷售部市場調研分析，得到相關數據如下表：(成本

利潤率=利潤+成本X100%)

(2)若4,2兩款魯班鎖玩具的投資成本共為20萬元，試求投資這兩款魯班鎖玩具所獲

利潤的方差之和的最小值.

解析(1)N款魯班鎖玩具的利潤：20X4%=0.8,20X8%=1.6,20X10%=2,3款魯

班鎖玩具的利潤：20X3%=0.6,20X5.5%=1.1,20X7.5%=1.5,

E(丫)=0.6X0.2+l.lX0.3+1.5X0.5=1.2,

則。(X)=(0.8-1.4)2X0.3+(1.6-1,4)2X0.6+(2-1.4)2X0,1=0.168.

D(y)=(0,6-1.2)2xo.2+(1.1-1.2)2X0.3+(1.5-1.2)2X0.5=0.12.

(2)記/款魯班鎖玩具的投資成本為他(0(加W20)萬元，則8款魯班鎖玩具的投資成

本為(20—機)萬元，

投資這兩款魯班鎖玩具所獲利潤的方差之和/(加)=D磴X)+D(今/丫)，

得/(m)=(―)2X0.168+2X0.12=—X0.168+(1-—+—)X0.12=

J202040010400

^(m-y)2+0.07^0.07,

所以當加=§時，投資/,2兩款魯班鎖玩具所獲利潤的方差之和取得最小值0.07.

2.[2024貴州六校聯考]為了豐富學生的課外活動，某中學舉辦羽毛球比賽，經過三輪的篩

選，最后剩下甲、乙兩人進行最終決賽，決賽采用五局三勝制，即當甲、乙兩人中有一人

先贏得三局比賽時，該選手獲勝，比賽結束.每局比賽皆須分出勝負，且每局比賽的勝負不

受之前比賽結果影響.假設甲在每一局獲勝的概率均為p(0<^<1).

(1)若比賽進行三局就結束的概率為了5),求的最小值；

(2)記(1)中，f(p)取得最小值時，p的值為小，以外作為p的值，用X表示甲、乙

實際比賽的局數，求X的分布列及數學期望E(X).

解析(1)三局就結束比賽的概率/(p)=p3+(1—p)3,

/=)=302—3(l—p)2=60—3,

11

當0<0三時，/5)<0；當;<?<1時，/")>o.

所以/(0)在(o,1)上單調遞減，在弓，1)上單調遞增，

所以當P=：時，/5)取得最小值,為之

24

-1

(2)由(1)知，p=po=~.

X的所有可能取值為3,4,5,

P(P=3)=G)3+(1-1)3=1

224

P(X=4)=2XC|X(|)2X(1-1)x|=1,

P(X=5)=2義以義(|)2X(1-|)2x|=1,

所以X的分布列為

X345

133

P

488

E(X)=3X-!-+4X-+5X-=—.

4888

3.[2024安徽六校聯考]為慶祝中國共產黨成立102周年，某校某班組織開展了“學黨史,

憶初心”黨史知識競賽活動，抽取四位同學，分成甲、乙兩組(每組兩人)，進行對戰答

題.規則如下：每次每位同學給出6道題目，其中有1道是送分題(即每位同學至少可答對

1題).若每次每組答對的題數之和為3的倍數，原答題組的人再繼續答題；若答對的題數

之和不是3的倍數，就由對方組接著答題.假設每位同學每次答題之間相互獨立.

(1)若第1次由甲、乙組答題是等可能的，求第2次由乙組答題的概率；

(2)若第1次由甲組答題，記第〃次由甲組答題的概率為2,求2.

解析(1)將第1次由甲組答題記作事件/,第2次由乙組答題記作事件3,則第1次由

乙組答題為事件瓦

因為答對的題數之和為3的倍數的可能情況為1+2,1+5,2+4,3+3,3+6,4+5,6

+6,

所以其概率為經座=工，

363

則答對的題數之和不是3的倍數的概率為1—3=|，

則P(5)=P(4B)+P(而)=尸Q)P(,B\A)+P(Z)P(,B\A)