PAGE1-第六章平面向量初步單元質量測評本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．下列命題正確的是()A．若|a|＝|b|，則a＝bB．若a≠b，則|a|≠|b|C．若|a|＝|b|，則a與b可能共線D．若|a|≠|b|，則a一定不與b共線答案C解析因為向量既有大小又有方向，只有方向相同、大小(長度)相等的兩個向量才相等，因此A錯誤；兩個向量不相等，但它們的模可以相等，故B錯誤；不論兩個向量的模是否相等，這兩個向量都可能共線，C正確，D錯誤．2．已知點A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，則向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)答案A解析eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，故eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－7，－4)．3．設a，b是共線的單位向量，則|a＋b|的值()A．等于2 B．等于0C．大于2 D．等于0或等于2答案D解析∵a與b是共線的單位向量，∴當兩個向量同向時，|a＋b|＝2|a|＝2；當兩個向量反向時，|a＋b|＝0；綜上所述，故選D．4．已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c與d同向 B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向 D．k＝－1且c與d反向答案D解析∵c∥d，∴設c＝λd，則ka＋b＝λa－λb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,λ＝－1，))∴k＝－1，λ＝－1，∴c＝－d，∴k＝－1且c與d反向．5．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b與4b－2a平行，則實數x的值是()A．－2 B．0C．1 D．2答案D解析因為a＝(1,1)，b＝(2，x)，所以a＋b＝(3，x＋1),4b－2a＝(6,4x－2)，由于a＋b與4b－2a平行，則6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2.6．已知三個力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同時作用于某物體上一點，為使物體保持平衡，現加上一個力f4，則f4＝()A．(－1，－2) B．(1，－2)C．(－1,2) D．(1,2)答案D解析由題意知f4＝－(f1＋f2＋f3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)．7．已知平面內M，N，P三點滿足eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(PM,\s\up6(→))＝0，則下列說法正確的是()A．M，N，P是一個三角形的三個頂點B．M，N，P是一條直線上的三個點C．M，N，P是平面內的任意三個點D．以上都不對答案C解析因為eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(PM,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(PM,\s\up6(→))＝0對任意情況是恒成立的．故M，N，P是平面內的任意三個點．故選C．8．已知△ABC中，點D在BC邊上，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AC,\s\up6(→))，則r＋s的值是()A．eq\f(2,3) B．eq\f(4,3)C．－3 D．0答案D解析如圖，連接AD，∵eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(CD,\s\up6(→))，又eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\f(3,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(CD,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AC,\s\up6(→))，∴r＝eq\f(2,3)，s＝－eq\f(2,3)，∴r＋s＝0.故選D．9．O為平面上一動點，A，B，C是平面上不共線的三點，且滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(OC,\s\up6(→))≠0(λ∈R)，則O點的軌跡必過△ABC的()A．垂心 B．外心C．內心 D．重心答案D解析如圖，設D為AB邊的中點，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，∴2eq\o(OD,\s\up6(→))＝λeq\o(OC,\s\up6(→))，∴點O在△ABC底邊AB的中線上．故選D．10．若α，β是一組基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量γ在基底α，β下的坐標．現已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐標為(－2,2)，則a在另一組基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐標為()A．(2,0) B．(0，－2)C．(－2,0) D．(0,2)答案D解析∵a在基底p，q下的坐標為(－2,2)，∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝2，,x＋2y＝4.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))∴a在基底m，n下的坐標為(0,2)．11．在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，DE∥BC，且DE與AC相交于點E，M是BC的中點，AM與DE相交于點N.若Aeq\o(N,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))(x，y∈R)，則x＋y＝()A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,8)答案C解析∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴AD＝eq\f(1,4)AB．∵DE∥BC，∴AE＝eq\f(1,4)AC．又∵M為BC的中點，∴N為DE的中點．∴eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,8)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＝y＝eq\f(1,8)，∴x＋y＝eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(1,4).12．如圖所示，在△ABC中，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)bB．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC．eq\f(2,7)a＋eq\f(4,7)bD．eq\f(4,7)a＋eq\f(2,7)b答案C解析如圖，連接BP，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝b＋eq\o(PR,\s\up6(→))，①eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝a＋eq\o(RP,\s\up6(→))－eq\o(RB,\s\up6(→)).②①＋②，得2eq\o(AP,\s\up6(→))＝a＋b－eq\o(RB,\s\up6(→)).③又∵eq\o(RB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(QB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－Aeq\o(Q,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)\o(AP,\s\up6(→))))，④將④代入③，得2eq\o(AP,\s\up6(→))＝a＋b－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)\o(AP,\s\up6(→))))，解得eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,7)a＋eq\f(4,7)B．故選C．第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．若平面向量a，b滿足|a＋b|＝1，a＋b平行于x軸，b＝(2，－1)，則a＝________.答案(－1,1)或(－3,1)解析由于|a＋b|＝1，a＋b平行于x軸，所以a＋b＝(1,0)或(－1,0)，則a＝(1,0)－(2，－1)＝(－1,1)或a＝(－1,0)－(2，－1)＝(－3,1)．14．如圖，直線l上依次有五個點A，B，C，D，E，滿足AB＝BC＝CD＝DE，如果把向量Aeq\o(B,\s\up6(→))作為單位向量e，那么直線上向量Deq\o(A,\s\up6(→))＋Ceq\o(E,\s\up6(→))的坐標為________．答案－1解析由題意得，DA＝3AB，CE＝2AB，可得eq\o(DA,\s\up6(→))＝－3eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，故可得eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝－3eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－e，故直線上向量eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))的坐標為－1.15．一只鷹正以與水平方向成30°角的方向向下飛行，直撲獵物，太陽光從頭上直照下來，鷹在地面上的影子的速度是40m/s，則鷹的飛行速率為________m/s.答案eq\f(80\r(3),3)解析設鷹的飛行速度為v1，鷹在地面上的影子的速度為v2，則|v2|＝40m/s，因為鷹的運動方向是與水平方向成30°角向下，故|v1|＝eq\f(|v2|,\f(\r(3),2))＝eq\f(80\r(3),3)(m/s)．16.eq\o(OA,\s\up6(→))＝(sinθ，－1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2sinθ，2cosθ)，其中θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|的最大值為________．答案3解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(sinθ，2cosθ＋1)?|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(sin2θ＋4cos2θ＋4cosθ＋1)＝eq\r(3cos2θ＋4cosθ＋2)＝eq\r(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ＋\f(2,3)))2＋\f(2,3))，∴當cosθ＝1，即θ＝0時，|eq\o(AB,\s\up6(→))|取得最大值，最大值為3.三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分別是eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))的中點，且eq\f(DC,AB)＝k(k≠1)．設eq\o(AD,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e2，選擇基底{e1，e2}，試寫出向量eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))在此基底下的分解式．解如圖所示，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝e2，且eq\f(DC,AB)＝k，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝keq\o(AB,\s\up6(→))＝ke2.又eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－e2＋ke2＋e1＝e1＋(k－1)e2.∵eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\o(NB,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋e2－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)[e1＋(k－1)e2]＋e2－eq\f(1,2)e1＝eq\f(k＋1,2)e2.18．(本小題滿分12分)已知向量a，b不共線．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；(2)求實數k，使ka＋b與2a＋kb共線．解(1)證明：eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝6a＋6b，顯然eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→)).故eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))有公共點A，故點A，B，D三點共線．(2)若ka＋b∥2a＋kb，必存在實數λ，使得ka＋b＝λ(2a＋kb)，整理ka＋b＝2λa＋λkb，又a與b不共線，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝2λ，,1＝λk，))得eq\f(k,2)＝eq\f(1,k)即k＝±eq\r(2).當k＝eq\r(2)時，ka＋b＝eq\r(2)a＋b,2a＋kb＝2a＋eq\r(2)b，此時ka＋b∥2a＋kb，同理可驗證k＝－eq\r(2)時亦符合題意．故k＝±eq\r(2).19．(本小題滿分12分)已知△ABC內一點P滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，若△PAB的面積與△ABC的面積之比為1∶3，△PAC的面積與△ABC的面積之比為1∶4，求實數λ，μ的值．解如圖，過點P作PM∥AC，PN∥AB，分別交AB，AC于點M，N，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→)).作PG⊥AC于點G，BH⊥AC于點H，因為eq\f(S△PAC,S△ABC)＝eq\f(1,4)，所以eq\f(PG,BH)＝eq\f(1,4).又因為△PNG∽△BAH，所以eq\f(PG,BH)＝eq\f(PN,AB)＝eq\f(1,4)，即eq\f(AM,AB)＝eq\f(1,4)，所以λ＝eq\f(1,4)，同理μ＝eq\f(1,3).20．(本小題滿分12分)已知：如圖，點L，M，N分別為△ABC的邊BC，CA，AB上的點，且eq\f(BL,BC)＝l，eq\f(CM,CA)＝m，eq\f(AN,AB)＝n，若eq\o(AL,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝0.求證：l＝m＝n.證明設eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b為基底．由已知得eq\o(BL,\s\up6(→))＝la，eq\o(CM,\s\up6(→))＝mb，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝－a－b，∴eq\o(AN,\s\up6(→))＝neq\o(AB,\s\up6(→))＝－na－nb，∴eq\o(AL,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋Beq\o(L,\s\up6(→))＝(l－1)a－b，①eq\o(BM,\s\up6(→))＝Beq\o(C,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝a＋mb，②eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝－na＋(1－n)b，③將①②③代入eq\o(AL,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝0，得(l－n)a＋(m－n)b＝0，∵a，b不共線，∴l－n＝0，m－n＝0，即l＝m＝n.21．(本小題滿分12分)平面內給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求滿足a＝mb＋nc的實數m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數k；(3)設d＝(x，y)滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1，求向量D．解(1)∵a＝mb＋nc，∴(3,2)＝(－m＋4n,2m＋n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3，,2m＋n＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9).))(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)，又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0，即k＝－eq\f(16,13).(3)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，又(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4－2y－1＝0，,x－42＋y－12＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4＋\f(\r(5),5)，,y＝1＋\f(2\r(5),5)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－\f(\r(5),5)，,y＝1－\f(2\r(5),5).))所以d＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(\r(5),5)，1＋\f(2\r(5),5)))或d＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(\r(5)