分式知識點和經典例習題【知識網絡】【思想措施】1．轉化思想轉化是一種重要的數(shù)學思想措施，應用非常廣泛，運用轉化思想能把復雜的問題轉化為簡樸問題，把生疏的問題轉化為熟悉問題，本章諸多地方都體現(xiàn)了轉化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加減運算的基本思想：異分母的分式加減法、同分母的分式加減法；解分式方程的基本思想：把分式方程轉化為整式方程，從而得到分式方程的解等．2．建模思想本章常用的數(shù)學措施有：分解因式、通分、約分、去分母等，在運用數(shù)學知識處理實際問題時，首先要構建一種簡樸的數(shù)學模型，通過數(shù)學模型去處理實際問題，經歷“實際問題———分式方程模型———求解———解釋解的合理性”的數(shù)學化過程，體會分式方程的模型思想，對培養(yǎng)通過數(shù)學建模思想處理實際問題具有重要意義．3．類比法本章突出了類比的措施，從分數(shù)的基本性質、約分、通分及分數(shù)的運算法則類比引出了分式的基本性質、約分、通分及分式的運算法則，從分數(shù)的某些運算技巧類比引出了分式的某些運算技巧，無一不體現(xiàn)了類比思想的重要性，分式方程解法及應用也可以類比一元一次方程．第一講分式的運算【知識要點】1.分式的概念以及基本性質;2.與分式運算有關的運算法則3.分式的化簡求值(通分與約分)4.冪的運算法則【重要公式】1.同分母加減法則:2.異分母加減法則:;3.分式的乘法與除法:,4.同底數(shù)冪的加減運算法則:實際是合并同類項5.同底數(shù)冪的乘法與除法;am●an=am+n;am÷an=am－n6.積的乘方與冪的乘方:(ab)m=ambn,(am)n=amn7.負指數(shù)冪:a-p=a0=18.乘法公式與因式分解:平方差與完全平方式(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2（一）、分式定義及有關題型題型一：考察分式的定義【例1】下列代數(shù)式中：，是分式的有： .題型二：考察分式故意義的條件【例2】當有何值時，下列分式故意義（1） （2） （3） （4） （5）題型三：考察分式的值為0的條件【例3】當取何值時，下列分式的值為0.（1） （2） （3）題型四：考察分式的值為正、負的條件【例4】（1）當為何值時，分式為正；（2）當為何值時，分式為負；（3）當為何值時，分式為非負數(shù).練習：1．當取何值時，下列分式故意義：（1） （2） （3）2．當為何值時，下列分式的值為零：（1） （2）3．解下列不等式（1） （2）（二）分式的基本性質及有關題型1．分式的基本性質：2．分式的變號法則：題型一：化分數(shù)系數(shù)、小數(shù)系數(shù)為整數(shù)系數(shù)【例1】不變化分式的值，把分子、分母的系數(shù)化為整數(shù).（1） （2）題型二：分數(shù)的系數(shù)變號【例2】不變化分式的值，把下列分式的分子、分母的首項的符號變?yōu)檎?（1） （2） （3）題型三：化簡求值題【例3】已知：，求的值.提醒：整體代入，①，②轉化出.【例4】已知：，求的值.【例5】若，求的值.練習：1．不變化分式的值，把下列分式的分子、分母的系數(shù)化為整數(shù).（1） （2）2．已知：，求的值.3．已知：，求的值.4．若，求的值.5．假如，試化簡.（三）分式的運算1．確定最簡公分母的措施：①最簡公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；②最簡公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次冪.2．確定最大公因式的措施：①最大公因式的系數(shù)取分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)；②取分子、分母相似的字母因式的最低次冪.題型一：通分【例1】將下列各式分別通分.（1）；（2）；（3）；（4）題型二：約分【例2】約分：（1）；（3）；（3）.題型三：分式的混合運算【例3】計算：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）題型四：化簡求值題【例4】先化簡後求值（1）已知：，求分子的值；（2）已知：，求的值；（3）已知：，試求的值.題型五：求待定字母的值【例5】若，試求的值.練習：1．計算（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）.2．先化簡後求值（1），其中滿足.（2）已知，求的值.3．已知：，試求、的值.4．當為何整數(shù)時，代數(shù)式的值是整數(shù)，并求出這個整數(shù)值.（四）、整數(shù)指數(shù)冪與科學記數(shù)法題型一：運用整數(shù)指數(shù)冪計算【例1】計算：（1） （2）（3） （4）題型二：化簡求值題【例2】已知，求（1）的值；（2）求的值.題型三：科學記數(shù)法的計算【例3】計算：（1）；（2）.練習：1．計算：（1）（2）（3）（4）2．已知，求（1），（2）的值.第二講分式方程【知識要點】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程產生增根的原因3.分式方程的應用題【重要措施】1.分式方程重要是看分母與否有外未知數(shù);2.解分式方程的關健是化分式方程為整式方程;方程兩邊同乘以最簡公分母.3.解分式方程的應用題關健是精確地找出等量關系,恰當?shù)卦O末知數(shù).（一）分式方程題型分析題型一：用常規(guī)措施解分式方程【例1】解下列分式方程（1）；（2）；（3）；（4）提醒易出錯的幾種問題：①分子不添括號；②漏乘整數(shù)項；③約去相似因式至使漏根；④忘掉驗根.題型二：特殊措施解分式方程【例2】解下列方程（1）；（2）提醒：（1）換元法，設；（2）裂項法，.【例3】解下列方程組題型三：求待定字母的值【例4】若有關的分式方程有增根，求的值.【例5】若分式方程的解是正數(shù)，求的取值范圍.提醒：且，且.題型四：解具有字母系數(shù)的方程【例6】解有關的方程提醒：（1）是已知數(shù)；（2）.題型五：列分式方程解應用題練習：1．解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）（5） （6）（7）2．解有關的方程：（1）；（2）.3．假如解有關的方程會產生增根，求的值.4．當為何值時，有關的方程的解為非負數(shù).5．已知有關的分式方程無解，試求的值.（二）分式方程的特殊解法解分式方程，重要是把分式方程轉化為整式方程，一般的措施是去分母，并且要檢查，但對某些特殊的分式方程，可根據其特性，采用靈活的措施求解，現(xiàn)舉例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：二、化歸法例2．解方程：三、左邊通分法例3：解方程：四、分子對等