試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊1.2空間向量基本定理精講精練同步訓(xùn)練【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量．考點(diǎn)二空間向量的正交分解1．單位正交基底如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對空間任一向量a，均可以分解為三個(gè)向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像這樣把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．考點(diǎn)三證明平行、共線、共面問題(1)對于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(2)如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.考點(diǎn)三求夾角、證明垂直問題(1)θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.知識(shí)點(diǎn)三求距離(長度)問題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．【題型歸納】題型一：空間向量基底概念與判斷1．下列能使向量，，成為空間的一個(gè)基底的關(guān)系式是（）A． B．C． D．2．空間四個(gè)點(diǎn)O，A，B，C，為空間的一個(gè)基底，則下列說法正確的是（）A．O，A，B，C四點(diǎn)不共線 B．O，A，B，C四點(diǎn)共面，但不共線C．O，A，B，C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線 D．O，A，B，C四點(diǎn)不共面3．若為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中能構(gòu)成基底的一組向量是（）A． B．C． D．題型二：空間向量基本定理的應(yīng)用4．空間四邊形中，.點(diǎn)在上，且，為的中點(diǎn)，則等于（）A．- B．- C．- D．-5．設(shè)是正三棱錐，是的重心，是上的一點(diǎn)，且，若，則（）．A． B． C． D．6．如圖，在四面體中，點(diǎn)是棱上的點(diǎn)，且，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).若，其中為實(shí)數(shù)，則的值是（）A． B． C． D．【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題7．已知是空間的一個(gè)基底，若，則（）A．是空間的一組基底B．是空間的一組基底C．是空間的一組基底D．與中的任何一個(gè)都不能構(gòu)成空間的一組基底8．點(diǎn)是矩形所在平面外一點(diǎn)，且平面，，分別是，上的點(diǎn)，且，則滿足的實(shí)數(shù)的值分別為（）A． B．C． D．9．在下列兩個(gè)命題中，真命題是（）①若三個(gè)非零向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，，共面；②若，是兩個(gè)不共線向量，而＝λ＋μ(λ，μ且λμ≠0)，則{，，}構(gòu)成空間的一個(gè)基底．A．僅① B．僅② C．①② D．都不是10．如圖，在長方體中，P是線段上一點(diǎn)，且，若，則（）A． B． C． D．111．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，若記，，，則（）A． B．C． D．12．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）.A．三個(gè)非零向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則它們不共面B．兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線C．若?是兩個(gè)不共線的向量，且(且)，則構(gòu)成空間的一個(gè)基底D．若??不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則???四點(diǎn)共面13．如圖，已知空間四邊形，其對角線為分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且使，用向量表示向量為（）A．B．C．D．14．設(shè)：，，是三個(gè)非零向量；：為空間的一個(gè)基底，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件15．已知空間向量，滿足||=||=1，且，的夾角為，O為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A，B滿足=2+，=3-，則△OAB的面積為（）A． B． C． D．16．已知在四棱柱中，四邊形為平行四邊形，若，則（）A． B． C． D．【高分突破】一：單選題17．在空間四邊形中，，，，且，則（）A． B． C． D．18．在三棱錐中，，N為中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．19．在平行六面體中，與的交點(diǎn)為，設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是（）A． B． C． D．20．如圖，在四面體中，，分別在棱，上且滿足，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，用向量，，作為空間的一組基底表示向量應(yīng)為（）A． B．C． D．21．已知，，，，則向量與之間的夾角為（）.A． B． C． D．以上都不對22．給出下列命題：①已知，則；②、、、為空間四點(diǎn)，若、、不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么、、、共面；③已知，則、與任何向量都不構(gòu)成空間的一個(gè)基底；④若、共線，則、所在直線或者平行或者重合．正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．423．已知O，A，B，C為空間不共面的四點(diǎn)，且向量=，向量，則不能與構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（）A． B． C． D．或24．在棱長為1的正方體中，，，分別在棱，，上，且滿足，，，是平面，平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)，則（）A． B． C． D．二、多選題25．在以下命題中，不正確的命題有（）A．是、共線的充要條件B．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使C．對空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)、、，若，則、、、四點(diǎn)共面D．若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底26．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A．空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面B．若對空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面C．已知向量組是空間的一個(gè)基底，若，則也是空間的一個(gè)基底D．若，則是鈍角27．已知空間四邊形，其對角線為、，、分別是對邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，現(xiàn)用基組表示向量，有，則（）A． B． C． D．28．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都是，且它們彼此的夾角都是，為與的交點(diǎn).若，，.則下列正確的是（）A． B．C．的長為 D．29．下列命題中，正確的命題有（）A．是共線的充要條件B．若則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得C．對空間中任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)若，則四點(diǎn)共面D．若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底30．給出下列命題，其中正確的有（）A．空間任意三個(gè)向量都可以作為一組基底B．已知向量，則、與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底C．，，，是空間四點(diǎn)，若，，不能構(gòu)成空間的一組基底，則，，，共面D．已知是空間向量的一組基底，若，則也是空間一組基底三、填空題31．已知在正方體ABCD一中，點(diǎn)E為底面的中心，，，，，則=______，=_______，=_______．32．設(shè)且是空間的一組基底，給出下列向量組：①；②③④其中可以作為空間的基底的向量組是___________(填序號(hào))．33．如圖，已知空間四邊形，其對角線為、，是邊的中點(diǎn)，是的重心，則用基向量，，表示向量的表達(dá)式為___________.34．如圖，點(diǎn)M為OA的中點(diǎn)，為空間的一個(gè)基底，，則有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）=________.35．已知為不共面的三個(gè)向量，，，若，則α，β，λ的值分別為________．36．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有______．①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；②若非零向量，，滿足，，則有；③若，，是空間的一組基底，且，則，，，四點(diǎn)共面；④若向量，，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底．四、解答題37．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)，，，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點(diǎn)．（1）用向量表示，；（2）若，求實(shí)數(shù)的值．38．如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.求證：A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面.39．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，，E為A1D1的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC1與B1C的交點(diǎn).（1）用基底表示向量（2）化簡，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果.40．如圖，已知PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，G為△PDC的重心，i，j，k，試用基底{i，j，k}表示向量，.【答案詳解】1．C【詳解】對于A：由，可得M，A，B，C四點(diǎn)共面，即共面，所以選項(xiàng)A無法構(gòu)成基底，選項(xiàng)C可以構(gòu)成基底；對于B：因?yàn)椋善矫嫦蛄炕径ɡ恚傻霉裁妫瑹o法構(gòu)成基底，故B錯(cuò)誤；同理選項(xiàng)D中，共面，故D錯(cuò)誤.故選：C2．D【詳解】由空間基底的定義，三個(gè)向量不共面，但選項(xiàng)A，B，C三種情形都有可能使共面，只有D才能使這三個(gè)向量不共面.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查基底的概念，屬于基礎(chǔ)題.3．C【詳解】A：因?yàn)椋韵蛄渴枪裁嫦蛄浚虼诉@三個(gè)向量不能構(gòu)成基底；B：因?yàn)椋韵蛄渴枪裁嫦蛄浚虼诉@三個(gè)向量不能構(gòu)成基底；C：因?yàn)闉榭臻g的一組基底，所以這三個(gè)向量不共面.若不構(gòu)成一組基底，則有，所以向量是共面向量，這與這三個(gè)向量不共面矛盾，故假設(shè)不正確，因此能構(gòu)成一組基底，D：因?yàn)椋韵蛄渴枪裁嫦蛄浚虼瞬荒軜?gòu)成一組基底.故選：C4．B【詳解】解：因?yàn)椋?為的中點(diǎn)，則，.故選：B.5．C【詳解】如下圖所示，連接并延長交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，為的重心，可得，而，，所以，，所以，，因此，.故選：C.6．C【詳解】因?yàn)椋裕?故選：C.7．C假設(shè)，即，得，這與是空間的一個(gè)基底矛盾，故是空間的一組基底，故選：C.8．D取的中點(diǎn)，連接，則，又因?yàn)椋煽臻g向量基本定理可得：故選：D.9．A【詳解】解：根據(jù)空間向量基底的定義，三個(gè)非零向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，，共面正確，故①為真命題；根據(jù)平面向量基本定理，若，是兩個(gè)不共線向量，且＝λ＋μ(λ，μ且λμ≠0)，則與、所確定的平面共面，即，，共面，所以{，，}不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故②為假命題.故選：A.10．B【詳解】長方體中，依題意，，，而，又不共面，于是得，，，所以.故選：B11．A【詳解】解:,故選:A12．C【詳解】A選項(xiàng)，三個(gè)非零向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則三個(gè)非零向量不共面，故A正確；B選項(xiàng)，三個(gè)非零向量不共面，則此三個(gè)向量可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，若兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這三個(gè)向量共面，則已知的兩個(gè)向量共線，如圖，故B正確；C選項(xiàng)，∵滿足，∴，，共面，不能構(gòu)成基底，故C錯(cuò)誤，D選項(xiàng)，因?yàn)??共起點(diǎn)，若，，，四點(diǎn)不共面，則必能作為空間的一個(gè)基底，故D正確，故選C.13．A【詳解】.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以所以.故選：A.14．B當(dāng)非零向量，，共面時(shí)，不能是空間的一個(gè)基底，由得不出，若為空間的一個(gè)基底，則，，一定不共面，所以，，一定是非零向量，所以由可以得出，因此是的必要不充分條件，故選：B.15．B【詳解】||===，||=，則cos∠AOB===，從而有sin∠AOB=，∴△OAB的面積S=×××=，故選：B．16．C【詳解】據(jù)題意，得，，所以，即.又因?yàn)闉榭臻g不共面的三個(gè)向量，所以，所以，所以.故選：C.17．D故選：D18．B【詳解】連接，所以，因?yàn)椋裕?故選：B.19．D【詳解】故選：D20．B【詳解】連接，如圖，則由向量加法的平行四邊形法則可得.故選：B.21．C因?yàn)椋裕瑑蛇吰椒降茫海矗裕驗(yàn)椋?故選：C22．C對于①，若，則，故，故①正確；對于②，若、、不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則、、這個(gè)向量在同一平面內(nèi)，故、、、共面，故②正確；對于③，當(dāng)時(shí)，若與、不共面，則、、可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故③不正確；對于④，根據(jù)向量共線的定義可得其成立，故④正確，故選：C.23．C【詳解】因?yàn)?，=，故()，所以與向量共面，故，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底.故選：.24．C【詳解】如圖，為與交點(diǎn)，為中點(diǎn)，為與的交點(diǎn).過作平行交于.如圖,則為中點(diǎn)，所以.所以，因此，因?yàn)椋?.故選：C25．ABC【詳解】對于A選項(xiàng)，充分性：若，則、方向相反，且，充分性成立；必要性：若、共線且方向相同，則，即必要性不成立，所以，是、共線的充分不必要條件，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，若，，則，但不存在實(shí)數(shù)，使得，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，對空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)、、，若、、、四點(diǎn)共面，可設(shè)，其中、，則，可得，由于，，此時(shí)，、、、四點(diǎn)不共面，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，假設(shè)、、共面，可設(shè)，由于為空間的一個(gè)基底，可得，該方程組無解，假設(shè)不成立，所以，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，D選項(xiàng)正確.故選：ABC.26．ABC【詳解】對于A中，根據(jù)共線向量的概念，可知空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面，所以是正確的;對于B中，若對空間中任意一點(diǎn)，有，因?yàn)椋鶕?jù)空間向量的基本定理,可得P,A,B,C四點(diǎn)一定共面，所以是正確的;對于C中，由是空間中的一組基底，則向量不共面，可得向量不共面，所以也是空間的一組基底，所以是正確的;對于D中，若，又由，所以，所以不正確.故選：ABC27．ABC【詳解】如下圖所示，為的中點(diǎn)，則，為的中點(diǎn)，則，，，則，，，，則.故選：ABC.28．BD【詳解】由空間向量的加法法則得，B正確，，A錯(cuò)誤；由已知，，C錯(cuò)；，D正確．故選：BD．29．CD【詳解】對于當(dāng)時(shí)，共線成立，但當(dāng)同向共線時(shí)所以是共線的充分不必要條件，故不正確對于B，當(dāng)時(shí)，，不存在唯一的實(shí)數(shù)使得，故不正確對于C，由于，而，根據(jù)共面向量定理知四點(diǎn)共面，故正確對于D，若為空間的一個(gè)基底，則不共面，由基底的定義可知，不共面，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故正確.故選：CD30．BCD【詳解】選項(xiàng)A中，根據(jù)空間基底的概念，可得任意三個(gè)不共面的向量都可以作為一個(gè)空間基底，所以A不正確；選項(xiàng)B中，根據(jù)空間基底的概念，可得B正確；選