第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年上海交大附中高一（下）期末數學試卷一、單選題：本題共4小題，每小題3分，共12分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數z滿足|z?1|=1，|z|的取值范圍為(

)A.[0,2] B.(0,2) C.[0,4] D.(0,4)2.在同一平面直角坐標系內，將所有可以用兩點式方程表示的直線組成的集合記為A；將所有可以用點斜式方程表示的直線組成的集合記為B；將所有可以用點法式方程表示的直線組成的集合記為C.則下列結論中正確的是(

)A.A=B=C B.C?B?A C.A?B?C D.B?C?A3.已知向量a，b，c滿足a+b+c=0，且a2<b2A.a?b B.b?c C.4.若無窮數列{an}滿足：a1≥0，當n∈N，n≥2時，|an?an?1|=max{a1,a2,?,an?1}(其中max{a1,a2,?,an?1}表示a1，a2，?，an?1中的最大項)，有以下結論：

①若數列{an}是常數列，則aA.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題：本題共12小題，每小題3分，共36分。5.平面直角坐標系中，以(?2,1)為圓心，且經過原點的圓的方程為______．6.在復數范圍內方程x2?2x+3=0的解集是______．7.若等差數列{an}的前三項依次為1，a+1，a+3，則實數a8.已知數列{an}的前n項和Sn=n9.已知|a|=|b|=2，a?b10.已知a=(1,?1)，b=(2,0)，則b在a方向上的投影的坐標為______．11.直線l1：y=2x?1與l2：y=112.將無限循環小數化為分數：0.3.1.13.已知△ABC外接圓的半徑為1，圓心為O，且AB+AC=2AO，|AB|=|14.計算：k=11979coskπ18015.當今各網絡銷售平臺通常會提供上門回收舊家具服務.平臺工作人員小牛正在回收某客戶淘汰的舊家具，為了省力，小牛選擇將舊家具水平推運(舊家具背面水平放置于帶滾輪的平板車上，平板車長寬均小于舊家具背面).已知舊家具的形狀為長方體.小牛在推運過程中遇到一處直角過道，如圖所示，過道寬為1.8米.記舊家具在地面的投影為矩形EFGH，其中寬度EH=1.2米.請幫助小牛得出結論：按此種方式推運的舊家具，可以通過該直角過道的最大高度EF為______米(結果精確到0.1米)．16.已知n是大于3的正整數，平面直角坐標系xOy中，正n邊形P1P2?Pn內接于單位圓.若集合S={P||PO|≤|PPi|,i=1,2,?,n}，則集合三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題12分)

已知復數z=(2?a)+(2+a)i，其中i為虛數單位，a∈R．

(1)若z?z?=16，求實數a的值；

(2)求|z?2|的最小值，并指出|z?2|取到最小值時實數18.(本小題12分)

已知函數y=f(x)，其中f(x)=sin(ωx+φ)，(ω>0,0≤φ<2π)．

(1)若ω=1，φ=0，在用“五點法”作出函數y=f(x)，x∈[0,2π]的大致圖象的過程中，第一步需要將五個關鍵點列表，請完成如表：x0f(x)0(2)若ω=2，φ=π3，寫出函數y=f(x)的最小正周期和單調增區間；

(3)若y=f(x)的頻率為1π，且f(x)≤f(π19.(本小題12分)

如圖，某地有三家工廠分別位于矩形ABCD的兩個頂點A、B及CD的中點P處.AB=20km，BC=10km.為了處理這三家工廠的污水，現要在該矩形區域內(不含邊界)且與A、B等距離的一點O處，建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道OA、OB、OP.記排污管道的總長度為ykm．

(1)設∠BAO=θ，將y表示成θ的函數并求其定義域；

(2)確定污水處理廠的位置，使排污管道的總長度y最短，并求出此時y的值．20.(本小題12分)

如圖，平面直角坐標系xOy中有一張圓形紙片(不計厚度)，圓心為坐標原點O，OA是圓形紙片的一條半徑，其中點A(2,0)，點B是線段OA的中點.在圓形紙片的邊界上任取一點P，將紙片對折，使得P與B重合，展開后得到的折痕為線段MN(端點M、N在紙片邊界上)：

(1)若點P與點A重合，求折痕MN所在直線的方程；

(2)若PB⊥OA，且點P在第一象限，求線段MN的長度；

(3)求線段MN的長度的取值范圍．21.(本小題12分)

若無窮數列{an}滿足：存在正整數T，使得an+T=an對一切正整數n成立，則稱{an}是周期為T的周期數列．

(1)若an=2n+3，bn=3(n∈N?)，判斷數列{an}與{bn}是否為周期數列(不必說明理由)；

(2)若an+1=sinan(n∈參考答案1.A

2.C

3.B

4.C

5.(x+2)6.{1+7.2

8.252

9.π310.(1,?1)

11.π412.319913.3

14.0

15.2.6

16.n417.解：(1)z?=(2?a)?(2+a)i，

z=(2?a)?(2+a)i，z?z?=(2?a)2+(2+a)2=8+2a2=16，解得a=±2．

經檢驗，a=±2滿足要求；

(2)|z?2|=|?a+(2+a)i|=(?a)2+(2+a)18.解：(1)若ω=1，φ=0，則f(x)=sinx，x∈[0,2π]，

五點法列表如下：x0ππ3π2πf(x)010?10(2)若ω=2，φ=π3，則f(x)=sin(2x+π3)，

所以f(x)最小正周期T=2π2=π，

令2kπ?π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，

解得kπ?5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，

所以y=f(x)的單調增區間為[kπ?5π12,kπ+π12]，k∈Z．

(3)由題意可得y=f(x)的周期19.解：(1)如圖所示，延長PO交AB于點E，

根據題意OA=OB，PE=10，PE⊥AB，AE=10，

當點O，E重合時，θ=0最小；

當點O，P重合時，θ=∠PAE=π4最大，

當點O與P，E不重合時，

在△OAE中，cosθ=AEOA，tanθ=OEAE，OA=OB=AEcosθ=10cosθ，OE=tanθ?AE=10tanθ，

所以y=OA+OB+PO=10cosθ+10cosθ+10?10tanθ=20cosθ+10?10tanθ=20?10sinθcosθ+10，

所以y=20?10sinθcosθ+10，函數的定義域為θ∈[0,π4]；

(2)y=20?10sinθcosθ+10，θ∈[0,π4]，

y′=?10cosθcosθ?(20?10sinθ)(?sinθ)cos2θ=10(2sinθ?1)cos2θ，20.解：(1)點P與點A重合時，折痕MN所在直線為線段AB的中垂線，其方程為x=32；

(2)點B(1,0)，PB⊥OA且點P在第一象限時，P(1,3)，

所以線段AB的中垂線MN的方程為y=32，

圓心O到直線MN的距離d=32，

所以|MN|=24?d2=13；

(3)設P(m,n)，其中m2+n2=4，

折痕MN所在直線即線段PB的中垂線(x?1)2+y2=(x?m)2+(y?n)2，

21.解：(1)數列{an}不是周期數列，數列{bn}是周期數列．

因為an=2n+3，

假設存在正整數T，使得an+T=an對一切正整數n成立，

即2(n+T)+3=2n+3，解得T=0?N?，

所以數列{an}不是周期數列，

因為bn=3(n∈N?)，

對任意的正整數T，均有bn+T=3=bn(n∈N?)，

所以數列{bn}是周期數列，

綜上，數列{an}不是周期數列，數列{bn}是周期數列；

(2)對任意n≥2時，an=sinan?1∈[?1,1]，

所以|an+1|=|sinan|=