第1頁（共1頁）2022-2023學年北京市西城外國語學校八年級（上）期中數學試卷一、單項選擇題（每小題2分，共16分）1．（2分）下面有4個汽車標志圖案，其中不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列計算正確的是（）A．（a2）3＝a6 B．a2?a3＝a6 C．（2a）3＝2a3 D．a10÷a2＝a53．（2分）圖中的兩個三角形全等，則∠1等于（）A．45° B．62° C．73° D．135°4．（2分）下列運算正確的是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．2a+3b＝5ab C．2（2a﹣b）＝4a﹣b D．（a+b）2＝a2+b25．（2分）在平面直角坐標系xOy中，點P（﹣3，5）關于y軸對稱的點的坐標是（）A．（﹣3，﹣5） B．（3，﹣5） C．（3，5） D．（5，﹣3）6．（2分）某同學把一塊三角形的玻璃打碎成了3塊，現在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最少要帶第（）塊去玻璃店就可以買到完全一樣的玻璃．A．① B．② C．③ D．①②③7．（2分）下列命題中正確的有（）個①三個內角對應相等的兩個三角形全等；②三條邊對應相等的兩個三角形全等；③有兩角和一邊分別對應相等的兩個三角形全等；④等底等高的兩個三角形全等．A．1 B．2 C．3 D．48．（2分）如圖所示，在長方形ABCD的對稱軸l上找點P，使得△PAB，△PBC，△PDC，△PAD均為等腰三角形，則滿足條件的點P有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．1個二、填空題（每小題2分，共16分）9．（2分）計算（﹣3a2b）3的結果是．10．（2分）若（a﹣1）0有意義，則實數a的取值范圍是．11．（2分）若等腰三角形的一個外角為140°，則它的頂角的度數為．12．（2分）用三角尺可按下面方法畫角平分線：在已知的∠AOB的兩邊上分別取OM＝ON，再分別過點M，N作OA，OB的垂線，交點為P，畫射線OP，則OP平分AOB．其理由是.（填定理）13．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB∥CD，過點B作BE⊥AC于E，BD⊥CD于D，CD＝8，BD＝3，△ABE的周長為．14．（2分）現有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片（邊長如圖）．（1）取甲、乙紙片各1塊，其面積和為；（2）嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，還需取丙紙片塊．15．（2分）已知a＝8131，b＝2742，c＝961，則a，b，c的大小關系是.（用“＜”連接）16．（2分）設a，b是實數，定義*的一種運算如下：a*b＝（a+b）2，則下列結論：①a*b＝0，則a＝﹣b；②a*b＝b*a；③a*（b+c）＝a*b+a*c；④a*b＝（﹣a）*（﹣b），正確的有．三、解答題（第17題8分，第18題20分，共28分）17．（8分）計算：（1）29÷27﹣（3﹣π）0﹣|﹣4|；（2）（8m3﹣6m2+2m）÷2m．18．（20分）計算：（1）（﹣4x2）（3x+1）；（2）（3n﹣2）（n+5）；（3）（x﹣2）2﹣（x+3）（x+1）；（4）（2x+y+z）（2x﹣y﹣z）．四、畫圖題（算19題4分，第20題8分，共12分）19．（4分）尺規作圖：已知∠α，∠β，求作∠ABC，使得∠ABC＝∠α﹣∠β．（不寫作法，但要保留作圖痕跡）20．（8分）對于所有直角三角形，我們都可以將其分割為兩個等腰三角形；例如：如圖，已知△ABC，∠BAC＝90°，作直角邊AB的垂直平分線DE，分別交BC與AB于D，E兩點，連接AD，則AD將△ABC分割成兩個等腰三角形△ADC，△ADB．（1）請在以下證明過程中填入適當理由．證明：∵DE垂直平分AC∴AD＝DB（）∴∠1＝∠2（）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°∴∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°∴∠3＝∠4∴CD＝DA（）∴△ADC、△ADB是等腰三角形（2）根據上述方法，將下面三角形分割成4個等腰三角形；（尺規作圖，保留作圖痕跡）（3）將下面的不等邊三角形分割成5個等腰三角形；（不要求尺規，準確作圖并用相同的記號標出相等的線段）五、解答題（第21題6分，第22，23題每題7分，第24題8分，共28分）21．（6分）已知：如圖，C為BE上一點，點A，D分別在BE兩側，AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED．求證：AC＝CD．22．（7分）已知：如圖，點B，C，E在同一條直線上，CD平分∠ACE，∠DBM＝∠DAN，DM⊥BE于M，DN⊥AC于N．（1）求證：△BDM≌△ADN；（2）若AC＝7，BC＝3，求CM的長．23．（7分）已知：如圖，D是△ABC的邊BA延長線上一點，且AD＝AB，E是邊AC上一點，且DE＝BC．求證：∠DEA＝∠C．24．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC上一點且∠ADC＝60°，CE⊥AD于點E，點A關于CE的對稱點為點F，CF交AB于點G．（1）依題意補全圖形；（2）求∠AGC的度數；（3）寫出BD與DF之間的數量關系，并證明．六、選做題（本題共10分，第25題4分，第26題6分，計入總分但總分不超過100分）25．（4分）閱讀下列材料：已知實數m，n滿足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，試求2m2+n2的值．解：設2m2+n2＝t，則原方程變為（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9，∵2m2+n2≥0，∴2m2+n2＝9．上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數學學習中最常用的一種思想方法，在結構較復雜的數和式的運算中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化．根據以上閱讀材料內容，解決下列問題，并寫出解答過程．（1）已知實數x、y滿足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；（2）在（1）的條件下，若xy＝1，求（x+y）2和x﹣y的值．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，對于任意圖形G及直線l1，l2，給出如下定義：將圖形G先沿直線l1翻折得到圖形G1，再將圖形G1沿直線l2翻折得到圖形G2，則稱圖形G2是圖形G的[l1，l2]伴隨圖形．例如：點P（2，1）的[x軸，y軸]伴隨圖形是點P'（﹣2，﹣1）．（1）點Q（﹣3，﹣2）的[x軸，y軸]伴隨圖形點Q'的坐標為；（2）已知A（t，1），B（t﹣3，1），C（t，3），直線m經過點（1，1）．①當t＝﹣1，且直線m與y軸平行時，點A的[x軸，m]伴隨圖形點A'的坐標為；②當直線m經過原點時，若△ABC的[x軸，m]伴隨圖形上只存在兩個與x軸的距離為0.5的點，直接寫出t的取值范圍．

2022-2023學年北京市西城外國語學校八年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題（每小題2分，共16分）1．（2分）下面有4個汽車標志圖案，其中不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、是軸對稱圖形，故錯誤；B、是軸對稱圖形，故錯誤；C、是軸對稱圖形，故錯誤；D、不是軸對稱圖形，故正確．故選：D．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．2．（2分）下列計算正確的是（）A．（a2）3＝a6 B．a2?a3＝a6 C．（2a）3＝2a3 D．a10÷a2＝a5【分析】根據同底數冪的乘法、同底數冪的除法、冪的乘方以及積的乘方解決此題．【解答】解：A．根據冪的乘方，得（a2）3＝a6，故A符合題意．B．根據同底數冪的乘法，得a2?a3＝a5，故B不符合題意．C．根據積的乘方，得（2a）3＝8a3，故C不符合題意．D．根據同底數冪的除法，得a10÷a2＝a8，故D不符合題意．故選：A．【點評】本題主要考查同底數冪的乘法、同底數冪的除法、冪的乘方以及積的乘方，熟練掌握同底數冪的乘法、同底數冪的除法、冪的乘方以及積的乘方是解決本題的關鍵．3．（2分）圖中的兩個三角形全等，則∠1等于（）A．45° B．62° C．73° D．135°【分析】根據全等三角形的性質得出即可．【解答】解：∵兩個三角形全等，∴邊長為a的對角是對應角，∴∠1＝73°，故選：C．【點評】本題考查了全等三角形的性質，注意：全等三角形的對應角相等，對應邊相等．4．（2分）下列運算正確的是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．2a+3b＝5ab C．2（2a﹣b）＝4a﹣b D．（a+b）2＝a2+b2【分析】各式計算得到結果，即可作出判斷．【解答】解：A、原式＝a2﹣b2，符合題意；B、原式不能合并，不符合題意；C、原式＝4a﹣2b，不符合題意；D、原式＝a2+2ab+b2，不符合題意．故選：A．【點評】此題考查了平方差公式，合并同類項，去括號與添括號，以及完全平方公式，熟練掌握公式及運算法則是解本題的關鍵．5．（2分）在平面直角坐標系xOy中，點P（﹣3，5）關于y軸對稱的點的坐標是（）A．（﹣3，﹣5） B．（3，﹣5） C．（3，5） D．（5，﹣3）【分析】直接利用關于y軸對稱點的性質得出答案．【解答】解：點P（﹣3，5）關于y軸對稱的點的坐標是：（3，5）．故選：C．【點評】此題主要考查了關于y軸對稱點的性質，正確記憶橫縱坐標關系是解題關鍵．6．（2分）某同學把一塊三角形的玻璃打碎成了3塊，現在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最少要帶第（）塊去玻璃店就可以買到完全一樣的玻璃．A．① B．② C．③ D．①②③【分析】根據全等三角形的判定，已知兩角和夾邊，就可以確定一個三角形．【解答】解：根據三角形全等的判定方法，根據角邊角可確定一個全等三角形，只有第三塊玻璃包括了兩角和它們的夾邊，只有帶③去才能配一塊完全一樣的玻璃，是符合題意的．故選：C．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做題時要根據已知條件進行選擇運用．7．（2分）下列命題中正確的有（）個①三個內角對應相等的兩個三角形全等；②三條邊對應相等的兩個三角形全等；③有兩角和一邊分別對應相等的兩個三角形全等；④等底等高的兩個三角形全等．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據三角形全等的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL．可得出正確結論．【解答】解：①三個內角對應相等的兩個三角形不一定全等，錯誤；②三條邊對應相等的兩個三角形全等，正確；③有兩角和一邊分別對應相等的兩個三角形全等，正確；④等底等高的兩個三角形不一定全等，錯誤；故選：B．【點評】主要考查全等三角形的判定定理判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS、HL．做題時要按判定全等的方法逐個驗證．8．（2分）如圖所示，在長方形ABCD的對稱軸l上找點P，使得△PAB，△PBC，△PDC，△PAD均為等腰三角形，則滿足條件的點P有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．1個【分析】利用分類討論的思想，此題共可找到5個符合條件的點：一是作AB或DC的垂直平分線交l于P；二是在長方形內部在l上作點P，使PA＝AB，PD＝DC，同理，在l上作點P，使PC＝DC，AB＝PB；三是如圖，在長方形外l上作點P，使AB＝BP，DC＝PC，同理，在長方形外l上作點P，使AP＝AB，PD＝DC．【解答】解：如圖，作AB或DC的垂直平分線交l于P，如圖，在l上作點P，使PA＝AB，同理，在l上作點P，使PC＝DC，如圖，在長方形外l上作點P，使AB＝BP，同理，在長方形外l上作點P，使PD＝DC，綜上所述，符合條件的點P有5個．故選：A．【點評】此題主要考查學生對等腰三角形判定的理解和掌握，此題難度較大，需要利用分類討論的思想分析解答．二、填空題（每小題2分，共16分）9．（2分）計算（﹣3a2b）3的結果是﹣27a6b3．【分析】根據積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘；冪的乘方，底數不變指數相乘，求解即可．【解答】解：（﹣3a2b）3，＝（﹣3）3×（a2）3×b3，＝﹣27×a6×b3，＝﹣27a6b3．【點評】本題主要考查積的乘方的性質，冪的乘方的性質，熟練掌握運算性質是解題的關鍵．10．（2分）若（a﹣1）0有意義，則實數a的取值范圍是a≠1．【分析】直接利用零指數冪的定義得出答案．【解答】解：若（a﹣1）0有意義，則a﹣1≠0，解得：a≠1．故答案為：a≠1．【點評】此題主要考查了零指數冪，正確掌握零指數冪的定義是解題關鍵．11．（2分）若等腰三角形的一個外角為140°，則它的頂角的度數為40°或100°．【分析】本題可根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理求解，由于等腰三角形外角的位置不確定，因此本題要分情況進行討論．【解答】解：本題可分兩種情況：①如圖，當∠DCA＝140°時，∠ACB＝40°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝40°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝100°；②如圖，當∠EAC＝140°時，∠BAC＝40°，因此等腰三角形的頂角度數為40°或100°．故填40°或100°．【點評】本題主要考查等腰三角形的性質及三角形內角和定理、三角形外角的性質；若題目中沒有明確頂角或底角的度數，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關鍵．12．（2分）用三角尺可按下面方法畫角平分線：在已知的∠AOB的兩邊上分別取OM＝ON，再分別過點M，N作OA，OB的垂線，交點為P，畫射線OP，則OP平分AOB．其理由是HL.（填定理）【分析】利用作法得到OM＝ON，∠PMO＝∠PNO＝90°，加上OP為公共邊，然后根據直角三角形的判定方法可判斷Rt△POM≌Rt△PON，從而得到∠POM＝∠PON．【解答】解：由作法得OM＝ON，∠PMO＝∠PNO＝90°，∵OP＝OP，∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），∴∠POM＝∠PON，即OP平分AOB．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．也考查了全等三角形的判定與性質．13．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB∥CD，過點B作BE⊥AC于E，BD⊥CD于D，CD＝8，BD＝3，△ABE的周長為11．【分析】根據角平分線的性質得出BE＝BD，再由HL證明Rt△BEC≌Rt△BDC得出CE＝CD即可推出結果．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∴∠ACB＝∠BCD，又∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴BE＝BD，又∵BC＝BC，∴Rt△BEC≌Rt△BDC（HL），∴CE＝CD，∵△ABE的周長＝AE+BE+AB，AB＝AC，即△ABE的周長＝CA+AE+BE＝CE+BE＝CD+BD＝8+3＝11，故答案為：11．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，熟練掌握勾股定理以及角平分線的性質是解題的關鍵．14．（2分）現有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片（邊長如圖）．（1）取甲、乙紙片各1塊，其面積和為a2+b2；（2）嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，還需取丙紙片4塊．【分析】（1）由圖可知：一塊甲種紙片面積為a2，一塊乙種紙片的面積為b2，一塊丙種紙片面積為ab，即可求解；（2）利用完全平方公式可求解．【解答】解：（1）由圖可知：一塊甲種紙片的面積為a2，一塊乙種紙片的面積為b2，一塊丙種紙片面積為ab，∴取甲、乙紙片各1塊，其面積和為a2+b2，故答案為：a2+b2；（2）設取丙種紙片x塊才能用它們拼成一個新的正方形，（x≥0）∴a2+4b2+xab是一個完全平方式，∴x為4，故答案為：4．【點評】本題考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解題的關鍵．15．（2分）已知a＝8131，b＝2742，c＝961，則a，b，c的大小關系是c＜a＜b.（用“＜”連接）【分析】利用冪的乘方的法則把各數的底數轉為相等，再比較指數的大小即可．【解答】解：a＝8131＝（34）31＝3124，b＝2742＝（33）42＝3126，c＝961＝（32）61＝3122，∴3122＜3124＜3126，即c＜a＜b．故答案為：c＜a＜b．【點評】本題主要考查冪的乘方，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握與運用．16．（2分）設a，b是實數，定義*的一種運算如下：a*b＝（a+b）2，則下列結論：①a*b＝0，則a＝﹣b；②a*b＝b*a；③a*（b+c）＝a*b+a*c；④a*b＝（﹣a）*（﹣b），正確的有①②④．【分析】根據新定義運算法則即可求出答案．【解答】解：①a*b＝（a+b）2＝0，∴a+b＝0，故①符合題意．②a*b＝（a+b）2＝b*a，故②符合題意．③a*（b+c）＝（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a*b+a*c＝（a+b）2+（a+c）2＝a2+2ab+b2+a2+2ac+c2，a*（b+c）≠a*b+a*c，故③不符合題意．④a*b＝（a+b）2＝（﹣a﹣b）2＝（﹣a）*（﹣b），故④符合題意．故答案為：①②④．【點評】本題考查整式的運算，解題的關鍵是正確理解新定義運算法則以及完全平方公式，本題屬于基礎題型．三、解答題（第17題8分，第18題20分，共28分）17．（8分）計算：（1）29÷27﹣（3﹣π）0﹣|﹣4|；（2）（8m3﹣6m2+2m）÷2m．【分析】（1）根據同底數冪的除法，實數的零次冪和絕對值的性質先化簡，再加減即可解答本題；（2）根據多項式除以單項式的法則計算可以解答本題．【解答】解：（1）29÷27﹣（3﹣π）0﹣|﹣4|＝4﹣1﹣（4﹣）＝4﹣1﹣4+＝﹣1+；（2）（8m3﹣6m2+2m）÷2m＝4m2﹣3m+1．【點評】本題考查實數的混合運算和整式的除法，解答本題的關鍵是明確實數混合運算的運算法則和運算順序．18．（20分）計算：（1）（﹣4x2）（3x+1）；（2）（3n﹣2）（n+5）；（3）（x﹣2）2﹣（x+3）（x+1）；（4）（2x+y+z）（2x﹣y﹣z）．【分析】（1）根據單項式乘多項式的法則即可求出答案．（2）根據多項式乘多項式法則即可求出答案．（3）根據完全平方公式以及整式的加減運算法則即可求出答案．（4）根據完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝（﹣4x2）?3x﹣（﹣4x2）＝﹣12x3﹣4x2．（2）原式＝3n2+15n﹣2n﹣10＝3n2+13n﹣10．（3）原式＝x2﹣4x+4﹣（x2+4x+3）＝x2﹣4x+4﹣x2﹣4x﹣3＝﹣8x+1．（4）原式＝[2x+（y+z）][2x﹣（y+z）]＝4x2﹣（y+z）2＝4x2﹣（y2+2yz+z2）＝4x2﹣y2﹣2yz﹣z2．【點評】本題考查整式的加減運算，解題的關鍵是熟練運用整式的加減運算法則，本題屬于基礎題型．四、畫圖題（算19題4分，第20題8分，共12分）19．（4分）尺規作圖：已知∠α，∠β，求作∠ABC，使得∠ABC＝∠α﹣∠β．（不寫作法，但要保留作圖痕跡）【分析】根據基本作圖，先作∠ABD＝∠α，再在∠ABD內部作∠DBC＝∠β，則∠ABC滿足條件．【解答】解：如圖，∠ABC為所作．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．20．（8分）對于所有直角三角形，我們都可以將其分割為兩個等腰三角形；例如：如圖，已知△ABC，∠BAC＝90°，作直角邊AB的垂直平分線DE，分別交BC與AB于D，E兩點，連接AD，則AD將△ABC分割成兩個等腰三角形△ADC，△ADB．（1）請在以下證明過程中填入適當理由．證明：∵DE垂直平分AC∴AD＝DB（線段垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等）∴∠1＝∠2（等邊對等角）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°∴∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°∴∠3＝∠4∴CD＝DA（等角對等邊）∴△ADC、△ADB是等腰三角形（2）根據上述方法，將下面三角形分割成4個等腰三角形；（尺規作圖，保留作圖痕跡）（3）將下面的不等邊三角形分割成5個等腰三角形；（不要求尺規，準確作圖并用相同的記號標出相等的線段）【分析】（1）利用線段的垂直平分線的性質，等角的余角相等，等腰三角形的判定和性質解決問題即可；（2）先分割成兩個直角三角形，再利用直角三角形斜中線的性質解決問題；（3）先分割成兩個等腰三角形，再將其中一個等腰三角形分割成兩個直角三角形，再利用斜邊中線分割成4個等腰三角形即可．【解答】（1）證明：∵DE垂直平分AC∴AD＝DB（線段垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等）∴∠1＝∠2（等邊對等角）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°∴∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°∴∠3＝∠4∴CD＝DA（等角對等邊）∴△ADC、△ADB是等腰三角形．故答案為：線段垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等，等邊對等角，等角對等邊；（2）圖形如圖所示：（3）圖形如圖所示：【點評】本題考查作圖﹣應用與設計作圖，線段的垂直平分線的性質，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．五、解答題（第21題6分，第22，23題每題7分，第24題8分，共28分）21．（6分）已知：如圖，C為BE上一點，點A，D分別在BE兩側，AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED．求證：AC＝CD．【分析】根據AB∥ED推出∠B＝∠E，再利用SAS判定△ABC≌△CED從而得出AC＝CD．【解答】證明：∵AB∥ED，∴∠B＝∠E．在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（SAS）．∴AC＝CD．【點評】本題是一道很簡單的全等證明，縱觀近幾年北京市中考數學試卷，每一年都有一道比較簡單的幾何證明題：只需證一次全等，無需添加輔助線，且全等的條件都很明顯．22．（7分）已知：如圖，點B，C，E在同一條直線上，CD平分∠ACE，∠DBM＝∠DAN，DM⊥BE于M，DN⊥AC于N．（1）求證：△BDM≌△ADN；（2）若AC＝7，BC＝3，求CM的長．【分析】（1）由角平分線的性質可得DM＝DN，再由AAS即可證得△BDM≌△ADN；（2）由HL證Rt△DCN≌Rt△DCM，得CM＝CN，再由△BDM≌△ADN得BM＝AN，則AC＝AN+CN＝BM+CM＝BC+CM+CM＝BC+2CM，即可得出結果．【解答】（1）證明：∵CD平分∠ACE，DM⊥BE，DN⊥AC，∴DM＝DN，∠DMB＝∠DNA＝90°，在△BDM和△ADN中，，∴△BDM≌△ADN（AAS）；（2）解：在Rt△DCN和Rt△DCM中，，∴Rt△DCN≌Rt△DCM（HL），∴CM＝CN，∵△BDM≌△ADN，∴BM＝AN，∵AC＝AN+CN＝BM+CM＝BC+CM+CM＝7，∴3+2CM＝7，∴CM＝2．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質、角平分線的性質等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．23．（7分）已知：如圖，D是△ABC的邊BA延長線上一點，且AD＝AB，E是邊AC上一點，且DE＝BC．求證：∠DEA＝∠C．【分析】過點D作BC的平行線交CA的延長線于點F，根據全等三角形的判定和性質證明即可．【解答】證明：過點D作BC的平行線交CA的延長線于點F，∴∠C＝∠F．∵點A是BD的中點，∴AD＝AB．在△ADF和△ABC中，∴△ADF≌△ABC（AAS）∴DF＝BC，∵DE＝BC，∴DE＝DF．∴∠F＝∠DEA．又∵∠C＝∠F，∴∠C＝∠DEA．【點評】本題考查的是全等三角形的判定的相關知識，根據全等三角形的判定和性質證明是解題關鍵．24．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC上一點且∠ADC＝60°，CE⊥AD于點E，點A關于CE的對稱點為點F，CF交AB于點G．（1）依題意補全圖形；（2）求∠AGC的度數；（3）寫出BD與DF之間的數量關系，并證明．【分析】（1）依照題意畫出圖形即可求；（2）由軸對稱的性質和外角的性質可求解；（3）由“AAS”可證△CPF≌△ADB，可證BD＝PF＝DF．【解答】解：（1）如圖所示：（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵點A關于點E的對稱點為點F，CE⊥AD，∴AC＝CF，∠ACE＝∠ECF，∴∠AGC＝∠B+∠BCG＝∠B+∠ACB﹣∠ACF＝2∠B﹣2∠ECF，∵∠ECF＝90°﹣∠EFC，∠EFC＝60°+∠BCG，∴∠AGC＝2∠B﹣180°+120°+2∠BCG，∴∠AGC＝60°；（3）BD＝DF，理由如下：如圖，在CD上截取DP＝DF，連接FP，∵∠ADC＝60°，∴△PDF為等邊三角形，∴∠DPF＝60°，DP＝DF＝FP，∴∠FPC＝120°，∴∠ADB＝∠FPC，又∵AC＝CF，AB＝AC，∴AB＝CF，∵∠BAD＝∠BCG，∴△CPF≌△ADB（AAS），∴BD＝PF，∴BD＝PF＝DF．【點評】本題是三角形綜合題，考查了軸對稱的性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．六、選做題（本題共10分，第25題4分，第26題6分，計入總分但總分不超過100分）25．（4分）閱讀下列材料：已知實數m，n滿足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，試求2m2+n2的值．解：設2m2+n2＝t，則原方程變為（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9，∵2m2+n2≥0，∴2m2+n2＝9．上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數學學習中最常用的一種思想方法，在結構較復雜的數和式的運算中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化．根據以上閱讀材料內容，解決下列問題，并寫出解答過程．（1）已知實數x、y滿足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；（2）在（1）的條件下，若xy＝1，求（x+y）2和x﹣y的值．【分析】（1）設2x2+2y2＝t，解一元二次方程得到t＝±6，根據2x2+2y2≥0，得到2x2+2y2＝6，進而求出x2+y2＝3；（2）根據完全平方公式解答即可．【解答】解：（1）設2x2+2y2＝t，則原方程變形為（t+3）（t﹣3）