行是知之始，知是行之成行是知之始，知是行之成高一第一章集合與常用邏輯用語-史老師高一第一章集合與常用邏輯用語-史老師第二節集合間的基本關系學習目標學習目標理解集合之間包含與相等的含義；理解子集、真子集的概念；能利用韋恩圖表達集合間的關系；了解空集的含義．18801880年Venn首次采用也稱韋恩圖或文氏圖.Venn圖：用平面上封閉曲線的內部代表集合.多元導學多元導學我們知道，兩個實數之間有相等關系，大小關系，如5=5，5<7，5>3，等等。兩個集合之間是否也有類似的關系呢?問題1：觀察下面的例子，類比實數間的大小或相等關系，試說說每組的兩個集合間有何關系?(1)A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}；(2)A為立德中學高一(2)班全體女生組成的集合；B為立德中學高一(2)班全體學生組成的集合；(3)A={等邊三角形}，B={等腰三角形}；集合A小，集合B大(4)A={4，6，8}，B={8，4，6}；(5)A={x∈Z||x|<2}，B={-1，0，1}集合相等互動精講+互動精講+課堂檢測要點一：包含關系與子集知識點1、子集子集：若集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，則說集合A包含于集合B(或集合B包含集合A).并稱集合A為集合B的子集.記作A?B(或B?A)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)如：{1,2}?{1,2,3,5};{0,1,2}?{x∈N|x<3}符號語言:對任意的x∈A，總有x∈B，則A?B圖形語言:注意：(1)任何一個集合是它本身的子集，即A?A；(2)對于集合A，B，C，若A?B，且B?C，則A?CVenn圖在數學中,我們經常用平面上封閉曲線的內部代表集合,這種圖稱為Venn圖.(1)表示集合的Venn圖邊界是封閉曲線,它可以是圓、橢圓、矩形,也可以是其他封閉曲線;(2)用Venn圖表示集合的方法叫圖示法,其優點是能直觀地表示出集合間的關系,缺點是集合元素的共同特征不明顯例一：已知A＝{x|x是正數}，B＝{x|x是正整數}，C＝{x|x是實數}，那么A，B，C之間的關系是()A．A?B?C B．B?A?CC．C?A?B D．A＝B?C例二：（23-24高二下·河北保定·期末）已知集合A=x-1<x<2，B=xA．A>B B．A?B C．B?A D．【變式1】（23-24高一下·貴州六盤水·期末）已知集合A=x|x2A．-2,2?A B．-2,2∈A C．2?A D【變式2】（20-21高一上·北京·期末）已知集合U=1,2,3,4,5,6，A=1,2,3，集合A與B的關系如圖所示，則集合A．2,4,5 B．1,2,5 C．1,6 D．1,3【變式3】（22-23高一·全國·隨堂練習）判斷下列各組中兩個集合之間的關系：(1)1,2,3與xx是6的正因數}(2)xx=3n,n∈Z與x知識點2、集合相等集合相等：一般的，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等，記作A=B.也就是說：若A?B，且B?A，則A=B.與實數中的結論“若a≥b，且b≥a，則a=b”相類比，你有什么體會？例一：（24-25高一上·全國·課堂例題）若A=0,1(1)如何從元素的角度判斷兩個集合A與B的關系？(2)如何從子集的角度判斷集合A與B的關系?【變式1】下列集合x|x3=1，x|x2=1，A．x|x3=1 B．x|x2=1【變式2】下面選項中的兩個集合相等的是（

）A． B．M=1,0C．M=xx2【變式3】判斷題1．1,-12．集合M=x∣x=2k-1,k∈Z，N=x∣x=2k+1,k∈Z知識點3、真子集真子集：如果集合?????,?但存在元素??∈??,?且?????,?就稱集合???是集合???的真子集("propersubset"),?記作：A讀作：“A真包含于B”（或“B真包含A”）所以集合A是集合B的真子集例一：判斷下列兩個集合之間的關系：(1)A=1,2,4，B={x∣x是8的因數}(2)，．【變式1】（22-23高一上·江蘇蘇州·階段練習）設集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=k+3,k∈Z}，則（A．A=B B．A?B C．B?A D．A知識點4、空集空集：定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.規定：空集是任何集合的子集．即??A.是任何非空集合的真子集.注意點：(1)在真子集的定義中，A?B首先要滿足A?B，其次至少有一個x∈B，但x?A.(2)?與{0}的區別：?是不含任何元素的集合；{0}是含有一個元素的集合，??{0}．例一：（23-24高一上·北京東城·期中）下列正確的是（）A．0∈0,1,2 B．0∈? C．?=0 D【變式1】已知六個關系式①?∈?；②??≠?；③0?≠?；④0??；⑤A．3 B．4 C．5 D．6【變式2】（23-24高一上·重慶·期中）下列關于0與?說法不正確的是（）A．0?? B．0C． D．0??【變式3】判斷題1、（24-25高一上·全國·課堂例題）?=02、（24-25高一上·全國·課堂例題）空集沒有子集．()3、（23-24高一上·河南南陽·階段練習）0是空集.()例一：（（24-25高一上·全國·課后作業）已知集合A=xa-1<x<2a+1，B=x0<x<1，若【變式1】（23-24高一上·陜西延安·階段練習）集合A=(1)若A是空集，求a的取值范圍(2)若A中只有一個元素，求a的值并把這個元素寫出來【變式2】（23-24高一上·湖南衡陽·階段練習）已知集合A=x|0(1)若B=?，求a的取值范圍.(2)若B?A，求a的取值范圍.要點二：子集、真子集個數的確定假設集合A中含有n個元素，則有(1)A的子集的個數有2n個．(2)A的非空子集的個數有2n－1個．(3)A的真子集的個數有2n－1個．(4)A的非空真子集的個數有2n－2個．求集合的子集的兩個關注點：(1)要注意兩個特殊的子集：?和自身．(2)按集合中含有元素的個數由少到多，分類一一寫出，保證不重不漏．例一：（24-25高一上·上海·課前預習）子集（1）對于兩個集合A與B，如果集合A的都是集合B的元素（若a∈A，則a∈B），那么集合A叫做集合B的子集，記作（或），讀作“”（或““）．可用文氏圖表示為：（2）子集的性質：①A?A，即②??A，即③若A?B且B?A，則④傳遞性：若A?B且B?C，則【變式1】（21-22高一·全國·課后作業）寫出下列集合的所有子集：(1)；(2)；(3)．【變式2】（22-23高一上·山東聊城·階段練習）設集合，列出集合A的子集.【變式3】（22-23高一上·上海黃浦·階段練習）已知集合，則的所有真子集為.【變式4】（2022高一·全國·專題練習）已知A?B，且B＝{0，1，2}寫出滿足條件A的所有集合．例二：（23-24高一上·浙江寧波·期中）集合A=x∈Z|【變式1】（23-24高三上·浙江·階段練習）已知集合N=x∈N1<x<3，則集合N有（A．0 B．1 C．2 D．4【變式2】（21-22高一下·安徽·期中）設集合A=x∈N|y=12x+3∈N【變式3】（19-20高一·浙江杭州·階段練習）集合0,2,3的真子集共有（

）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個【變式4】（18-19高三下·浙江·階段練習）集合0,1,2,3,4,5的真子集個數是A．23 B．24-1 C．2【變式5】（2019·浙江·二模）集合{2,?0,?A．13 B．14 C．15 D．16【變式6】（20-21高一上·寧夏中衛·期中）已知集合A=x∈Z【變式7】（2019高一·浙江·專題練習）已知集合A=a-3,2a-1，且3∈A，實數a=，A的真子集個數為【變式8】（22-23高一上·浙江·階段練習）集合{x∈N∣【變式8】（20-21高一上·陜西寶雞·期中）集合x∈Nx=5A．2個 B．3個 C．6個 D．7個【變式9】（22-23高三上·浙江衢州·階段練習）已知集合A=a1,a2,aA．3 B．4 C．6 D．2【變式10】（19-20高一上·西藏山南·期中）已知A=a,b,c（1）集合A的子集的個數，并判斷與集合A的關系（2）請寫出集合A的所有非空真子集例三：（2021·浙江紹興·三模）已知集合滿足{1,2}?A?{1,2,3}，則集合A．{3} B．{1,3} C． D．{1,2}【變式1】（2024·浙江·二模）已知集合M=1,2,3，N=0,1,2,3,4,7，若M?A?N，則滿足集合A的個數為（A．4 B．6 C．7 D．8【變式2】（22-23高一上·浙江紹興·階段練習）滿足1，2，3?A．3 B．4 C．5 D．6【變式3】（17-18高二下·廣西玉林·期末）已知集合M滿足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}，那么這樣的集合M的個數為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【變式4】（22-23高一上·浙江溫州·期中）滿足1,2?M?1,2,3,5的集合【變式5】（19-20高一·全國·課后作業）滿足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}的集合M有【變式6】已知集合滿足：1,2?M?1,2,3,4,5，寫出集合【變式1-3】（1）已知集合，則集合的子集依次是．（2）已知集合，則集合的真子集依次是．【變式7】（22-23高一上·重慶沙坪壩·階段練習）已知?的集合M的個數是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【變式8】（多選）（21-22高一上·廣東·期末）以下滿足{0,2,4}?A?{1,2,3,4}的集合A有（

）A． B．{0,1,3,4} C．{0,1,2,4} D．【變式9】（多選）（23-24高一上·江蘇南京·期中）下列各個選項中，滿足?的集合有（

）A． B． C． D．【變式10】（23-24高一上·江蘇鹽城·期中）集合滿足?，則滿足條件的集合的個數為.【變式11】（22-23高一上·北京西城·階段練習）??，這樣的共有個.【變式12】（23-24高一上·上海靜安·階段練習）滿足{1，2，3}?M?{1，2，3，4，5，6}的集合M的個數是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【變式13】（23-24高一上·山西太原·階段練習）滿足關系??的集合的個數是（

）A．4 B．6 C．8 D．9要點三、包含關系與屬于關系之間的關系問題：包含關系a?A與屬于關系注：包含關系刻畫的是集合與集合間的關系；而屬于關系刻畫的是元素與集合間的關系要點三：根據集合間的基本關系求參數的取值或取值范圍利用集合間的關系求參數的關注點(1)此類問題通常借助數軸，利用數軸分析法，將各個集合在數軸上表示出來，以形定數，還要注意驗證端點值．(2)要注意“空集”的情況，空集是任何集合的子集．易錯點：忽視對空集的討論而致錯例一：（23-24高一上·湖南株洲·階段練習）已知集合，，若，則實數（

）A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．1或4【變式1】（24-25高一上·上海·隨堂練習）已知集合A=0,2，B=-1,0,a+3，且A?【變式2】已知集合，．若，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式3】已知集合，．(1)若，求m的取值范圍．(2)若，求m的取值范圍．例一：（23-24高一上·吉林·階段練習）設集合，若是的真子集，則的取值集合為（

）A． B． C． D．【變式1】（22-23高一上·北京·階段練習）設，若，則的值為.【變式2】若集合A=-13,12.【變式3】設集合，集合，若且，則實數.【變式4】（22-23高一上·黑龍江大慶·階段練習）已知集合，在下列條件下分別求實數m的取值范圍：(1)；(2)恰有一個元素.知識點總結知識點總結知識點1：Venn圖在數學中,我們經常用平面上封閉曲線的內部代表集合,這種圖稱為Venn圖.(1)表示集合的Venn圖邊界是封閉曲線,它可以是圓、橢圓、矩形,也可以是其他封閉曲線;(2)用Venn圖表示集合的方法叫圖示法,其優點是能直觀地表示出集合間的關系,缺點是集合元素的共同特征不明顯知識點2：子集定義一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集記法與讀法記作A?B(或B?A)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)圖示結論(1)任何一個集合是它本身的子集，即A?A；(2)對于集合A，B，C，若A?B，且B?C，則A?C知識點3：集合相等一般地，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等，記作A＝B.也就是說，若A?B，且B?A，則A＝B.知識點4：真子集定義如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集記法與讀法記作AB(或BA)，讀作“A真包含于B”(或“B真包含A”)圖示性質：(1)反身性：任何一個集合是它本身的子集，即A?A；(2)傳遞性：對于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC.知識點5：空集的含義(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.(2)規定：空集是任何集合的子集．注意點：(1)在真子集的定義中，AB首先要滿足A?B，其次至少有一個x∈B，但x?A.(2)?與{0}的區別：?是不含任何元素的集合；{0}是含有一個元素的集合，?{0}．要點1：子集、真子集個數的確定假設集合A中含有n個元素，則有(1)A的子集的個數有2n個．(2)A的非空子集的個數有2n－1個．(3)A的真子集的個數有2n－1個．(4)A的非空真子集的個數有2n－2個．求集合的子集的兩個關注點(1)要注意兩個特殊的子集：?和自身．(2)按集合中含有元素的個數由少到多，分類一一寫出，保證不重不漏．要點2：根據集合間的基本關系求參數的取值或取值范圍利用集合間的關系求參數的關注點(1)此類問題通常借助數軸，利用數軸分析法，將各個集合在數軸上表示出來，以形定數，還要注意驗證端點值．(2)要注意“空集”的情況，空集是任何集合的子集．易錯點：忽視對空集的討論而致錯課后練習課后練習一、單選題1．（24-25高一上·上海·隨堂練習）下列寫法中正確的是（）A． B．C． D．2．（21-22高一上·內蒙古赤峰·階段練習）若集合，則集合A的真子集個數是（

）A．3個 B．4個 C．7個 D．15個3．（23-24高一上·吉林延邊·期末）已知集合，下列式子錯誤的是（）A． B． C． D．4．（23-24高一上·廣東韶關·階段練習）若，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．5.（2022高一上·全國·專題練習）已知集合，，若，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（23-24