第07講解題技巧專題：利用等腰三角形的'三線合一'作輔助線(3類熱點題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點一等腰三角形中底邊有中點時，連中線】 1【考點二等腰三角形中底邊無中點時，作高】 9【考點三巧用“角平分線+垂線合一”構造等腰三角形】 20【考點一等腰三角形中底邊有中點時，連中線】例題：（2023上·浙江寧波·八年級統考期末）如圖，在中，，，D為的中點，于E．(1)求的度數；(2)若，求的長．【變式訓練】1．（2023下·陜西寶雞·八年級統考期中）如圖，中，，D是BC的中點，E、F分別是AB、AC上的點，且．求證：．2．（2023上·寧夏吳忠·八年級校考期中）如圖：在中，，D為邊的中點，過點D作于點E，于點F．(1)求證：；(2)若，求的周長．3．（2023上·北京·八年級期末）如圖，在中，，D是的中點，過A作，且．求證：(1)；(2)．4．（2023上·遼寧葫蘆島·八年級統考期末）如圖，在中，的垂直平分線交于點E，交于點F，D為線段的中點，且．

(1)求證：．(2)若，，求的長．5．（2023上·全國·八年級專題練習）如圖，已知中，，，點D為的中點，點、分別在直線上運動，且始終保持．(1)如圖①，若點分別在線段上，與相等且與垂直嗎？請說明理由；(2)如圖②，若點分別在線段的延長線上，（1）中的結論是否依然成立？說明理由．6．（2023上·浙江紹興·八年級新昌縣七星中學校考期中）兩個同樣大小的含角的三角尺，按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點，且另三個銳角頂點，，在同一直線上，為中點，已知．(1)求的長．(2)求的長．【考點二等腰三角形中底邊無中點時，作高】例題：（2023上·福建廈門·八年級廈門一中校考期中）如圖，已知，點在邊上，，點在邊上，，若，求的長．

【變式訓練】1．（2023下·廣東廣州·八年級廣州市番禺區鐘村中學校考期中）如圖，四邊形中，，，求四邊形的面積．2．（2023上·河南許昌·八年級統考期末）在中，，，點D在上（不與點B，C重合）．

(1)如圖1，若是直角三角形，①當時，求的長；②當時，求的長．(2)如圖2，點E在上（不與點A，B重合），且．若，求證：．3．（2023上·江蘇蘇州·八年級統考期中）在中，，，點為邊上一動點，連接．

(1)邊上的高的長度為；(2)如圖1，若點從點出發，以每秒2個單位的速度向點運動，設運動時間為秒．是否存在值，使得為等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．(3)如圖2，把沿著直線翻折，點的對應點為點，交邊于點，當時，求的長度．4．（2023上·河南省直轄縣級單位·八年級校聯考期末）在中，點是邊上的兩點．

(1)如圖1，若，．求證：；(2)如圖2，若，，設，．①猜想與的數量關系，并說明理由；②在①的條件下，，請直接寫出的度數．5．（2023上·河南商丘·八年級校考階段練習）在中，，過點C作射線，使（點與點B在直線的異側）點D是射線上一動點（不與點C重合），點E在線段上，且．

(1)如圖1，當點E與點C重合時，與的位置關系是，若，則的長為；（用含a的式子表示）(2)如圖2，當點E與點C不重合時，連接．①用等式表示與之間的數量關系，并證明；②用等式表示線段，，之間的數量關系，并證明．【考點三巧用“角平分線+垂線合一”構造等腰三角形】例題：（2022春·上海普陀·八年級校考期中）如圖，在中，平分，是的中點，過點作交的延長線于，交于，交的延長線于．求證：(1)；(2)．【變式訓練】1．（2022春·河北石家莊·八年級校考期中）(1)【問題情境】利用角平分線構造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點A為上一點，過點A作，垂足為C，延長交于點B，可根據證明，則，（即點C為的中點）．(2)【類比解答】如圖2，在中，平分，于E，若，，通過上述構造全等的辦法，可求得．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足E在的延長線上，試探究和的數量關系，并證明你的結論．(4)【實際應用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進行水稻試驗，故進行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過點A作于D．已知，，面積為20，則劃出的的面積是多少？請直接寫出答案．2．（2023上·江蘇鹽城·八年級校聯考階段練習）【情境建模】學校數學社團活動時遇到下面一個問題：如圖1，點在的角平分線上，過點作的垂線分別交、于點、．求證：．請你幫助完成此證明．

【應用實踐】請嘗試直接應用“情境建模”中的結論解決下列問題：（1）將圖1沿著過點的直線折疊，得到圖2，使點正好與邊上的點重合，此時測得．求的度數．（2）如圖3，，平分交于，若，，求邊的長度．【拓展提升】（3）如圖4，是某小區綠化施工的一