竹溪二中2025屆高三8月摸底考試數學試題一、單項選擇題（本大題共8小題，共40.0分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據交集的運算解出．方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．【詳解】方法一：因為，而，所以．故選：C．方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．2已知，則（）A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】根據復數的除法運算求出，再由共軛復數的概念得到，從而解出．【詳解】因為，所以，即．故選：A．3.已知向量，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據向量的坐標運算求出，，再根據向量垂直的坐標表示即可求出．【詳解】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．4.設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數型復合函數單調性，判斷列式計算作答.【詳解】函數在R上單調遞增，而函數在區間上單調遞減，則有函數在區間上單調遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D5.設橢圓的離心率分別為．若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據給定的橢圓方程，結合離心率的意義列式計算作答.【詳解】由，得，因此，而，所以.故選：A6.已知是偶函數，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據偶函數的定義運算求解.【詳解】因為為偶函數，則，又因為不恒為0，可得，即，則，即，解得.故選：D.7.已知函數恒過定點，則的最小值為（）．A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式常數“1”的代換即可求出結果.【詳解】由題意可知，則，當且僅當，時，的最小值為，故選:A．8.函數是定義在上的奇函數，且在上單調遞增，則不等式的解集為（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據函數的奇偶性及單調性可得函數的正負情況，進而可解不等式.【詳解】因為函數是奇函數，且在上單調遞增，所以函數在上也單調遞增，又因為，所以，不等式等價于或，所以或，故選：B.二、多項選擇題（本大題共3小題，共18.0分）9.有一組樣本數據，其中是最小值，是最大值，則（）A.的平均數等于的平均數B.的中位數等于的中位數C.的標準差不小于的標準差D.的極差不大于的極差【答案】BD【解析】【分析】根據題意結合平均數、中位數、標準差以及極差的概念逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：設的平均數為，的平均數為，則，因為沒有確定的大小關系，所以無法判斷的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A錯誤；對于選項B：不妨設，可知的中位數等于的中位數均為，故B正確；對于選項C：因為是最小值，是最大值，則的波動性不大于的波動性，即的標準差不大于的標準差，例如：，則平均數，標準差，，則平均數，標準差，顯然，即；故C錯誤；對于選項D：不妨設，則，當且僅當時，等號成立，故D正確；故選：BD10.已知函數，則（）A.函數的定義域為RB.函數的值域為C.函數在上單調遞增D.【答案】ABD【解析】【分析】利用復合函數思想，結合二次函數和指數函數的性質來判斷各選項.【詳解】令，則．對于選項A，的定義域為，故A正確；對于選項B，因為，的值域為，所以函數的值域為,故B正確；對于選項C，因為在上單調遞增，且在上單調遞減，所以根據復合函數單調性法則，得函數在上單調遞減，故C不正確；對于選項D，由于函數在上單調遞減，則，故D正確．故選:ABD．11.已知函數的定義域為，，則（）．A. B.C.是偶函數 D.為的極小值點【答案】ABC【解析】【分析】方法一：利用賦值法，結合函數奇偶性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例即可排除選項D.方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D，可構造特殊函數進行判斷即可.【詳解】方法一：因，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，對于D，不妨令，顯然符合題設條件，此時無極值，故錯誤方法二：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，對于D，當時，對兩邊同時除以，得到，故可以設，則，當肘，，則，令，得；令，得；故在上單調遞減，在上單調遞增，因為為偶函數，所以在上單調遞增，在上單調遞減，顯然，此時是的極大值，故D錯誤.故選：.三、填空題（本大題共3小題，共15.0分）12.函數的定義域為____________．【答案】【解析】【分析】根據函數解析式，列出相應不等式組，即可求得答案.【詳解】由題意函數有意義，需滿足，解得且，故函數定義域為：.故答案為：.13.已知函數，則的解集是________【答案】【解析】【分析】由于函數是定義域在上的增函數，所以,解不等式即得解.【詳解】由于函數是定義域在上的增函數，所以故答案為【點睛】(1)本題主要考查冪函數的圖像和性質，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)處理函數的問題，一定要注意“定義域優先的原則”，本題不要漏了3x-1≥0.14.已知sinα-β=【答案】【解析】【分析】先根據正弦和角公式得到sinαcosβ=【詳解】因為sin(α-因此sinα則，所以.故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共73.0分）15.全集，若集合，.（1）求；；（2）若集合，，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先求得集合，，結合集合交集、并集的概念與運算，即可求解；（2）根據題意，得到，結合集合間的包含關系，即可求解.【小問1詳解】由集合，，所以，，【小問2詳解】因為，可得，又因為，且，所以，所以實數的取值范圍是.16.某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）類．【解析】【分析】（1）通過題意分析出小明累計得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類似，找出先回答類問題的數學期望，比較兩個期望的大小即可．【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因為，所以小明應選擇先回答類問題．17.已知在中，A+B（1）求；（2）設，求邊上的高．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）根據角的關系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；（2）利用同角之間的三角函數基本關系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據等面積法求解即可.【小問1詳解】∵A∴π-C又2sin∴2sin∴sin∴sin即，所以，∴sin【小問2詳解】由（1）知，，由=sinA由正弦定理，，可得，∴1∴h=b18.如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．（1）證明：；（2）點在棱上，當二面角為時，求．【答案】（1）證明見解析；（2）1【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量坐標相等證明；（2）設，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【小問1詳解】以為坐標原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，又不在同一條直線上，.【小問2詳解】設，則，設平面的法向量，則，令，得，，設平面的法向量，則，令，得，，，化簡可得，，解得或，或，.19.已知函數fx（1）討論的單調性；（2）證明：當時，fx>2【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先求導，再分類討論與兩種情況，結合導數與函數單調性的關系即可得解；（2）方法一：結合（1）中結論，將問題轉化為a2-12-ln方法二：構造函數，證得，從而得到f(x)≥x+ln【小問1詳解】因為，定義域為，所以f'x=當時，由于，則aex≤0，故f所以在上單調遞減；當時，令f'x=a當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增；綜上：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.【小問2詳解】方法一：由（1）得，fx要證，即證1+a2+ln令ga=a令，則；