2021年上學期高三數學培優資料

(考查內容：函數與導數之不等式的證明問題(2))

fR舞矍"等式要

a-ba*b

1、定義：兩個正數。和力的對數平均值"4。)=In。—Inb'C/'o.

a,a=b

2、對數平均值不等式鏈為：4L(a,b)4里4茁事.

ab

3、對數平均值不等式鏈的指數形式為：

1、極值點偏移的含義

眾所周知I,函數/(X)滿足定義域內任意自變量x都有f(x)=f(2/n-x),則函數/(x)關于直線x=，〃對稱;

可以理解為函數/(x)在對稱軸兩側，函數值,變化快慢相同，且若/(x)為單峰函數，則x=〃i必為/(x)的極值

點.

若單峰函數/(幻的極值點為，〃，且函數f(x)滿足定義域內x=機左側的任意自變量X都有

/(x)>/(2〃?-x)或f(x)<f(2m-x),則函數f(x)極值點m左右側變化快慢不同.

故單峰函數/(x)定義域內任意不同的實數不吃滿足/(外=/(A)，則七五與極值點m必

有確定的大小關系：若機〈美玉，則稱為極值點左偏；若〃”五詈，則稱為極值點右偏.

左.快右慢左慢右快左快右慢左慢右快

(極值點左偏=7〃<'廣)(極值點右偏="7>”:一)(極值點左偏一機<工；士-)(極值點右偏<=>m>%產)

2、極值點偏移問題的一般題設形式

(1)若函數/(X)存在兩個零點不々且X。文2，求證：Xi+X2>2XO(%為函數/(X)的極值點);

（2）若/（X）中存在玉,%2且工尸工2滿足fa）=/（%2），求證：x}+x2>2xi）（/為/（X）的極值點）;

（3）若函數/（X）存在兩?個零點不％2且再工/，令1=X；/，求證：尸（%）>0；

（4）若函數/（X）中存在藥,%且玉，又2滿足/（X）=/（*2），令工0=y2,求證：/,（xo）>0.

。典例剖析?

【例1】已知函數/（%）=旄-"。￡R）,如果且/（菁）=/（工2），證明：X|+X2>2.

（方法提示：對數均值不等式；差值消元；指對互化比值消元；對稱構造極值點偏移）

【例2】已知函數,f(x)=e，-or有兩個不同的零點不，x2,其極值點為與.

(1)求a的取值范圍；(2)求證：xx+x2<2x0；(3)求證：玉+/>2；(4)求證：<1.

(方法提示：函數的構造與選擇；對數均值不等式；差值消元；指對互化比值消元；對稱構造)

【例3】設qwR,函數=有兩個零點用、x2,且0<%<馬.

2

（1）求實數。的取值范圍；（2）證明：X,-x2>e.

（方法提示：對數均值不等式；加減、比值消元；除法、比值消元；對稱構造極值點偏移（2種））

【例4】已知函數/(x)=a\nx-x2,

(1)若g(x)=/(x)+or在(0,3)上為單調遞增函數，求。的取值范圍；

(2)當。=2時，〃(x)=/(x)-"式的圖象與x軸交于兩點A?,。)，B(X2,0)

(0<Xj<x2),又“(x)是/i(x)的導函數.

若正常數a,/?滿足條件a+〃=l,P>a.證明：U\a--x2)<0.

(方法提示：加減、比值消元分析法證明；

加減、比值消元放縮處理(對數均值不等式；對稱構造極值點偏移)

【例5】已知函數/(x)=^-x+a\nx.

(1)討論了(幻的單調性；

(2)若〃x)存在兩個極值點玉，x2,證明：,⑻,⑸—2.

X\~X2

(方法提示：韋達定理消。(保留不或々；構造內，々齊次式比值消元)；韋達定理消玉,々保留㈤

【例6】己知函數f(x)=(a+l)lnx+ax2+[.

(1)討論函數/(x)的單調性；

(2)設。＜一1,如果對VX|，we(0,+°°),|f(X|)-/(X2)|N4ki-引，求a的取值范圍.

(方法提示：同構轉單調性處理；主元思想處理)

【例7】已知f（x）=or+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數的底數）處的切線斜率為3.

（1）求實數。的值；

（2）若ZwZ,且人＜/4對任意x＞l恒成立，求左的最大值：

X-1

（3）當心/n"時,證明:（mnnr＞（nmm）n.

（方法提示：同構轉單調性處理；主元思想處理）

【例81已知函數/(x)=(-x)加(e為自然對數的底數).

(1)求函數f(x)的零點，以及曲線y=/(x)在其零點處的切線方程；

(2)若方程/(%)=60工0)有兩個實數根％,x2,求證：|大一工"＜。一1一’”.

e-1

【練習1]已知函數"x)=e”+。(x-1)2有兩個零點.

(1)求。的取值范圍；

(2)設%、々是/(X)的兩個零點，證明：Xj+x2<2.

【練習2】已知函數/（x）=%2一1+。加（1一%）,aeR.

（1）若函數/（X）為定義域上的單調函數，求實數。的取值范圍；

（2）若函數/（?存在兩個極值點百，占，且不＜々，證明：

X2X\

【練習3]已知函數/a)=e，，XGR.

(1)設了＞0,討論曲線y=/(x)與曲線y=如？(7/7＞0)公共點的個數;

(2)設。＜6,比較/3)：八份與/(2二八“)的大小,并說明理由.

2h-a

【練習4]已知函數/(x)=ln(l+x)?x,g(x)=xlnx.

(1)求函數/(x)的最大值；

(2)設0<4<匕，證明：O<g(a)+g0)—2g(^^)<(6-a)ln2.

專題五利用導數證明函數不等式（二）

本專題總結了利用導數證明含有兩個未知數的函數不等式的常見方法，希望同學們看后有所收獲，提升

利用導數證明函數不等式的能力.

模塊1整理方法提升能力

對于兩個未知數的函數不等式問題，其關鍵在于將兩個未知數化歸為一個未知數，常見的證明方法有以

下4種：

方法1：利用換元法，化歸為一個未知數

方法2：利用未知數之間的關系消元，化歸為一個未知數

方法3：分離未知數后構造函數，利用函數的單調性證明

方法4：利用主元法，構造函數證明

O對數平均值不等式鏈

a-b

我們將兩個正數。和b的對數平均值定義為：/力）=lna-ln3'，對數平均值不等式鏈為：

a.a-b

^-<y[ab<L（6Z,Z?）<a+^-<

-+-2

ab

7型「a_「ba,h2a,2b

對數平均值不等式鏈的指數形式為：,其中

J1a-b2V2

O^ji

已知函數,f(x)=L-x+alnx.

(1)討論〃x)的單調性；

(2)若/(x)存在兩個極值點用,當，證明：,.)一"")<。-2.

X]-x2

【解析】⑴定義域為(0,欣)，r(x)=—^-1+-=-Y~?+1.

XXX

①若〃<0,則/'(x)<0,f(x)在(0,+oo)上遞減.

②若△=/一4<0,即0v〃K2時，/r(x)<0,/(x)在(0,+oo)上遞減.

③若△=/_4>0,即a>2時，由尸(x)>0,可得，由尸(力<0,可得

0<》<"咚三或彳>竺浮三,所以〃x)在0,“一呼="+呼時,+8上遞減,在

"J、2-4a+J42-4上遞增

I—L―「J.

綜上所述，當a<2時，〃x)在(0,+8)上遞減；當〃〉2時，“X)在0,"&—4,a+Va2-4

\)\7

上遞減，在卜-夜—"上遞增.

22

\/

【證明】(2)法1：由(1)知，“可存在兩個極值點，則々>2.因為小馬是/(力的兩個極值點，

所以毛，%滿足f一辦+1=。，所以玉+工2=。，%％2=1，不妨設0<%<1<工2.

1]1

---%1+（7InXj-----x9+?Inx2

1*27

玉r

W一(再-X2)+a(lnX|一ln%)=__1+咐/』々)=_2+"(卜人-In.),于是

X}-X2XjX2Xj-X2Xj-x2

."WKLa_2o_2+a("”)<T=]n…x2coz^<]。

為一工2%一工2玉一工2±_r

2Inx2+--x2<0.構造函數g(x)=21nx+二-x,x>i,由(1)知，g(x)在(1,+8)上遞減，所以

g(x)<g(l)=0,不等式獲證.

法2：由(1)知，/(x)存在兩個極值點，則a>2.因為%，々是/(x)的兩個極值點，所以%,%滿

足f一欠+1=0,不妨設0<%<1<W，則%7a2-4,玉％2=1,

-----X|+tzIn-------x)+aInw

/(%)一/(馬)

、X|JI』2J二

%一％2Xl-X2

2X]a

~^^--x2)+6tlna\naln"

%]工2W11,為c4

--------------------------=--------1H--------=一乙------------]------

2

X]-*2%%2%一%2\!a-4

.a-yja2-4

/、，/、ciIn?—[―^

-------------------<?-2<=>-2----------1-----<?-2<=>In----------------<\la-4

22

%一12yJa-4a->Ja-4

?(a+\Ja2-4)「—7.a+\ja2-4\]a2-4

=In---------------<\/a~-4?In---------------<-----------.

222

設/=———，則〃=！4產+4,構造函數e(f)=r-ln(\/尸+1+,,r>0,則

[2f

1H----/--

0,⑺=1一一+1=1—^=>0,所以9⑺在(o,+oo)上遞增，于是夕⑺>e(o)=o,命題獲證.

"+1+.ylt2+i

法3：仿照法1,可得?/(玉)7(―)<”2ohg7n々<],因為芯X,=1,所以

Xj-x2xx-x2

In%1-Inx

2,令￡=G(0,l)，構造

王一々

函數/)=21nf+；-f,由(1)知，〃(/)在(0,1)上遞減，所以人(。>〃(1)=0,不等式獲證.

【點評】不、々和4之間的關系為玉+々=。，為々=1,我們可以利用其關系式對不等式進行消元，化

歸為只含有一個未知數的不等式.法1消去玉和。留下馬，法2消去不和々留下。，由于所證的不等式等價

于皿■也&<1,該不等式不含a,因此法1比法2簡單.

再一馬

由等價的不等式嶼二皿&<1,容易聯想到對數平均值不等式“將不等式進一步改

玉-x2In玉-Inx2

造后，通過換元化歸為只含一個未知數的不等式.

?例2

已知函數/(x)=e"XGR.

(1)設x>0,討論曲線y=/(x)與曲線y(AT?>0)公共點的個數；

(2)設a<8,比較與""-/(a)的大小,并說明理由.

2b-a

【解析】⑴y=e*與丁=后的公共點的個數等價于廣鳥與尸機的公共點的個數.令g)=黑

XX

則〃(x)=e(：12),由"(x)<0可得0<xv2,由〃(x)>0可得)>2,所以人(力在(0,2)上遞減,在(2,+8)

、，2

上遞增，所以人(尢)在(0,+8)上的最小值為力(2)=e1.當天.。+時，A(X)->+00,當X->+8時，/z(x)—>4-00.

巳2PXpx

當0<機<一時，y=—y與y=m沒有公共點，即y=e'與y=如2沒有公共點；當機=一時，與

4X4廠

2A

ee

)=機有一個公共點，即y=e'與y=mx2有一個公共點；當“〉一時'y=r與y=%有兩個公共點，即y=e”

4x

與y=7刀尤2有兩個公共點.

⑵結論：山)+“"(5叱證明如下.

2b-a

涉If(。)+〃。)>/⑸一f⑷。e"+e"eh-eub-ae?

2h-a2b-a2e〃+e"

h-h-a_ixA_1xA_1

=a——e1.&x=b—a,則x>0,即證二e構造函數0(x)=±—e則

2e~+l2e'+l')2ex+l

19er(ex-1),、、，

"(x)=---------——------二>0,所以e(x)在(0,+oo)上遞增，于是e(x)>9⑼=0.命題獲證.

2(ex+l)-2(e*+l)-

注?。e〃+e〃e〃-e"b-aeh—e"

｛公Z:--------------->----------------<=>--------->---------U>------>—：-------

22b-a2b-a2e〃+e"

力一〃h-a_1Vx_1

o—>e$1_令*=人一a,則x>0,即證土>e￡_1,該不等式等價于x+2>(2—x)e'.

2e~+l2e'+l'7

構造函數〃(x)=x+2+(x-2)e",則〃[x)=l+(x-l)e",令g(x)=/f(x),則g[x)=xe*>0,于是g(x)在

(0,+8)上遞增,所以g(x)>g(O)=O,即"(x)>0,所以〃(x)在(0,+oo)上遞增，于是/z(x)>〃(0)=0.命

題獲證.

b

法3：〃。)+/(6)>/伍)-/(")0￡±￡>￡^2￡.令e"=m,e=n,則他<〃，且不等式

2b-a2b-a

/、

J

n+mn-m,,(n-m\,〃八mn.門/丁gq

=---->--------=ln〃-ln〃z>2-----<=>In—>2———，令A/=一,r>1,則不等式

2In/I-Inm\n+m)m〃+]m

ImJ

=lnr>亞J,這是與Inx有關的常用不等式，命題獲證.

r+1

【點評】第(2)小問的不等式含有兩個未知數〃、b,其解題思路主要是利用換元法將兩個未知數。、

〃:pbb_a

〃化歸為一個未知數，常見的換元手法有x=a-^-b,x=a-b,x=ah,x=—?所證不等式為------>------

b2b-a

這是對數平均值不等式的指數形式，法3通過換元將其轉化為對數平均值不等式再進行證明.

€)例3

已知函數〃x)=(a+l)lnx+ax2+1.

(1)討論函數〃司的單調性；

(2)設QV-1,如果對任意芭?0，+8),一/(馬)之4,一元21，求〃的取值范圍.

【解析】(1)〃X)的定義域為(0,+8)./(力="1+2以=至上空1.

XX

當心0時,f'(x)>0,所以/(x)在(0,+8)上遞增；當av-l時,f'(x)<0,所以/(x)在(0,+oo)上

遞減；當一l<a<0時，由/'(x)>0可得0<x<J-四，由/(x)<0可得x>J-四，所以“X)在

V2aV2a

。，耳)遞增，在一片,+8上遞減.

(2)不妨設王之赴，因為QV—1，所以由(1)可知/(X)在(0,xo)上遞減，于是/(%)4/(/)，于是

對任意藥,々€((),+00),|/(^)-/(%2)|>4|^等價于對任意%,犬2(0,4-00),/(9)-/(3)"(不一々).

法(分離未知數后構造函數)

1：/(X2)-/(^)>4(XJ-X2)?>/(X2)+4X2>/(XI)+4X1.

構造函數g(x)=/(x)+4x,則只需證明g(x)在(0,+8)上是減函數.

g，(x)=2"「+a+l+4,要使g(x)在(O,+8)上是減函數，則如二￡土1+440在(0,+oo)上恒成立，所以

XX

2

4x4-14x+14（2X+1）-（4X+1）-4X_4（2x-l）（x+l）

a<-令/?（%）=_則/?'（x）=-由/?'（x）>0可得

2x2+l2X2+1（2/+）（2X2+1）2

x>g,由〃'(x)<0可得0<x<g.所以"(x)在上遞減，在上遞增，所以當x=g時，〃(力有

最小值一2,于是。的取值范圍是(-8,-2].

法2：(主元法)由/(》2)_/(內)24(&_々)可得(a+lRng_(a+I)lnX|—ar：N4(X|_々)，以々

為主元構造函數尸(x)=(a+l)lnx+a?2+4x-(a+l)lnX|-ar：-4X[(0<x<x,),則F'^x)=a++2ar+4

=2ax+4.x+(a+l)令G(X)=2辦2+4x+(a+l),則G(x)是開口方向向下，對稱軸為犬=一」的拋物線，

xa

其A=-8(a7)(a+2).

①若2,則A40,此時G(x)40,即尸(x)40,所以尸(x)在(0,4]上遞減,于是尸(力2尸(%)=0,

即」(%2)--馬)

②若一2<°<-1,則△>(),此時G(x)=O有兩個根，不妨設為機、n,且〃?<〃.由F'(x)>0可得

m<x<n,由F'(x)<0可得0<x</n或x>〃.因為々是任意的，不妨設根<》2<〃，于是尸(x)在(0,機)上

遞減，在(機,々)上遞增，于是在(機,々)上，有尸(x)<F(x,)=0,即/(々)-/(為)之4(X-%)不成立.

綜上所述，a的取值范圍是(-%-2].

【點評】得到二元不等式/(%)——(占)24(玉一々)后，有三種方法解決，一是分離未知數后構造函數，

進而利用函數的單調性進行證明，二是利用換元法，把二元化歸為一元，三是把其中一個元看成主元，進而

再求導，法1是分離未知數后構造函數法，法2是主元法.

?例4

已知函數〃x)=(x—2)e'+a(x—I)?有兩個零點.

(1)求。的取值范圍:

(2)設百、々是/(x)的兩個零點，證明：%+出<2.

【解析】(1)法1：〃x)=Ooa=-上當，于是〃x)有兩個零點等價于y=a與g(x)=-5雪?

(1)(1)

有兩個交點.因為g，(x)=_e卜--+5),由g，(x)>0可得x<l,由g'(x)<0可得x>l,于是g(x)在

(1)

(-00,1)上遞增，在(1,+00)上遞減.當X->-00時，g(x)->o+;當X—>1-時，g(x)->+00;當時，

g(x)f+8；當Xf+8時，g(x)--co.于是當a>0時，y=a與g(x)有兩個交點，所以a的取值范圍是

(0,+<?).

法2：//(x)=(x-l)ex+2?(x-l)=(x-l)(e'+2a).

①當a=0時，/(x)=(x-2)e\只有1個零點.

②當a>0時，e'+2a>0,由/'(x)>0可得x>l,由尸(x)<0可得x<l,所以在(一8,1)上遞減,

在(l,+oo)上遞增./(l)=-e<0,/(2)=a>0,當x->-8時，a(x-l)2—>+oo,(x-2)e*->(T,所以

/(x)->+oo,所以/(x)有兩個零點.

③當a<0時，由/'(x)=0可得x=l或x=ln(-2a).

(i)當a<—|時，,由/'(x)>0可得x<l或x>ln(-2a),由可得l<x<ln(-2a),

所以/(x)在(-oo,l)、(in(-2a),+oo)上遞增，在0』n(—2a))上遞減.因為/6=-e<0,所以/(x)沒有兩

個零點.

(ii)當a=-］時，ln(-2a)=l,所以尸(x)20恒成立，即〃x)在R上遞增，所以f(x)沒有兩個零

點.

(iii)當a>—|時，In(-2a)<l,由/'(x)>0可得x<ln(-2a)或x>l,由((x)<0可得

ln(-2?)<x<l,所以/(x)在(Yo,ln(-2a))、(l,+oo)上遞增，在(in(-2.),1)上遞減.當時，f(x)<0,

所以/(x)沒有兩個零點.

綜上所述，a的取值范圍是(0,2).

【證明】(2)法1：(極值點偏移)構造函數G(x)=g(x)-g(2-x)=-*一^=

----------2----（%＜1），令夕（工）=（工一2戶+xe2~x,則（j;）=（J;-1）（ex-e2~x）,因為x＜l，所以工一1＜0,

（I》

x2x

X＜2-X9e-e~＜0,所以d（x）＞0,于是°（x）在（fo,l）上遞增,于是*（力＜夕⑴=0,于是

G（x）=g（x）-g（2-x）＞0,即g（x）＞g（2-x）.

不妨設X＜工2，由（1）可知X￡（-8,1）,x2€（1,2）,于是g（xj＞g（2-xj,而g（xj=g（x2），所以

g（x2）＞g（2-xj.因為2-七E（l,+oo）,且g（x）在（l,+oo）上遞減，所以毛＜2-不，即玉+玉＜2.

法2：（極值點偏移）構造函數F（x）=〃力一"27）=a-2）e，+xe2T（XV1）,則

F（x）=（x-l）（ev-e2-A）,因為xvl,所以尢一1＜0,x＜2-x,ev-e2-x＜0,所以P（x）＞0,于是尸（x）在

（-00,1）上遞增,于是1（X）〈尸⑴=0,于是〃」）＜/（2-力.

不妨設不＜々，由（1）可知%￡（-8,1）,X2€（1,2）,于是/（%）＜/（2-M），而/（%）=/（工2），所以

/（工2）＜/（2-玉）.因為2-X]￡（l,+oo）,且“X）在（1,+00）上遞增，所以％＜2-即％+工2＜2.

【點評】對于函數y=在區間（4⑼內只有一個極值點與，方程f（x）=o的解分別為X、/，即

/（百）=/（々），且，＜$＜工2＜8，很多極值函數由于極值點左右的“增減速度”不同，函數圖象不具有對稱

性，常常有極值點不工五產?的情況，出現了“極值點偏移”.對于極值點偏移問題，解題可沿循著如下處

理策略：

①構造一元差函數P⑺=/⑺一/已工「力；

②對差函數尸（X）求導，判斷函數符號，確定尸（X）的單調性；

③結合尸（%）=0,判斷尸（x）的符號,從而確定/（尤）、f（2xo-x）的大小關系；

④由（或＜）〃2%-々），結合人”的單調性得到王〉（或＜）2xa-x2,從而三產〉

（或＜）XQ.

模塊2練習鞏固整合提升

練習1：已知函數〃x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數的底數）處的切線斜率為3.

（1）求實數。的值；

（2）若左eZ,且女＜小立對任意x＞l恒成立，求女的最大值；

x-1

(3)當〃>加24時,證明：(mn")>(〃加〃).

【解析】(1)因為f(x)=ax+x\nx,所以fr(x)=a+lnx+1,所以/z(e)=3,即a+lne+1=3，所以Q=1.

(2)由(1)知，f(x)=x+x\nx所以對任意x>l恒成立，即皿對任意.>1恒

''x-19x-1

成立.

當尢=2時，有左<21迎2。3.38,猜想女的最大值為3,下面進行證明.

2-1

x+_xlnx33

3<----j—<z>3(x-l)<x+xlnx<z>2x-3<xlnx<z>lnx+—~2>0,令g(x)=lnxd----2,則

g，(6」_4=J￡,由,(力>0可得x>3,由，(“<0可得1VXV3,所以g(力在(1,3)上遞減,在

XX廣

(3,Ko)上遞增，所以［g(x)］而—⑶=歷3-1>0,命題獲證，整數2的最大值是3.

【證明】(3)。加')〃'>(nmm)”=In(心〃加")>In(mHU,nn)oInnmn+Inmm>In〃泮+Inn"

<=>mn\nn+mlnm>nm\nm-\-n\nn.

法1：(分離未知數后構造函數)mn\nn+m\nm>rnn\nm+n\nn<^>

/八，/一，nlnnmlnm

nym-\)\nn>->-----.

構造函數爪)=告，x“，則小)=。+1叱尸工法常,令田x)=lTnx,

則#(x)=l-L因為x",所以片(乃>0在［4,+8)上恒成立,即匕⑺在［4,長□)上遞增,而

X

^,(4)=3-In4>0,于是乂(力>。在［4,+00)上恒成立,所以左(不)在［4,+oo)上遞增.ffon>m>4,所以

n\x\nm\nmh33H、七

---->------,不等式獲證.

n-1tn-1

法2：(主元法)以〃為主元構造函數/(x)=znrlnx+mln/%-加一xlnx,則

/'(x)=(6-1)Inx+m一I一機In機.因為x>相24,所以/'(x)>(6—1)Ina+6一1—加In加=加一1—In/%>0,

所以函數/(%)在［加,+8)上遞增.因為〃>加，所以/(〃)>/(團)，所以mmn〃+mln6一加dn相一〃ln〃>

nr\nm+m\nm-frr\nm-m\nm=09即nm\nn-^mlnm>nm\nfn+nlnn,不等式獲證.

練習2：已知函數/(x)=ln(l+x)-x,g(x)=xlnx.

(1)求函數的最大值；

a+b

⑵設Ova<Z?,證明：Ovg⑷+ge)-2g<(/?-6f)ln2.

2

【解析】(1)函數的定義域為(-L+8)./,(x)=j^--l,由r(x)>0可得—l<x<0,由尸(x)<0

可得x>0,于是f(x)在(-1,0)上遞增，在(0,+8)上遞減，于是當x=0時，“X)有最大值，且最大值為

"0)=0.

【證明】(2)以匕為主元構造函數.

設廠(力=8(4)+8(*)-28(苫土)，其中xe(a,+8),則

F，(x)=g，(x)-2g"=lnlW-

因為X>4所以F(x)>0,因此F(x)在(a,+oo)上為增函

數.而b>a,所以F(b)>F(a)=0,即g(a)+g(3-2g(皇)>0.

設G(x)=-(x-a)ln2,其中xe(a,+8),則G'(x)=lnx-ln^^-ln2=lnx-ln(a+x).當x>a

時，G'(x)<0,因此G(x)在(a,+oo)上為減函數，而6>a,所以G(b)<G(“)=0,即

a+b

g(a)+g(b)-2g<(Z>-a)ln2.

2

a+b

綜上所述，0<g(a)+g(b)-2g<(Z>-a)ln2.

練習3：設awR,函數/(x)=lnx-ar有兩個零點不、x2,ji0<x,<x2.

(1)求實數a的取值范圍;

2

(2)證明：-x2>e.

【解析】(1)〃x)=0oa=W，所以〃x)=0有兩個零點oy=a與g(x)=?有兩個交

點.g'(x)=^—"，由g'(x)>0可得0<x<e,由g'(x)<0可得x>e,所以g(x)在(0,e)上遞增，在(e,+8)

上遞減.又因為當X.0+時，g(x)f-oo；當xf+8時，g(x)fO+；g(e)=L所以實數a的取值范圍

e

為陷

【證明】(2)法1：(化二元為一元)依題意，有InX-6]=0,In-ar2=0,于是Inx〕+lnx2=a(*+x2),

所以嶼+叱=(嶼一”汽+々).

In%1-lnx2=〃(X]-x2),

-(inx-\nxA(x,+x9)2(x,-x9)

玉?%>e~=In%+In￡>20---------......->2<=>Inx,-Inx2<-------

Xy-x2X)+x2

2(五一1］_

oln五〈工~1,令/=±€(0,1),則上式等價于inr<九二D,這是與Inx有關的常用不等式，證明如

W五+iZ"1

下：構造〃(f)=ln-2"一",0<r<l,則“⑺=1——二=(1)5>0,于是"/)在(0,1)上遞增，于

r+1t(r+l)r(r+l)

是〃=命題獲證.

法2：(化二元為一元)依題意，有嶼=達三，即四土=土，設@五=2=/€(0,1),則

x}x2\nx2x2\nx2x2

2

Inx,=ln(rx2)=ln/+lnx2=rlnx2,于是lnx2=-^-,因止匕芭?x2>e?InX)+Inx2>2<=>

t—\

(z+l)lnr2(r-l)十百工

rlnx4-lnx,>2<=>-------->2<=>lnr<—-----,下同法1.

9-'z-1r+1

2

法3：(極值點偏移)Xj-x2>e^InXj+lnx2>2,令，］=ln%,二仙/，則八、是函數g(，)=f一。e'

的兩個零點，且0<%<，2,該問題不是極值點偏移問題，因為屋。的極值點不是1，需要把g(，)=r-優,改

為k(t)=1a，問題才轉化為極值點偏移問題.

e

%'?)==,由？(f)>0可得由Z'(f)<0可得f>l,所以在(一8,1)上遞增，在(1,物)上遞減,

e

于是0</j<1<r2.

構造函數K(f);人⑴―左(2—)=二_2=苻'+(,2)e(0<r<1))則K?)="一［)(e二e_)±0,

ee-e~e"

于是K(。在(0,1)上遞增,于是K?)<K⑴=(),即％?)V)(2T),于是2&)<2(2-4),而％?)=%&)，

所以％(，2)<%(2-4).因為G>1，2-Zj>1,且欠⑴在(1,+00)上遞減,所以，2>2-乙，即4+方2>2,命題

獲證.

函數中極值點偏移問題的常規處理方法

極值點偏移問題在.近幾年高考及各種模考，作為熱點以壓軸題的形式給出，很多學生對待此類問題經常

是束手無策，而且此類問題變化多樣，有些題型是不含參數的，而更多的題型又是含有參數的.其實，此類

問題處理的手段有很多，方法也就有很多，下面我們對此類問題的基本知識和常規處理方法來逐一探索！

基礎知識?自主學習

一、極值點偏移的含義

眾所周知，函數f(x)滿足定義域內任意自變量x都有/(x)=/(2m-x),則函數f(x)關于直線x="2對

稱；可以理解為函數/(x)在對稱軸兩側，函數值.變化快慢相、,同，且若/(x)為

單峰函數，則x=m必為/")的極值點.

如：二次函數/(%)的頂點就是極值點,若/(x)=c?的兩根的中點為

士也，則剛好有色口=%,即極值，點在兩根的正中間，也就是

極值點沒有偏移.若相等變為不等，則為極值點偏移。

若單峰函數/(x)的極值點為加，且函數/(x)滿足定義域內x=帆左側的任意自變量”都有

/(X)>/(2〃2-X)或/(x)<f(2m-X),則函數f(x)極值點m左右側變化快慢不同.故單峰函數/(%)定義域

內任意不同的實數再滿足/(%,)=/(%),則%I區與極值點，”必有確

2一

定的，大小關系：

X

若旭<五產，則稱為極值點左偏；'則)=設

若機〉七玉，則稱為極值點右偏」來］1/1J

X

如：函數g(x)=上的極值點/=1剛好在方程g(x)=c的兩根

ex

中點土也的左邊，我們稱之為.極值點左偏.

2

二、極值點偏移問題的一般題設形式：

1..若函數/(X)存在兩個零點項,82且X1W彳2，求證：xy+x2>2x0(須)為函數/(x)的極值點);

2.若函數/(X)中存在苞,彳2且X17尤2滿足/(%)=/(%2)，求證：%+%2>2工0(X。為