復習課(三)概率

常考點一古典概型

古典概型是學習及高考考查的重點，考查形式以填空題為主，試題難度屬容易或中等,

處理的關(guān)鍵在于用枚舉法找出試驗的所有可能的基本事件及所求事件所包含的基本事

件.還要注意理解事件間關(guān)系，準確判斷兩事件是否互斥，是否對立，合理利用概率加法

公式及對立事件概率公式.

［考點精要］

1.事件

(1)基本事件

在一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個可能結(jié)果.

(2)等可能事件

若在一次試驗中，每個基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基

本事件.

(3)互斥事件

①定義：不能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件.如果事件4,42,…，4,中的任何

兩個都是互斥事件，就說事件4,42,…，A”彼此互斥.

②規(guī)定：設(shè)A,8為互斥事件，若事件A,8至少有一個發(fā)生，我們把這個事件記作4

+B.

(4)對立事件

兩個互斥事件必有一個發(fā)生，則稱這兩個事件為對立事件，事件A的對立事件記作彳.

2.概率的計算公式

(1)古典概型

①特點：有限性，等可能性.

事件A包含的基本事件數(shù)

②計算公式：

P(A)=試驗的基本事件總數(shù).

(2)互斥事件的概率加法公式

①若事件4,8互斥，那么事件A+5發(fā)生的概率等于事件4,8分別發(fā)生的概率的和

即P(A+8)=P(4)+P(5).

②若事件4，A2,A”兩兩互斥.則

P(4+42+“?+A")=n4i)+尸(42)+”?+P(4).

(3)對立事件計算公式：P(A)=1一尸(A).

［典例］(1)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，

恰有一件次品的概率為.

(2)將2本不同的數(shù)學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數(shù)學書相鄰的概

率為.

(3)隨機擲兩枚骰子，它們向上的點數(shù)之和不超過5的概率記為pi,點數(shù)之和大于5的

概率記為P2,點數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為P3，則pi，P2,P3從小到大依次為.

(4)(天津高考)設(shè)甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運動員人數(shù)分別為27,9,18.現(xiàn)采用分層抽

樣的方法從這三個協(xié)會中抽取6名運動員組隊參加比賽.

①應(yīng)從這三個協(xié)會中分別抽取的運動員的人數(shù)為.

②將抽取的6名運動員進行編號，編號分別為4,A2,A3,A4,AS,4.從這6名運動

員中隨機抽取2人參加雙打比賽.則編號為人和4的兩名運動員中至少有1人被抽到概率

為.

［解］(1)記3件合格品為藥，金，血2件次品為6,弱，則任取2件構(gòu)成的基本事件空

間為。={(當,為)，但，*),(當，以)，(ai,的)，(az,*),(a?,6>),(az,6),(as,th),

(a,㈤，⑸㈤},共10個基本事件.

記“恰有1件次品”為事件則/={(a,th),(a,3,(金，6i),(a,th),(a,

6),(急，㈤},共6個基本事件.

、6

故其概率為PG4)=而=0.6.

⑵設(shè)2本數(shù)學書分別為4,B,語文書為C,則所有的排放順序有48C,ACB,BAG,BCA,

CAB,CBA,共6種情況，其中數(shù)學書相鄰的有陽7,BAC,CAB,CBA,共4種情況，故2本

,42

數(shù)學書相鄰的概率P=z=W,

0o

(3)總的基本事件個數(shù)為36,向上的點數(shù)之和不超過5的有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),

(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10個,則向上的點數(shù)之和不超過5的概

105513

率9=云=/；向上的點數(shù)之和大于5的概率.=1一石=石；向上的點數(shù)之和為偶數(shù)與向

OO1ololo

1

上的點數(shù)之和為奇數(shù)的個數(shù)相等，故向上的點數(shù)之和為偶數(shù)的概率即p\<p3<pz.

(4)①應(yīng)從甲、乙、丙三個協(xié)會中抽取的運動員人數(shù)分別為3,1,2.

②從6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽的所有可能結(jié)果為{4,4},U,4},

{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},

{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},共15種.

編號為4和4的兩名運動員中至少有1人被抽到的所有可能結(jié)果為{4,4},{4,4},

U,4},U,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},{4,4},共9種.

o3

因此，事件4發(fā)生的概率PC4)=/=.

100

［答案］(1)0.6(2)j(3)pi<p3<p2(4)①3,1,2磴

［類題通法］

解決與古典概型問題時，把相關(guān)的知識轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和

隨機事件的個數(shù)，然后利用古典概型的概率計算公式進行計算

［題組訓練］

1.袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球.從中一

次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為.

解析：利用列舉法可求出基本事件總數(shù)為6種，其中符合要求的有5種，故「=/.

答案建

2.若某公司從五位大學畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會

均等，則甲或乙被錄用的概率為.

解析：所有基本事件為（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，

丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，T,戊），（丙，丁，戊），共10

種，其中符合“甲與乙均未被錄用”的結(jié)果只有（丙，丁，戊）.

1Q

故所求概率

答案--

口來.10

3.甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種，則他

們選擇相同顏色運動服的概率為.

解析：甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種的

所有可能情況為（紅，白），（白，紅），（紅，藍），（藍，紅），（白，藍），（藍，白），（紅，紅），

（白，白），（藍，藍），共9種，他們選擇相同顏色運動服的所有可能情況為（紅，紅），（白，

31

白），（藍，藍），共3種.故所求概率為P=§=§.

答案：I

常考點二'幾何概型

幾何概型是各類考查的重點，考查形式以填空題為主，試題難度比古典概型稍大.

［考點精要］

1.幾何概型的特征

（1）無限性：即試驗結(jié)果有無限多個.

（2）等可能性：即每個結(jié)果出現(xiàn)是等可能的.

2.幾何概型的概率公式

在幾何概型中，事件A的概率的計算公式如下：

04構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）

尸（川一試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）

［典例］⑴在區(qū)間［0,5］上隨機選擇一個數(shù)P，貝歷程x2+2px+3p-2=0

有兩個負根的概率為.

（2）如圖，在邊長為1的正方形中隨機撤1000粒豆子，有180粒落到陰

影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為.

(3)已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P,使△AP5的最大邊是A3”發(fā)生

的概率為:，則喘=.

［解析］(1)設(shè)方程x2+2*+3〃-2=0有兩個負根分別為xi,X2,

pl=4p2—4(3〃-2)20,

，+1+必=—2pv0,解得|vp〈l或p22.

lxiX2=3p-2>0,

0-S+(5-2)2

故所求概率P=-------------=y

(2)依題意，得歷影=［1：*，所以1￡=：：：(),解得S用彩=0.18.

3正方彩1UUU1A11UUU

(3)由已知，點尸的分界點恰好是邊C。的四等分點，由勾股定理可得

AB^A^+AD\解得饋〉=看

即生=亞

VAB4.

［答案］(1)|(2)0.18(3)于

［類題通法］

(1)幾何概型概率的大小與隨機事件所在區(qū)域的形狀位置無關(guān)，只和該區(qū)域的大小有關(guān).

(2)在解題時要準確把握，要把實際問題作合理的轉(zhuǎn)化；要注意古典概型和幾何概型的

區(qū)別，正確地選用幾何概型的類型解題.

［題組訓練］

1.(山東高考)在區(qū)間［0,2］上隨機地取一個數(shù)x,則事件“-14。晟+3^1”發(fā)生的

概率為.

解析：不等式一iWlog^x+yWl可化為log^Wlog^x+Owiogjl，即9x+吳2,

解得OWxW］3,故由幾何概型的概率公式得23

//UQ

答案：I3

2.(福建高考)如圖，矩形A8CZ)中，點A在x軸上,

x+l,x20,

為(1,0),且點。與點卻在函數(shù)Ax)=，1

—/+1,x<0

在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于

fx+1,x20,

解析：因為1,5點坐標為(1,0),所以。點坐標為(1,2),。點坐

—/+1,x<0,

標為(-2,2),A點坐標為(一2,0),故矩形A8C。的面積為2X3=6,陰影部分的面積為^X3X1

答案：|

3.在體積為丫的三棱錐S-ABC的棱48上任取一點P,則三棱錐S-APC

V

的體積大于5的概率是.

解析：由題意可知詈三棱錐S-ABC的高與三棱錐S-APC的高

Vs-ABC3

相同.

作PM_LAC交于點M,BN工AC文于點、N,

則PM,BN分別為△APC與XABC的高,

VS-APC_S^APCPM1

所以9

VS.AB^S^B^^BN3

PMAP

又麗=加

所以標>3，

2

故所求的概率為1(即為長度之比).

答案常

常考點三概率和統(tǒng)計綜合應(yīng)用

［考點精要］

對于給定的隨機事件4由于事件A發(fā)生的頻率6(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率

P(A),因此各類考試常常結(jié)合統(tǒng)計的知識考查概率.考查形式一般以解答題為主，難度中

等.解決此類考題要注意：①正確利用數(shù)形結(jié)合的思想.②充分利用概率是頻率的穩(wěn)定值,

用頻率估計概率.③準確地處理所給數(shù)據(jù).

［典例］某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A,B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了40個

用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B

地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表.

A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖

頻率

組距

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O

405060708090100滿意度評分

圖①

B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表

滿意度評

分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)2814106

(1)在圖②中作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)

滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可).

B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖

圖②

⑵根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度分為三個等級:

滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分

滿意度等級不滿意滿意非常滿意

估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由.

[ft?]⑴如圖所示.

通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評分的平

均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，而A地區(qū)用

戶滿意度評分比較分散.

(2)A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.

記以表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；CB表示事件：“B地區(qū)用戶

的滿意度等級為不滿意”.由直方圖得尸(CA)的估計值為(0.01+0.02+0.03)X10=0.6,P(CB)

的估計值為(0.005+0.02)X10=0.25.

所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.

［類題通法］

解決概率和統(tǒng)計綜合題，首先要明確頻率、概率、頻率分布表、頻率分布直方圖、概

率的計算方法等基本知識，要充分利用頻率估計概率及數(shù)形結(jié)合等基本思想，正確處理各

種數(shù)據(jù).

［題組訓練］

1.隨機抽取某中學高三年級甲、乙兩班各10名同學，測量出他們的身高(單位：cm),

獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖，其中甲班有一個數(shù)據(jù)被污損.

甲班乙班

2181

9?101703689

883216258

8159

(1)若已知甲班同學身高的平均數(shù)為170cm,求污損處的數(shù)據(jù)；

(2)現(xiàn)從乙班這10名同學中隨機抽取2名身高不低于173cm的同學，求身高176cm的

同學被抽中的概率.

解：(1)設(shè)被污損的數(shù)字為a,由題意知，甲班同學身高的平均數(shù)為

—158+162+163+168+168+170+17l+179+170+a+182

*=10

=170,解得a=9.

(2)設(shè)“身高176cm的同學被抽中”的事件為A,

從乙班10名同學中抽取2名身高不低于173cm的同學有：{181,173},{181,176},

{181,178},{181,179},{179,173},(179,176},{179,178},{178,173},{178,176},{176,173},

42

共10個基本事件，而事件A含有4個基本事件，所以尸(A)=m=g.

2.某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，

隨機訪問50名職工.根據(jù)這5()名職工對該部門的評分，繪

制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：

［40,50),［50,60),［80,90),［90,100］.

(1)求頻率分布直方圖中。的值；

(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；

(3)從評分在［40,60)的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2

人的評分都在［40,50)的概率.

解：（1）因為（0.004+a+0.018+0.022X2+0.028）X10=1,所以a=0.006.

⑵由所給頻率分布直方圖知,50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.022+0.018)X10

=0.4,所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4.

(3)受訪職工中評分在［50,60)的有：50X0.006X10=3(人)，記為③,A2,A3;

受訪職工中評分在［40,50)的有：50X0.004X10=2(人)，記為Bi,B2.

從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是{Ai,A2},{Alt

AJ},Ai,Bi},{Ai,Bz},{A2,A3},{A2,Bi},{Aj,&},A3,Bi},{A3,82},{B\,Bi].又

因為所抽取2人的評分都在[40,50）的結(jié)果有1種，即{51,&},故所求的概率為心.

［回扣驗收特訓］

［對應(yīng)配套卷P105］

1.從1,2,3,4這四個數(shù)中一次隨機地取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的概率

是.

解析：基本事件的總數(shù)為6,滿足條件的有{1,2},{2,4},2個，故尸=看=；.

答案《

2.盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球.若從中隨機摸出兩只球，則它們顏色

不同的概率是.

解析：基本事件總數(shù)有6個，滿足條件的有3個，故尸=；.

答案：I

3.如圖所示，陰影部分是一個等腰三角形ABC,其中一邊過圓心O,c

現(xiàn)在向圓面上隨機撒一粒豆子，則這粒豆子落到陰影部分的概率是

解析：向圓面上隨機撒一粒豆子，其結(jié)果有無限個，屬于幾何概型.設(shè)T5J

圓的半徑為r,全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域面積是圓面積幾戶，陰影部分的面積

是等腰直角三角形ABC的面積/，則這粒豆子落到陰影部分的概率是壬=；.

答案一

4.在區(qū)間［0,3］上任取一點，則此點落在區(qū)間［2,3］上的概率是.

解析：設(shè)這個事件為A,所考查的區(qū)域。為一線段，Si)=3,又Si=l,/.P(A)=1.

答案:；

5.現(xiàn)有某類病毒記作XmY?,其中正整數(shù)"?，"Q〃W7,〃W9)可以任意選取，則m,n

都取到奇數(shù)的概率為.

解析：基本事件總數(shù)為N=7X9=63,其中m,n都為奇數(shù)的事件個數(shù)為M=4X5=

20,所以所求概率小:噂二患.

20

答案：63

6.小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點，若此點到

圓心的距離大于;，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于上則去打籃球；否則，在

家看書.則小波周末不在家看書的概率為.

rtxi2-nx(j)27rxi

解析：去看電影的概率P產(chǎn)一7rxl一/去打籃球的概率尸2=：3岸~=言

故不在家看書的概率為尸=1+*=||.

13

答案：而

7.從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數(shù)，其和為5的概率是.

解析：從五個數(shù)中任意取出兩個數(shù)的可能結(jié)果有：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),

2

(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10個，其中“和為5”的結(jié)果有(1,4),(2,3),故所求概率為誣

=1

答案」

8.若?,/>€{-1,0,1,2),則使關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實數(shù)解的概率為.

解析：要使方程有實數(shù)解，則。=0或

所有可能的結(jié)果為(一1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),

(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,0),(2,1),(2,2),共16個，

其中符合要求的有13個，

故所求概率

1O

答案.—

口米.16

9.在一次教師聯(lián)歡會上，到會的女教師比男教師多12人，從這些教師中隨機挑選一

人表演節(jié)目，若選到男教師的概率為言9，則參加聯(lián)歡會的教師共有人.

解析：設(shè)男教師為x人，則女教師為（x+12）人.

依題意有：

x9

2X+12=20-AX=54-

二共有教師2X54+12=120（人）.

答案：120

10.在區(qū)間［0,1］上隨機取兩個數(shù)x,y,記pi為事件“x+yW；”的概率，P2為事件

“孫的概率，則0,P2,按從小到大排列為.

解析：如圖，滿足條件的X,y構(gòu)成的點（X,y）在正方形QBC4內(nèi)，

r

其面積為1.事件“x+y/T”對應(yīng)的圖形為陰影△OOE,其面積為品：

x=,故PT4；事件“孫4”對應(yīng)的圖形為斜線表示部分，其

O\BX

11112

面積顯然大于石故P2>3，則piV3Vp2.

乙乙乙

答案：Pl〈gvp2

11.（山東高考）某中學調(diào)查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況，數(shù)

據(jù)如下表：（單位：人）

參加書法社團未參加書法社團

參加演講社團85

未參加演講社團230

（1）從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加上述一個社團的概率；

（2）在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學中，有5名男同學4,Th,43,A4,

A5,3名女同學以，Bi,B.現(xiàn)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求A被選中且

81未被選中的概率.

解：（1）由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團又未參加演講社團的有30人，

故至少參加上述一個社團的共有45—30=15（人），

所以從該班隨機選1名同學，該同學至少參加上述一個社團的概率為尸=靠=/

（2）從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件

有：

{Ai,Bi},{Ai,B2},{AltB3},{AI,Bi},{A2,B2},{A2,B3},{A3,Bt},{A3,B2},

{A3,Bi},{Ai,Bl},{A4,B2},{A4,Bi},{As,Bi},{As,B2},{As,B3},共15個.

根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.

事件“Ai被選中且9未被選中”所包含的基本事件有：

{Ai,&},{Ai,&},共2個.

2

因此Ai被選中且Bt未被選中的概率為尸=運.

12.編號分別為4,A2,Au；的16名籃球運動員在某次訓練比賽中的得分記錄如

下：

運動員編號AiA3A

A2454A7As

得分1535212825361834

運動員編號A10A12413A14415A16

A9An

得分1726253322123138

(1)將得分在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格:

區(qū)間[10,20)[20,30)[30,40]

人數(shù)

(2)從得分在區(qū)間［20,30)內(nèi)的運動員中隨機抽取2人，

①用運動員編號列出所有可能的抽取結(jié)果；

②求這2人得分之和大于50的概率.

ft?：(1)4,6,6.

⑵①得分在區(qū)間［20,30)內(nèi)的運動員編號為Aj,A4,AS,Al0,Au,A13,從中隨機抽取

2人，所有可能的抽取結(jié)果有：ph,A4},{A3,A5},{A3,AIO},{A3,An},{A3,An},{A4,

As},{At,Aio},{A4,A”},{A4,AH),{AS,A10},{A5,Au},{As,A13},{A10,An},{A10,

A13},{An,A13}共15種.

②“從得分在區(qū)間［20,30)內(nèi)的運動員中隨機抽取2人，這2人得分之和大于50”(記為

事件5)的所有可能結(jié)果有{4,As},{A4,A10},{A4,AH},{As,A10},{A10,Au}共5種.

所以P(B)=^=|.

13.在某次測驗中，有6位同學的平均成績?yōu)?5分.用x“表示編號為“5=1,2,…，

6)的同學所得成績，且前5位同學的成績?nèi)缦拢?/p>

編號n12345

成績Xn7076727072

(1)求第6位同學的成績打，及這6位同學成績的標準差s；

(2)從前5位同學中，隨機地選2位同學，求恰有1位同學成績在區(qū)間(68,75)中的概率.

解：(1):?這6位同學的平均成績?yōu)?5分，

.,.1(70+76+72+70+72+X6)=75,解得x6=90.

這6位同學成績的方差

S2=1X[(70-75)2+(76-75)2+(72-75)2+(70-75)2+(72-75)2+(90-75)2]=49,

標準差s=7.

⑵從前5位同學中，隨機地選出2位同學的選法有：(70,76),(70,72),(70,70),(70,72),

(76,72),(76,70),(76,72),(72,70),(72,72),(70,72),共10種,

恰有1位同學成績在區(qū)間(68,75)中的有：(70,76),(76,72),(76,70),(76,72),共4種，

42

所求概率為尸

14.設(shè)式x)和g(x)都是定義在同一區(qū)間上的兩個函數(shù)，若對任意xG[l,2],都有血0+

g(x升W8,則稱兀T)和g(x)是"友好函數(shù)",設(shè)兀r)=ax,g(x)=§.

⑴若aG{l,4},be{-1,1,4},求於)和g(x)是“友好函數(shù)”的概率；

(2)若QG[1,4],附1,4],求/U)和g(x)是“友好函數(shù)”的概率.

解：⑴設(shè)事件A表示作)和g(x)是"友好函數(shù)"，

則(/U)+g(x)l(xW口⑵)所有的情況有：

1,1,41,1,4

LJx+0x+下4x~x>A4x+rA4x+-,

共6種且每種情況被取到的可能性相同.

又當”>0,/>>o時，依+§在(o,、^上遞減，在+8)上遞增；

x—；和4x—：在(0,+8)上遞增，

所以對xG[l,2]可使|/(x)+g(x)l<8恒成立的有丫+=,x+34x-J,

?VV%wV

故事件A包含的基本事件有4種，

422

所以P(A)=k=],故所求概率是亍

(2)設(shè)事件B表示/(X)和g(x)是“友好函數(shù)”，

因為a是從區(qū)間[1,4]中任取的數(shù)，分是從區(qū)間[1,4]中任取的數(shù)，所以點3,加所在區(qū)域

是長為3,寬為3的矩形區(qū)域.

要使xG[l,2]時，(Ax)+g(xHW8恒成立，

需/U)+g(l)=a+6W8且<2)+g(2)=2a+^W8,

所以事件8表示的點的區(qū)域是如圖所示的陰影部分.

所以四=二9+加19

3X3-24'

故所求的概率是3.

［模塊綜合檢測］

(時間120分鐘滿分160分)

一'填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請把答案填寫在題中橫線上)

1.從一箱產(chǎn)品中隨機抽取一件，設(shè)事件4=｛抽到一等品｝,事件6=｛抽到二等品｝,

事件C=｛抽到三等品｝,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(O=0.1.則事件“抽到的不是一

等品”的概率為.

解析：設(shè)事件“抽到的不是一等品”為D,則A與。對立，

.,.P(O)=l-P(A)=0.35.

答案：0.35

2.甲、乙、丙三人在3天節(jié)日中值班，每人值班1天，則甲緊接著排在乙前面值班的

概率是.

解析：甲、乙、丙三人在3天中值班的情況為：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、

乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6種，其中符合題意的有2種，故所求概率

為今

答案卷

3.根據(jù)下列算法語句，當輸入x為60時，輸出y的值為.

Readx

IfxW50Then

y-0.5x

Else

L25+0,6X(X-50)

EndIf

Printy

0.5x,xW50,

解析：由題意知，該算法語句的功能是求分段函數(shù)y=,,、的值，

t25+0.6(x-50),x>50

所以當x=60時，輸出y的值為25+0.6X(60—50)=31.

答案：31

4.從1,2,3,6這4個數(shù)中一次隨機地取2個數(shù)，則所取2個數(shù)的乘積為6的概率是

解析：取兩個數(shù)的所有情況有：(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6種情況.乘

21

積為6的有：(1,6),(2,3)共2種情況.所求事件概率為

答案心

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為.

I互I

1+1|

護

［S^-\og25k|

/輸;Hs/

施

解析：由程序框圖與循環(huán)結(jié)束的條件“A>4”可知，最后輸出的S=log255=T.

答案：\

6.（福惠高考）某校高一年級有900名學生，其中女生400名，按男女比例用分層抽樣

的方法，從該年級學生中抽取一個容量為45的樣本，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為.

45Y

解析：設(shè)男生抽取x人，則有麗=900—400'解得x=25.

答案：25

7.（湖北高考）某電子商務(wù)公司對10000名網(wǎng)絡(luò)購物者2014年度的消費情況進行統(tǒng)計,

發(fā)現(xiàn)消費金額（單位：萬元）都在區(qū)間［0.3,0.9］內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示.

（1）直方圖中的。=;

（2）在這些購物者中，消費金額在區(qū)間［05,0.9］內(nèi)的購物者的人數(shù)為.

解析：（1）由（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）X0.1=l,

解得a—3.

（2）區(qū)間。3,0.5］內(nèi)須率為0.1X（1.5+2.5）=0.4,

故［0.5,0.9］內(nèi)的頻率為1-0.4=0.6.

因此，消費金額在區(qū)間［0.5,0.9］內(nèi)的購物者的人數(shù)為0.6X10000=6000.

答案：（1）3（2）6000

8.（陜西高考）某公司10位員工的月工資（單位：元）為XI，X2,…，X1O,其均值和方差

分別為X和s2,若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工下月工資的均值

和方差分別為.

解析：對平均數(shù)和方差的意義深入理解可巧解.因為每個數(shù)據(jù)都加上了100,故平均數(shù)

也增加100,而離散程度應(yīng)保持不變.

答案：100+xs2

9.甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲在心中任想一個數(shù)字，記為a,再由乙猜甲剛才

所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為兒且a,6G{1,2,3,4},若則稱甲、乙“心有靈

犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，得出他們“心有靈犀”的概率為.

解析：甲、乙所猜數(shù)字的基本事件有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),

(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16個，其中滿足|a—的基

本事件有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)共10個，故所求

概率為共=宗

loo

答案：!

10.正方形ABC。面積為S,在正方形內(nèi)任取一點/W,ZVIMB面積大于或等于gs的

概率為.

解析：如圖，設(shè)正方形ABC。的邊長為a,則S=a2,△ABM的高為加

由題知，7力?。255=可。2,

答案：3

11.如下圖是C3A籃球聯(lián)賽中，甲、乙兩名運動員某賽季一些場次得分的莖葉圖，則

平均得分高的運動員是.

6

65

44+30+100+30

解析：X甲==20.4,

63+50+80

x乙==19.3,

10

Xf>X匕.

答案：甲

12.如圖，4是圓。上固定的一點，在圓上其他位置任取一點4’，連接AA，,它是一

條弦，它的長度小于或等于半徑長度的概率為.

解析：如圖，當AA'的長度等于半徑長度時，ZAOA'=60°,由圓

的對稱性及幾何概型得尸=粵=4.\

答案：5

13.為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機抽取5個班級，把每個

班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本平均數(shù)為7,樣本方差為4,且樣本數(shù)據(jù)互

不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為.

解析：設(shè)5個班級的數(shù)據(jù)分別為0VaVbVc<d<e.由平均數(shù)及方差的公式得

a+b+c+d+e(a-7>+S-7)2+(c-7>+(d-7>+(e—7)2

---------------------"7------(----、‘-'---'，/-------------------乙-------------------乙——/I-tU*>7

p+g+r+s+f=0,

d~7,e—7分別為p,q,r,s,t,則p,q,r,s,f均為整數(shù)，則

p2+q2+r1+s2+t2=20.

i$.fix)=(x—p)2+(x—q)2+(x—r)2+(x—s)2=4x2-2(p+q+r+s)x+(p2+q2+r2+s2)=4x2+

2a+20—戶,由(x—p)2,(x—q)2,(x-r)2,(x—s)2不能完全相同知"r)>0,則判別式/<(),

解得一4?<4,

所以一3近fW3,所以最大值為10.

答案：10

14.設(shè)集合4={1,2},8={1,2,3},分別從集合A和8中隨機取一個數(shù)a和心確定平

面上的一個點P(a,b),記“點P(a,/>)落在直線x+y="上”為事件G,(2式"W5,"GN),

若事件C,,的概率最大，則n的所有可能值為.

解析：事件G,的總事件數(shù)為6.只要求出當“=2,3,4,5時的基本事件個數(shù)即可.

當n=2時，落在直線x+j=2上的點為(1,1);

當〃=3時，落在直線x+y=3上的點為(1,2),(2,1);

當〃=4時，落在直線x+y=4上的點為(1,3),(2,2);

當"=5時，落在直線x+y=5上的點為(2,3);

顯然當”=3或4時，事件&,的概率最大為］

答案：3或4

二,解答題（本大題共6小題，共90分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（本小題滿分14分）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數(shù).乙組記

錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以X表示.

甲組乙組

990X89

1110

（1）如果X=8,求乙組同學植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；

（2）如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數(shù)為

19的概率.

（注：方差S2=1［（X1—工產(chǎn)+（X2—三產(chǎn)+…+（X“一行溝，其中T為石，處…，X"的

平均數(shù)）

解：（1）當X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數(shù)是：8,8,9,10,

—8+8+9+1035

所以平均數(shù)為:

x=4=~4;

方差為：

s2=；X（8一舒+（8一受2+（9一聆+（10—舒叫

（2）記甲組四名同學為4,A2,A3,Ai,他們植樹的棵數(shù)依次為9,9,11,11;

乙組四名同學為Bi,Bi,BitBi,他們植樹的棵數(shù)依次為9,8,9,10.分另4從甲、乙兩組

中隨機選取一名同學，所有可能的結(jié)果有16個：

(Ai,Bi),(Ai,B2),(Ai,&),(Ai,B4),

(A2,Bi),(^2,Bi),(A2,&),(42,國),

(A3,BI),(A3,Bi),(A3,B3),(A3,B4),

(A4,Bi),(A4,&),(A4,B3),(A4,84),

用C表示“選出的兩名同學的植樹總棵數(shù)為19”這一事件，則C中的結(jié)果有4個，它

41

們是：（Ai,84）,（A2,B4）,（A3,歷），（4i,Bi）.故所求概率為尸（。=而=彳

16.（本小題滿分14分）（廣東高考）從一批蘋果中，隨機抽取50個，其重量（單位：克）

的頻數(shù)分布表如下：

分組（重量）[80,85)