2024-2025學年第一學期六校聯合體學情調研測試高三數學一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求集合A,再求交集運算.【詳解】解不等式得,所以,因為,所以,故選：C.2.已知復數滿足，則復數（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復數的運算和共軛復數的定義求解即可.【詳解】，故，故.故選：B3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】分別化簡和,再根據充分、必要條件判斷即可.【詳解】因為在單調遞增，且,所以，即因為，所以,即,所以存在兩種情況：且，且，因此推不出,同樣推不出,因此“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.4.已知，為奇函數，當時，，則集合可表示為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數奇偶性可得不等式等價于，再求出函數解析式，利用對數函數單調性解不等式可得結果.【詳解】因為為奇函數，所以等價于，即；當時，，即，解得；當時，，可得，所以，解不等式，可得，綜上可得集合可表示為.故選：D5.已知向量為單位向量，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得，兩邊平方，結合數量積的定義和運算律及性質可求結論.【詳解】設與的夾角為，則，因為，所以，所以，所以，即又，，所以，所以，又，所以，即與的夾角為.故選：C.6.已知，則（）A.-3 B.-2 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】根據兩角和的正弦公式和兩角差的余弦公式對題目所給條件進行化簡，再用兩角和的正切公式即可.【詳解】因為,所以,所以,即,因為,所以,所以.故選：A.7.已知圓錐側面展開圖是圓心角為直角，半徑為4的扇形，則此圓錐內切球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由扇形弧長的計算，可得圓錐底面半徑，畫組合圖形的軸截面，利用三角形內切圓以及勾股定理，最后利用球表面積公式，可得答案.【詳解】由題意可知，圓錐的母線，底面周長，所以圓錐的底面半徑，根據題意可作圓錐與其內切球的軸截面如下：根據圓錐和球的對稱性可知，球的截面為圓，也即為等腰的內切圓，即，，，，在中，，由，，則，在中，，即，可得，解得，所以內切球的表面積.故選：A.8.若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先對等式進行移項，然后兩邊同時除以，湊出，再利用基本不等式即可.【詳解】因為即,兩邊同時除以，得到，即，當且僅當，即等號成立，則，則.故的最小值為.故選:.二.多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.拋物線的焦點為為拋物線上一動點，當運動到時，，直線與拋物線相交于兩點，則下列結論正確的是（）A.拋物線的方程為：B.拋物線的準線方程為：C.當直線過焦點時，以為直徑的圓與軸相切D.當直線過焦點時，以為直徑的圓與準線相切【答案】ACD【解析】【分析】對于A,B,根據拋物線的定義即可求解p,進而知道拋物線方程和準線方程；對于C,D，由拋物線的性質易知該結論正確.證明過程見詳解.【詳解】對于A，如圖所示，過點作準線的垂線，垂足為，則由拋物線的定義可知:,解得.拋物線的方程為:,故正確;對于，拋物線的準線方程為，故錯誤；對于,如圖所示，取的中點C,過點C作x軸的垂線，垂足為D,易知拋物線的焦點，設，則,,所以,所以以為直徑的圓與軸相切，故C正確；對于,當直線過拋物線的焦點且與拋物線相交于兩點時，直線的斜率存在，假設,設,AB的中點為,則，如圖所示，作垂直于準線于點，則,聯立，消去并整理可得，所以，所以所以,,,,以AB為直經的圓與準線相切，故D正確.故選：ACD.【點睛】結論點睛：如圖所示，已知拋物線,過其焦點且與拋物線交于兩點的直線，則有如下常用結論：（1）（2）若直線AB的傾斜角為，則;（3）以為直徑的圓都與軸相切，以為直徑的圓與準線相切；（4）;10.已知等差數列的首項為，公差為，其前項和為，若，則下列說法正確的是（）A.當時，最大B.使得成立的最小自然數C.D.數列中的最小項為【答案】ACD【解析】【分析】利用等差數列及，判斷出，，再利用等差數列和等差數列前項和的性質逐項判斷即可.【詳解】若，則，所以，即等差數列an為遞減數列，對于A，由，知等差數列an前7項為正數，其余項為負數，故當時，最大，故A正確；對于B，，故所以使得成立的最小自然數不是，故B錯誤；對于C，，則，故C正確；對于D，當或時，；當時，；由，所以中最小項為，故D正確.故選：ACD11.已知定義在實數集上的函數，其導函數為，且滿足，則（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】對于AB，利用賦值法求得，,再根據中心對稱的定義判斷即可；對CD，利用賦值法后結合數列性質進行相應的累加及等差數列公式法求和即可得．【詳解】對于A，令，則有，即，令，則有，所以，所以函數不關于中心對稱，故A錯誤B正確；對于C，令，則有,即，則,，故C正確；對于D，令，則有,即，則，即，又，令,，則有，所以數列是等差數列，首項為，公差為1，所以，即，則，故D錯誤．故選：BC．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知二項式展開式中第2項的二項式系數為6，則展開式中常數項為__________.【答案】135【解析】【分析】根據題意求出,再寫出二項展開式通項，令的指數部分為0，然后求解即可.【詳解】依題意，解得，二項式的通項為,令，得，所以展開式中常數項為.故答案為：135.13.若函數的圖象向右平移個單位后在區間上單調遞減，則______.【答案】【解析】【分析】先求出向右平移后的函數圖象，再根據正弦函數的單調遞減區間列出不等式，進而求解即可.【詳解】向右平移個單位后得到因為，所以，因為在單調遞減，所以，即，所以，所以，因為，所以當時，.故答案為：.14.設雙曲線的左右焦點分別為，離心率為為上一點，且，若的面積為，則__________.【答案】2【解析】【分析】根據雙曲線定義以及余弦定理，由雙曲線離心率和的面積為可解得.【詳解】不妨取點在第一象限，如下圖所示：根據雙曲線定義可得，且；由離心率為可得，可得，即；設，則；由的面積為可得，解得；利用余弦定理可得，即，整理可得，即，所以，解得.故答案為：2四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知函數.（1）當時，求的圖象在1,f1處的切線方程；（2）若函數在1,+∞上單調遞增，求實數a的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）求出，切點為，直接寫出切線方程；（2）轉化為f'x≥0對于x∈【小問1詳解】當時，，，，，，所以的圖象在處的切線方程為：.【小問2詳解】，若函數在1,+∞上單調遞增，則f'x≥0即對于x∈1,+令，當時，，則函數在1,+∞上單調遞增，所以，故.16.在中，角所對的邊分別為，設向量.（1）求函數的最小值；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據數量積的坐標運算公式，二倍角公式，輔助角公式化簡，結合正弦函數性質求其最小值；（2）解方程求，由正弦定理可求，再由余弦定理求，根據三角形面積公式求結論.【小問1詳解】因，所以，所以當，即時，有最小值【小問2詳解】因為，所以，所以，因為，所以由正弦定理，，所以.又因為，所以，得，由余弦定理有：，所以.所以.17.如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的菱形，，，點分別為棱的中點.（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成角的大小為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點，連接，由已知可證得四邊形為平行四邊形，可得，則得平面.（2）連接，交于點，可得平面平面，則為直線與平面所成的角的平面角，以為原點，直線所在直線分別為軸，過點O垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量坐標運算，求得平面的一個法向量，取平面一個法向量為，由即可求得二面角的余弦值.【小問1詳解】如圖：取中點，連接，因為為中點，所以且，又四邊形為菱形，且為中點，所以且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.【小問2詳解】如圖：連接，交于點，因為四邊形為菱形，所以，且為的中點，又因為，所以平面，且，所以平面，平面，所以平面平面，所以是直線在平面內的射影，則為直線與平面所成的角的平面角，則，又，所以，如圖，以為原點，直線所在直線分別為軸，過點O垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標系，則，所以.取平面一個法向量為，設平面的一個法向量為，則，令，得，則，則，所以二面角的余弦值為.18.某校為了提高教師身心健康號召教師利用空余時間參加陽光體育活動．現有4名男教師，2名女教師報名，本周隨機選取2人參加．（1）求在有女教師參加活動的條件下，恰有一名女教師參加活動的概率；（2）記參加活動的女教師人數為X，求X的分布列及期望；（3）若本次活動有慢跑、游泳、瑜伽三個可選項目，每名女教師至多從中選擇參加2項活動，且選擇參加1項或2項的可能性均為，每名男教師至少從中選擇參加2項活動，且選擇參加2項或3項的可能性也均為，每人每參加1項活動可獲得“體育明星”積分3分，選擇參加幾項活動彼此互不影響，記隨機選取的兩人得分之和為Y，求Y的期望．【答案】（1）（2）分布列及期望見解析.（3）【解析】【分析】（1）由條件概率的計算公式即可求解；（2）參加活動的女教師人數為，則服從超幾何分布，即可寫出的分布列及期望.（3）根據一名女教師和一名男教師參加活動獲得分數的期望，即可得，即可求得.小問1詳解】設“有女教師參加活動”為事件，“恰有一名女教師參加活動”為事件，則，，所以.【小問2詳解】依題意知服從超幾何分布，且，，，所以的分布列為：012.【小問3詳解】設一名女教師參加活動可獲得分數為，一名男教師參加活動可獲得分數為，則的所有可能取值為3,6，的所有可能取值為6,9，，，，，有名女教師參加活動，則男教師有名參加活動，，所以.即兩個教師得分之和的期望為分.19.已知橢圓的上頂點為，左?右焦點為，離心率為的面積為，直線與橢圓交于兩點.（1）求橢圓的方程；（2）當直線過點且與直線垂直時，求的周長；（3）若（是坐標原點），求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）8（3）【解析】【分析】（1）由橢圓的離心率為，可得，，再由，可求得，進而求得，，可得橢圓的方程；（2）由（1）可得為正三角形，得直線為線段的垂直平分線，則的周長為.（3）當直線的斜率一條為零，另一條不存在時，的面積為；當直線的斜率存在且不為零時，設直線，與橢圓聯立消去得，則得，，則得，同理可得，，代入，變形后利用基本不等式，即可求得其取值范圍.【小問1詳解】因為，所以，又，則，即橢圓方程為，因為，所以，即，則，，故橢圓方程為.【小問2詳解】由（1）知，，，