微專題05數列經典題型精練【秒殺總結】1、給出Sn與an的遞推關系，求an，常用思路是：一是轉化為an的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為Sn的遞推關系，先求出Sn與n之間的關系，再求an.2、在利用放縮法證明數列不等式時，要注意放縮的方向，在放縮方向明確之后，放大得太多，或者縮小得太多，可以適當進行調整，比如從第二項開始放縮或者第三項開始放縮.3、幾種常見的數列放縮方法：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0；（8）SKIPIF1<0；（9）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（10）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（11）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（12）SKIPIF1<0；（13）SKIPIF1<0.【典型例題】例1．（2023·上海·高三專題練習）已知數列SKIPIF1<0各項均為正數，SKIPIF1<0為前n項的和，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數列．（1）求數列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0；（2）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為數列SKIPIF1<0的前n項和，求SKIPIF1<0；（3）設SKIPIF1<0為數列SKIPIF1<0的前n項積，是否存在實數a，使得不等式SKIPIF1<0對一切SKIPIF1<0都成立？若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請說明理由．【解析】（1）由題意知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又數列SKIPIF1<0各項均為正數，∴當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴數列SKIPIF1<0為首項為1公差為1的等差數列，故SKIPIF1<0；（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；（3）由題知SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0單調遞減，于是SKIPIF1<0∴要得不等式SKIPIF1<0對一切SKIPIF1<0都成立，則SKIPIF1<0．例2．（2023·浙江·高三開學考試）已知SKIPIF1<0為數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求數列SKIPIF1<0的通項公式；（2）設SKIPIF1<0，數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【解析】（1）因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數列，即SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是公比為2的等比數列，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．例3．（2023·浙江·溫州中學高三階段練習）如圖，已知曲線SKIPIF1<0及曲線SKIPIF1<0．從SKIPIF1<0上的點SKIPIF1<0作直線平行于SKIPIF1<0軸，交曲線SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，再從點SKIPIF1<0作直線平行于SKIPIF1<0軸，交曲線SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0的橫坐標構成數列SKIPIF1<0（Ⅰ）試求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的關系，并證明：SKIPIF1<0；（Ⅱ）若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【解析】（Ⅰ）由已知，SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，所以有SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，下證：SKIPIF1<0解法一：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0異號注意到SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解法二：由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為公比的等比數列；設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0（Ⅱ）證明：因為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0從而可知SKIPIF1<0故SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0例4．（2023·浙江·慈溪中學高三期中）已知數列SKIPIF1<0是公差大于0的等差數列，其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比數列．（1）求數列SKIPIF1<0的通項公式；（2）設SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則是否存在正整數SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成等差數列？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）設出等差數列SKIPIF1<0的公差，根據給定條件列式計算即可作答．（2）由（1）的結論求出SKIPIF1<0，借助裂項相消法求出SKIPIF1<0，再探求SKIPIF1<0成等差數列的m，n值即可作答．（1）設等差數列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0（d>0），則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，所以數列SKIPIF1<0的通項公式是SKIPIF1<0．（2）由（1）知，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0．假設存在正整數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數列，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，顯然n+3是25的正約數，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或25，當SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0矛盾，當SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，符合題意，所以存在正整數使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數列，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．例5．（2023·江西·高三階段練習（理））已知首項為1的數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求證：數列SKIPIF1<0是等差數列；（2）求數列SKIPIF1<0的通項公式；（3）若數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【解析】（1）兩邊同時除以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，再利用等差數列的定義證明．（2）由（1）得到SKIPIF1<0，再利用數列通項與前n項和的關系求解；（3）根據SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0證明．（1）證明：兩邊同時除以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，SKIPIF1<0為公差的等差數列．（2）由（1）可知，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0符合上式，故SKIPIF1<0．（3）證明：因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．例6．（2023·浙江·無高三期中）已知數列SKIPIF1<0的各項均為正數，前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若對任意的正整數SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0的通項公式；（2）設數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【解析】（1）當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，分別求出通項公式，再綜合即可；（2）利用放縮法進行證明即可．（1）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0奇數項成等比數列SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0①當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0②②-①得SKIPIF1<0化簡得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0等式兩邊同時除以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0等價于SKIPIF1<0即SKIPIF1<0由題知SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0綜上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）由（1）知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0【過關測試】1．（2023·山東日照·高三校聯考期末）已知數列SKIPIF1<0的各項均為非零實數，其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：數列SKIPIF1<0是等差數列，并求其前SKIPIF1<0項和.【解析】（1）SKIPIF1<0中令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，因為數列SKIPIF1<0的各項均為非零實數，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，以上式子相乘得：SKIPIF1<0，因為數列SKIPIF1<0的各項均為非零實數，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故數列SKIPIF1<0為等差數列，首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，數列SKIPIF1<0為等差數列，首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數列SKIPIF1<0是等差數列，其前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.2．（2023·全國·高三專題練習）若正項數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)若對于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，求SKIPIF1<0的最大值.【解析】（1）SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0舍去），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡可得SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，累加可得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0,上式也成立，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0適合該式，故SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（此處不等關系是因為：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，而SKIPIF1<0，故上式中等號取不到），SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以數列SKIPIF1<0是遞減數列，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，所以SKIPIF1<0.3．（2023·全國·高三專題練習）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：數列SKIPIF1<0為等比數列，求SKIPIF1<0的通項公式．(2)若數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0恒成立，求實數SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（1）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是以2為首項，3為公比的等比數列，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）由（1）SKIPIF1<0為等比數列，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的最大值即可.設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，故當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0隨SKIPIF1<0的增大而增大；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0隨SKIPIF1<0的增大而減小.又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的最大值，為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.4．（2023·廣西梧州·統考一模）已知函數SKIPIF1<0.(1)求函數SKIPIF1<0的最小值；(2)證明：SKIPIF1<0.【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調遞減，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調遞增，所以SKIPIF1<0（2）由（1）知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時等成立），令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，累加可得SKIPIF1<0，命題得證.5．（2023·全國·高三專題練習）在一個有窮數列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數列，我們把這樣的操作稱為該數列的一次“Z拓展”．如數列1，2第1次“Z拓展”后得到數列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到數列1，4，3，5，2．設數列a、b、c經過第n次“Z拓展”后所得數列的項數記為SKIPIF1<0，所有項的和記為SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求n的最小值；(3)是否存在實數a、b、c，使得數列SKIPIF1<0為等比數列？若存在，求a、b、c滿足的條件；若不存在，說明理由．【解析】（1）原數列有3項，經第1次拓展后的項數SKIPIF1<0；經第2次拓展后的項數SKIPIF1<0；（2）數列每一次拓展是在原數列的相鄰兩項中增加一項，由數列經第n次拓展后的項數為SKIPIF1<0，則經第SKIPIF1<0次拓展后增加的項數為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以n的最小值為10；（3）設第n次拓展后數列的各項為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為數列每一次拓展是在原數列的相鄰兩項中增加這兩項的和，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若使SKIPIF1<0為等比數列，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以a、b、c滿足的條件為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．6．（2023·全國·高三專題練習）在數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且對任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0是等比數列，并求出SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【解析】（1）證明：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以4為首項，2為公比的等比數列.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以1為首項，1為公差的等差數列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的奇數項為以SKIPIF1<0為首項，SKIPIF1<0為公比的等比數列；偶數項是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為公差的等差數列.所以當SKIPIF1<0為偶數，且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0為奇數，且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0為偶數，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，滿足.所以，當SKIPIF1<0為奇數，且SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0.綜上，SKIPIF1<0.7．（2023春·全國·高三校聯考開學考試）已知SKIPIF1<0為數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0①SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0②則①-②得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時可整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由①當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，符合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<08．（2023·吉林長春·高三長春市第二中學校考期末）已知數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0①,SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0②，①-②得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0不符合SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，符合SKIPIF1<0SKIPIF1<0.9．（2023·全國·高三專題練習）已知數列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，證明：(1)數列SKIPIF1<0單調遞減；(2)SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又因為當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時數列SKIPIF1<0為常數列，不滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故數列SKIPIF1<0單調遞減．（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．10．（2023·遼寧葫蘆島·高三葫蘆島第一高級中學校考期末）已知數列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0其前SKIPIF1<0項和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且分別滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式.(2)將數列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的各項按SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0…SKIPIF1<0，SKIPIF1<0順序排列組成數列SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【解析】（1）由條件：SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0符合，所以SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等比數列，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0

；（2）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0SKIPIF1<0

時，SKIPIF1<0

SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0SKIPIF1<0

時，SKIPIF1<0

.11．（2023·山東濱州·高三統考期末）設公差不為0的等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數列．(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)求滿足條件SKIPIF1<0的正整數SKIPIF1<0的最大值．【解析】（1）設等差數列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以數列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以正整數SKIPIF1<0的最大值為674．12．（2023·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學校考期末）已知數列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，等比數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n項和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的所有數對SKIPIF1<0．【解析】（1）由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以等比數列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即等比數列{SKIPIF1<0}的通項公式為SKIPIF1<0；（2）由已知得：SKIPIF1<0，由（1）可知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為m正整數，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故滿足條件所有數對為SKIPIF1<0．13．（2023·福建·統考一模）已知正項數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)將數列SKIPIF1<0和數列SKIPIF1<0中所有的項，按照從小到大的順序排列得到一個新數列SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前50項和．【解析】（1）依題意SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，作差得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數列SKIPIF1<0是首項為3，公差為2的等差數列，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，同時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的前50項和為2150．14．（2023·遼寧·校聯考模擬預測）記正項數列SKIPIF1<0的前n項積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)證明：數列SKIPIF1<0是等差數列；(2)記SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的前2n項和SKIPIF1<0．【解析】（1）由題意得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．當n＝1時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0＝3，故SKIPIF1<0是以3為首項，2為公差的等差數列．（2）由（1）可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．15．（2023·湖北武漢·高三統考期末）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和(1)求證：SKIPIF1<0(2)求使得SKIPIF1<0成立的正整數SKIPIF1<0的最大值【解析】（1）證明：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0累加得SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得：對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進而SKIPIF1<0，故數列SKIPIF1<0單調遞增，由（1）可知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，于是只需求使得SKIPIF1<0最大的正整數SKIPIF1<0，從而只需求使得SKIPIF1<0最大的正整數SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，列舉得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0結合數列SKIPIF1<0單調遞增，于是使得SKIPIF1<0最大的正整數SKIPIF1<0為11.16．（2023·湖南株洲·高三校聯考期末）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0(1)求證：SKIPIF1<0為等差數列；(2)令SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0為等差數列，且公差為SKIPIF1<0.（2）又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0得SKIPIF1<017．（2023·天津北辰·高三校考期末）已知SKIPIF1<0為等差數列，SKIPIF1<0為等比數列，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；(2)令SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0；(3)記SKIPIF1<0．是否存在實數SKIPIF1<0，使得對任意的SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的取值范圍；若不存在，說明理由．【解析】（1）若SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，結合題設可得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，結合題設可得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）由（1）知：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，以上兩式相減，得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（3）由題設，SKIPIF1<0，要使任意SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0恒成立當SKIPIF1<0為奇數時，SKIPIF1<0恒成立，而SKIPIF1<0，故當SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，存在SKIPIF1<0使其成立；當SKIPIF1<0為偶數時，SKIPIF1<0恒成立，而SKIPIF1<0，故當SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，存在SKIPIF1<0使其成立；綜上，存在實數SKIPIF1<0，使得對任意的SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0.18．（2023春·江蘇南京·高三南京市第一中學校考開學考試）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答．注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分．已知正項數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且______，(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設SKIPIF1<0，若數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【解析】（1）選擇條件①，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以兩式相減得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0符合上式，所以SKIPIF1<0；選擇條件②，因為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以兩式相減得：SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），所以數列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0