微專題03解三角形【秒殺總結】在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的齊次式，優先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理求解；（6）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內角和定理．【典型例題】例1．（2023秋·山西太原·高三統考期末）在SKIPIF1<0中，內角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（1）由余弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（2）由（1）得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0上單調遞增SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．例2．（2023·浙江·統考一模）記SKIPIF1<0的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求B；(2)求SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（1）由正弦定理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由（1）得SKIPIF1<0，所以由余弦定理得SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，等號成立，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．例3．（2023·河北衡水·河北衡水中學?？寄M預測）已知SKIPIF1<0，D為邊AC上一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若直線BD平分SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0內切圓半徑之比的取值范圍.【解析】（1）如圖1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，不妨記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）如圖2，不妨設SKIPIF1<0與SKIPIF1<0內切圓的半徑分別為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，因為直線BD平分SKIPIF1<0，所以由角平分線性質定理得SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為頂點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離），又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0內切圓半徑之比的取值范圍為SKIPIF1<0..例4．（2023·全國·高三專題練習）在銳角SKIPIF1<0中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0．(1)求角B的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周長的取值范圍．【解析】（1）SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）銳角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為銳角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以三角形周長的取值范圍是SKIPIF1<0.例5．（2023·全國·高三專題練習）設銳角三角形ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知SKIPIF1<0．(1)求證：B＝2A；(2)求SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（1）SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，由積化和差公式可得：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為三角形ABC為銳角三角形，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（2）由（1）知：SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，結合SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.例6．（2023·全國·高三校聯考階段練習）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0上的點，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的取值范圍；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面內是否存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0；若不存在，說明理由.【解析】（1）由面積公式可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，建立如圖所示的平面直角坐標系，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的SKIPIF1<0邊上的高的范圍為SKIPIF1<0，故其面積的取值范圍為：SKIPIF1<0（2）因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為直角三角形且SKIPIF1<0如圖，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得：SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0為銳角，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故SKIPIF1<0存在且SKIPIF1<0.例7．（2023·全國·高三專題練習）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答．在SKIPIF1<0中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知______．(1)求角A的大??；(2)若SKIPIF1<0為銳角三角形，且其面積為SKIPIF1<0，點G為SKIPIF1<0重心，點M為線段SKIPIF1<0的中點，點N在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0與線段SKIPIF1<0相交于點P，求SKIPIF1<0的取值范圍．注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個方案解答計分．【解析】（1）若選①SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；若選②SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）依題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線，故設SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線，故設SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為銳角三角形，當SKIPIF1<0為銳角，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0為銳角，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，綜上可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【過關測試】1．（2023·湖南衡陽·?？寄M預測）已知SKIPIF1<0的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足SKIPIF1<0(1)求角C；(2)CD是SKIPIF1<0的角平分線，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求c的值.【解析】（1）由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；（2）由面積公式得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又CD是SKIPIF1<0的角平分線，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.2．（2023·全國·高三專題練習）SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的長度；(2)若點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0外接圓上任意一點，求SKIPIF1<0的最大值.【解析】（1）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中，由余弦定理知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.（2）由（1）知：SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0外接圓的直徑.SKIPIF1<0為SKIPIF1<0外接圓上任意一點，當SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點時，SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點時，SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0在優弧SKIPIF1<0上時，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.SKIPIF1<0中，由正弦定理知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0在劣弧SKIPIF1<0上時，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.SKIPIF1<0中，由正弦定理知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.綜上，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，某城市有一條SKIPIF1<0從正西方通過市中心SKIPIF1<0后轉向東偏北60°方向SKIPIF1<0的公路，為了緩解城市交通壓力，現準備修建一條繞城高速公路SKIPIF1<0，并在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上分別設置兩個出口A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在A的東偏北SKIPIF1<0的方向（A，SKIPIF1<0兩點之間的高速路可近似看成直線段），由于A，SKIPIF1<0之間相距較遠，計劃在A，SKIPIF1<0之間設置一個服務區SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的正北方向且SKIPIF1<0，求A，SKIPIF1<0到市中心SKIPIF1<0的距離和最小時SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0到市中心SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0設在SKIPIF1<0的平分線與SKIPIF1<0的交點位置，且滿足SKIPIF1<0，則求A到市中心SKIPIF1<0的距離最大時SKIPIF1<0的值.【解析】（1）由題意可知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的正北方向，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，取等號，所以A，SKIPIF1<0到市中心SKIPIF1<0的距離和最小時SKIPIF1<0；（2）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有最大值20，此時在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當A到市中心SKIPIF1<0的距離最大時SKIPIF1<0.4．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學校考階段練習）已知SKIPIF1<0的外心為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的兩點，且SKIPIF1<0恰為SKIPIF1<0中點.(1)證明：SKIPIF1<0(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.【解析】（1）證明：設SKIPIF1<0，由余弦定理知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是SKIPIF1<0外心知SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，同理可知SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）由（1）知SKIPIF1<0，由余弦定理知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取到等號，因此SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.5．（2023·全國·高三專題練習）在SKIPIF1<0中，內角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對的邊分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0外的一點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0為多少時，平面四邊形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0最大，并求SKIPIF1<0的最大值．【解析】(1)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，內角SKIPIF1<0所對的邊分別是SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．SKIPIF1<0由正弦定理得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等邊三角形，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，平面四邊形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0取最大值SKIPIF1<0．6．（2023·全國·高三專題練習）如圖，四邊形ABCD中，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求△ABC的面積；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求∠ACB的值．【解析】（1）在△ABC中，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．（2）設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在△ACD中，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．在△ABC中，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．聯立上式，并由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即∠ACB的值為SKIPIF1<0．7．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學?？寄M預測）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊上．(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的最大值；(2)設四邊形SKIPIF1<0的外接圓半徑為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【解析】（1）由已知SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，利用余弦定理知SKIPIF1<0，結合基本不等式有SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，即SKIPIF1<0的最大值為1，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0（2）四邊形SKIPIF1<0存在外接圓，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為等腰梯形，連接SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同理，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<08．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）SKIPIF1<0中，內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，滿足SKIPIF1<0．(1)當A為何值時，函數SKIPIF1<0取到最大值，最大值是多少？(2)若SKIPIF1<0等于邊AC上的高h，求SKIPIF1<0的值．【解析】（1）由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值，最大值為2；（2）由（1）知：SKIPIF1<0，由三角形面積公式得：SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由和差化積得：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.9．（2023·全國·高三專題練習）如圖，四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0為銳角．(1)求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的面積．【解析】（1）由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0是銳角，∴SKIPIF1<0．由余弦定理可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴BD是四邊形SKIPIF1<0外接圓的直徑，∴BD是SKIPIF1<0外接圓的直徑，利用正弦定理知SKIPIF1<0（2）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．10．（2023秋·湖南長沙·高三長郡中學?？茧A段練習）如圖，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求梯形SKIPIF1<0的面積；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【解析】(1)設SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而x>0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0等高，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，則梯形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0；(2)在梯形SKIPIF1<0中，設SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，兩式相除得：SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．11．（2023春·河南開封·高三統考開學考試）已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)證明：SKIPIF1<0為定值．【解析】（1）由SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）由已知條件得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,

∴SKIPIF1<0,由余弦定理得SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為定值．12．（2023春·江蘇南通·高三?？奸_學考試）如圖，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為斜邊的等腰直角三角形，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值.【解析】（1）取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為斜邊的等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0是等邊三角形，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（2）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.如圖，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及過SKIPIF1<0點垂直于平面SKIPIF1<0的方向為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸的正方向建立空間直角坐標系SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的一個法向量，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的一個法向量，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0.13．（2023秋·山東菏澤·高三統考期末）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．三個條件中選一個，補充在下面的橫線處，并解答問題．在SKIPIF1<0中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，SKIPIF1<0的面積為S．且滿足______．(1)求A的大?。?2)設SKIPIF1<0的面積為6，點D為邊BC的中點，求SKIPIF1<0的最小值．【解析】（1）選①，由SKIPIF1<0，化簡得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；選②，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；選③，SKIPIF1<0，由正弦定理和切化弦得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．14．（2023·全國·高三專題練習）如圖，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內的一點，SKIPIF1<0記為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0記為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中的對邊分別記為m，n，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0的長和SKIPIF1<0面積的最大值.【解析】（1）已知SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）在SKIPIF1<0中，由余弦定理得知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為，SKIPIF1<0，所以，當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0面積有最大值SKIPIF1<0.15．（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若BC邊上的高是AH，求BH的最大值.【解析】（1）由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0.（2）由題意，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0.16．（2023